Atividade 4 A4 Eq Algébrica

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13/04/2020 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 4 (A4) – GRA0349 ...
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Revisar envio do teste: ATIVIDADE 4 (A4)
GRA0349 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS PTA - 202010.ead-2413.04 Unidade 4
Revisar envio do teste: ATIVIDADE 4 (A4) 
Usuário FRANCISCO TEIXEIRA DA SILVA JUNIOR
Curso GRA0349 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS PTA - 202010.ead-2413.04
Teste ATIVIDADE 4 (A4)
Iniciado 22/02/20 12:30
Enviado 13/04/20 21:39
Status Completada
Resultado da tentativa 8 em 10 pontos 
Tempo decorrido 1233 horas, 8 minutos
Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
A raiz enésima de um número complexo z é um número complexo zk, tal que zkn = z.
Sabemos, também, que os afixos das n raízes enésimas de z são pontos de uma
mesma circunferência, com centro na origem do plano complexo e raio de tamanho
n√ρ. Além disso, os afixos dividem a circunferência em partes congruentes.
 
Nesse contexto, considere as raízes cúbicas de -1 e avalie as asserções a seguir, bem
como a relação proposta entre elas.
 
I. Os afixos das raízes são vértices de um triângulo retângulo cujos ângulos são
30°,60° e 90°.
 
PORQUE
 
II. As raízes cúbicas são os números complexos z0 = ½ + i √3/2, z1= -1 e z2 = ½ -
i√3/2.
 
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.
Minha Área
1 em 1 pontos
FRANCISCO TEIXEIRA DA SILVA JUNIOR
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Resposta Selecionada: d. 
Resposta Correta: d. 
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da
resposta:
A proposição I é falsa, e a proposição II é verdadeira.
A proposição I é falsa, e a proposição II é verdadeira.
Muito bem! Sua resposta está correta. A raízes cúbicas de são z0 = ½ + i
√3/2, z1= -1 e z2 = ½ -i√3/2 e têm módulo igual a . Logo, seus afixos são
pontos de uma circunferência de centro e raio . Além disso, eles dividem a
circunferência em três partes congruentes, portanto, são vértices de um
triângulo equilátero.
Pergunta 2
Resposta Selecionada: d. 
Resposta Correta: d. 
Feedback
da
resposta:
Para calcular a potência de um número real com base a e expoente n, isto é, an, basta
multiplicarmos a base por ela mesma n vezes. Agora, considere z um número
complexo. Para calcular a potência zn utilizamos o mesmo raciocínio anterior, isto é,
zn = z.z.z.z…z onde a igualdade representa uma multiplicação de números complexos
iguais. Utilizamos a forma trigonométrica de um número complexo para calcular a
potência representada acima. Assim, calculamos a potência de um número complexo
pela igualdade zn = |z|n [cos(nα) + isen(nα)] para todo n ∈ Z.
 
Considerando as informações e o número complexo z = cos(π/6) + isen(π/6), analise
as asserções a seguir sobre a soma z6 + z3 + z12 e marque V para as verdadeiras e
F para as falsas.
 
( ) O resultado da potência de z3 é igual a i, isto é, z3 = i.
( ) O valor da soma z6 + z3 + z12 é igual a i.
( ) O resultado da potência de z12 é igual a 1.
( ) O resultado da soma z6 é igual ao resultado da potência z12.
( ) O resultado da potência z6 é igual a -1.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, V, V, F, V.
V, V, V, F, V.
Muito bom! Aplicando n = 3 na fórmula temos a igualdade z3 = 13
[cos(3π/6) + isen(3π/6)]. Simplificando os argumentos do cosseno e do
seno chegamos ao cos(π/2) = 0 e sen(π/2) = 1. Assim, obtemos que z3 =
13 [0 + i.1] = i. Determinamos o valor das potências z6 e z12 reescrevendo
1 em 1 pontos
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da forma z6 = (z3)2 = i2 = -1 e z12 = (z6)2 = (-1)2 = 1. Somando as
potências obtemos z3 + z6 + z12 = i -1 + 1 = i.
Pergunta 3
Resposta Selecionada: e. 
Resposta Correta: b. 
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da
resposta:
Imagine a seguinte situação:
 
Carlos é um admirador da Matemática e tem interesse especial pelos números
complexos. Certo dia, ele estava observando um vitral cujo desenho central era
formado por um polígono inscrito em uma circunferência e decidiu, então, analisá-lo
por um momento. Nisso, ele verificou que os vértices do polígono são determinados
pelas quatro raízes quartas do número 9.
 
A partir dessas informações, analise as afirmativas a seguir.
 
I. Os vértices do polígono são determinados por quatro números complexos não reais.
II. O número complexo z1= i√3 e seu conjugado z2 = -i√3 são vértices do polígono.
III. O polígono formado pelos quatros vértices é um quadrado.
IV. Os vértices podem ser representados no plano complexo pelos pontos (√3,0), (-
√3,0), (-1, -√3) e (-1, √3).
 
Está correto o que se afirma em:
I, II e III, apenas.
II e III, apenas.
Não é isso, sua resposta está incorreta. Pense comigo: como podemos
escrever, em linguagem matemática, que os vértices do polígono são
determinados pelas raízes quartas de 9? Como não sabemos quais são as
raízes, vamos indicá-las pela letra . Assim, temos que x4 = 9 ou, de modo
equivalente, x4 -9 = 0. Para resolver essa equação, lembre-se das
possibilidades de fatoração de polinômios já estudadas.
Pergunta 4
0 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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Resposta Selecionada: c. 
Resposta Correta: c. 
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da
resposta:
IV, V.
IV, V.
Parabéns! Sua resposta está correta. Devemos analisar as coordenadas do
ponto P no plano cartesiano. Primeiramente, checamos o eixo horizontal, o
eixo x. Verificamos que o ponto P tem coordenada 1 no eixo x. De maneira
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análoga, verificamos que P tem coordenada 2 no eixo y. Assim, o par
ordenado (a, b) que compõe o número complexo é (1, 2). Escrevendo o
número complexo na forma algébrica, isto é, z = a + bi obtemos o número z
= 1 + 2i.
Pergunta 5
Resposta Selecionada: e. 
Resposta Correta: e. 
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da
resposta:
Leia o problema a seguir.
 
Maria recebeu um convite de jantar da Associação de Matemáticos do Estado de
Santa Catarina. O convite informava os dados principais, exceto a hora do jantar. Para
Maria descobrir a hora do início do evento, ela deveria, primeiramente, resolver um
problema matemático. O jantar é marcado para a hora em que as extremidades dos
ponteiros do relógio forem representadas pelos números complexos z = α(cos(π/2) +
isen(π/2)) e w = z2, onde α é um número real e 0 < α < 1.
 
A respeito da hora do jantar, analise as afirmações a seguir.
 
I. O horário marcado para o jantar é às 21h.
II. Para Maria descobrir a hora marcada do evento, ela deve calcular o cosseno e seno
de π/2.
III. O horário do jantar é às 19h.
IV. O módulo de z é α e o módulo de w é α2.
V. A representação algébrica z é z = α + i.
 
É correto o que se afirma em:
I, II, IV;
I, II, IV;
Parabéns! Calculando o seno e cosseno de π/2 encontramos z = αi e w =
z2 = -α2. Assim, o afixo de z se encontra no eixo imaginário positivo e o
afixo de w se encontra no eixo real negativo. Calculando o módulo de z e w,
obtemos como resposta |z| = α e |w| = α2. Como 0 < α < 1, então, temos
que a2 < a, logo |w| < |z|. Assim,podemos concluir que z representa o
ponteiro que marca as horas e que w é o ponteiro que marca os minutos.
Logo, o horário marcado do jantar é às 21h.
1 em 1 pontos
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Pergunta 6
Resposta
Selecionada:
a.
Resposta
Correta:
a.
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da
resposta:
De acordo com Lapa (2012), a demanda de um produto é a quantidade dele que os
consumidores pretendem comprar em um determinado intervalo de tempo. Se
indicarmos por p o preço por unidade do produto, então p varia conforme a demanda,
isto é, p pode ser expresso como uma função da quantidade x demandada por p =
f(x). Além disso, se uma empresa produz e vende uma quantidade de um produto, ao
preço de venda unitário p, sua função de receita é R = px.
 
LAPA, N. Matemática Aplicada. São Paulo: Saraiva, 2012.
 
Sendo assim, avalie as alternativas a seguir e marque a que está correta.Sendo
assim, considerando, por exemplo, que uma revendedora recebe um modelo de carro
cuja demanda é dada por p = 56.000 -280x
A receita da revendedora de automóveis é nula quando a quantidade
total vendida é de 200 carros.
A receita da revendedora de automóveis é nula quando a quantidade
total vendida é de 200 carros.
Muito bem! Você conseguiu resolver o problema em questão. A receita da
revendedora de automóveis pode ser representada pelo polinômio na
variável x de grau 2: R(x) = (56.000 -280x)x = 56.000x -280x2, cujas raízes
são 0 e 200. Logo, a receita da revendedora de automóveis é nula quando
a quantidade total vendida é de 200 carros.
Pergunta 7
Utilizando a forma trigonométrica representaremos os números complexos z1 e z2,
tais que z1 = 6(cos(π/3) + isen(π/3)) e z2 = 2(cos (11π/6) + isen(11π/6)). Já sabemos
que, para realizarmos a multiplicação entre dois números complexos na forma
trigonométrica, devemos multiplicar os módulos de z1 e z2 e somar os argumentos de
z1 e z2, obtendo, assim, um novo argumento. Simbolicamente temos:
 
z1.z2 = |z1||z2|[cos(α1 + α2) + sen(α1 + α2).
 
Considerando essas informações, associe cada resultado a respeito da multiplicação
entre e com a afirmação correspondente.
 
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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Resposta Selecionada: c. 
Resposta Correta: c. 
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da
resposta:
1. 13π/6
2. 12
3. 12(cos(π/6) + isen(π/6))
4. √3/2 e 1/2
5. 6√3 + 6i
 
( ) É o cosseno e seno, respectivamente, do argumento resultante da soma dos
argumentos de z1 e z2.
( ) É o resultado da multiplicação entre os números complexos z1 e z2.
( ) É resultado da soma dos argumentos α1 = π/3 e α2 = 11π/6.
( ) É o resultado do produto dos módulos de z1 com z2.
( ) É a representação algébrica do resultado da multiplicação de z1 com z2.
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
4, 3, 1, 2, 5.
4, 3, 1, 2, 5.
Muito bem! Para calcular a multiplicação, aos números complexos
somamos os argumentos de z1 e z2, que é igual a π/6. Depois, calculamos
o produto entre os módulos dos mesmos obtendo 6 . 2 = 12. Colocando os
resultados obtidos na forma trigonométrica obtemos o resultado procurado.
Pergunta 8
De acordo com Souza (2013, p. 248), “no sistema de transmissão, por serem
alternadas, a tensão e a corrente podem ser representadas por sinais senoidais com
valores instantâneos de tensão (v) e da corrente (i), dados por v(t) = V.sen(w.t + α0) e
i(t) = I.sen(w.t + β0), ou seja, senoides dependentes do tempo t, em segundos, com
amplitudes V e I, respectivamente, também chamadas de valores de pico. A
frequência angular w representa a velocidade de oscilação da senoide, que pode ser
dada em graus por segundo. Os valores α0 e β0 representam a fase inicial”.
 
SOUZA, J. R. Novo olhar - Matemática. São Paulo: FTD, 2013.
 
0 em 1 pontos
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Resposta
Selecionada:
b.
Resposta
Correta:
d.
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da
resposta:
Com base nas informações acima, considere o circuito de transmissão de tensão e
corrente alternada dado pelas senoides:
 
v(t) = 220sen(100t + 30°) e i(t) = 10sen(100t + 60°).
 
Com seu conhecimento sobre os números complexos, assinale a proposição correta.
A senoide i(t) = 10sen(100t + 60°) na forma complexa algébrica, para o
instante inicial, é z = √3.
Para o instante inicial temos as senoides v(0) = 220sen(30°) e i(0) =
10sen(60°).
Sua resposta está incorreta. Para encontrar as formas algébricas,
primeiramente, substitua t = 0 nas formas trigonométricas. Feito isso,
calcule o argumento do seno. Como é percebível, nas formas
trigonométricas só temos a presença do seno. Assim, quando você passar
para a forma algébrica terá somente o termo a, isto é, z = a.
Pergunta 9
Imagine a seguinte situação:
 
Dona Joana está construindo um jardim retangular de 18 m2 em seu terreno. Ela
deseja que a medida do comprimento tenha o dobro do tamanho da largura do jardim.
Por isso, seu neto, Jorge, está calculando os tamanhos desejados para que Dona
Joana possa iniciar a construção do jardim o mais breve possível. O problema é que
Jorge encontrou uma equação quadrática cujos resultados são números complexos
imaginários.
 
Sendo assim, com base nessas informações, a respeito dos dados fornecidos no
problema, analise as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as
falsas.
 
I. ( ) Os cálculos de Jorge estão errados, uma vez que ele deveria encontrar dois
valores reais como solução da equação.
II. ( ) Os dois valores encontrados por Jorge são os números complexos 3i e -3i.
III. ( ) Dona Joana deve mudar as especificações do jardim para conseguir construí-
lo.
1 em 1 pontos
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Resposta Selecionada: d. 
Resposta Correta: d. 
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da
resposta:
IV. ( ) O jardim deve ter seis metros de comprimento e três metros de largura.
 
Agora, assinale a alternativa com a sequência correta.
V, F, F, V.
V, F, F, V.
A resposta está correta! Jorge não deve ter calculado corretamente a
equação do problema. Como a medida do comprimento deve ser o dobro
da medida da largura do jardim, temos que y = 2x. Assim, para calcularmos
a área A do jardim, temos que A = xy = x∙2x = 2x2. Dona Joana deseja que
o jardim tenha 18 m2 de área, logo, 2x2 = 18 ⇒ 2x2 -18 = 0. Resolvendo a
equação, chegamos à conclusão de que x = ±3. Como não faz sentido
pensarmos na medida do lado sendo negativa, o jardim deve ter três metros
de largura e seis metros de comprimento.
Pergunta 10
Existem diferentes formas de representarmos um número complexo, como as formas
algébrica, geométrica e trigonométrica. A forma algébrica é bastante utilizada para
realizarmos as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de dois
números complexos. Já a forma geométrica nos permite visualizar os números
complexos em um plano formado por dois eixos: o real e o imaginário. Por fim, a forma
trigonométrica é mais prática do que a forma algébrica para operações de potenciação
e radiciação. 
 
Considerando essas informações, associe cada número complexo a seguir com a
afirmação que melhor o caracteriza.
 
1. z = -2i
2. z= 2 -2i
3. z= -√2 + i√2
4. z= 3 + 4i
5. z = 1 + i
 
( ) O módulo do número complexo é 2√2 e seu argumento é θ = (7π/4).
( ) Seu argumento é θ = (π/2) e o módulo é um número irracional positivo.
( ) Sua forma trigonométrica é z = 2((cos3π/2) + (i∙3π/2)).
1 em 1 pontos
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Segunda-feira, 13 de Abril de 2020 21h52min09s BRT
Resposta Selecionada: c. 
Resposta Correta: c. 
Feedback
da
resposta:
( ) Seu módulo é um número inteiro positivo e seu afixo está localizado no primeiro
quadrante do plano complexo.
( ) Este número é escrito na forma trigonométrica como z = 2((cos3π/4) + (i∙3π/4)).
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
2, 5, 1, 4, 3.
2, 5, 1, 4, 3.
Muito bem! Você conseguiu transitar entre as diferentes representações de
um número complexo. Quando estamos lidando com um número complexo
na forma algébrica z = a + bi, com b≠0, podemos determinar o módulo
calculando ρ = √(a2 + b2) e seu argumento por meio das relações
trigonométricas senθ = b/ρ e cosθ = a/ρ. Assim, a forma trigonométrica é
dada por z = ρ(cosθ+ isenθ).
← OK
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