Caderno de Física_Civil - 1_semestre_2020

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Belo Horizonte, 1º semestre de 2020 
 
 
 
 
 
 
 
Índice 
 
 
Critérios de avaliação da disciplina ............................................................................................... 3 
Medições e Incertezas......................................................................................................................................... 5 
Medições Diretas, Indiretas e Propagação de Erros ........................................................... 11 
Gráficos e Ajustes................................................................................................................................................. 21 
Movimento Unidimensional....................................................................................................................... 31 
Movimento de um projétil......................................................................................................................... 36 
Atrito Estático e Cinético ........................................................................................................................ 39 
Princípio de Arquimedes................................................................................................................................ 43 
princípio de bernoulli .................................................................................................................................. 46 
Sistema Massa-Mola........................................................................................................................................... 49 
Pêndulo Simples ..................................................................................................................................................... 52 
Medidas Elétricas................................................................................................................................................ 55 
Dispositivos ôhmicos e não Ôhmicos................................................................................................ 60 
Circuitos Com Resistores em Série e Paralelo............................................................................ 64 
Carga e Descarga de um Capacitor................................................................................................... 69 
Determinação do Campo Magnético da Terra ..................................................................... 73 
ANEXO I: ORIENTAÇÕES GERAIS PARA REDAÇÃO De RELATÓRIOS TÉCNICOS.................. 77 
Referências Bibliográficas ............................................................................................................. 80 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO da disciplina 
 
Os critérios de avaliação das atividades realizadas nas disciplinas Laboratório de Física Geral I, 
Laboratório de Física Geral II, Laboratório de Física Geral III e Laboratório de Física, ofertadas 
pelo Departamento de Física e Química nos diversos campi e unidades, são: 
 
1. DISTRIBUIÇÃO DE PONTOS: as disciplinas supracitadas deverão ter a pontuação 
distribuída em duas provas no valor de 30 (trinta) pontos e 40 (quarenta) pontos em 
atividades práticas. 
 
2. PROVAS: todas as provas devem ser individuais e com consulta apenas aos relatórios e 
cadernos de anotações. 
a. As provas devem conter questões relacionadas às atividades práticas realizadas em 
laboratório: metodologia, análise de dados, e interpretações teóricas. 
 
3. ATIVIDADES PRÁTICAS: os 40 (quarenta) pontos de atividades práticas devem ser 
distribuídos conforme a seguir: 
a. No mínimo 20 (vinte) pontos devem ser distribuídos em relatórios técnicos: 
i. Devem ser avaliados no mínimo 5 (cinco) relatórios técnicos (individuais); 
ii. Todos os relatórios técnicos devem seguir o padrão indicado nas 
“Orientações Gerais” anexadas nos cadernos de roteiros; 
iii. Cada professor (a) deve expor claramente aos seus alunos, nos primeiros 
dias de aula, os critérios adotados nas correções de tais relatórios 
técnicos; 
iv. Os relatórios devem ser devidamente corrigidos e devolvidos aos alunos na 
aula seguinte à data da entrega. 
b. O restante dos pontos pode ser distribuído à critério do(a) professor(a); 
i. Exemplos: caderno de anotações, vídeos, testes, apresentações e etc. 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
Medições e Incertezas 
 
1. Introdução 
 
 A Física – assim como todas as outras ciências – apoia-se na observação sistemática dos 
fenômenos naturais para sustentar as teorias que permitem abordar toda uma classe de 
fenômenos semelhantes com as mesmas regras. As regras gerais, ou leis da Física, são as 
ferramentas utilizadas para explicar a dinâmica das grandezas físicas e a relação entre elas (as 
grandezas físicas são as quantidades que podem ser mensuradas). Uma boa fundamentação das 
leis da Física depende de métodos de medição e de procedimentos rigorosos para que os 
resultados das medições tenham reprodutibilidade. 
O resultado de uma medição deve especificar o valor da grandeza, a incerteza e a 
unidade. No Brasil, o sistema legal de unidades é o Sistema Internacional (SI) e as regras para a 
expressão dos resultados e das incertezas nas medições são definidas pela ABNT (Associação 
Brasileira de Normas Técnicas) e pelo INMETRO (Instituto Nacional de Metrologia, Normalização 
e Qualidade Industrial) [1]. 
Todas as medições de uma grandeza física são afetadas por uma incerteza, devido ao 
processo de medição, aos equipamentos utilizados, à influência de variáveis que não são 
medidas e, também, ao operador. A incerteza pode ser minimizada pela perícia do operador, 
mas, jamais eliminada, e quanto menor o seu valor mais confiável ou mais preciso é o resultado. 
Os resultados das medições devem ser expressos de modo tal que se possa avaliar a precisão 
com que foram feitas. 
A forma mais comum de se expressar o resultado da medição de uma grandeza 𝑥 é 
(𝑥 ± ∆𝑥)[unidade] (1) 
em que ∆𝑥 é a incerteza, que deve ser escrita com, no máximo, dois algarismos 
significativos1.Existem métodos diferentes para se estimar o valor de ∆𝑥. A escolha do método 
depende dos procedimentos adotados para medição de 𝑥 e se a medição é direta ou indireta. 
Uma medição é direta quando o resultado é lido diretamente no instrumento utilizado e indireta 
quando o resultado é obtido a partir das medições de N outras grandezas físicas e da relação 
funcional entre elas. 
 
1 Ao contar os algarismos significativos de uma medição, devemos observar que o 
algarismo zero só é significativo se estiver situado à direita de um algarismo significativo. Assim, 
 
6 
• 0,00082 tem apenas dois algarismos significativos (8 e 2), pois os zeros não são 
significativos. 
• 80200 tem cinco algarismos significativos, pois aqui os zeros são significativos. 
• 0,000802 tem três algarismos significativos, pois os zeros à esquerda do algarismo 8 não 
são significativos. 
Nas atividades I e II estudaremos algumas regras relativas à avaliação e à expressão dos 
resultados de uma medição. Optou-se pela apresentação de métodos simplificados, mas que, 
ainda assim, satisfazem os propósitos gerais das disciplinas de laboratório de Física Geral. 
 
2. Parte Experimental - Valor Médio e Desvio Médio 
 
 
Objetivo: Determinar o tempo de queda de uma esfera com sua respectiva incerteza e avaliar a 
precisão e a acurácia do resultado. 
 
Material Utilizado: Esfera, cronômetro e régua. 
 
Procedimentos: 
1. Abandone a esfera de uma altura ℎ e meça o tempo 𝑡 de queda. Como o resultado 
depende muito do reflexo do operador, é aconselhável repetir este procedimento 10 vezes. 
Anote os resultados na Tabela 1. 
 
𝑖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
𝑡 (s) 
Tabela 1: Tempo de queda de uma esfera medido 10 vezes. 
 
2. Determine o valor mais provável para o tempo de queda através de uma média aritmética. 
 
3.A incerteza ∆𝑡 da medição é identificada com o desvio padrão definido como 
∆𝑡 = 
1
𝑛
.∑|𝑡𝑚𝑒𝑑 − 𝑡𝑖|
𝑛
𝑖=1
 , (2) 
em que 𝑡𝑚𝑒𝑑 é o tempo médio, 𝑛 é o número de medidas e 𝑡𝑖 é a medida de ordem 𝑖. Calcule o 
desvio médio, expresse o resultado como em (1) e anote-o no retângulo abaixo. 
 
 
 
 
7 
Se o resultado encontrado é, por exemplo, 𝑡 = (0,62 ± 0,11) 𝑠, seria incorreto expressar 
esse resultado em qualquer das formas seguintes; 
 
(0,62 ± 0,1128) 𝑠 - Nas normas da ABNT, recomenda-se que a incerteza da medição seja 
fornecida com, no máximo, dois algarismos significativos. Assim, mesmo que o processo de 
cálculo do desvio médio tenha fornecido o valor 0,1128, a norma recomenda que ele seja escrito 
como 0,1 ou 0,11. Se o algarismo abandonado for igual ou maior que 5, acrescenta-se uma 
unidade ao algarismo que permaneceu. Caso se faça a opção por escrever a incerteza com um 
algarismo significativo, o resultado deve ser escrito na forma 𝑡 = (0,6 ± 0,1)𝑠. 
 
(0,6185 ± 0,11) 𝑠 - Mesmo que o processo de cálculo do valor médio tenha fornecido o valor 
0,6185, como a incerteza é de centésimos de segundo, não faz sentido indicar o resultado com 
precisão maior que centésimos de segundo, ou seja, os algarismos 8 e 5 não são significativos e 
não devem ser escritos. 
 
4. Anote, na Tabela 2, os resultados para 𝑡𝑚𝑒𝑑 e ∆𝑡 encontrados pelos grupos. Qual é o 
resultado mais preciso? 
A resposta desta questão é obtida a partir do cálculo do desvio médio percentual, definido 
como 
∆𝑡
𝑡𝑚𝑒𝑑
 𝑥 100. 
O resultado com menor desvio médio percentual é o mais preciso. 
 
Grupo tmed (s) ∆t (s) ∆t (%) 𝑔 (m/s2) ∆𝑔(%) 
1 
2 
3 
4 
Tabela 2: Tempo médio, tmed, de cada grupo, com os respectivos valores do desvio médio, ∆t e desvio médio 
percentual, ∆t (%). Gravidade, g, obtida com o tempo médio e seu desvio percentual com relação ao valor 
esperado,∆𝒈 (%). 
 
5. Qual é o resultado mais acurado, isto é, mais próximo do valor verdadeiro? 
A resposta desta questão pode ser obtida utilizando a expressão matemática que relaciona 
a posição de um corpo em movimento uniformemente acelerado e o tempo, 
 
8 
ℎ = 
𝑔𝑡2
2
. 
Uma vez que temos ℎ e t podemos determinar a aceleração da gravidade 𝑔 e o quanto se 
desvia do valor verdadeiro ou convencional (9,81m/s2) e, assim, verificar qual grupo realizou as 
medidas que fornecem um valor do tempo de queda - consequentemente 𝑔 - de forma mais 
acurada. 
Calcule o valor de 𝑔 e o desvio percentual com relação ao valor esperado, definido como 
∆𝑔 =
|𝑔 − 9,81|
9,81
 𝑥 100 % 
Anote os resultados na Tabela 2. O resultado com menor desvio percentual com relação ao valor 
esperado é o mais acurado. 
 
6. O resultado com maior precisão é, necessariamente, o mais acurado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
______________________________________________________________________________ 
Observação: Quando o número de medidas for muito grande (𝑛 > 100), a incerteza do resultado 
será determinada pelo desvio padrão da média. Segundo a teoria matemática dos erros, que 
consiste exatamente em associar a uma certa medida não o erro que se comete, mas um 
intervalo de valores dentro do qual o valor verdadeiro tem uma determinada probabilidade de 
estar, a incerteza padrão da medição é identificada com o desvio padrão da média, através da 
relação 
∆𝑡 = √(
1
𝑛(𝑛 − 1)
∑|𝑡𝑚𝑒𝑑 − 𝑡𝑖|2
𝑛
𝑖=1
) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
Determinação do Tempo de Reflexo de uma Pessoa (Opcional) 
 
Cada pessoa reage a um dado estímulo após um certo tempo (tempo de reflexo ou tempo 
de reação). Tais tempos são importantes em várias situações do dia a dia, por exemplo, no 
trânsito. É útil saber quanto tempo uma pessoa demora a reagir a uma situação inesperada. 
 
Fonte: Carlos Magno Sampaio – Curso de extensão no Ensino Fundamental, USP Leste (2008). 
 
 
 
Objetivo: Determinar o tempo de reação de um grupo de alunos. 
 
10 
Material Utilizado: Uma régua milimetrada. 
 
Procedimentos: 
1.O aluno A segura uma régua milimetrada em posição vertical de tal maneira que o zero fique 
entre o indicador e o polegar do aluno B. 
2.O aluno A abandona inesperadamente a régua e o aluno B tenta pegá-la no menor tempo 
possível. Mede-se, então, a distância ℎ a partir do zero. 
3.Determine pelo menos 8 vezes essa distância para obter o valor mais provável através de uma 
média aritmética. Anote os resultados na Tabela 3. 
4.Determine a precisão das medições com o cálculo do desvio médio. Anote o resultado na 
Tabela 3. 
5.Determine o tempo de reflexo do aluno B a partir do valor mais provável hmed e da equação de 
queda livre, 
ℎ =
𝑔𝑡2
2
, 
em que 𝑔 = 9,81 𝑚/𝑠2. 
6.Repita os procedimentos anteriores para obter o tempo de reflexo dos outros alunos do grupo. 
 
 
Aluno A B C D E 
𝒉𝟏(m) 
𝒉𝟐(m) 
𝒉𝟑(m) 
𝒉𝟒(m) 
𝒉𝟓(m) 
𝒉𝟔(m) 
𝒉𝟕(m) 
𝒉𝟖(m) 
𝒉𝒎𝒆𝒅 ± ∆𝒉)m 
𝒕(s) 
Tabela 3: Distância de queda da régua e o tempo de reflexo de cada aluno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
Medições Diretas, Indiretas e Propagação de Erros 
 
 
1. Introdução 
 
• Medições Diretas 
 
Imagine que você esteja realizando uma medida qualquer, como, por exemplo, a medida 
do comprimento de uma barra, figura 1. Observe que a menor divisão da régua utilizada é de 
1mm. Ao tentar expressar o resultado dessa medida, você percebe que ela está compreendida 
entre 143 mm e 144 mm. A fração de milímetro que deverá ser acrescentada a 143 mm terá de 
ser avaliada, pois a régua não apresenta divisões inferiores a 1mm. 
Para fazer essa avaliação, você deverá imaginar o intervalo entre 143 mm e 144 mm 
subdividido em 10 partes iguais, e, com isso, a fração de milímetro, que deverá ser acrescentada 
a 143 mm, poderá ser obtida com razoável aproximação. Na Figura 1 podemos avaliar a fração 
mencionada como sendo 5 décimos de milímetros e o resultado da medida poderá ser expresso 
como 143,5 mm. 
Observe que estamos seguros em relação aos algarismos 1, 4 e 3, pois eles foram obtidos 
através de divisões inteiras da régua, ou seja, você tem certeza deles. Entretanto, o algarismo 5 
foi avaliado, isto é, você não tem certeza sobre seu valor e outra pessoa poderia avaliá-lo como 
sendo 4 ou 6, por exemplo. Por isto, esse algarismo avaliado é denominado algarismo duvidoso. 
 
 
Figura 1: Comprimento 𝒍 de uma barra medido com uma régua milimetrada. O resultado é 𝒍 = (𝟏𝟒𝟑, 𝟓 ±
𝟎, 𝟓)𝒎𝒎. Os algarismos 1, 4 e 3 são certos e o algarismo 5 é duvidoso. A incerteza avaliada nesta medição é 
0,5 mm, metade da menor divisão da escala da régua. 
 
A partir deste momento, você pode compreender que duas medidas expressas, por 
exemplo, como 42 cm e 42,0 cm, não representam exatamente a mesma coisa. Na primeira, o 
algarismo 2 foi avaliado e não se tem certeza sobre o seu valor. Na segunda, o algarismo 2 é 
 
12 
certo, sendo o zero o algarismo duvidoso. Do mesmo modo, resultados como 7,65 kg e 7,67 kg, 
por exemplo, não são fundamentalmente diferentes, pois diferem apenas no algarismo duvidoso. 
Quando se realiza uma única medida de uma grandeza, a incerteza pode ser encontrada 
usando-se diferentes procedimentos, mas é sempre importante usar-se o bom senso. Uma regra 
amplamente difundida é a de que a incerteza de uma medida isolada (erro de leitura) deve ser a 
metade da menor divisão da escala do instrumento de medida. Por exemplo, para se medir o 
comprimento da barra da Figura 1, alguém poderia considerar como incerteza a metade de uma 
unidade correspondente à menor divisão, ou seja, 0,5 milímetro. Assim, a medida do 
comprimento da barra seria escrita como l = (143,5 ± 0,5) mm. O resultado escrito dessa maneira 
indica que há uma incerteza de 0,5 mm na determinação do comprimento da barra. Entretanto, se 
essa régua for usada para medir a altura da portada sala de aula, é claro que a incerteza não 
mais poderá ser de 0,5 mm. O procedimento de posicionar a régua várias vezes para completar a 
medida eleva muito a incerteza que poderá ser da ordem de centímetro. Portanto, essa regra tão 
difundida de que a incerteza é a metade da menor divisão da escala deve ser usada com muito 
cuidado. 
Quando se usa, por exemplo, um voltímetro analógico ou qualquer instrumento com 
ponteiro, tem-se que prestar atenção se a leitura é estável ou se o ponteiro oscila em torno de um 
valor. Se o aparelho indicar um valor fixo, pode-se considerar como incerteza a própria precisão 
do instrumento ou, no caso de não se ter essa informação, usar uma unidade da menor divisão 
da escala utilizada [2]. Se houver oscilação, é mais razoável calcular a incerteza a partir dos 
limites desta oscilação: o resultado de uma medida poderá ser qualquer valor dentro da faixa de 
oscilação. Como exemplo, considere que a única informação que um operador tem sobre uma 
medição de uma grandeza é que seu valor se situa entre os limites 𝑦𝑚𝑖𝑛 e 𝑦𝑚𝑎𝑥 . Assim, é 
aceitável supor que 𝑦 pode assumir qualquer valor dentro desse intervalo com igual probabilidade 
(distribuição retangular). Nesse caso, o valor mais provável da grandeza é dado por 
𝑦 =
𝑦𝑚𝑎𝑥 + 𝑦𝑚𝑖𝑛
2
, 
e a incerteza padrão, estimada como desvio padrão dessa distribuição, é dada por 
∆𝑦 =
𝑦𝑚𝑎𝑥 − 𝑦𝑚𝑖𝑛
2√3
. 
O fator √3 decorre da distribuição retangular de probabilidade [2]. 
 
No caso de aparelhos digitais, a avaliação do desvio deverá ser feita como no caso 
anterior, através dos limites de oscilação, se houver oscilação, ou através da própria precisão do 
instrumento, se não houver oscilação. No caso de não se ter a informação da precisão do 
instrumento, pode-se considerar 3%. 
O desvio relativo é a razão entre a incerteza ∆𝑦 e o valor médio de y, 
 
13 
∆𝑦
𝑦
. 
O desvio percentual é o desvio relativo expresso em percentual, 
∆𝑦
𝑦
× 100%. 
 Os desvios percentuais permitem comparar as precisões das medidas, 
 
• Medições Indiretas 
 
É muito comum não ocorrer a medição direta de uma grandeza y. Nesses casos, o valor da 
grandeza é obtido a partir das medições de N outras grandezas físicas e da relação funcional𝑦 =
𝑓(𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑁). Ao se expressar o resultado de 𝑦 obtido indiretamente a partir de cálculos, é 
importante apresentar qual é a incerteza associada a esse resultado, ou seja, qual é a 
consequência da propagação das incertezas. Abaixo segue um resumo de algumas regras úteis 
para determinação do desvio de uma grandeza medida indiretamente [2]. 
 
(i) Se y é a soma ou subtração de grandezas a, b, c,… então: 
∆𝑦 = ∆𝑎 + ∆𝑏 + ∆𝑐 + ⋯ 
(ii) Se y é a multiplicação de uma grandeza a por uma constante k então: 
∆𝑦 = 𝑘 ∆𝑎. 
(iii) Se y é a divisão de uma grandeza a por uma constante k então: 
∆𝑦 =
∆𝑎
𝑘
. 
(iv) Se y é a multiplicação ou divisão de grandezas a, b, c, … então: 
∆𝑦
𝑦
=
∆𝑎
𝑎
+ 
∆𝑏
𝑏
+ 
∆𝑐
𝑐
+ … 
(v) Se y é a potência n de uma grandeza a, então 
∆𝑦
𝑦
= 𝑛
∆𝑎
𝑎
 
2. Parte Experimental 
 
Objetivo:(i) Realizar medidas diretas e indiretas, (ii) expressar os resultados com suas 
respectivas incertezas e (iii) conhecer o paquímetro, micrômetro, dinamômetro e o transferidor. 
Material Utilizado: Paquímetro, micrômetro, dinamômetro e transferidor. 
 
14 
Paquímetro: Frequentemente utilizam-se para a medição de comprimento na indústria o 
paquímetro, algumas vezes chamado de calibre, e o micrômetro também chamado de Palmer ou 
parafuso micrométrico. 
 
 
Figura 2: (a) Paquímetro de precisão 0,05 mm. (b) Estimativa de um comprimento 𝒍 = 𝟐𝟒, 𝟖𝟓 mm. (Fonte: 
http://pt.wikipedia.org). 
O paquímetro faz uso de uma escala auxiliar, chamada nônio ou vernier, cujo comprimento 
é de 9 vezes a menor divisão da escala principal, subdividida em 10 partes. A Figura 2(a) mostra 
as partes principais de um paquímetro. Ao fazer uma estimativa de um dado comprimento 𝑙 lê-se 
a quantidade de milímetros na escala principal. Em seguida, procura-se qual subdivisão do nônio 
coincide exatamente ao número de décimos de milímetro do comprimento medido. Examine a 
Figura 2(b). O comprimento 𝑙 medido é 24,85 mm. A precisão do paquímetro é 0,05 mm. 
Micrômetro: A Figura 3 mostra as partes principais de um micrômetro. Para cada avanço 
de 1 mm do deslocamento axial do tambor na escala da bainha, o tambor gira 1 volta. Dividindo-
se a circunferência 2𝜋𝑅 do tambor em 100 partes, cada divisão da escala do tambor será de 0,01 
 
15 
mm. Portanto, a sensibilidade do micrômetro da Figura 3 é de 0,01 mm e a precisão é de 0,005 
mm. 
 
Figura 3: Micrômetro de sensibilidade 0,01 mm.(Fonte: http://www.bibvirt.futuro.usp.br) 
A Figura 4 mostra um micrômetro com precisão de 0,001 mm. Os passos para uma leitura 
correta são: 
1º - leitura dos milímetros inteiros na escala da bainha. 
2º - leitura dos meios milímetros na mesma escala. 
3º - leitura dos centésimos na escala do tambor. 
4º - leitura dos milésimos com o auxílio do nônio da bainha, verificando qual dos traços do nônio 
coincide com o traço do tambor. 
A leitura final será a soma dessas quatro leituras parciais. 
 
16 
 
Figura 4: Micrômetro de precisão 0,001 mm. (Fonte: http://www.bibvirt.futuro.usp.br) 
O dinamômetro é um instrumento usado para medir forças. Os modelos mais usuais 
apresentam uma estrutura tubular, chamados dinamômetros tubulares, como o exemplo da Figura 
5. Esses dinamômetros possuem escalas com divisões de 1/100 de sua capacidade máxima de 
carga (geralmente indicada no início do tubo da escala). Antes da utilização do dinamômetro é 
necessário ajustá-lo através do parafuso liberador da capa, de modo a nivelar o referencial 
(extremidade da capa) com a primeira marcação da escala. 
 
 
Figura 5: Dinamômetro tubular. Figura adaptada de [4]. 
 
Atenção: seguem algumas recomendações importantes para manutenção e conservação 
do dinamômetro: 
➢ Nunca utilize o dinamômetro além da capacidade máxima indicada! 
➢ Nunca solte o dinamômetro bruscamente quando ele estiver distendido! 
 
A Figura 6 mostra um diagrama de um transferidor semicircular (de 180º), que é um 
instrumento usado para medir ou construir um ângulo de uma dada medida. Existem 
transferidores circulares, de 360º. Observe que em geral esses instrumentos possuem duas 
escalas de ângulos que são crescentes no sentido anti-horário e decrescentes no sentido horário; 
assim pode-se medir ângulos em qualquer direção. 
 
17 
 
Figura 6: Esquema de um transferidor de 180º. Figura adaptada de [5]. 
 
 Para medir um ângulo entre duas retas deve-se posicionar a base (linha do 0º) sobre uma 
das retas (“A”, no exemplo da Figura 6), de modo que o centro do transferidor fique no vértice 
entre as retas. O valor da escala na qual coincide com a outra reta (“B”) indica o ângulo formado 
entre as retas. Tendo em vista que a menor divisão desse transferidor da figura acima é de 1/10 
de grau, então a leitura indicada será 𝜃 = (120,00 ± 0,05)°. 
 
 
 
 
Procedimento 1: 
 
1) Com a régua meça o comprimento (A) e a largura (B) de uma folha de papel A4. Para medir a 
espessura (C) da folha utilize o paquímetro. Como é impossível medir diretamente a espessura 
de uma única folha com o paquímetro, meça inicialmente a espessura de diversas folhas e divida 
o resultado pelo número de folhas. 
Escreva os resultados com as incertezas. 
 
A = ________________________ 
 
B = ________________________ 
 
C = ________________________ 
 
2) Tente medir diretamente a espessura da folha com o micrômetro. Compare o resultado com 
aquele encontrado com o paquímetro. 
3) Determine o volume da folha e escreva o resultado com a incerteza. 
 
 
 
 
18 
Procedimento 2 (OPCIONAL) 
 
1) Meça as dimensões A, B e C da caixa, conforme ilustrado na Figura 1. Utilize primeiro a régua 
graduadaem decímetro, depois em centímetro e finalmente em milímetro. Anote os resultados na 
Tabela 1. 
 
 
 
 
 
Figura 1: Caixa de dimensões A, B e C. 
 A B C 
dm 
cm 
mm 
Tabela 1: Dimensões A, B e C da caixa 
Questões: 
a) Todas as medidas foram expressas com o mesmo número de algarismos significativos? 
b) Você introduziu algum algarismo para expressar alguma medida? Em caso afirmativo, isto 
ocorreu com todas as réguas? 
 
No presente caso, é permitido “acrescentar” um algarismo além dos que temos certeza ou que 
nos informa a régua, mesmo que isto seja praticamente impossível para a resolução de nossa 
visão. Desta maneira, o valor por nós expresso carregará consigo um erro (desvio) devido a 
nossa aproximação e à precisão do instrumento utilizado. Como expressar, então, o valor de 
nossas medidas e informar qual o erro (desvio) cometido? As grandezas serão expressas 
acrescentando-se ao valor encontrado ± a metade da menor divisão do aparelho (desvio 
avaliado). Exemplo: (48,6 ± 0,5) cm. 
 
c) Qual das réguas mediu com maior precisão? Por quê? 
 
 
 
 
19 
 
d) Qual das grandezas (A, B ou C) está expressa com maior precisão, se medidas em 
milímetros? Para respondermos esta questão é importante entendermos o conceito de 
desvio relativo e/ou desvio percentual que é uma maneira de expressar de forma mais 
clara o quanto se “erra” ao especificar o valor medido de uma grandeza e de certa forma 
especificar a qualidade de um produto. O desvio relativo é o desvio avaliado dividido pelo 
valor medido (∆x/x) e o desvio percentual é o desvio relativo vezes cem [(∆x/x). 100]. 
Sendo assim, determine o desvio percentual das grandezas A, B e C, medidas na escala 
milímetros, e escreva a medida ± o desvio percentual. 
e) Calcule o volume da caixa e determine o desvio percentual e absoluto. Faça isso para as 
três escalas e anote os resultados na Tabela 2. 
 
 
Volume ∆V/V (%) ∆V 
dm3 dm3 
cm3 cm3 
mm3 mm3 
Tabela 2: Volume da caixa e seu desvio percentual e absoluto. 
 
Procedimento 3: 
 
1) Identifique o valor da menor divisão da escala do dinamômetro e determine sua incerteza. 
2) Fixe o bloco de madeira na extremidade do dinamômetro (suspenso verticalmente no tripé) e 
determine o valor do peso do bloco. 
 
Procedimento 4: 
 
1) Identifique o valor da menor divisão da escala do transferidor e determine sua incerteza. 
2) Determine o valor do ângulo 𝜃 da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
BIBLIOGRAFIA 
 
[1] Guia para expressão da incerteza de medição. 3 ed. Rio de Janeiro: ABNT / INMETRO, 2003. 
[2] CORRADI, Wagner; et al. Física Experimental. Belo Horizonte, ed. UFMG, 2008. 
[3] CAMPOS, Agostinho Aurélio Garcia; ALVES, Elmo Salomão; SPEZIALI, Nivaldo Lúcio. Física 
experimental básica na universidade. Belo Horizonte: Ed. UFMG, 2007. 
[4] CIDEPE, Livro de Atividades Experimentais: Física Experimental – Mecânica – Conjunto 
lançador com sensores e software. 
[5] Measuring an angle by a protractor. Disponível em <http://www.math-only-
math.com/measuring-an-angle-by-a-protractor.html>. Acesso em 24 de junho de 2015. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.math-only-math.com/measuring-an-angle-by-a-protractor.html
http://www.math-only-math.com/measuring-an-angle-by-a-protractor.html
 
21 
Gráficos e Ajustes 
 
1. Introdução 
 
 Tabelas [1] 
O primeiro estágio de apresentação de uma série de medidas resultante de um 
experimento é através de tabelas que, em geral, já são montadas durante o processo de 
obtenção de dados. Embora em cada experimento se deva decidir pela forma de tabela mais 
conveniente, é mostrado a seguir um padrão de tabela que se adapta à maioria dos experimentos 
que serão feitos nas disciplinas experimentais de Física. Considere um experimento onde se 
aplica tensão elétrica 𝑉 entre 10 e 50 V em um resistor e mede-se a corrente 𝑖 gerada. A Tabela 1 
mostra uma forma conveniente de apresentar os valores obtidos: 
 
Tensão (V) Corrente (10-3 A) 
11,3 22,5 ± 0,2 
19,5 40,0 ± 0,4 
22,7 44,4 ± 0,4 
29,1 59,2 ± 0,6 
38,4 76,1 ± 0,8 
42,3 83,8 ± 0,8 
50,0 99,3 ± 0,9 
Tabela 1: Valores da tensão aplicada no resistor e a correspondente corrente. 
 
Deve-se observar que: 
• toda tabela deve ter uma legenda; 
• no cabeçalho da tabela é importante vir a especificação das grandezas que foram medidas 
com suas unidades e a estimativa dos erros, absolutos ou relativos, a elas associados; se 
cada medida apresentar um erro diferente, deve-se especificá-lo após cada uma; 
• o número de algarismos significativos das medidas deve ser compatível com os erros 
especificados. 
 
 Gráficos [1] 
A construção de gráficos associando as variáveis medidas em um experimento é bastante 
interessante, pois permite uma visualização rápida do tipo de dependência existente entre as 
grandezas estudadas. Existem vários tipos de gráficos, cada um se adequando melhor às 
 
22 
grandezas medidas e ao tipo de relações que se deseja fazer entre elas. Um tipo de gráfico 
bastante comum em experimentos de Física é aquele relacionando duas grandezas onde cada 
valor de uma está associado a um valor correspondente da outra. O gráfico a seguir, mostrando a 
relação entre as grandezas tensão e corrente representadas na tabela anterior, ilustra uma forma 
comumente utilizada. 
 
 
Figura 1: Exemplo de um gráfico: Tensão elétrica V versus corrente I em um resistor. 
 
Deve-se ter atenção que um gráfico deve conter: 
• Título e/ou legenda; 
• Nome da grandeza em cada eixo com sua respectiva unidade; 
• Dimensionamento correto da escala. 
 
Uma observação rápida do gráfico anterior permite identificar uma relação linear entre as duas 
grandezas analisadas. 
 
 Tratamento matemático de dados: Ajuste de uma reta por regressão linear 
 
O gráfico da seção anterior sugere, visualmente, que existe uma relação linear entre a 
tensão elétrica aplicada e a corrente no resistor. Isso significa que, procurando-se uma relação 
matemática que associe a corrente 𝑖 no resistor sujeito a uma tensão 𝑉, deve-se encontrar a 
equação de uma reta, ou seja, uma equação do tipo: 
𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵 
onde a constante 𝐴 representa a inclinação da reta e a constante 𝐵 o valor da grandeza 𝑦 quando 
𝑥 = 0. Para o caso do resistor podemos escrever especificamente 
𝑉 = 𝐴𝑖 + 𝐵 
 
23 
É possível traçar no gráfico uma reta que, visualmente, melhor equilibra os pontos medidos 
e, então, determinar os valores de A e B. Entretanto, existem processos matemáticos objetivos 
que estabelecem a melhor reta que se ajusta aos pontos medidos. O processo mais utilizado 
com esse intuito é chamado regressão linear. 
Geralmente, todo processo operacional de ajuste, ou seja, de obtenção das constantes A e 
B que definem a reta, será feito por calculadora ou computador. No entanto é interessante que se 
tenha conhecimento da origem das fórmulas empregadas e do processo de cálculo envolvido. 
 
Regressão Linear: 
 
Pode-se dizer que regressão linear é 
 
“a determinação da equação de uma reta que melhor se sobrepõe aos resultados de medidas 
relacionando grandezas linearmente dependentes. ” 
 
Considere a série de pontos experimentais genéricos (𝑥𝑖, 𝑦𝑖) colocados no gráfico da Figura 2. 
 
 
Figura 2: Pontos experimentais definindo uma reta; 𝜹𝒊 é a diferença entre a ordenada 𝒚𝒊 medida para 𝒙𝒊 e o 
correspondente valor calculado pela equação da reta. 
 
Se a melhor curva que passa por estes pontos é a reta desenhada, podemos escrever sua 
equação na forma 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵, onde B é o ponto onde a reta corta o eixo vertical, em 𝑥 = 0 e 𝐴 é 
a inclinação da reta escolhida. 
Observando o gráfico da Figura 2 notamos que para o ponto 𝑥𝑖 , o valor experimental 
corresponde é 𝑦𝑖 , mas, pela reta escolhida, a ordenada correspondente a 𝑥𝑖 será 𝐴𝑥𝑖 + 𝐵. Desta 
 
24 
forma, para cada ponto 𝑥𝑖existe uma diferença 𝛿𝑖, ouresíduo, entre o valor experimental medido e 
o valor de y calculado pela reta: 
𝛿𝑖 = 𝑦𝑖 − (𝐴𝑥𝑖 + 𝐵) 
Alguns resíduos são positivos e outros negativos. Uma grandeza que daria uma visão de “quão 
boa” é a reta calculada, seria: 
𝐷 =∑(𝛿𝑖)
2 =∑[𝑦𝑖 − (𝐴𝑥𝑖 + 𝐵)]
2 (1) 
a qual representa a soma dos quadrados dos resíduos de todos os pontos. 
 
A melhor reta que ajusta os pontos experimentais é aquela que minimiza D, ou seja, deve-
se achar os valores de A e B tais que D seja mínimo. 
 
Como D é uma função de A e B, para que ele seja mínimo devemos ter como condição 
necessária, mas não suficiente: 
𝜕𝐷
𝜕𝐴
= 0 𝑒 
𝜕𝐷
𝜕𝐵
= 0 
 
Derivando a equação 1 tem-se: 
𝜕𝐷
𝜕𝐴
= −2∑[𝑦𝑖 − 𝐵 − 𝐴𝑥𝑖]𝑥𝑖 𝑒 
𝜕𝐷
𝜕𝐵
= −2∑[𝑦𝑖 − 𝐵 − 𝐴𝑥𝑖] 
 
Assim, para que D seja mínimo, devemos ter: 
∑[𝑦𝑖 − 𝐵 − 𝐴𝑥𝑖]𝑥𝑖 = 0 𝑒 ∑[𝑦𝑖 − 𝐵 − 𝐴𝑥𝑖] = 0 𝑒𝑞. 2 
que é um sistema de duas equações com duas incógnitas A e B que determinam a melhor reta 
𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵, que passa pelos pontos experimentais (𝑥𝑖, 𝑦𝑖). 
 
A solução do sistema de equações 2 é simples e dá como resultado os seguintes valores para A 
e B: 
𝐴 =
𝑛∑𝑥𝑖𝑦𝑖 − ∑𝑥𝑖 ∑𝑦𝑖
𝑛∑𝑥𝑖2 − (∑𝑥𝑖)
2 
𝐵 =
1
𝑛
[∑𝑦𝑖 − 𝐴∑𝑥𝑖] 
Todos os somatórios apresentados aqui são para i de 1 até 𝑁, onde 𝑁 é o número de pares de 
valores experimentais (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖). 
Uma descrição mais completa do método nos permitiria ainda determinar estatisticamente 
os desvios (incertezas) associadas às constantes A e B calculadas. Aqui serão dados apenas os 
resultados dos cálculos destes desvios: 
 
25 
∆𝐴 =
𝐷
(𝑛 − 2)√𝑛∑𝑥𝑖2 − (∑𝑥𝑖)
2
 𝑒 ∆𝐵 =
𝐷
(𝑛 − 2)
√
∑𝑥𝑖2
𝑛∑𝑥𝑖2 − (∑𝑥𝑖)
2 
 
Observações 
1) Existe um parâmetro estatístico, chamado coeficiente de determinação, que permite avaliar a 
qualidade do ajuste. 
 
2) No método da regressão linear, todos os pares ordenados têm a mesma importância. Em 
alguns casos, condições físicas impõem que alguns pontos tenham mais importância que outros 
(muitas vezes, por exemplo, a reta deve passar pela origem). Neste caso, você pode entrar com 
os correspondentes pares de valores várias vezes para aumentar sua importância nos cálculos. A 
reta tenderá a passar mais próxima deste ponto. 
 
Considerações gerais 
 
O processo de superpor uma curva descrita por uma equação a um conjunto de pontos 
experimentais não se aplica apenas quando a relação entre as grandezas é linear. Sempre que 
existir algum modelo ou previsão teórica para a relação matemática entre as grandezas, é 
possível encontrar os parâmetros que ajustem a curva correspondente com os resultados 
experimentais. O método matemático genérico que permite esse tipo de ajuste é chamado de 
“Método de Mínimos Quadrados”, pois, como foi exemplificado no caso particular do ajuste da 
reta, são procurados os parâmetros que minimizem o quadrado das diferenças 𝛿𝑖(eq.1) entre o 
valor medido e o correspondente valor calculado. Muitos programas atuais de tratamento de 
dados permitem fazer um ajuste diretamente de uma função matemática estabelecida pelo 
usuário. Na seção seguinte será apresentado um procedimento que permitirá, através da 
linearização de um gráfico, usar ainda a regressão linear apresentada na seção 3-1. 
 
Tratamento matemático de dados: linearização de gráficos 
 
É muito frequente em Física se lidar com fenômenos onde duas grandezas 𝑥 e 𝑦 se 
relacionam linearmente, ou seja, 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵. Nesses casos, a partir da regressão linear dos 
pares de resultados obtidos (𝑥, 𝑦), é possível encontrar as constantes A e B da reta que melhor se 
ajusta aos pontos experimentais, conforme descrito na seção anterior. Usando os valores dessas 
constantes é possível tirar informações importantes relativas ao experimento. 
 
26 
Há, obviamente, experimentos onde a relação entre as grandezas estudadas não é linear, 
o que significa que essas grandezas não estão relacionadas por uma equação de reta. Em 
situações como esta, a obtenção de informações relevantes ao experimento pode ser feita de 
mais de uma maneira. Apresenta-se a seguir o procedimento de linearização, usando a Lei de 
Coulomb como exemplo. 
 
Linearização 
Considere uma situação física onde duas pequenas esferas carregadas positivamente com 
cargas 𝑞1 e 𝑞2 estão separadas de uma distância 𝑟. Existe uma repulsão elétrica mútua entre elas 
com forças iguais e opostas 𝑭1 e 𝑭2, como indicado na figura abaixo. 
 
Figura 3: Duas cargas positivas 𝒒𝟏 e 𝒒𝟐 separadas por uma distância 𝒓, se repelem com forças 𝑭𝟏 e 𝑭𝟐. 
 
Foi realizado um experimento, dispondo-se de um equipamento apropriado, onde se variou 
a distância 𝑟 entre as cargas e mediu-se o valor do módulo 𝐹 da força de repulsão. Os resultados 
encontram-se na Tabela 3 e o gráfico de 𝐹 versus 𝑟 é mostrado na Figura 4. 
A Lei de Coulomb afirma que a força elétrica entre duas cargas pontuais varia com o 
inverso do quadrado da distância entre elas, ou seja, para valores de cargas constantes, pode-se 
escrever a lei física, que deve corresponder ao presente experimento, na forma: 
𝐹 =
𝐶
𝑟2
 
 onde C é uma constante. 
 
 
27 
Definindo-se uma outra variável 𝑋 igual ao inverso do quadrado de 𝑟, tem-se uma relação 
entre 𝐹 e 𝑋 que é linear, ou seja, definindo-se uma grandeza 𝑋 = 1/𝑟2, tem-se 𝐹 = 𝐶 𝑋. Assim, 
construindo-se o gráfico de 𝐹 (ordenada) em função de 𝑋 (abscissa), se encontrará uma reta, pois 
𝐹 varia linearmente com o inverso do quadrado de 𝑟. Sendo assim, pode-se fazer uma regressão 
linear considerando as novas grandezas: 
 
Esses resultados são apresentados na Figura 5. 
 
Figura 5 – A força entre duas cargas elétricas é linear com o inverso do quadrado da distância entre elas. 
O procedimento para se linearizar um gráfico depende de cada situação, pois as equações 
envolvidas na análise do problema é que irão dar a “receita” do que deve ser feito para se 
encontrarem novas variáveis, que serão funções das anteriores, de maneira que elas tenham 
relação linear entre si. No caso aqui apresentado, o procedimento foi simplesmente representar a 
força e o inverso do quadrado da distância. 
 
O uso da função logaritmo. 
 
Uma maneira muito comum de se procurarem relações que linearizem um gráfico é aplicar 
a função logaritmo. Entretanto, deve-se ter o cuidado em utilizar esse expediente apenas em 
situações em que pelo menos uma das variáveis envolvidas no experimento esteja no expoente. 
Apresenta-se a seguir o procedimento de linearização, usando a função logaritmo. 
 
28 
 Em um circuito simples, com uma fonte de corrente contínua e tensão 𝑉 ligada em série 
com um resistor de resistência 𝑅 e um capacitor de capacitância 𝐶, a corrente 𝑖 varia no tempo, 
durante o processo de carga do capacitor, através da seguinte relação: 
𝑖 =
𝑉
𝑅
𝑒−𝑡/𝑅𝐶 
Esta função exponencial decrescente pode ser linearizada com o uso da função logaritmo, pois, 
tomando-se o logaritmo de ambos os lados, tem-se uma nova relação matemática linear: 
ln 𝑖 = 𝐿𝑛 (
𝑉
𝑅
) −
𝑡
𝑅𝐶
 
 
𝑌 = 𝐴𝑋 + 𝐵 
sendo 
 
{
 
 
 
 
𝑌 = 𝑙𝑛 𝑖
𝑋 = 𝑡
 𝐴 = −
1
𝑅𝐶
 𝐵 = 𝑙𝑛 (𝑉 𝑅)⁄
 
 
O gráfico ln 𝑖 versus 𝑡 será uma reta decrescente com coeficiente angular 𝐴 = −1/𝑅𝐶 e 
coeficiente linear 𝐵 = 𝑙𝑛(𝑉/𝑅). Ao se fazer a regressão linear nos novos dados, os parâmetros A 
e B serão ajustados pelo método de mínimos quadrados. 
 
É importante chamar a atenção de que o processo de linearização de um gráfico consiste 
simplesmente em encontrar as ordenadas e abscissas adequadas de forma que a relação 
entre elas seja linear. Em várias situações o uso da função logaritmo pode ser o processo mais 
conveniente, mas não é sempre assim. A escolha da maneira mais conveniente para se fazer a 
linearização de um gráfico deve serorientada no sentido de se obter, de forma mais simples, as 
constantes procuradas. 
 
2. Atividades 
 
1. A tabela abaixo mostra o deslocamento ∆𝑥 em função do tempo 𝑡 de uma partícula, em 
movimento uniforme, sobre uma superfície horizontal. 
 
(∆𝑥 ± 0,001) m 0 0,340 0,670 0,980 1,380 1,630 
𝑡 (s) ± 3% 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 
 
(a) Construa o gráfico ∆𝑥 versus 𝑡 no papel milimetrado. 
 
29 
 
(b) É possível traçar no gráfico uma reta que, visualmente, melhor equilibra os pontos medidos e, 
então, determinar os valores dos coeficientes angular A e linear B. O valor de B é a ordenada do 
ponto onde a reta corta o eixo y e o valor de A é a inclinação da reta, que pode ser calculada 
escolhendo-se dois pontos. Faça isso. 
 
(c) Qual é o significado físico das constantes A e B? 
 
(d) Construa, novamente, o gráfico ∆𝑥 versus 𝑡 , mas, com auxílio do programa Scidavis e 
determine as constantes A e B através de uma regressão linear. 
 
2. Uma partícula, em um plano horizontal, parte do repouso em um movimento com aceleração 
constante. A tabela abaixo mostra o deslocamento ∆𝑥 em função do tempo 𝑡. 
 
(∆𝑥 ± 0,001) m 0 0,210 0,440 0,830 1,230 1,810 2,420 3,170 
𝑡 (s) ± 3% 0 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 
 
(a) Com auxílio do programa Scidavis, construa o gráfico ∆𝑥 versus t. Esse gráfico é linear? 
 
Em um movimento com aceleração constante, a posição varia no tempo através da 
relação: 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +
𝑎𝑡2
2
 
Como, inicialmente, a partícula estava em repouso (𝑣0 = 0) e ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0, podemos escrever: 
 
∆𝑥 =
𝑎𝑡2
2
 
(b) Faça uma linearização da função anterior e construa um gráfico linear com os novos dados. 
Qual é o significado físico dos coeficientes angular A e linear B? Determine-os através de uma 
regressão linear. 
 
3. Sabemos que quando dois objetos, com temperaturas diferentes, são colocados em contato 
térmico, há transferência de calor do objeto mais quente para o mais frio, até ambos atingirem a 
mesma temperatura. Segundo a lei de resfriamento de Newton, a taxa de resfriamento de um 
corpo em contato com o ambiente à temperatura 𝑇𝑎 é dada por 
𝑑∆𝑇
𝑑𝑡
= −𝑘∆𝑇, 
 
30 
em que ∆𝑇 é a diferença entre a temperatura da superfície do corpo (𝑇) e do ambiente (𝑇𝑎). É 
possível demonstrar que a solução dessa equação diferencial é 
∆𝑇 = ∆𝑇0𝑒
−𝑘𝑡 
em que ∆𝑇0 é a diferença entre a temperatura do corpo e do ambiente no instante de tempo 𝑡 = 0. 
A constante 𝑘 depende da superfície do corpo exposta ao ambiente, assim como das 
características do meio que constitui o ambiente. A equação anterior pode ser escrita como 
𝑇 = 𝑇𝑎 + ∆𝑇0𝑒
−𝑘𝑡.
 
A tabela a seguir mostra a temperatura em função do tempo da glicerina em contato com 
um fluxo de ar contínuo. 
(a) Com auxílio do programa Scidavis, construa o gráfico 𝑇 versus 𝑡. 
(b) Determine a constante 𝑘 e a temperatura ambiente 𝑇𝑎 através do ajuste de uma função 
exponencial (ou através de uma linearização). 
 
Tempo (min) ± 3% (Temperatura ± 0,5) 0C 
0 130,0 
1 116,5 
2 108,7 
3 91,1 
4 75,0 
5 62,0 
6 53,3 
7 47,0 
8 42,4 
9 38,8 
10 36,2 
15 28,0 
20 26,0 
25 25,5 
30 25,2 
35 25,2 
36 25,2 
37 25,2 
38 25,2 
 
 
 
 
31 
Movimento Unidimensional 
 
1. Introdução 
 
Tudo se move. Mesmo as coisas que parecem estar em repouso. Elas se movem em 
relação ao Sol e às estrelas. Enquanto você está lendo isto, está se movendo a 
aproximadamente 107 000 quilômetros por hora em relação ao Sol [1]. Se uma pessoa caminha 
no interior de um trem em movimento, sua velocidade em relação ao piso do trem é diferente de 
sua velocidade relativa aos trilhos. O movimento é relativo. Quando dizemos que a velocidade de 
um carro é 60 km/h, queremos dizer que tal velocidade é relativa a um ponto fixo na estrada. A 
menos que seja dito outra coisa, sempre que nos referirmos à velocidade com que um objeto se 
move em nosso ambiente, estaremos supondo-a relativa a um ponto estacionário em relação à 
superfície da Terra. 
Uma forma compacta de descrever a posição de um objeto em movimento unidimensional 
é construir um gráfico da posição 𝑥 em função do tempo 𝑡, ou seja, um gráfico de 𝑥(𝑡). A partir 
dos dados de posição e tempo, podemos determinar a velocidade média, medv , do objeto entre 
dois instantes 𝑡1 e 𝑡2 como: 
t
x
tt
xx
vmed


=
−
−
=
12
12 (1) 
em que 𝑥1 e 𝑥2 são as posições nos instantes 𝑡1 e 𝑡2, respectivamente. Em um gráfico de 𝑥(𝑡), 
medv é a inclinação da reta secante que liga os pontos de coordenadas (𝑡1,, 𝑥1) e (𝑡2, 𝑥2). 
Objetos em movimento frequentemente sofrem variações em sua velocidade. Neste caso, 
a velocidade em um dado instante é obtida a partir da velocidade média reduzindo o intervalo de 
tempo ∆𝑡 até torná-lo próximo de zero. Quando ∆𝑡 diminui, a velocidade média se aproxima cada 
vez mais de um valor limite, que é a velocidade instantânea: 
dt
dx
t
x
v
t
=


=
→
lim
0
 (2) 
Em um gráfico de 𝑥(𝑡) a velocidade instantânea 𝑣, em qualquer instante, é a inclinação da curva 
secante que representa a posição em função do tempo no instante considerado. 
Quando a velocidade do objeto varia, diz-se que o objeto sofreu uma aceleração. Para 
movimentos unidimensionais a aceleração média em um intervalo de tempo ∆t é: 
 
t
v
tt
vv
amed


=
−
−
=
12
12 (3) 
 
32 
onde a partícula tem velocidade 𝑣1, no instante 𝑡1 e velocidade 𝑣2, no instante 𝑡2. A aceleração 
instantânea (ou, simplesmente aceleração) é dada por: 
dt
dv
t
v
a
t
=


=
→
lim
0
 
Graficamente, a aceleração instantânea em qualquer instante é a inclinação da curva tangente 
em um gráfico 𝑣(𝑡). 
 
2 – Parte Experimental 
Objetivos: Aprender a construir e interpretar gráficos dos movimentos uniformes e variados 
unidimensionais. 
 
Material Utilizado: Plano inclinado com sensores e cronômetro. 
Procedimentos 1: Movimento Retilíneo Uniforme 
1. Monte o equipamento, conforme Figura 1 (a), com uma inclinação de 150. 
 
 
 
 (a) (b) 
Figura 1: Esfera em um tubo inclinado com fluido viscoso (fonte: www.cidepe.com.br). 
 
2. Com auxílio do imã posicione a esfera, que está no interior do tubo com meio viscoso, a 20 
mm antes da marca 0 mm da escala – Figura 1 (b). 
3. Libere a esfera e meça o intervalo de tempo transcorrido desde a passagem da esfera pela 
posição 𝑥0 = 0 m até a posição 𝑥0 = 0,100 m. Repita o procedimento para as posições 
especificadas na Tabela 1. 
 
(𝑥 ± 0,001) m 0 0,100 0,200 0,300 0,400 
(𝑡 ± 3%) s 0 
Tabela 1: Posição x da esfera em função do tempo t, quando o ângulo de inclinação do tubo é 150. 
4. Com os dados da Tabela 1 e com auxílio do programa Scidavis, construa o gráfico de 
𝑥(𝑡). 
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.cidepe.com.br/assets/img/content/products/plano_inclinado_kersting_eq001f_004.jpg&imgrefurl=http://www.cidepe.com.br/pt/produtos/engenharia/fenomenos-de-transporte/plano-inclinado-kersting-eq001f&h=450&w=640&tbnid=1DI6xGY5a7DifM:&zoom=1&docid=3fO-ccZAq0IPgM&itg=1&ei=GG7eVMO_MoaxyASxu4LAAQ&tbm=isch&ved=0CCwQMygPMA8
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.cidepe.com.br/assets/img/content/products/plano_inclinado_kersting_eq001f_001.jpg&imgrefurl=http://www.cidepe.com.br/pt/produtos/arquitetura/todos/plano-inclinado-kersting-eq001f&h=331&w=640&tbnid=A0OPf0cQN7f9mM:&zoom=1&docid=Z8lpsILIKwOmsM&ei=GG7eVMO_MoaxyASxu4LAAQ&tbm=isch&ved=0CCgQMygLMAs
 
33 
5. Este gráfico é linear? Qual o significado físico da inclinação da reta (coeficiente angular)? 
6. Determine, através do gráfico de 𝑥(𝑡), o módulo da velocidade da esfera. 
7. No movimento retilíneo uniforme a velocidade é constante e a função posição em função 
do tempo é 𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣𝑡. Então, escreva esta função parao movimento da esfera e 
determine a posição que a esfera deveria ocupar após 10 s de movimento. 
 
Procedimentos 2: Movimento Retilíneo Acelerado (Apenas para os laboratórios do Coração 
Eucarístico) 
1. Monte o equipamento, conforme a Figura 3, com uma inclinação de 20. 
 
Figura 3 Esfera metálica no Plano inclinado (fonte: www.cidepe.com.br) 
 
2. Libere a esfera do repouso, na calha lateral do plano inclinado, em 𝑥0 = 0 mm e meça o 
intervalo de tempo transcorrido até a esfera chegar à posição 𝑥 = 0,050 m. Repita o 
procedimento para as posições especificadas na Tabela 3 
 
(𝑥 ± 0,001) m 0 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400 
(𝑡 ± 3%) s 0 
Tabela 3: Posição x da esfera em função do tempo t, quando o ângulo de inclinação do plano é 20. 
 
3. Com os dados da Tabela 3 construa o gráfico de 𝑥(𝑡). 
4. Qual é o significado físico da inclinação da reta tangente a um ponto da curva 𝑥(𝑡)? 
5. O que acontece com a inclinação da reta tangente a cada ponto da curva 𝑥(𝑡) à medida 
que o tempo passa? 
6. Aceleração do movimento é zero ou diferente de zero? 
No movimento retilíneo uniformemente variado a aceleração é constante e a função posição em 
função do tempo é 𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 + (𝑎𝑡
2) 2⁄ . Fazendo-se 𝑥0 = 0 e 𝑣0 = 0, a função resume-se 
a 
 𝑥(𝑡) =
1
2
𝑎𝑡2 
Discuta com seu grupo de trabalho e seu professor procedimentos simples para determinar 
experimentalmente a aceleração do objeto a partir dos dados da Tabela 3. 
 
 
34 
Procedimentos 3: Movimento Retilíneo Acelerado (Atividade para os laboratórios das 
unidades Contagem, Praça da Liberdade e São Gabriel) 
1. Monte o equipamento, conforme Figura 2, com uma inclinação de 50. 
 
Figura 2- Plano Inclinado CIDEPE com sensor (fonte: www.cidepe.com.br) 
 
2. A primeira faixa azul da régua sobre o objeto móvel deve tangenciar a abertura do sensor. 
Esta será a posição 𝑥0 = 0. 
3. Meça a posição do objeto móvel em função do tempo. Consulte as instruções de manuseio 
do multicronômetro. Anote os resultados na Tabela 2. 
 
 
(𝑡 ± 3%) s (𝑥 ± 0,001) m 
0 0 
 0,018 
 0,036 
 0,054 
 0,072 
 0,090 
 0,108 
 0,126 
 0,144 
 0,162 
 0,180 
Tabela 2: Posição x do objeto móvel em função do tempo t. 
 
4. Com os dados da Tabela 2, construa o gráfico de 𝑥(𝑡). 
5. Qual é o significado físico da inclinação da reta tangente a um ponto da curva 𝑥(𝑡)? 
6. O que acontece com a inclinação da reta tangente a cada ponto da curva 𝑥(𝑡) à medida 
que o tempo passa? 
7. Aceleração do movimento é zero ou diferente de zero? 
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.cidepe.com.br/assets/img/content/products/plano_inclinado_sensores_multicronometro_eq001p_1.jpg&imgrefurl=http://www.cidepe.com.br/pt/produtos/conjuntos/conjuntos-de-fisica/plano-inclinado-com-sensores-e-multicronometro-de-rolagem-de-dados-eq001p&h=450&w=640&tbnid=oZQnkG-veteSfM:&zoom=1&docid=cve4ULf1V2wrPM&ei=GG7eVMO_MoaxyASxu4LAAQ&tbm=isch&ved=0CCoQMygNMA0
 
35 
8. No movimento retilíneo uniformemente variado a aceleração é constante e a função 
posição em função do tempo é 𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 + (𝑎𝑡
2) 2⁄ . Fazendo-se 𝑥0 = 0 e 𝑣0 = 0, a 
função resume-se em 𝑥(𝑡) = 𝑎𝑡2 2⁄ . Discuta com seu grupo de trabalho e seu professor 
procedimentos simples para determinar experimentalmente a aceleração do objeto a partir 
dos dados da Tabela 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
movimento de um projétil 
 
1. Introdução 
 
Um projétil é um corpo que se move em um plano vertical com velocidade inicial �⃗� e com 
uma aceleração constante igual à aceleração de queda livre �⃗�, dirigida para baixo. A Figura 1 
mostra a trajetória de um projétil após abandonar uma superfície horizontal com velocidade 
horizontal �⃗� e onde o efeito do arraste do ar pode ser ignorado. Durante esse movimento 
bidimensional deste projétil a velocidade �⃗� aumenta continuamente. Como o vetor aceleração da 
gravidade �⃗� só possui componente vertical, o projétil não possui aceleração horizontal. Portanto 
de acordo com a figura 1, a componente horizontal da velocidade permanece constante e a 
componente vertical aumenta continuamente. 
O movimento de projéteis parece complicado, mas temos a seguinte propriedade 
simplificadora (demonstrada experimentalmente): 
No movimento de projéteis, o movimento horizontal e o movimento vertical são 
independentes, ou seja, um não afeta o outro e ocorrem ao mesmo tempo. 
 
 
Figura 1: Trajetória de um projétil ao abandonar uma superfície horizontal com velocidade �⃗⃗⃗�. São mostradas 
as velocidades em alguns pontos ao longo da trajetória, juntamente com suas componentes. Observe que a 
componente horizontal da velocidade permanece constante, mas a componente vertical aumenta 
continuamente. 
 
Esta propriedade permite decompor um problema que envolve um movimento 
bidimensional em dois problemas unidimensionais independentes e mais fáceis de serem 
resolvidos, um para o movimento horizontal (com aceleração nula), no qual 
tvx x= (1)
 
e outro para o movimento vertical (com aceleração constante igual a �⃗� para baixo), no qual 
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑦 𝑡 + 
𝑔𝑡2
2
 (2) 
 
37 
2 – Parte Experimental 
Objetivo: Comparar as características dos movimentos ao longo dos eixos x e y, ou seja, verificar 
se o movimento do projétil é descrito pelas equações (1) e (2). 
 
Material Utilizado: Uma esfera de metal, uma rampa de altura ajustável, uma régua e um 
cronômetro. 
 
Procedimentos: 
 
 
Figura 2: Uma esfera parte do repouso no ponto A e abandona uma superfície horizontal ao passar pelo 
ponto B. A esfera percorre uma distância horizontal x, com velocidade horizontal constante, até chocar-se 
com um anteparo. 
 
1. Abandone a esfera no topo da rampa, a uma altura h em relação à mesa. 
2. Posicione o anteparo a uma distância horizontal 𝑥 da rampa. 
3. Meça o tempo do movimento da esfera, a partir do momento em que deixa a rampa até se 
chocar com o anteparo. 
4. Meça a distância vertical 𝑦 que a esfera percorre da posição B até se chocar com o 
anteparo. Varie a distância 𝑥 e repita os procedimentos anteriores. Anote todos os 
resultados na Tabela 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
𝒙 (m) 𝒚 (m) 𝒕(s) 
0,100 
0,200 
0,300 
0,400 
0,500 
0,600 
0,700 
0,800 
Tabela 1: Distância horizontal x e distância vertical y que o projétil percorre em um intervalo de tempo t. 
 
 
3. Analise de dados e Cálculos 
a) Construa o gráfico 𝑥 versus 𝑡 , com auxílio do programa Scidavis. Faça uma 
regressão linear e determine a componente horizontal 𝑣0𝑥 da velocidade de 
lançamento, com sua respectiva incerteza, comparando a equação empírica obtida 
com a equação (1). 
b) Construa o gráfico 𝑦 versus 𝑡, com auxílio do programa Scidavis. Utilizando um 
ajuste polinomial de grau 2, determine os valores de 𝑦0 , 𝑣0𝑦 e de 𝑔, com suas 
respectivas incertezas, comparando a equação empírica obtida com a equação (2). 
c) Construa o gráfico 𝑦 versus 𝑡2 , com auxílio do programa Scidavis. Faça a 
regressão linear e, considerando que 𝑣𝑜𝑦 = 0, determine novamente os valores de 
𝑦0 e 𝑔. 
d) Com os resultados obtidos de 𝑣0𝑥 , 𝑣0𝑦 e 𝑔 , escreva as equações para as 
componentes 𝑣𝑥 e 𝑣𝑦 da esfera em função do tempo. 
e) Calcule o módulo da velocidade e a direção (o ângulo) da velocidade, medido em 
relação ao eixo 𝑥, no instante 𝑡 = 0,5 𝑠. 
f) Escreva a equação para a trajetória da esfera, que deve ser uma parábola (quando 
se despreza a resistência do ar). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
Atrito Estático e cinético 
 
Atrito estático 
 
1. Introdução 
 
 A força de atrito estático, 𝑓𝑒, atua em um corpo em repouso em relação a uma superfície, sempre 
que o mesmo tende a deslizar sobre esta superfície. Essa força varia desde zero, quando não há 
tendência de movimento do corpo relativo à superfície,até o valor máximo, quando o corpo estiver na 
iminência de se mover relativamente à superfície, ou seja: 
 
0 ≤ 𝑓𝑒 ≤ 𝜇𝑒𝑁 
 
onde 𝜇𝑒 é o coeficiente de atrito estático (depende basicamente da natureza das superfícies e é 
praticamente independente da área de contato entre elas) e 𝑁 a força que a superfície exerce sobre o 
corpo, sempre normal ao ponto ou região de contato. Daí a força de atrito estático máxima é 
 
𝑓𝑒,𝑚𝑎𝑥 = 𝜇𝑒𝑁 
 
 Nessa prática serão estudadas duas maneiras simples de se determinar o coeficiente de atrito 
estático entre duas superfícies. 
 
2 – Parte Experimental 
Objetivo: Determinar o coeficiente de atrito estático entre duas superfícies. 
 
Material necessário: 
- 01 plano inclinado com escala de 0 a 45º; 
- 01 rampa auxiliar; 
- 01 corpo de prova de madeira com uma face esponjosa; 
- 01 cilindro maciço; 
- 01 dinamômetro; 
- 01 balança digital. 
 
Procedimento 1: determinação de µe usando dinamômetro 
 
- Determine a massa do corpo de prova: 
1) Com o plano inclinado na horizontal, coloque o bloco sem carga com a face de madeira sobre a rampa 
auxiliar, conectado ao dinamômetro paralelo à superfície, conforme a Figura 1. 
 
 
Figura 1: montagem da prática. 
 
40 
 
Aumente gradativamente a força aplicada através do dinamômetro. 
2) Registre o valor aproximado da menor força aplicada capaz de iniciar o movimento entre as superfícies 
(não se esqueça da incerteza): 
- Desenhe um diagrama de forças atuando sobre o bloco. Determine o valor da força normal, 𝑁, entre a 
mesa e o bloco. 
- Como 
𝑓𝑒,𝑚𝑎𝑥 = 𝐹𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑟 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
 
determine o valor do coeficiente de atrito estático entre as duas superfícies. 
 
 
3) Repita todo o procedimento colocando uma carga (cilindro maciço) de massa 𝑚 = ___________𝑘𝑔 sobre o 
bloco. 
 
Responda e justifique as questões abaixo: 
 
- Por que as forças externas aplicadas inicialmente, dentro de um certo limite, não foram suficientes para 
movimentar o bloco? 
 
- Há diferença na estimativa da força mínima para iniciar o movimento nos dois casos (com e sem carga 
sobre o bloco)? E em relação à força normal agindo sobre o bloco nos dois casos? 
 
- Houve diferença na estimativa do coeficiente de atrito estático entre as superfícies nos dois casos? 
 - Haveria alguma diferença se a face esponjosa do bloco estivesse em contato com a rampa 
auxiliar? 
 
Procedimento 2: determinação de µe usando plano inclinado 
 
- Monte o plano inclinado com a rampa auxiliar (que deve estar limpa antes de começar o experimento). 
Coloque o corpo de prova com a face de madeira em contato com a rampa auxiliar, com pequeno ângulo 
de inclinação, de modo que o bloco fique estático. 
- Desenhe um diagrama de corpo livre do bloco na rampa. 
- Demonstre que quando o objeto está na iminência de se mover, na inclinação crítica θc, o coeficiente de 
atrito estático é dado por 
𝜇𝑒 = 𝑡𝑎𝑛𝜃𝑐 
1) Eleve com a mão a inclinação da rampa lentamente, até que o objeto esteja prestes a se mover. Anote o 
valor desse ângulo crítico na Tabela 2, e estime o correspondente valor de µe; 
 
2) Diminua a inclinação da rampa, e repita o procedimento (1) por cinco vezes. 
 
3) Calcule o valor médio e o desvio médio de θc. e µe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
i 
Face de madeira 
θ µe 
1 
2 
3 
4 
5 
Média 
Desvio médio 
Tabela 2: medidas do ângulo crítico e coeficiente de atrito estático 
 
- Considerando uma tolerância de 10%, as estimativas de µe entre os procedimentos 1 (sem carga) e 2 são 
diferentes? Se sim, explique porque, já que as superfícies são as mesmas. 
 
Atrito Cinético 
3. Introdução 
 
 A força de atrito cinético é aquela que age sobre um corpo quando em movimento relativo à 
superfície de apoio. Em se tratando de superfícies sólidas, a experiência tem mostrado que a força de 
atrito é praticamente constante e depende apenas das superfícies e da força normal que uma superfície 
exerce sobre a outra. A força de atrito cinético é dada por: 
 
𝑓𝑐 = 𝜇𝑐𝑁 
 
onde 𝜇𝑐 é o coeficiente de atrito cinético e 𝑁 é a força normal que a superfície exerce sobre o corpo, 
sempre normal ao ponto ou região de contato. O coeficiente de atrito é uma quantidade adimensional e 
deve ser determinado experimentalmente. Seu valor depende das propriedades do corpo e da superfície 
em que este está em contato. Em geral, o coeficiente de atrito cinético é menor que o coeficiente de atrito 
estático. Portanto, a intensidade da força de atrito cinético é menor do que a intensidade máxima da força 
de atrito estático que age sobre o corpo em repouso. 
 
4 – Parte Experimental 
1. Abandone o objeto sobre uma superfície inclinada, em relação à horizontal, conforme Figura 1, 
para que o objeto desça em movimento acelerado. 
2. Meça o tempo para o objeto percorrer as distâncias 𝑑1 = 0,10 m, 𝑑2 = 0,20 m, etc.. Anote os 
resultados na Tabela1. 
 
42 
 
Figura 1: Um objeto é abandonado sobre uma superfície inclinada para descer em movimento acelerado. 
 
𝑑 (m) 0 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800 0,900 1,000 
𝑡 (s) 0 
𝑡2(s2) 0 
Tabela1: distância 𝒅(m) percorrida pelo objeto, sobre um plano inclinado, em um tempo t(s). 
 
O movimento do objeto sobre o plano inclinado é acelerado, com aceleração 𝑎 constante. 
Portanto, seu movimento é descrito pela equação. 
𝑑 = 
𝑎
2
𝑡2, (3) 
Considerando que o objeto parte do repouso, isto é, com velocidade inicial igual a zero. 
3.Construa o gráfico 𝑑 versus 𝑡, com auxílio do programa Scidavis. O resultado está de acordo 
com o esperado? 
4.Construa o gráfico 𝑑 versus 𝑡2, com auxílio do programa Scidavis. Faça uma regressão linear e 
determine a aceleração do movimento, com sua respectiva incerteza, comparando a equação 
empírica obtida com a equação (3). 
5. Meça a massa do objeto e determine a força resultante que atua sobre ele. 
6. Faça um desenho, mostrando todas as forças que atuam no objeto. 
7. Determine o módulo da força de atrito que atua no objeto. 
Observação: Neste cálculo você precisará do valor do ângulo de inclinação da superfície. Uma 
sugestão é medir as dimensões 𝑥 e 𝑦, mostradas na Figura 1, e considerar que 𝜃 = tan−1(𝑦/𝑥). 
8. Determine o módulo da força normal que age sobre o objeto. 
9. Determine o coeficiente de atrito cinético entre o objeto e a superfície. 
 
43 
 
Princípio de Arquimedes 
 
1 – Introdução 
 
Um objeto, ao ser mergulhado em um fluido qualquer, fica sujeito a uma força de baixo 
para cima devida à diferença entre as pressões nas partes superior e inferior desse objeto. O 
módulo 𝐸 dessa força, chamada de empuxo, é igual ao peso do fluido contido em um volume 
idêntico ao volume submerso do corpo no fluido, ou seja, 
𝐸 = 𝜌𝑔𝑉, 
em que 𝜌 é a densidade do fluido, 𝑔 é a aceleração da gravidade e 𝑉 é o volume submerso do 
corpo no fluido. Esse resultado é conhecido como Princípio de Arquimedes. Considere o objeto 
pendurado em um dinamômetro, como mostrado na parte a da Figura 1. Nessa situação, a leitura 
no dinamômetro é 𝑃. Em seguida, esse objeto é imerso em um líquido e, ao atingir o equilíbrio, a 
leitura no dinamômetro passa a ser 𝑃’, como mostrado na parte b da mesma figura. Note-se que, 
nessa situação, 
𝑃´ = 𝑃 − 𝜌𝑔𝑉. 
Então, medindo-se o peso aparente 𝑃’ e o volume 𝑉 submerso do objeto, pode-se 
determinar a densidade do líquido. 
 
Figura 1: Representação das forças que agem sobre um objeto. Em (a), o dinamômetro 
indica o peso P; em (b), o dinamômetro indica o peso aparente P’. Figura adaptada da Ref. 
[1]. 
 
2 – Parte Experimental 
 
 
44 
Objetivo: Determinar a densidade de um líquido. 
 
Material Utilizado: cilindro de alumínio graduado, paquímetro, béquer de 250 ml, dinamômetro, 
líquido de densidade desconhecida, haste com suporte. 
 
Procedimentos: 
• Utilizeo dinamômetro para determinar o peso do cilindro de alumínio, com sua respectiva 
incerteza avaliada (incerteza ou desvio avaliado é a metade da menor divisão do 
aparelho). 
 
𝑃 = _________________________ 
 
• Meça com o paquímetro o diâmetro d e a altura h do cilindro de alumínio. Anote os 
resultados com as respectivas incertezas avaliadas. 
 
𝑑 = _____________ ℎ = _____________ 
 
• O volume do cilindro de alumínio é 
𝑉 =
𝜋𝑑2
4
ℎ. 
O desvio absoluto ∆𝑉 do volume pode ser obtido pela relação 
∆𝑉
𝑉
= 2
∆𝑑
𝑑
+
∆ℎ
ℎ
 
em que ∆𝑑 e ∆ℎ são os desvios avaliados de 𝑑 e ℎ, respectivamente. Então, especifique o 
volume do cilindro com sua respectiva incerteza. 
 
𝑉 = _______________ 
 
• Mergulhe o cilindro, ainda pendurado no dinamômetro, gradualmente no líquido. Para cada 
graduação do cilindro, registre o valor do peso aparente 𝑃´e o volume mergulhado 𝑉. Anote 
os resultados em uma tabela. 
• Construa o gráfico de 𝑃´em função de 𝑉, com auxílio do programa Scidavis. Faça uma 
regressão linear para obter uma equação empírica do tipo 𝑃´ = 𝑎𝑉 + 𝑏, na qual 𝑎 e 𝑏 são 
os coeficientes angular e linear da reta, respectivamente. 
• Qual é o significado físico do parâmetro 𝑏? Compare-o com o resultado esperado. 
• Qual é o significado físico do parâmetro 𝑎? Determine a densidade do líquido. 
 
45 
• Compare o resultado encontrado com os valores mostrados na Tabela 1 e veja se é 
possível identificar o líquido utilizado. 
 
Líquido 𝝆 (g/cm3) 
Água 1,00 ± 0,01 
Benzeno 0,90 ± 0,01 
Etanol 0,80 ± 0,02 
Éter 0,72 ± 0,01 
Glicerina 1,26 ± 0,01 
Mercúrio 13,6 ± 0,1 
Tabela1: Densidades de alguns líquidos à temperatura ambiente (20ºC). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
Princípio de Bernoulli 
 
1 – Introdução 
Nesta prática teremos a oportunidade de utilizar as equações de continuidade e de 
Bernoulli para prever qual seria a velocidade de escoamento de água por um furo em uma garrafa 
PET. Faremos medidas que nos permitirão medir essa velocidade e assim verificar a validade dos 
cálculos feitos. 
 
 
2 – PARTE EXPERIMENTAL 
1. Coloque um par de gominhas como na foto. Nosso objetivo é calcular de três formas 
diferentes qual será a vazão de saída da água pelo furo quando o nível da água da garrafa 
estiver entre as gominhas. Estas gominhas devem ter uma distância de cerca de 2 cm 
entre si e devem ficar no ponto mais alto possível, antes da garrafa afunilar. 
 
2. Encha a garrafa PET de água. Deixe que a água escorra pelo furo e observe. 
 
3. Primeiro vamos obter uma previsão da velocidade de escoamento da água sem observar o 
vazamento em si, vamos medir apenas as condições do vazamento, observando apenas a 
garrafa vazia. 
 
 
 
 
47 
1) Cálculo da velocidade DE ESCOAMENTO 
Cálculo da velocidade usando a equação de Bernoulli: A equação de Bernoulli nos 
permite estimar a velocidade de escoamento da água pelo furo em função da altura 
do nível da água. Meça essa altura e calcule a velocidade utilizando a equação de 
Bernoulli 
P + ρgh +
1
2
ρv2 = constante 
Dica: você pode aplicar a equação de Bernoulli utilizando o furo e o nível da água. 
Como a velocidade de escoamento pelo furo é muito maior que a velocidade de 
descida do nível da água, você pode considerar que esta velocidade de descida do 
nível da água é praticamente zero. As pressões nesses dois pontos são iguais à 
pressão atmosférica.) 
Agora vamos fazer medidas dessa velocidade observando o vazamento em si. Vamos 
medir a velocidade de escoamento por dois métodos diferentes. 
2) Cálculo da velocidade usando o movimento de projétil 
i. Após sair do furo, a água faz uma trajetória de movimento de projétil, sua 
velocidade de saída do furo é horizontal. 
ii. Medindo a altura que a água cai, ∆𝑦, a partir do furo até chegar ao “chão”, 
podemos calcular seu tempo de queda. Este movimento vertical da água é 
um movimento uniformemente acelerado com aceleração 𝑔=9,81m/s2. Sendo 
assim, vale ∆𝑦 = 𝑣0𝑦𝑡 + (1 2)𝑔𝑡
2⁄ , sendo 𝑣0𝑦 = 0. 
iii. Como o movimento horizontal de um projétil tem velocidade constante, temos 
que a velocidade com a qual a água sai do furo é igual ao alcance horizontal 
da água percorrido durante a queda, 𝑥, dividido pelo tempo de queda: 𝑣 = 𝑥/
𝑡. (O tempo de queda foi calculado no item anterior.) 
iv. Faça as medidas de 𝑥 e ∆𝑦 e utilize-as para calcular a velocidade da água ao 
sair da garrafa. 
 
3) Cálculo da velocidade usando a equação de continuidade: 
Podemos medir a velocidade de descida do nível da água dividindo a distância entre as 
gominhas pelo tempo que o nível gasta para descer de uma até outra. Faça as medidas 
e calcule essa velocidade. 
i. Faça medidas que te permitam calcular a área da seção reta da garrada. 
ii. Faça medidas que te permitam calcular a área da seção reta do furo. 
 
48 
iii. Utilize a equação de continuidade de escoamento dos fluidos, as áreas da 
seção reta da garrafa e do furo e a velocidade medida da descida no nível da 
água na garrafa para calcular a velocidade da água ao sair pelo furo. 
 
Análise dos resultados e cálculos 
a. Encontre um valor médio para a velocidade utilizando os três resultados obtidos. 
b. Calcule a vazão de água pelo furo através do valor de velocidade encontrado. 
c. Calcule em quanto tempo a garrafa, com 2 litros de água, esvaziaria mantivesse 
essa vazão continuamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
Sistema Massa-Mola 
 
 
1 – Introdução 
 
 Na Figura 1, um objeto de massa 𝑚 pendurado, em equilíbrio, na extremidade de uma 
mola de constante elástica 𝑘 e de massa desprezível produz, nela, um alongamento 𝑥0. A mola 
faz uma força 𝐹 contrária, tendendo a voltar ao seu comprimento original, proporcional à sua 
elongação. Matematicamente escrevemos: 
𝐹 = −𝑘𝑥0 (1) 
 Na situação de equilíbrio (repouso), o módulo do peso do objeto é igual ao módulo da 
força que a mola exerce nele, ou seja, 
 
𝑘𝑥0 = 𝑚𝑔 (2) 
 
 
Figura 1: Uma mola sofre uma deformação x0, quando um objeto de peso P é colocado em sua extremidade. 
Na situação de equilíbrio a mola exerce sobre o objeto uma força de módulo 𝑭 = 𝑷. 
 
 Fazendo-se um pequeno deslocamento 𝑥𝑚, a partir da posição de equilíbrio, e soltando-se 
o objeto, o sistema passa a oscilar, executando um movimento periódico (Movimento Harmônico 
simples). Sabe-se, pela 2ª lei de Newton, que 
𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
. 
No caso da mola, escreve-se 
−𝑘𝑥 = 𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
. (3) 
Na equação (3) 𝑥 é a posição do objeto, em relação à posição de equilíbrio 𝑥0. Como a posição 
do objeto varia com o tempo, deve-se encontrar uma função x(t) que seja solução da equação 
 
50 
diferencial (3). Uma das soluções possíveis desta equação, e que se ajusta à nossa situação 
física é: 
𝑥 = 𝑥𝑚 cos(𝜔𝑡), (4) 
com 
𝜔 = √
𝑘
𝑚
 . (5) 
Para interpretar a constante 𝜔, denominada frequência angular do movimento periódico, notamos 
primeiramente que o deslocamento 𝑥(𝑡) deve ser igual a 𝑥(𝑡 + 𝑇) , onde T é o período do 
movimento. Nesse caso podemos escrever: 
𝑥𝑚 cos(𝜔𝑡) = 𝑥𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜔𝑇) 
 Como a função cosseno se repete pela primeira vez quando o argumento aumenta 2𝜋 rad, 
conclui-se que: 
𝜔𝑇 = 2𝜋, 
ou seja, 
𝜔 =
2𝜋
𝑇
. (6) 
2 – Parte Experimental 
 
Objetivo: Determinar a constante elástica de uma mola. 
Material Utilizado: régua, cronômetro, suporte e objetos de massas conhecidas. 
Procedimento 1: 
• Monte o experimento, conforme figura 1, colocando apenas um objeto na extremidade da 
mola. 
• Meça o comprimento 𝑥0. 
• Acrescente os demais objetos, um por vez, e meça o comprimento 𝑥0. Anote os resultados 
na Tabela 1. 
 
 
 
 
51 
𝑚 (kg) 0 
𝐹 (N) 0 
𝑥0 (m) 0 
Tabela 1: Valores da massa colocada na extremidade da mola e os correspondentesvalores da força 
elástica F e deformação 𝒙𝟎. 
 
• Construa o gráfico 𝐹 versus 𝑥0, com auxílio do programa Scidavis. Faça uma regressão 
linear e compare a equação empírica obtida com a equação (1) para determinar a 
constante elástica da mola. 
Procedimento 2: 
• Monte o experimento, conforme figura 1, colocando apenas um objeto na extremidade da 
mola. Dê um pequeno deslocamento vertical e meça o período de oscilação. 
Sugestão: Meça o tempo de cinco oscilações ou mais e divida o resultado pelo número de 
oscilações para obter o valor mais provável do período. 
• Acrescente os demais objetos, um por vez, e meça o período de oscilação. Anote os 
resultados na Tabela 2. 
• Use a equação (6) para calcular a frequência angular 𝜔. Complete a tabela. 
• Observe a equação (5) e pense qual gráfico linear deve ser construído para que a 
inclinação nos forneça k. Construa o gráfico com auxílio do programa Scidavis. Faça uma 
regressão linear e determine a constante elástica k através da equação empírica obtida. 
• Verifique se o valor encontrado é próximo do obtido no procedimento 1. 
𝑚 (kg) 
𝑇 (s) 
𝜔 (rad/s) 
Tabela 2: Período de oscilação T e frequência angular 𝝎 em função da massa m. 
 
 
 
 
 
 
 
52 
Pêndulo Simples 
 
1 – Introdução 
 
O pêndulo simples é um exemplo de oscilador harmônico simples no qual a força de 
retorno está associada à gravitação e não às propriedades elásticas de um fio ou de uma mola. O 
pêndulo simples é composto por uma partícula de massa 𝑚 suspensa por uma das extremidades 
de um fio inextensível, de massa desprezível e comprimento 𝐿, cuja outra extremidade está fixa, 
como na Figura 1. 
As forças que agem sobre a partícula de massa 𝑚 são a tração �⃗⃗� exercida pelo fio e a 
força gravitacional �⃗⃗� , como mostra a Figura 1, onde o fio faz um ângulo 𝜃 com a vertical. 
Decompomos P em uma componente radial 𝑃𝑐𝑜𝑠 𝜃 e uma componente 𝑃𝑠𝑒𝑛 𝜃 que é tangente à 
trajetória da partícula. A componente tangencial produz um torque restaurador em relação ao 
ponto fixo do pêndulo porque sempre age no sentido oposto ao do deslocamento do peso, 
tendendo a levá-lo de volta ao ponto central. O ponto central (𝜃 = 0) é chamado de posição de 
equilíbrio porque o pêndulo ficaria em repouso neste ponto se parasse de oscilar. 
 
Figura 1: As forças que agem sobre a partícula de massa 𝒎 são a tração �⃗⃗⃗� exercida pelo fio e a força 
gravitacional �⃗⃗⃗�. Figura adaptada da referência [1]. 
 
O torque restaurador pode ser escrito na forma 
𝜏 = −𝐿(𝑃𝑠𝑒𝑛 𝜃), (1) 
em que o sinal negativo indica que o torque age no sentido de reduzir 𝜃 e 𝐿 é o braço de alavanca 
da componente 𝑃𝑠𝑒𝑛 𝜃 da força gravitacional em relação ao ponto fixo do pêndulo. 
 
53 
De acordo com a segunda lei de Newton, o módulo do torque resultante 𝜏 é 
𝜏 = 𝐼𝛼, (2) 
na qual 𝐼 é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação 𝛼 =
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
 é a aceleração 
angular. Combinando as equações (1) e (2), e substituindo 𝑃 por 𝑚𝑔, obtemos 
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
= −
𝑚𝑔𝐿
𝐼
𝑠𝑒𝑛 𝜃. (3) 
Podemos simplificar a equação (3) supondo que o ângulo 𝜃 é pequeno, pois nesse caso podemos 
substituir 𝑠𝑒𝑛 𝜃 por 𝜃 (expresso em radianos). Usando essa aproximação, ficamos com 
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
= −
𝑚𝑔𝐿
𝐼
 𝜃. (4) 
 
Uma das soluções possíveis desta equação diferencial, e que se ajusta à nossa situação física é: 
𝜃 = 𝜃𝑀cos (𝜔𝑡 + 𝜑) (4) 
com 
𝜔 = √
𝑚𝑔𝐿
𝐼
 . (5) 
A constante 𝜔 é a frequência angular do movimento periódico. Como o período T de oscilação é 
2𝜋/𝜔, chegamos na seguinte equação para o período de um pêndulo de simples 
𝑇 = 2𝜋√
𝐼
𝑚𝑔𝐿
. (6) 
Lembrando que o momento de inércia de uma partícula que está a uma distância L do eixo de 
rotação é 𝐼 = 𝑚𝐿2, podemos escrever o período como 
𝑇 = 2𝜋√
𝐿
𝑔
. (7) 
A equação (7) é válida apenas para pequenas oscilações (𝜃 < 10°). 
2 – Parte Experimental 
 
Objetivo: Determinar a aceleração da gravidade. 
 
Material Utilizado: Barbante fino, objeto de massa 𝑚, cronômetro e régua. 
Procedimentos 
O experimento consiste em se medir o período do pêndulo em função de seu comprimento. Para 
isso você deve usar uma montagem como a representada na Figura 1. 
 
54 
• Varie o comprimento do pêndulo de 10 em 10 cm e meça o período de oscilação para cada 
comprimento (é aconselhável que a amplitude de oscilação seja pequena, e que você 
meça o tempo de 5 oscilações e divida por 5 para obter o período médio. Anote os 
resultados na Tabela 1. 
• Faça uma linearização da equação (7), isto é, pense qual gráfico linear deve ser construído 
para que a inclinação nos forneça uma informação para determinarmos o valor de 𝑔 . 
Construa o gráfico com auxílio do programa Scidavis. Faça uma regressão linear e 
determine a aceleração da gravidade local através da equação empírica obtida. 
 
( 𝐿 ± 0,001) 
m 
 
𝑇 (s) ± 5% 
Tabela 1: Período T de oscilação de um pêndulo simples em função de seu comprimento L. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
1 – Introdução 
Diferença de potencial e corrente elétrica são duas grandezas fundamentais em 
eletricidade. A diferença de potencial (ddp), também chamada de tensão elétrica, ou voltagem é 
definida como a razão entre o trabalho realizado por um campo elétrico sobre uma carga elétrica 
para desloca-la de um ponto a outro, é medida em VOLTS (V) e o instrumento usado para medi-la 
é o VOLTÍMETRO. A corrente elétrica, definida como a razão entre a quantidade de carga 
elétrica que passa por um trecho de circuito divida pelo tempo é uma contagem de cargas no 
tempo. É medida em AMPÈRES (A) e o instrumento usado para medi-la é o AMPERÍMETRO. 
Como o voltímetro vai medir uma diferença de potencial entre dois pontos, deve ser colocado em 
paralelo (Figura 1 (a)) com o componente de circuito, além do mais deve ter uma resistência 
interna muito grande, para que sua presença não interfira na corrente elétrica naquele trecho. O 
amperímetro deve ser ligado em série (Figura 1 (b)) no circuito, uma vez que se destina a medir 
corrente elétrica, que são cargas em deslocamento; essas cargas devem passar por ele também 
sua resistência interna deve ser muito menor que a do circuito, para não interferir no valor da 
corrente. 
 
 (a) (b) 
 
Figura 1- Diagrama esquemático mostrando a ligação dos medidores da ddp e da corrente em um 
componente de um circuito elétrico (a) Voltímetro (V) conectado em paralelo e (b) Amperímetro (A) 
conectado em série. 
 
As grandezas diferença de potencial (V) e corrente (i) em um componente elétrico estão 
relacionadas pela lei de Ohm 
𝑉 = 𝑅𝑖 (1) 
Onde 𝑅 é a resistência elétrica, propriedade do componente que determina o valor da corrente 
elétrica para uma dada diferença de potencial. 
Galvanômetro D´Arsonval 
Os medidores elétricos que incorporam medidas de tensão e corrente são chamados de 
Multímetros. A maioria dos multímetros se baseia no Galvanômetro dispositivo que usa o fato de 
 
56 
que uma corrente elétrica 𝑖𝑔 numa bobina condutora, em presença de um campo magnético 
(gerado por um imã permanente), resulta num torque sobre a bobina. Num galvanômetro este 
torque é mostrado como deflexão de um ponteiro, que volta a posição original devido à presença 
de uma mola. 
 
Figura 1 Diagrama esquemático de um Galvanômetro de d'Arsonval (1882) 
 
Quando uma corrente 𝑖𝑔 circula na bobina, o campo magnético do ímã permanente produz um 
torque 𝜏 sobre ela, dado por: 
𝜏 = 𝐶𝑛𝐵𝑖𝑔 (2) 
Nessa equação, 𝐵 é o campo magnético devido ao ímã permanente e 𝑛 é o número de espiras da 
bobina. A constante 𝐶 é um fator que depende de como o galvanômetro foi construído.