8) No paralelepípedo abaixo, tem-se que P = (2,4,3) a) Determine a equação do plano que passa pelos pontos A, E e C. b) Determine a equação do plan...

a) Para determinar a equação do plano que passa pelos pontos A, E e C, podemos utilizar o produto vetorial. Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão contidos no plano. Podemos escolher os vetores AE e AC. Vetor AE = E - A = (4, 0, 0) - (0, 0, 0) = (4, 0, 0) Vetor AC = C - A = (0, 4, 0) - (0, 0, 0) = (0, 4, 0) Agora, calculamos o produto vetorial desses dois vetores para obter um vetor normal ao plano: Vetor normal = AE x AC = (4, 0, 0) x (0, 4, 0) = (0, 0, 16) A equação do plano é dada por: ax + by + cz = d, onde (a, b, c) é o vetor normal e (x, y, z) são as coordenadas do ponto no plano. Substituindo os valores, temos: 0x + 0y + 16z = d b) Para determinar a equação do plano que passa pelos pontos O, P e D, podemos seguir o mesmo procedimento. Encontramos dois vetores que estão contidos no plano, OP e OD. Vetor OP = P - O = (2, 4, 3) - (0, 0, 0) = (2, 4, 3) Vetor OD = D - O = (0, 4, 0) - (0, 0, 0) = (0, 4, 0) Calculamos o produto vetorial desses dois vetores para obter um vetor normal ao plano: Vetor normal = OP x OD = (2, 4, 3) x (0, 4, 0) = (-12, 0, 8) A equação do plano é dada por: ax + by + cz = d, onde (a, b, c) é o vetor normal e (x, y, z) são as coordenadas do ponto no plano. Substituindo os valores, temos: -12x + 0y + 8z = d c) Para determinar a equação do plano que contém a face BCDP, podemos utilizar o mesmo método. Encontramos dois vetores que estão contidos no plano, BC e BP. Vetor BC = C - B = (0, 4, 0) - (0, 0, 0) = (0, 4, 0) Vetor BP = P - B = (2, 4, 3) - (0, 0, 0) = (2, 4, 3) Calculamos o produto vetorial desses dois vetores para obter um vetor normal ao plano: Vetor normal = BC x BP = (0, 4, 0) x (2, 4, 3) = (-12, 0, 8) A equação do plano é dada por: ax + by + cz = d, onde (a, b, c) é o vetor normal e (x, y, z) são as coordenadas do ponto no plano. Substituindo os valores, temos: -12x + 0y + 8z = d d) Para determinar as coordenadas de um vetor normal ao plano que contém a face DPFE, podemos utilizar o mesmo método. Encontramos dois vetores que estão contidos no plano, DP e DF. Vetor DP = P - D = (2, 4, 3) - (0, 4, 0) = (2, 0, 3) Vetor DF = F - D = (2, 0, 0) - (0, 4, 0) = (2, -4, 0) Calculamos o produto vetorial desses dois vetores para obter um vetor normal ao plano: Vetor normal = DP x DF = (2, 0, 3) x (2, -4, 0) = (12, 6, -8) Portanto, as coordenadas de um vetor normal ao plano que contém a face DPFE são (12, 6, -8).