Equação de um Plano no Espaço

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PLANOS 1
PROFESSOR 
OSVALDO CHOUCAIR
Prof. Osvaldo Choucair PUC MINAS
Planos
Um plano α fica determinado se conhecermos
um ponto P0(x0,y0,z0) e um vetor normal
n = (a,b,c) . Considere P(x,y,z) um ponto
qualquer do plano α .
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n . P0P  0
a(x - x0)  b(y - y0)  c(z -z0)  0 (1)
Chamamos (1) de equação do plano na forma
ponto e vetor normal.
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Podemos simplificar (1) escrevendo como
ax  by  cz  d  0 2
Chamamos (2) de equação reduzida do plano.
OBS. Se a, b e c em (1) não forem simultaneamente
nulos em (1), esta equação sempre representará um plano.
Exemplo. Seja o plano que passa pelo ponto
P0 ( 2, 4, -1) e tem vetor normal n = (2,3,4).
a) Determine a sua equação reduzida.
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Exemplo. Seja o plano que passa pelo ponto
P0 ( 2, 4, -1) e tem vetor normal n = (2,3,4).
a) Determine a sua equação reduzida.
2.(x - 2)  3(y - 4)  4(z 1)  0
2x - 4  3y -12  4z  4  0
2x  3y  4z - 12  0
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b) Determine as interseções desse plano com os
eixos coordenados. Faça um esboço desse
plano.
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Sabemos que a eq. do plano é
2x  3y  4z - 12  0  2x  3y  4z  12
Fazendo y  0 , z  0  x  6
A interseção com o eixo x é ( 6 , 0 , 0 )
Fazendo x  0 , z  0  y  4
A interseção com o eixo y é ( 0 , 4 , 0 )
Fazendo x  0 , y  0 z  3
A interseção com o eixo z é ( 0 , 0 , 3 )
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Esboço de Planos
Seja o plano α : ax + by +cz + d = 0 .
• Se a ≠ 0 , b ≠ 0 e c ≠ 0 , então α intercepta
os três eixos coordenados. (último exemplo)
• Se somente um dos coeficientes a, b ou c
forem zero, então α é paralelo ao coeficiente
que está faltando.
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Exemplo. Gráfico do plano x + y = 5 .
Esse plano é paralelo ao eixo z.
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• Se dois coeficientes forem iguais a zero o
plano α é paralelo a um dos planos
coordenados.
Exemplo. O plano z = 5 é paralelo ao plano xy.
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• Se d = 0 então o plano α passa pela origem.
Exemplo. O plano x + 2y + z = 0 passa pela
origem. Observe que (0,0,0) verifica a equação
desse plano.
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Exemplo. (Plano determinado por três pontos
não colineares)
Determine a equação reduzida do plano que
passa por A(1,3,2) , B(-1,0,1), C(3,-2,2).
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Determine a equação reduzida do plano que
passa por A(1,3,2) , B(-1,0,1), C(3,-2,2).
Para determinar a equação de um plano precisamos
de um ponto e um vetor normal. O ponto já temos.
Considere os vetores AB e AC . Esses vetores são:
AB  B - A  (-1,0,1) - (1,3,2)  (-2,-3,-1)
AC  C - A  (3,-2,2) - (1,3,2)  (2,-5,0)
O vetor normal n pode ser obtido fazendo o produto
vetorial de AB por AC.
n  AB x AC
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(-2 , -3 , -1 )
( 2 , -5 , 0 )
n = ( -5 ,-2 , 16 )
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Considerando o ponto A(1,3,2)  (x0,y0,z0) e
n  (a,b,c)  (-5,-2,16 ) , vamos usar a eq. (1)
vista que é a eq. do plano na forma ponto e
vetor normal.
a(x - x0)  b(y - y0)  c(z -z0)  0
-5(x -1) -2(y-3)  16(z - 2)  0
-5x  5 - 2y  6  16z - 32  0
-5x - 2y  16z -21  0
Se você quizer tirar a prova, substitua os três
pontos (1,3,2), (-1,0,1) e (3,-2,2) na última
equação e teremos uma sentença verdadeira.
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