03-Lista de Exercicio-Eq de Lapalace

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CCT
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
 ELETROMAGNETISMO I (2016.1)
Lista de Exercício – Equação de Laplace e Poisson
1) Seja o potencial no espaço livre (vácuo) expresso por V = 8x2 yz volts.
a) Determinar o campo elétrico no ponto P com as coordenadas 2, -1, 3;
b) Determinar a densidade volumétrica de carga (ρ) em P;
c) Determinar a equação da superfície equipotencial que passa por P;
d) Verificar se a função V acima satisfaz a Equação de Laplace.
2) Sendo o potencial V função somente da coordenada cilíndrica ρ (como num cabo
coaxial), determinar:
a) a expressão matemática para V, sendo as c. c. V =V0 em ρ = a e V = 0 em ρ = b (b > a);
b) o valor de V no ponto P(2,1,3) se V = 50 V em a = 2 m e V = 20 V em b = 3 m.
3) Dado o potencial V = (50 senθ)/r2. Verifique se V satisfaz a equação de Laplace e encontre a carga total 
dentro da casca esférica 1 < r < 2
4) Dois cilindros condutores coaxiais de raios a = 2 cm e b = 6 cm apresentam potenciais de
100 V e de 0 V, respectivamente. A região entre os cilindros é preenchida com um
dielétrico perfeito, porém, não homogêneo, no qual ε = 0 ,3 /( ρ + 0 ,04) . Determinar
para esta região:
a) o potencial elétrico;
b) o campo elétrico;
c) a densidade de fluxo elétrico usando a lei de Gauss;
5) Uma região entre dois cilindros condutores concêntricos com raios a = 2 cm e b = 5 cm
contém uma densidade volumétrica de carga uniforme ρ = −10-8 C/m3 . Se o campo
elétrico E e o potencial V são ambos nulos no cilindro interno, determinar:
a) A expressão matemática do potencial V na região, partindo da Equação de Poisson;
b) A expressão matemática do potencial V na região, partindo da Lei de Gauss;
c) O valor do potencial V no cilindro externo.
Assumir a permissividade do meio como sendo a do vácuo.
7) Exemplo6.1, pg311 Kleber
8) Exemplo6.3, pg342 Kleber
9) Exemplo6.4, pg355 Kleber
10) Exemplo6.13, pg434 Kleber
11) 3.1 e 3.2 do Reitz
12) O potencial elétrico no interior de um forno de micro-ondas é dado por
V (x , y , z)=
16V 0
π
2 ∑
m=0
∞
∑
n=0
∞
{
sinh(k(2m+1,2n+1)z )
(2m+1)(2n+1)sinh(k(2m+1,2n+1) z γ)
sen(
(2m+1)π x
α )sen (
(2n+1)π y
β
)}
Calcule o campo elétrico.
13) Considere uma caixa retangular submetidas as seguintes condições de contorno
V(0,y,z) = 0 V(a,y,z) = A
V(x,0,z) = 0 V(x,b,z) = Asenx
V(x,y,0) = 0 V(x,b,c) = Acosy
Calcule o potencial no interior da caixa
14) Considere uma esfera clocada colocada numa região com campo elétrico constante na direção Z. 
Considerando que a grandes distâncias o campo elétrico é afetado pela presença da esfera e que a grandes
distâncias o campo se mantém inalterado, utilizando a solução para equação de Laplace em coordenadas 
esféricas calcule o potencial externo a esfera num ponto próximo e afastado da esfera. Calcule ainda a 
densidade de carga induzida e a carga total
15) No problema 14 considere uma esfera com carga Q, calcule o potencial e a densidade de carga.
16) Considere um cilindro infinito de raio R cujo potencial na superfície é dado por V(R,θ) = V0 cos3θ, 
Calcule o potencial em todo o espaço.