EQUAÇÕES DIFERENCIAIS_Aula1

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ENGENHARIA
AULAS REMOTAS
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
UNIFANOR WYDEN
PROF. ME. LUIS FERNANDO LOBATO
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM VARIÁVEIS SEPARÁVEIS.
Uma equação diferencial linear de Primeira Ordem é dita separável ou de 
variáveis separáveis quando pode ser escrita na forma:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔(𝑥). ℎ(𝑦)
Exemplo: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= y2 e3x+4y → 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦2. e3x . e4y É separável
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= y+sen(x) → Não é separável
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Observação: Para solucionar este tipo de equação diferencial basta isolar as 
variáveis nos dois lados da igualdade e integrar.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔 𝑥 . ℎ 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔 𝑥 .dx
Fazendo P(y) = 
1
ℎ 𝑦
, temos P(y) dy = g(x) dx → 
׬ 𝑃(𝑦 𝑑𝑦 = ׬ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 → 
P(y) = G(x) +K
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Encontre a solução da equação diferencial separável abaixo:
Exercício 1: xdy – ydx = 0 y(3) =12
Xdy = ydx ou 
𝑑𝑦
𝑦
= 
𝑑𝑥
𝑥
׬
𝑑𝑦
𝑦
׬ =
𝑑𝑥
𝑥
, temos que: lny = lnx +lnc; 
Usamos lnc ao invés de c para facilitar a simplificação da solução.
Lny = lnc.x ou y = c.x
Como os valores x=3 e y=12 na solução geral, temos c=4
Assim. Y=4.x
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Exercício 2:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2 x2– 3 ; y(0) =2 Para Casa.
Resposta: y= 2 
𝑥3
3
- 3x +2
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
2. PROBLEMA DE VALOR INICIAL – PVI
Exercício 1: Resolva o problema de valor inicial abaixo:
Fazendo: dy = (2x+1) e ׬ 𝑑𝑦 = ׬ 2𝑥 + 1 𝑑𝑥,
Y = x2 +x + c → Solução Geral
Substituindo Valores: x = 1 e y = 5 → Obtemos: c = 3
Solução Particular: y = x2 +x + c
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
2. PROBLEMA DE VALOR INICIAL – PVI
Exercício 2: Resolva o problema de valor inicial abaixo:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= x. y1/2 ; y(0) = 0 Para Casa
Resposta: y = 
𝑥4
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
3. Equações Diferenciais de Primeira Ordem
3.1 Funções Homogêneas.
Diz-se uma função f = f(x, y) homogênea quando:
F(tx, ty) = tk f(x, y), sendo k o grau da função.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
3.1 Funções Homogêneas - Continuação.
Exemplos:
a) F (x, y) = x2 + y2 (Homogênea de Grau 2)
F(tx, ty) = (tx)2 + t(y)2 = t2 x2 + t2 y2 = t2( x2+ y2) = t2 F(x, y) → F(tx, ty) = t2 F(x, y) 
b) g(x, y) = 
𝑥2
𝑦2
(Homogênea de Grau 0)
g(tx, ty) = 
𝑡𝑥 2
𝑡𝑦 2
= 
𝑡2𝑥2
𝑡𝑦2
=
𝑥2
𝑦2
= g(x, y) → g(tx, ty) = g(x, y)
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
3.1 Funções Homogêneas - Continuação.
Exemplos:
c) h (x, y) = arctg
𝑦
𝑥
(Homogênea de Grau 0)
h(tx, ty) = arctg
𝑦
𝑥
= arctg 
𝑦
𝑥
= h(x, y) = h(x,y) → h(tx, ty) = h(x, y) 
d) p(x) =x3 – sem (y) (Não é Homogênea)
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
3.2 Equações Homogêneas de Primeira Ordem.
Toda equação diferencial do tipo y` =f(x, y) é dita homogênea se a função f(x, y) é
uma função homogênea de grau zero.
É possível transformar uma equação diferencial homogênea não separável em uma
equação diferencial separável por meio da seguinte substituição:
Y(x) = x . g(x)
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
3.2 Equações Homogêneas de Primeira Ordem. Continuação
a) y`= 
𝑥+𝑦
𝑥
→ f(x,y) = 
𝑥+𝑦
𝑥
→ f(tx,ty) = 
𝑡𝑥+𝑡𝑦
𝑡𝑥
= 
𝑥+𝑦
𝑥
→ f(tx,ty) = f(x, y)
→
ⅆ𝑦
ⅆ𝑥
= 
𝑥+𝑦
𝑥
; y = xg → 
𝑑(𝑥.𝑔)
𝑑𝑥
= 
𝑥+𝑥𝑔
𝑥
→ 
𝑑𝑔
𝑑𝑥
+ 
𝑑𝑥
𝑑𝑥
g = 
𝑥[1+𝑔]
𝑥
→ 
𝑥 𝑑𝑔
𝑑𝑥
+ g = 1 + g → 
𝑥 𝑑𝑔
𝑑𝑥
= 1 → É separável
dg = 
𝑑𝑥
𝑥
→ ׬
𝑑𝑥
𝑥
→ g = ln |x| + c → y = x. g →y = x ln |x| + c 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
3.2 Equações Homogêneas de Primeira Ordem. Continuação
b) y`= 
𝑥𝑧+𝑥𝑦+𝑦2
𝑥2
Para Casa:
Resposta: y = xtg[ ln|x| +c]
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
3.2 Equações Homogêneas de Primeira Ordem. Continuação
b) y`= 
𝑥𝑧+𝑥𝑦+𝑦2
𝑥2
Para Casa:
Resposta: y = xtg[ ln|x| +c]