Valores Esperado

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Maria Lucinda Silva
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· 
· 
· 
· Universidade Zambeze
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Beira, Abril de 2020
Índice
Introdução	3
Valores Esperado	4
Valor Esperado: Caso Discreto	4
Valor Esperado: Caso continuo	5
Valor esperado de uma variável aleatória	5
Exemplos	6
Propriedades do valor esperado	7
Exercícios Resolvidos	7
Conclusão	9
Bibliografia	10
Introdução
Valor esperado é um conceito estatístico que caracteriza a soma das probabilidades de cada possibilidade de saída de um experimento aleatório multiplicada pelo seu valor. Isto é, representa o valor médio esperado de uma experiência se ela for repetida muitas vezes. Em actuária, valores esperados é basicamente o resultado que se espera obter com uma variável aleatória, ou um conjunto delas, multiplicado pela probabilidade de ocorrência dessas variáveis, acrescido de um factor de capitalização financeira, que visa manter o valor do dinheiro durante o tempo. Por representar o valor de equilíbrio entre receitas e despesas de determinado produto, a valor esperado também é conhecida como preço puro ou preço de custo.
Valores Esperado
O valor esperado, também chamado esperança matemática, de uma variável aleatória é a soma do produto de cada probabilidade de saída da experiência pelo seu respectivo valor. Isto é, representa o valor médio "esperado" de uma experiência se ela for repetida muitas vezes.
Valor Esperado: Caso Discreto
Seja x uma variável aleatória discreta, com valores possíveis x1, x2, ..., xn, ... Seja p(xi)=P(X= xi), i = 1,2,...,n então o valor esperado de x, denotado por E(X) será:
)
Se a série convergir absolutamente:
O valor esperado pode ser compreendido intuitivamente como a média ponderada dos possíveis valores de x. Caso os valores de x sejam igualmente prováveis, tem-se a média aritmética.
Apesar da semelhança entre média ponderada e E(X), existe uma diferença fundamental 
entre elas:
· E(X) é um parâmetro de uma distribuição de probabilidade teórica, ou seja, é um valor teórico.
· é a média ponderada, o resultado de uma combinação de um conjunto numérico – valor empírico.
Se o experimento for realizado n vezes, originando os valores x1, x2,...,xn (são as n medições repetidas das características numéricas de x).
· é a média ponderada e está próxima de E(x) em certo sentido se n for suficientemente grande.
· Da mesma forma a fA frequência relativa estão próximas de pA probabilidade.
Valor Esperado: Caso continuo
Seja x uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade f(x), assim o valor esperado ou E(X) será:
E[x] existirá somente se:
 for finita
E(X) é o que se chama de primeiro momento de uma distribuição de probabilidade e fornece uma medida de posicionamento da distribuição podendo também ser representada o centro de gravidade da distribuição de probabilidade.
Valor esperado de uma variável aleatória
Para uma variável aleatória discreta com valores possíveis , , , … e com as suas probabilidades representadas pela função  , o valor esperado calcula-se pela série:
)
Para uma variável aleatória contínua X o valor esperado calcula-se mediante o integral de todos os valores da função de densidade :
Generalizando, seja g uma função que toma valores no espaço amostral de X. Então temos:
e
Deve-se notar que, no caso geral,  não comuta com a função g, ou seja:
Exemplos
Exemplo1
Considere uma carteira de seguros com a seguinte função de probabilidade.
	S(MTN)
	0
	1000
	2000
	3000
	4000
	5000
	6000
	𝑃(𝑆)
	0,35
	0,31
	0,155
	0,13
	0,04
	0,01
	0,005
A seguradora determina que irá cobrar dos seus segurados um prémio baseado no quanto esperam gastar com indemnizações, porém esse valor não deve exceder 4000MT. Calcule o valor esperado sujeito a esse limite.
Exemlo2:
Considerando o experimento de lançar uma moeda 2 vezes, sendo X = número de caras, temos:
	X 
	0 
	1 
	2 
	P(X=x) 
	1/4 
	1/2 
	1/4 
	
	
	
	
Exemplo3:
Uma seguradora paga 30.000 MT em caso de acidente de carro, sendo que a taxa cobrada é de 1000 MT. Sabe-se que a probabilidade de um carro sofrer acidente é de 3%. Quanto a seguradora espera ganhar por carro segurado? 
Definindo G: ganho da seguradora, temos que a distribuição de G é:
	G 
	-29.000 
	1000 
	P(G=g) 
	0,03 
	0,97 
E(G)=-29.000(0,03)+1000(0,97)=100.
Ou seja, é esperado que a seguradora ganhe 100 MT por cada carro segurado.
Propriedades do valor esperado
O valor esperado de uma constante é a própria constante, ou seja, se C é uma constante, então decorre imediatamente de que E(C)=C.
Multiplicando-se uma v.a. X por uma constante C, seu valor esperado fica multiplicado por C, isto é, E(CX)=CE(X).
O valor esperado do produto de duas v.a independentes X e Y é o produto dos valores esperados, isto é, se X e Y são independentes, então E(XY)=E(X)E(Y).
Nas seguintes propriedades, X e Y são variáveis aleatórias, a, b, c são constantes.
 
E para duas variáveis aleatórias:
Estas propriedades podem ser generalizadas para qualquer número de variáveis aleatórias.
Exercícios Resolvidos
1. Considerando X com função distribuição de probabilidade qual o valor esperado de x.
2. Para X = nº de caras em 2 lançamentos de uma moeda, determinar o valor esperado de Y=X2+1. 
Como sabemos, a distribuição de X é:
	X 
	0 
	1 
	2 
	P(X=x) 
	1/4 
	1/2 
	1/4 
E(Y)=E(X2+1)=(02+1).1/4+(12+1).1/2+(22+1).1/4=
=1/4+1+5/4=10/4
5/2.
3. Considerando (X,Y) com distribuição conjunta:
	y 
	1 
	2 
	3 
	x 
	
	
	
	1 
	0 
	1/6 
	1/6 
	2 
	1/6 
	0 
	1/6 
	3 
	1/6 
	1/6 
	0 
Calcular o valor esperado de Z=XY.
E(Z) = E(XY) =1.1.0+1.2(1/6)+1.3(1/6)+2.1(1/6)+2.2.0+2.3(1/6)+3.1(1/6)+3.2(1/6)+3.3.0
=0+2/6+3/6+2/6+0+1+3/6+1+0
E(XY)=11/3.
4. Determine o valor esperado do número de solicitações de empréstimos aprovados por semana (X)
	X 
	P[X = xi ]
	xi P[X = xi ]
	0 
	0,1
	0
	1 
	0,1
	0,1
	2 
	0,2
	0,4
	3
	0,3
	0,9
	4
	0,15
	0,6
	5
	0,1
	0,5
	6
	0,05
	0,3
	Total
	1
	2,8
5. 
Conclusão
Valor esperado de uma variável aleatória, um dos conceitos mais relevantes da Teoria das Probabilidades. A esperança matemática é crucial uma vez que é o parâmetro mais importante de uma distribuição de probabilidades, pois junto com a variância matemática, caracterizam plenamente essas distribuições.  Por essa razão seu estudo é de vital importância. O valor esperado não é nada mais que a média aritmética de uma variável aleatória ou experimento aleatório, conceito amplamente conhecido na análise exploratória de dados, somente que este é calculado para os dados da amostra, enquanto o valor esperado é calculada nos modelos probabilísticos que se ajustam a esses conjuntos de dados.
Bibliografia
Azevedo, Paulo Roberto; Introdução à estatística; 3. Ed: EDUFRN, 2016.
Sheldon Ross. Probabilidade: um curso moderno, com aplicações. Bookman, 2010.
Magalhães, M. N.; LIMA, A. C. P. Noções de Probabilidade e Estatística. 4. ed. São Paulo: EDUSP, 2002.
Bussab, WO; Morettin, PA. Estatística básica. São Paulo: Saraiva, 2006.
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