Lista sobre Planos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PARÁ – UFOPA 
INSTITUTO DE ENGENHARIA E GEOCIÊNCIAS - IEG 
BACHARELADO EM CIÊNCIAS DA COMPUTAÇÃO 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
Docente: Helaine Furtado 
Discente: Jarlison Neves de Sousa 
Lista de Exercício sobre Planos 
As respostas correspondentes as questões estão em cor vermelha. 
1. Estabelecer a equação geral do plano mediador do segmento AB, dados 
A = (2, −1, 4) e B = (4, −3, −2). 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Determinar a equação geral do plano π que passa pelo ponto A = (2, −1, 3), sendo n: 
(3, 2, −4) um vetor normal a π. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
Para encontrar a equação geral do plano mediador primeiramente deve-se achar o ponto médio do 
segmento AB, que será um ponto pertencente ao plano. 
P = 2+4, -1 + (-3) , 4 + (-2) = 6 , -4 , 2 = (3, -2, 1) 
 2 2 2 2 2 2 
Para achar o vetor normal é preciso um outro ponto desconhecido do plano chamado Q = (x, y, z). 
Logo: 
PQ = N = (Q – P) 
N = (x, y, z) – (3, -2, 1) 
N = (x – 3, y + 2, z – 1) 
Achando o segmento AB temos: AB = (B – A) 
AB = (4, -3, -2) – (2, -1, 4) 
AB = (2, -2, -6) 
Como o vetor N do plano é perpendicular ao segmento AB, então: 
<N.AB> = 0 
(x – 3, y + 2, z – 1) . (2, -2, -6) = 0 
2x – 6 + (-2)y – 4 + (-6)z + 6 = 0 
2x – 2y – 6z – 6 – 4 + 6 = 0 
2x – 2y – 6z – 4 = 0 (simplificando por 2) 
x – y – 3z – 2 = 0 Equação Geral do Plano Mediador do segmento AB. 
Equação Geral do Plano é dada pela expressão: 
ax + by + cz + d = 0 , sendo d = (-ax0 – by0 – cz0 ) 
3x + 2y – 4z + (-3.2 – 2.(-1) – (-4).3) = 0 
3x + 2y – 4z + ( -6 + 2 + 12) = 0 
3x + 2y – 4z + ( -4 + 12) = 0 
3x + 2y – 4z + 8 = 0 Equação Geral do Plano π 
 
 
 
3. Escrever a equação cartesiana do plano π que passa pelo ponto A = (3, 1, −4) e é 
paralelo ao plano 2x − 3y + z + d = 0 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
4. Determine a equação do plano (θ) que é paralelo ao plano (π): x − 2y + 4z −7 = 0 π e 
passa pelo ponto P = (−1,0, −1). 
Resolução: 
 
 
 
 
 
5. Determinar o ângulo entre os planos: π1: 2x + y − z + 3 = 0 
e π2: x + y − 4 = 0. 
Resolução: Para encontrar o ângulo entre os planos é utilizada a seguinte fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Verificar se π1 e π2 são planos perpendiculares: 
a. π1: 3x + y − 4z + 2 = 0 e π2: 2x+6y+3z = 0 
Resolução: 
Equação Geral do Plano é dada pela expressão: 
ax + by + cz + d = 0 , sendo d = (-ax0 – by0 – cz0 ) 
2x – 3y + z + (-2.3 – (-3). 1 – 1.(-4)) = 0 
2x – 3y + z + ( -6 + 3 + 4) = 0 
2x – 3y + z + ( -6 + 7) = 0 
2x – 3y + z + 1 = 0 Equação Geral do Plano π 
 
Pelo fato dos planos serem paralelos 
então o vetor N de ambos os planos são 
iguais dessa forma: 
N1 = N2 = (2, -3, 1) 
Equação Geral do Plano é dada pela expressão: 
ax + by + cz + d = 0 , sendo d = (-ax0 – by0 – cz0 ) 
x − 2y + 4z + (-1.(-1) – 2.0 – 4.(-1)) = 0 
x − 2y + 4z + ( 1 – 0 + 4) = 0 
x − 2y + 4z + 5 = 0 Equação Geral do Plano θ 
 
Pelo fato dos planos serem paralelos 
então o vetor N de ambos os planos são 
iguais dessa forma: 
N1 = N2 = (1, -2, 4) 
N1 = (2, 1, -1) 
N2 = (1, 1, 0) 
Cosꝋ = a1.a2 + b1.b2 + c1.c2 
 √𝑎12 + 𝑏12 + 𝑐12 √𝑎22 + 𝑏22 + 𝑐22 
Cosꝋ = 2.1 + 1.1 + (-1).0 
 √22 + 12 + (−1)2 √12 + 12 + 02 
Cosꝋ = 2 + 1 + 0 
 √4 + 1 + 1 √1 + 1 
Cosꝋ = 3 
 √6 √2 
Cosꝋ = 3 . √𝟏𝟐 = 3√𝟏𝟐 = 3.2√𝟑 = √𝟑 
 √𝟏𝟐 √𝟏𝟐 12 12 2 
Cosꝋ = √𝟑 , Logo o ângulo ꝋ entre os planos π1 e π2 é de 30o. 
 2 
 
 
 
 
 
 
 
7. Determinar a equação do plano nos casos a seguir: 
a. Paralelo ao plano π1: 2x − 3y − z − 5 = 0 e que contenha o ponto A = (4, −2,1). 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
b. Que passa pelo ponto médio do segmento de extremos A = (5, −1,4) e 
B = (−1, −7,1) e seja perpendicular a ele. 
 
Resolução: 
 
Para verificar se os planos são perpendiculares, então o produto interno dos seus vetores 
normais tem que ser igual a 0, dessa forma: 
< N1. N2 > = 0 
(3, 1, -4) . (2, 6, 3) = 0 
6 + 6 – 12 = 0 
12 – 12 = 0 
0 = 0 , Logo os planos π1 e π2 são perpendiculares. 
 
Equação Geral do Plano é dada pela expressão: 
ax + by + cz + d = 0 , sendo d = (-ax0 – by0 – cz0 ) 
2x − 3y − z + (-2.4 – (-3).(-2) – (-1).1) = 0 
2x − 3y − z + ( -8 – 6 + 1) = 0 
2x − 3y − z - 13 = 0 Equação Geral do Plano 
 
Pelo fato dos planos serem paralelos 
então o vetor N de ambos os planos são 
iguais dessa forma: 
N1 = N2 = (2, -3, -1) 
Para encontrar a equação geral do plano, primeiramente deve-se achar o ponto médio do segmento 
AB, que será um ponto pertencente ao plano. 
P = 5 + (-1), -1 + (-7) , 4 + 1 = 4 , -8 , 5 = (2, -4, 5/2) 
 2 2 2 2 2 2 
Para achar o vetor normal é preciso um outro ponto desconhecido do plano chamado Q = (x, y, z). 
Logo: 
PQ = N = (Q – P) 
N = (x, y, z) – (2, -4, 5/2) 
N = (x – 2, y + 4, z – 5/2) 
Achando o segmento AB temos: AB = (B – A) 
AB = (-1, -7, 1) – (5, -1, 4) 
AB = (-6, -6, -3) 
Como o vetor N do plano tem que ser perpendicular ao segmento AB, então: 
<N.AB> = 0 
(x – 2, y + 4, z – 5/2) . (-6, -6, -3) = 0 
-6x + 12 + (-6)y – 24 + (-3)z + 15/2 = 0 (multiplicando por -2) 
12x – 24 + 12y + 48 + 6y – 15 = 0 
12x + 12y + 6z – 24 + 48 – 15 = 0 
12x + 12y + 6z + 9 = 0 (simplificando por 3) 
4x + 4y + 2z + 3 = 0 Equação Geral do Plano