Álgebra-II

Prévia do material em texto

Álgebra II
Oscar Ricardo Janesch
Florianópolis, 2008
Universidade Federal de Santa Catarina
Consórcio ReDiSul
Campus Universitário – Trindade 
Caixa Postal 476 
CEP 88040-900 – Florianópolis – SC
Reitor: Alvaro Toubes Prata
Vice-Reitor: Carlos Alberto Justo da Silva
 Secretário de Educação a Distância: Cícero Barbosa
Pró-Reitora de Ensino de Graduação: Yara Maria Rauh Muller
 Departamento de Educação à Distância: Araci Hack Catapan
Pró-Reitora de Pesquisa e Extensão: Débora Peres Menezes
Pró-Reitor de Pós-Graduação: José Roberto O’Shea
Pró-Reitor de Desenvolvimento Humano e Social: Luiz Henrique Vieira Silva
Pró-Reitor de Infra-Estrutura: João Batista Furtuoso
Pró-Reitor de Assuntos Estudantis: Cláudio José Amante
Centro de Ciências da Educação: Carlos Alberto Marques
Centro de Ciências Físicas e Matemáticas: Méricles Thadeu Moretti
Centro de Filosofia e Ciências Humanas: Maria Juracy Filgueiras Toneli
Cursos de Licenciaturas na Modalidade à Distância
Coordenação Acadêmica Matemática: Neri Terezinha Both Carvalho
Coordenação de Ambientes Virtuais: Nereu Estanislau Burin
Coordenação de Infra-Estrutura e Pólos: Vladimir Arthur Fey
Comissão Editorial
Antônio Carlos Gardel Leitão 
Albertina Zatelli
Elisa Zunko Toma 
Igor Mozolevski 
Luiz Augusto Saeger 
Roberto Corrêa da Silva 
Ruy Coimbra Charão
Coordenação Pedagógica das Licenciaturas à Distância UFSC/CED/CFM
Coordenação: Roseli Zen Cerny
Núcleo de Formação
Responsável: Nilza Godoy Gomes
Núcleo de Criação e Desenvolvimento de Material
Responsável: Isabella Benfica Barbosa
Design Gráfico e Editorial: Carlos A. Ramirez Righi, Diogo Henrique Ropelato, 
Mariana da Silva
Adaptação Design Gráfico: Diogo Henrique Ropelato, 
Marta Cristina Goulart Braga, Natal Anacleto Chicca Junior
Produção Gráfica e Hipermídia: Thiago Rocha Oliveira
Revisão Ortográfica: Jane Maria Viana Cardoso
Editoração Eletrônica: Laura Martins Rodrigues
Núcleo de Pesquisa e Avaliação
Responsável: Claudia Regina Flores
Copyright © 2008, Universidade Federal de Santa Catarina / Consórcio RediSul
Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer 
meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Coordenação 
Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática na Modalidade à Distância.
Ficha Catalográfica
 
J35a
 Janesch, Oscar Ricardo
 Álgebra II / Oscar Ricardo Janesch. - Florianópolis : UFSC/EAD/
CED/CFM, 2008.
 216p.
 ISBN 978-85-99379-56-1
 1.Álgebra. I. Título.
 CDU 512
 
Elaborada pela Bibliotecária Eleonora M. F. Vieira – CRB – 14/786
Sumário
1 Polinômios ............................................................................ 13
1.1 O Anel de Polinômios ................................................................ 15
1.2 Algoritmo da Divisão e Raízes ................................................. 31
1.3 Irredutibilidade .......................................................................... 50
1.4 Ideais e Máximo Divisor Comum ............................................ 67
2 Grupos e Subgrupos ........................................................... 87
2.1 Grupos ......................................................................................... 89
2.2 Grupos de Permutações, 
Grupos de Rotações e Grupos Diedrais .................................. 97
2.3 Subgrupos ..................................................................................111
3 Subgrupo Normal e Grupo Quociente .......................... 125
3.1 Classes Laterais e Teorema de Lagrange .............................. 127
3.2 Subgrupo Normal e Grupo Quociente .................................. 138
4 Homomorfismos e Isomorfismos ................................... 153
4.1 Homomorfismos de grupos .................................................... 155
4.2 Propriedades dos Homomorfismos ........................................167
4.3 Isomorfismos e grupos Cíclicos ............................................. 182
5 Grupos de Permutações e o Teorema de Cayley ......... 191
5.1 Teorema de Cayley e Ciclos .................................................... 193
5.2 Grupo de Permutações Pares .................................................. 205
Referências ............................................................................ 216
Apresentação
Este material foi elaborado para a disciplina Álgebra II, do curso de 
Matemática à distância. Trata-se da continuação do estudo de Álgebra, 
visto na disciplina Álgebra I. A disciplina Álgebra II tem carga de 80 
horas, mas deve ficar claro que esta carga horária é apenas uma refe-
rência com base em um curso presencial. 
O estudante deve utilizar este material como texto, seguindo a or-
dem dos conteúdos expostos. Nenhuma parte pode ser deixada de 
lado. Mesmo que o assunto pareça fácil, deve ser estudado com deta-
lhes, pois quase todos os tópicos trazem resultados e notações para uso 
posterior.
Se algum assunto parecer difícil ou abstrato, deve ser estudado com 
mais afinco. Persistindo dúvidas, deve-se saná-las com o tutor, o moni-
tor ou o professor da disciplina. Normalmente, dúvidas em matemáti-
ca indicam algum grau de aprendizado. Portanto, encare suas dúvidas 
com naturalidade, mas empenhe-se em superá-las.
A organização do texto segue o padrão dos livros escritos para cur-
sos de graduação. Na introdução, situamos o assunto dentro da ma-
temática e apresentamos os tópicos que serão tratados nos capítulos. 
Cada capítulo é dividido em seções. No final de cada seção, há lista de 
exercícios, e no final de cada capítulo há um resumo.
Os exercícios de cada seção integram o texto da seção e em hipótese 
alguma são dispensáveis. Não se aprende matemática passivamente. 
Portanto, resolver exercícios é a forma correta de verificar o aprendiza-
do e adquirir novos conhecimentos sobre o assunto.
Neste trabalho, os conceitos matemáticos são apresentados na forma 
de Definição. Os resultados sobre cada assunto desenvolvido aparecem 
como Propriedade, Proposição, Lema, Corolário ou Teorema. Para in-
dicar o final da demonstração destes resultados, usaremos a marca  . 
Os comentários com objetivo de destacar algum resultado são apresen-
tados como Observação.
Oscar Ricardo Janesch
9
Introdução
No curso de Álgebra I estudamos a estrutura algébrica chamada 
anel e vimos vários exemplos. Agora, iniciaremos o curso de Álge-
bra II tratando de um anel especial, chamado anel de polinômios.
No Capítulo I veremos que o conjunto dos polinômios com co-
eficientes em um anel é novamente um anel. Se o conjunto dos 
coeficientes for um domínio, então teremos um domínio de po-
linômios. Mostraremos que, se o conjunto dos coeficientes é um 
corpo, então o domínio de polinômios satisfaz o algoritmo de 
Euclides. Também estudaremos raízes de polinômios, irredutibi-
lidade de polinômios, ideais em anéis de polinômios e máximo 
divisor comum entre polinômios.
A cada polinômio 11 1 0( ) ...
n n
n np x a x a x a x a
−
−= + + + + , podemos 
associar a equação polinomial 11 1 0... 0
n n
n na x a x a x a
−
−+ + + + = . 
Quando falamos em resolver a equação polinomial, estamos pro-
curando as raízes do polinômio ( )p x .
A equação polinomial 2 1 0x + = tem coeficientes em  , mas 
não pode ser resolvida em  . No entanto, pode ser resolvida 
em  , pois toda equação polinomial de grau 1, 0ax b+ = com 
,a b∈ , 0a ≠ , tem solução única 1ba−− ∈ . Portanto, a existên-
cia de solução para uma equação polinomial depende do anel dos 
coeficientes do polinômio.
Sabemos que a melhor estrutura algébrica para o anel dos coe-
ficientes é a estrutura de corpo. Assim,o estudo de equações poli-
nomiais é iniciado com equações polinomiais com coeficientes em 
 . Mas toda equação polinomial com coeficientes em  pode ser 
trocada por uma equação polinomial com coeficientes em  , que 
tem a mesma solução. Assim basta trabalhar com equações poli-
nomiais com coeficientes em ⊆  , e procurar soluções em  .
Note que a equação polinomial 2 1 0x + = tem coeficientes em 
 , mas não é solúvel em  . Logo, a solubilidade em  é bastan-
te restritiva. Por isso estudamos equações polinomiais usando o 
conceito de solubilidade por radicais sobre  , que é mais amplo 
que solubilidade em  .
10
Dizemos que uma equação polinomial com coeficientes em  
é solúvel por radicais sobre  quando suas soluções são obtidas 
a partir dos coeficientes do polinômio através de operações do 
corpo  e da extração de raízes. É óbvio que toda equação poli-
nomial solúvel em  é solúvel por radicais sobre  .
A extração de raiz permite buscar soluções fora de  para a 
equação polinomial. A utilização da extração de raiz é um fato 
histórico, ligado à construtibilidade com régua e compasso. 
Retome a equação polinomial 2 1 0x + = . Suas soluções são 1± − . 
Logo 2 1 0x + = é solúvel por radicais sobre . A equação polino-
mial de grau 2 , 2 0a x b x c+ + = com , ,a b c∈ e 0a ≠ , tem soluções 
2 14 (2 )( )b b ac a −− ± − e, portanto, é solúvel por radicais sobre .
Até o início do século XVI, não se sabia se todas as equações 
polinomiais de grau 3 eram solúveis por radicais. Nesta época, os 
matemáticos italianos Spicio del Ferro e Nicallo Fontana (conhe-
cido como Tartaglia) verificaram que toda equação polinomial de 
grau 3 pode ser reduzida a uma equação do tipo 3 0x p x q+ + = , 
,p q∈ , e que estas equações são solúveis por radicais sobre  . 
Portanto, toda equação polinomial de grau 3 é solúvel por radi-
cais sobre  .
Em 1545, o também italiano Cardano divulgou o método de 
Ferrari para redução de uma equação polinomial de grau 4 para 
uma equação polinomial de grau 3 . Usando as idéias de Tartaglia 
e del Ferro, verificou que toda equação polinomial de grau 4 é 
solúvel por radicais sobre  .
Muitos matemáticos tentaram em vão provar que toda equação 
polinomial de grau 5 é solúvel por radicais sobre  . De fato não 
é, como mostrou o matemático norueguês Niels H. Abel, em 1824. 
Abel provou que a equação polinomial 5 6 3 0x x− + = não é solú-
vel por radicais sobre  .
Claro que existem equações polinomiais de grau 5 que são so-
lúveis por radicais sobre  , por exemplo, 5 1 0x − = . Isso leva à 
questão de determinar quais equações de grau 5 são solúveis por 
radicais sobre  . De modo mais geral: quais equações polino-
miais de grau 5n ≥ são solúveis por radicais sobre  ?
11
A resposta para esta pergunta foi dada por Evarist Galois (1811-
1832), que introduziu o conceito de grupo. Grosseiramente falan-
do, Galois associou a cada equação polinomial de grau n um 
grupo formado por permutações de raízes da equação. Depois 
provou que a equação é solúvel por radicais sobre  se, e so-
mente se, este grupo tem propriedades específicas. Na linguagem 
atual, este grupo deve ser solúvel.
A teoria de Galois está além dos objetivos deste curso. Nos res-
tringiremos a apresentar a linguagem usada no estudo de grupos 
e a estudar as principais propriedades da teoria de grupos.
No Capítulo II introduziremos a estrutura algébrica de gru-
po, estudaremos propriedades, veremos exemplos e o conceito de 
subgrupo. O Capítulo III será dedicado à construção de grupos 
quociente. Para isso, estudaremos classes laterais e subgrupos 
normais. Também provaremos o Teorema de Lagrange. No Capí-
tulo IV estudaremos homomorfismos e isomorfismos de grupos. 
Finalmente, no Capítulo V, veremos propriedades dos grupos de 
permutações.
 
1 Polinômios
15
1
No curso de Álgebra I vimos alguns anéis especiais, entre 
os quais os anéis de matrizes e os anéis n . Agora estuda-
remos os anéis de polinômios.
A partir de um anel A definiremos o anel [ ]A x , formado 
pelos polinômios na indeterminada x , com coeficientes em 
A . Veremos que a melhor estrutura algébrica para [ ]A x é 
domínio, e que isso ocorre exatamente quando A é domí-
nio ou corpo. Mostraremos o algoritmo de Euclides e sua 
relação com raízes de polinômios. Também estudaremos 
irredutibilidade e máximo divisor comum de polinômios.
1.1 O Anel de Polinômios
Nesta seção apresentaremos a definição formal de polinômios 
com coeficientes em um anel. Veremos que com as operações usu-
ais de adição e multiplicação de polinômios, o conjunto de todos 
os polinômios com coeficientes em um anel é também um anel, 
que chamaremos de anel de polinômios. Estudaremos proprieda-
des do grau de um polinômio, para determinar a melhor estrutu-
ra algébrica possível para anéis de polinômios. 
Definição 1.1.1 Seja A um anel. Um polinômio sobre A , na variável 
(ou indeterminada) x , é uma expressão da forma:
2
0 1 2 ...a a x a x+ + +
onde: ia A∈ , i∀ ∈ , e
existe n∈ tal que 0ja = , para j n> .
Observação 1.1.1 Os expoentes da variável x no polinômio 
2
0 1 2 ...a a x a x+ + + não têm significado aritmético até o momento. 
Tratam-se apenas de uma notação.
Observação 1.1.2. Se 20 1 2( ) ...p x a a x a x= + + + é um polinômio so-
bre A na variável x , chamamos 0 1 2, , ,...a a a de coeficientes de ( )p x . 
Mais especificamente, 0a é o termo independente, 1a é o coeficiente 
Polinômios
16
de x , 2a é o coeficiente de 
2x , e assim por diante. Costuma-se omi-
tir o coeficiente 1 de jx , j ∗∈ , escrevendo jx em vez de 1 jx .
Seja 20 1 2( ) ...p x a a x a x= + + + um polinômio sobre o anel A na 
variável x . Como existe n∈ tal que 0ja = , para j n> , pode-
mos escrever:
2
0 1 2( ) ...
n
np x a a x a x a x= + + + + ,
deixando subentendido que 
2 1
0 1 2( ) ... 0 ...
n n
np x a a x a x a x x
+= + + + + + + . Note que escrevemos 
2
0 1 2( ) ...
n
np x a a x a x a x= + + + + , não excluindo a possibilidade 
0ia = para {1,2,..., }i n∈ .
Quando 20 1 2( ) ...
n
np x a a x a x a x= + + + + e 0na ≠ , dizemos que 
o coeficiente dominante de ( )p x é na . Um polinômio com coefi-
ciente dominante 1 é chamado de polinômio mônico.
Exemplo 1.1.1 O polinômio sobre o anel 
2 3 4 5( ) 2 0 1 3 0 0 ...p x x x x x x= + + + + + +
pode ser escrito de várias maneiras. Em particular,
2 3( ) 2 0 1 3p x x x x= + + + ,
2 3 4( ) 2 0 1 3 0p x x x x x= + + + + .
Exemplo 1.1.2 Seja A um anel. Para cada a A∈ , o polinômio
2( ) 0 0 ...p x a x x= + + +
é chamado polinômio constante a , e indicado por ( )p x a= . Em 
particular, quando 0a = , temos o polinômio ( ) 0p x = , que é cha-
mado polinômio nulo.
Desde que cada polinômio na variável x sobre o anel A pode 
ser escrito como 20 1 2( ) ...
n
np x a a x a x a x= + + + + , para algum n∈ , 
vemos que o conjunto dos polinômios na variável x sobre o anel 
A é 0 1[ ] ... ; , {1,2,..., }{ }nn iA x a a x a x n a A i n= + + + ∈ ∈ ∀ ∈ .
Seja A um anel. De acordo com o Exemplo 1.1.2, cada elemento 
a A∈ pode ser identificado com o polinômio constante ( )p x a= . 
Através desta identificação temos [ ]A A x⊆ .
Nosso primeiro objetivo é mostrar que definindo operações 
convenientes, o conjunto [ ]A x é um anel. No entanto, para traba-
lhar com o conjunto [ ]A x , devemos ter bem claro o que significa 
igualdade neste conjunto.
17
Definição 1.1.2 Os polinômios 20 1 2( ) ... [ ]p x a a x a x A x= + + + ∈
2
0 1 2( ) ... [ ]q x b b x b x A x= + + + ∈ 
são iguais quando i ia b= , i∀ ∈ .
Agora vamos definir as operações de adição e multiplicação 
em [ ]A x . Observe que as operações que definiremos abaixo são 
exatamente as operações conhecidas para polinômios com coefi-
cientes reais.
Sejam A um anel, 201 2( ) ... [ ]p x a a x a x A x= + + + ∈
e 20 1 2( ) ... [ ]q x b b x b x A x= + + + ∈ .
Definimos a adição de ( )p x com ( )q x por
2
0 0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... [ ]p x q x a b a b x a b x A x+ = + + + + + + ∈ .
Definimos a multiplicação de ( )p x com ( )q x por
2
0 1 2( ) ( ) ... [ ]p x q x c c x c x A x= + + + ∈ , onde
0 1 1 0k i j k k k
i j k
c a b a b a b a b−
+ =
= = + + +∑  .
Observação 1.1.3 Note que ( ) ( )p x q x+ e ( ) ( )p x q x são de fato 
elementos de [ ]A x , pois todos os seus coeficientes são obtidos fa-
zendo operações no anel A e, portanto, estão em A . Além disso, 
como os coeficientes de ( )p x e ( )q x são todos nulos a partir de 
um certo n∈ , o mesmo ocorrerá com ( ) ( )p x q x+ e ( ) ( )p x q x .
Para fazer a multiplicação de 20 1 2( ) ... [ ]p x a a x a x A x= + + + ∈ 
por 20 1 2( ) ... [ ]q x b b x b x A x= + + + ∈ , podemos proceder da seguin-
te maneira:
Elaborar uma tabela, onde os coeficientes de •	 ( )p x aparecem 
na entrada vertical e os coeficientes de ( )q x aparecem na 
entrada horizontal;
Completar a tabela, fazendo o produto no anel •	 A , dos ele-
mentos correspondentes a cada linha e cada coluna;
Tomar a soma dos elementos da diagonal da tabela, obser-•	
vando que eles correspondem a 0 1 2, , ,...c c c .
18
b0 b1 b2 b3

a0 a0b0 a0b1 a0b2 a0b3
a1 a1b0 a1b1 a1b2 a1b3
a2 a2b0 a2b1 a2b2 a2b3
a3 a3b0 a3b1 a3b2 a3b3

1ª diagonal: 0 0 0
0
i j
i j
a b a b c
+ =
= =∑ .
2ª diagonal: 0 1 1 0 1
1
i j
i j
a b a b a b c
+ =
+ = =∑ .
3ª diagonal: 0 2 1 1 2 0 2
2
i j
i j
a b a b a b a b c
+ =
+ + = =∑ .
4ª diagonal: 0 3 1 2 2 1 3 0 3
3
i j
i j
a b a b a b a b a b c
+ =
+ + + = =∑ .

Exemplo 1.1.3 Sejam 2( ) 2 2p x x x= + + , ( ) 1 3 [ ]q x x x= + ∈ .
 •	 2( ) ( ) (2 1) (1 3) (2 0)p x q x x x+ = + + + + +
23 4 2x x= + +
	•	 Para calcular ( ) ( )p x q x usamos a tabela abaixo:
1 3 0
c0 = 2
c1 = 6 + 1 = 7
c2 = 3 + 2 = 5
c3 = 6
ck = 0 para k > 3
2 2 6 0
1 1 3 0
2 2 6 0
2 3( ) ( ) 2 7 5 6p x q x x x x= + + + .
19
O Teorema abaixo mostra que, com as operações definidas 
acima, [ ]A x é um anel, e que a comutatividade, a existência de 
unidade e a inexistência de divisores de zero, são passadas de A 
para [ ]A x .
Teorema 1.1.1 Seja A um anel. Então:
(1) [ ]A x é um anel.
(2) Se A é comutativo, então [ ]A x é comutativo.
(3) Se A tem unidade 1, então [ ]A x tem unidade ( ) 1g x = .
(4) Se A é domínio, então [ ]A x é domínio.
Demonstração. (1) Devemos verificar os 6 axiomas de anel. Sejam 
2
0 1 2( ) ... [ ]p x a a x a x A x= + + + ∈ , 
2
0 1 2( ) ... [ ]q x b b x b x A x= + + + ∈ e 
2
0 1 2( ) ... [ ]r x c c x c x A x= + + + ∈ .
Lembre que os coeficientes dos polinômios estão em A , e, portan-
to, valem os axiomas de anel para os coeficientes.
Axioma •	 (i): Comutatividade da adição
2
0 0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...p x q x a b a b x a b x+ = + + + + + +
2
0 0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ...b a b a x b a x= + + + + + +
( ) ( )q x p x= + .
Axioma •	 (ii): Associatividade da adição
2 2
0 1 2 0 0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ...) ( ) ( ) ( ) ...( ) ( )p x q x r x a a x a x b c b c x b c x+ + = + + + + + + + + + +
2
0 0 0 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ...( ) ( ) ( )a b c a b c x a b c x= + + + + + + + + +
2
0 0 0 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ...( ) ( ) ( )a b c a b c x a b c x= + + + + + + + + +
2 2
0 0 1 1 2 2 0 1 2( ) ( ) ( ) ... ( ...)( )a b a b x a b x c c x c x= + + + + + + + + + +
( ) ( ) ( )( )p x q x r x= + + .
20
Axioma •	 (iii): Existência de elemento neutro
Tome ( ) 0 [ ]f x A x= ∈ .
2
0 1 2( ) ( ) ( 0) ( 0) ( 0) ...p x f x a a x a x+ = + + + + + +
2
0 1 2 ...a a x a x= + + +
( )p x= .
Axioma •	 (iv): Existência de simétrico
Para 20 1 2( ) ... [ ]p x a a x a x A x= + + + ∈ , tome o polinômio
2
0 1 2( ) ( ) ( ) ... [ ]p x a a x a x A x− = − + − + − + ∈ . 
Então 20 0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...( )p x p x a a a a x a a x+ − = − + − + − +
0= .
Axioma •	 (v): Associatividade da multiplicação
Vamos mostrar que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )p x q x r x p x q x r x= .
Escrevendo
 
2
0 1 2
2
0 1 2
2
0 1 2
2
0 1 2
( ) ( ) ...,
( ) ( ) ( ) ...,
( ) ( ) ...,
( ) ( ) ( ) ...,
( )
( )
i j t
j t i
i j t
j t i
i j t
j t i
i j t
j t i
q x r x d d x d x d b c
p x q x r x e e x e x e a d
p x q x l l x l x l a b
p x q x r x m m x m x m l c
+ =
+ =
+ =
+ =
= + + + =
= + + + =
= + + + =
= + + + =
∑
∑
∑
∑
devemos provar que i ie m= , i∀ ∈ . Tome então i∈ , daí
( ) ( )i j t j j j
j t i j t i t j i j i
e a d a b c a b c a b c     
     + = + = + = + + = + + =
 
= = = = 
 
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
j n i
n i j n n i
a b c l c m  
  + = + = + =
 
= = = 
 
∑ ∑ ∑
Axioma •	 (vi): Distributividade
Faremos apenas a distributividade à esquerda. A outra é aná-
loga. Queremos mostrar que 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )p x q x r x p x q x p x r x+ = + .
Escrevendo 
21
2
0 1 2( ) ( ) ( ) ...( )p x q x r x x x  + = + + + , ( )i j t t
j t i
a b c
+ =
= +∑
2
0 1 2( ) ( ) ...p x q x l l x l x= + + + , i j t
j t i
l a b
+ =
= ∑
2
0 1 2( ) ( ) ...p x r x v v x v x= + + + , i j t
j t i
v a c
+ =
= ∑
devemos mostrar que ii i il vm = + , i∀ ∈ . Para i∈ temos
( ) ( )i j t t j t j t j t j t i i
j t i j t i j t i j t i
a b c a b a c a b a c l v
+ = + = + = + =
= + = + = + = +∑ ∑ ∑ ∑ .
Como [ ]A x satisfaz os 6 axiomas de anel, temos que [ ]A x é 
um anel.
(2) Sejam 20 1 2( ) ... [ ]p x a a x a x A x= + + + ∈ e 
2
0 1 2( ) ... [ ]q x b b x b x A x= + + + ∈ .
Escrevendo 20 1 2( ) ( ) ...p x q x l l x l x= + + + , i j t
j t i
l a b
+ =
= ∑ ,
2
0 1 2( ) ( ) ...q x p x w w x w x= + + + , i t j
j t i
w b a
+ =
= ∑ ,
devemos provar que i il w= , i∀ ∈ . 
Por hipótese, o anel A é comutativo, e então para cada i∈ temos
i j t t j i
j t i j t i
l a b b a w
+ = + =
= = =∑ ∑ .
(3) Seja 20 1 2( ) ... [ ]p x a a x a x A x= + + + ∈ . Escreva ( ) 1g x = como
2
0 1 2( ) ...g x b b x b x= + + + , onde 0 1b = e 0tb = para 1t ≥ .
Escrevendo 20 1 2( ) ( ) ...p x g x c c x c x= + + + , i j t
j t i
c a b
+ =
= ∑ ,
devemos provar que i ic a= , i∀ ∈ , e então teremos 
( ) ( ) ( )p x g x p x= .
Para i∈ , note que a única forma das parcelas do somatório 
j t
j t i
a b
+ =
∑ serem não nulas é quando 0t = . Assim,
0
0
i j t j j i
j t i j i j i
c a b a b a a
+ = + = =
= = = =∑ ∑ ∑ .
De forma análoga prova-se que ( ) ( ) ( )g x p x p x= . Portanto, 
( ) 1g x = é a unidade do anel [ ]A x .
22
(4) Como A é domínio, temos que A é anel comutativo, com uni-
dade e sem divisores de zero. Segue dos itens (2) e (3), que [ ]A x 
também é anel comutativo com unidade. Falta provar que [ ]A x 
não tem divisores de zero. Faremos esta prova por absurdo, isto 
é, vamos supor que [ ]A x tenha divisores de zero. Então existem 
( )p x , ( ) [ ]q x A x∈ , ( ) 0p x ≠ , ( ) 0q x ≠ , tais que ( ) ( ) 0p x q x = . Es-
crevendo
2
0 1 2( ) ...p x a a x a x= + + + ,
2
0 1 2( ) ...q x b b x b x= + + + ,
e lembrando que estes polinômios são não nulos, existem ,m n∈ 
tais que
0 1( ) ...
m
mp x a a x a x= + + + , 0ma ≠ e 
0 1( ) ...
n
nq x b b x b x= + + + , 0nb ≠ .
Desde que 
2
0 1 20 ( ) ( ) ...p x q x c c x c x= = + + + , i j t
j t i
c a b
+ =
= ∑
temos que 0ic = , i∀ ∈ . Em particular, 0n mc + = . Mas
0 1 1 1 1 1 1 00 ... ...n m j t n m n m m n m n m n n m
j t n m
c a b a b a b a b a b a b a b+ + + − − + + − +
+ = +
= = = + + + + + + +∑
0 1 1 1 1 1 1 00 ... ...n m j t n m n m m n m n m n n m
j t n m
c a b a b a b a b a b a b a b+ + + −− + + − +
+ = +
= = = + + + + + + +∑
m na b= (pois 0jb = para j n> e 0ja = para j m> ) .
Isso contradiz o fato de A ser domínio. Portanto, [ ]A x não tem 
divisores de zero.

Observação 1.1.4 Vimos que, identificando os elementos do 
anel A com os polinômios constantes de [ ]A x , temos a inclusão 
[ ]A A x⊆ . Agora note que as operações com polinômios constan-
tes de [ ]A x são exatamente as operações do anel A . Isso diz que 
A é um anel com a restrição das operações de [ ]A x . Portanto A 
é subanel de [ ]A x .
Exemplo 1.1.4 Usando o Teorema 1.1.1 temos que:
	•	 [ ]x é domínio, pois  é domínio.
	•	 ( )[ ]n x é anel comutativo, pois n é anel comutativo.
23
	•	 [ ]( )p x   é domínio, pois p   é domínio para todo 
primo positivo p .
	•	 [ ]( )p x   é domínio, pois p   é domínio para todo 
primo positivo p .
	•	 [ ]n x é anel comutativo com unidade, pois n é anel comu-
tativo com unidade.
	•	 [ ]p x é domínio, pois [ ]p x é domínio para todo primo posi-
tivo p .
	•	 2 2 ( ) [ ]( )M x×  é anel com unidade, pois 2 2 ( )M ×  é anel com 
unidade.
	•	 [ ]x é domínio, pois  é domínio.
	•	 [ ]x é domínio, pois  é domínio.
Agora vamos usar os axiomas de anel, verificados em [ ]A x , 
para fazer a multiplicação de polinômios. Note que o procedi-
mento descrito abaixo é exatamente a maneira usual de multipli-
car polinômios.
Sejam A um anel e 0 1( ) ...
n
np x a a x a x= + + + , 
0 1( ) ... [ ]
m
mq x b b x b x A x= + + + ∈ . Cada parcela que compõe ( )p x e 
( )q x é também um polinômio de [ ]A x . Isto é,
 0 1( ) ( ) ( ) ... ( )np x p x p x p x= + + +
 0 1( ) ( ) ( ) ... ( )mq x q x q x q x= + + +
onde ( ) ii ip x a x= , ( ) [ ]
i
i iq x b x A x= ∈ , {0,..., }i n∈ , {0,..., }j m∈ . 
Note que estamos usando a convenção 0 1x = .
Podemos multiplicar ( )p x por ( )q x usando a distributividade 
em [ ]A x :
0 1 0 1
0 0 1 1 0 1
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )
( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ...
( ) ( )
( ) ( )
n m
m m
p x q x p x p x p x q x q x q x
p x q x q x q x p x q x q x q x
= + + + + + +
= + + + + + + + + +0 1 0 1
0 0 1 1 0 1
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )
( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ...
( ) ( )
( ) ( )
n m
m m
p x q x p x p x p x q x q x q x
p x q x q x q x p x q x q x q x
= + + + + + +
= + + + + + + + + +
0 1 0 1
0 0 1 1 0 1
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )
( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ...
( ) ( )
( ) ( )
n m
m m
p x q x p x p x p x q x q x q x
p x q x q x q x p x q x q x q x
= + + + + + +
= + + + + + + + + + 0 1( ) ( ) ( ) ... ( )( )n mp x q x q x q x+ + +
24
Usando novamente a distributividade e a comutatividade da 
adição, podemos agrupar as parcelas da expressão acima de for-
ma que a soma dos índices seja constante:
0 0 0 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )( ) ( ) ( )n mp x q x p x q x p x q x p x q x p x q x= + + + +
0 0 0 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )( ) ( ) ( )n mp x q x p x q x p x q x p x q x p x q x= + + + +
Portanto, para obter ( ) ( )p x q x precisamos apenas efetuar produ-
tos do tipo .i ji ja x b x . O lema abaixo traz o resultado desta conta.
Lema 1.1.1 Sejam A um anel, ,a b A∈ e ,r s∈ .
(1) .r s r sax bx ab x +=
(2) . s sa bx ab x= e .r rax b ab x= .
Demonstração. (1) Chame ( ) rp x ax= e ( ) sq x bx= . Por definição,
2
0 1 2( ) ( ) ...p x q x c c x c x= + + + , com k
k
c a b 
 + =
= ∑ .
Desde que ra a= e sb b= sejam os únicos coeficientes de ( )p x e 
( )q x que possam ser não nulos, temos:
0, para 
, para k r s
k r s
c
a b ab k r s
≠ +=  = = +
Portanto, . ( ) ( )r s r sax bx p x q x ab x += = .
(2) Fazendo 0r = em (1), temos 0 0. s sa x b x ab x += , isto é, . s sa b x abx= .
Fazendo 0s = em (1), temos 0 0.r ra x b x ab x += , isto é, .r ra x b abx= .

Exemplo 1.1.5 Dados 3( ) 2 3p x x= + , 2( ) 1 2 [ ]q x x x x= + − ∈ , 
temos:
3 2( ) ( ) (2 3 ) (1 2 )p x q x x x x= + + −
2 3 22(1 2 ) 3 (1 2 )x x x x x= + − + + −
2 3 4 52 2 4 3 3 6 .x x x x x= + − + + −
Nosso próximo objetivo é mostrar que um anel de polinômio 
nunca é corpo. De outra forma, a melhor estrutura algébrica para 
anéis de polinômios é domínio.
25
Veremos que em um anel de polinômios, os únicos elementos 
inversíveis são os polinômios constantes, cujas constantes são in-
versíveis no anel. Como conseqüência, o polinômio ( )p x x= não é 
inversível, portanto, nenhum anel de polinômios pode ser corpo.
Para estudar elementos inversíveis em anéis de polinômios, 
utilizaremos as propriedades de grau de um polinômio, que pro-
varemos abaixo.
Definição 1.1.3 Seja A um anel. Dizemos que 
2
0 1 2( ) ... [ ]p x a a x a x A x= + + + ∈ tem grau n quando:
(i) 0na ≠ ;
(ii) 0ja = , para j n> .
Notação: ( )( )p x n∂ = indica que o grau de ( )p x é n .
Observação 1.1.5 Note que grau só está definido para polinômio 
não nulo, pois precisamos ter algum coeficiente não nulo no poli-
nômio. É claro que grau é uma função:
: [ ] {0}A x∂ − →
( ) ( )( )p x p x∂ .
Exemplo 1.1.6 Sejam 2 5( ) 2 3 3 [ ]p x x x x= + + ∈ e
2 4
2 2
1 0 0 0 3 1
( ) ( ) [ ]
2 3 1 0 2 2
( )q x x x x M x×
     = + + ∈     − −     
 .
Então, ( ) 5( )p x∂ = e ( ) 4( )q x∂ = .
Proposição 1.1.1. Sejam A um anel, ( )p x , ( ) [ ]q x A x∈ e 
( ) 0 ( )p x q x≠ ≠ .
(1) Se ( ) ( ) 0p x q x+ ≠ , então
( ) ( ) ( ) , ( )( ) { ( ) ( )}p x q x máx p x q x∂ + ≤ ∂ ∂ .
(2) Se ( ) ( )( ) ( )p x q x∂ ≠ ∂ , então ( ) ( ) 0p x q x+ ≠ e
( ) ( )( )p x q x∂ + = ( ) , ( ){ ( ) ( )}máx p x q x∂ ∂ .
26
(3) Se ( ) ( ) 0p x q x ≠ , então ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )p x q x p x q x∂ ≤ ∂ + ∂ .
(4) Se A é domínio, então ( ) ( ) 0p x q x ≠ e
 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )p x q x p x q x∂ = ∂ + ∂ .
Demonstração. Sejam 0 1( ) ...
n
np x a a x a x= + + + , 
0 1( ) ...
m
mq x b b x b x= + + + com ( )( )p x n∂ = e ( )( )q x m∂ = . Então 
0n ma b≠ ≠ .
(1) Sem perda de generalidade, assuma que n m≥ . Assim,
 0 0 1 10 ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... ( )
m n
m m n np x q x a b a b x a b x a b x≠ + = + + + + + + + + +
0 0 1 10 ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... ( )
m n
m m n np x q x a b a b x a b x a b x≠ + = + + + + + + + + + ,
onde acrescentamos coeficientes 0jb = para j m> , se for 
necessário. Se 0n na b+ ≠ , então ( ) ( )( )p x q x n∂ + = , senão, 
( ) ( )( )p x q x n∂ + < . 
Portanto, 
( ) ( ) { , } ( ) , ( )( ) { ( ) ( )}p x q x n máx n m máx p x q x∂ + ≤ = = ∂ ∂ .
(2) Por hipótese, ( ) ( )( ) ( )p x q x∂ ≠ ∂ , então n m≠ . Vamos assumir 
que n m> .
Então
1
0 0 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... .
m m n
m m m np x q x a b a b x a b x a x a x
+
++ = + + + + + + + + +
Desde que 0na ≠ temos que ( ) ( ) 0p x q x+ ≠ , e também
( ) ( ) { , } ( ) , ( )( ) { ( ) ( )}p x q x n máx n m máx p x q x∂ + = = = ∂ ∂ .
(3) Escrevendo 20 1 2( ) ( ) ...p x q x c c x c x= + + + , k i j
i j k
c a b
+ =
= ∑ ,
e lembrando que 0ia = para i n> , pois ( )( )p x n∂ = e
0jb = para j m> , pois ( )( )q x m∂ = ,
vemos que 0kc = para k n m> + . De fato, quando k n m> + , 
cada uma das parcelas de somatório k i j
i j k
c a b
+ =
= ∑ envol-
ve ia com i n> ou jb com j m> , portanto todas as par-
celas são nulas. Conseqüentemente, 0kc = para k n m> + . 
Segue que 20 1 2( ) ( ) ...
n m
n mp x q x c c x c x c x
+
+= + + + + , e então 
2
0 1 2( ) ( ) ...
n m
n mp x q x c c x c x c x
+
+= + + + + .
27
(4) Novamente, escreva 20 1 2( ) ( ) ...p x q x c c x c x= + + + , 
k i j
i j k
c a b
+ =
= ∑ .
Lembre que 0na ≠ e 0mb ≠ , pois ( )( )p x n∂ = e ( )( )q x m∂ = . Vi-
mos na demonstração do item anterior que 0kc = para k n m> + . 
Além disso,note que 
 0 1 1 1 1 1 1 0... ...n m n m n m n m n m m m n m n mc a b a b a b a b a b a b a b+ + + − − + + − += + + + + + + + =
0 1 1 1 1 1 1 0... ...n m n m n m n m n m m m n m n mc a b a b a b a b a b a b a b+ + + − − + + − += + + + + + + + = ,
pois 0ia = para i n> e 0jb = para j m> .
Como A é domínio e 0n ma b≠ ≠ , temos que 0n m n mc a b+ = ≠ . Por-
tanto, ( ) ( ) 0p x q x ≠ e ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )p x q x n m p x q x∂ = + = ∂ + ∂ .

Os próximos exemplos mostram que de fato pode ocorrer desi-
gualdade estrita nos itens (1) e (3) da Proposição 1.1.1.
Exemplo 1.1.7 Sejam 3( ) 2 2 5p x x x= + + , 
2 3( ) 1 2 5 [ ]q x x x x x= + + − ∈ . Então 2( ) ( ) 3 3 2p x q x x x+ = + + e 
( ) ( ) 2 3 ( ) , ( )( ) ( ) { ( ) ( )}p x q x máx p x q x∂ + = < = ∂ ∂ .
Exemplo 1.1.8 Sejam 2( ) 1 2p x x= + , 3 4( ) 2 3 2 [ ]q x x x x= + + ∈ . En-
tão 3 2 3 5( ) ( ) 2 3 2 4 6 4 2 3p x q x x x x x x x= + + + + + = + e 
( ) ( ) 1 2 3 ( ) ( )( ) ( ) ( )p x q x p x q x∂ = < + = ∂ + ∂ .
Proposição 1.1.2 Se A é um domínio, então o conjunto dos elementos 
inversíveis de A e de [ ]A x coincidem, isto é, ( ) [ ]( )A A x=  .
Demonstração. A inclusão ( ) [ ]( )A A x⊆  é imediata, pois 
[ ]A A x⊆ . 
Tome agora ( ) [ ]( )f x A x∈ . Então existe ( ) [ ]g x A x∈ tal que 
( ) ( ) 1f x g x = . Assim, ( ) 0f x ≠ e ( ) 0g x ≠ . Como [ ]A x é domínio, 
pois A é domínio, segue da Proposição 1.1.1 (4) que
0 (1) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f x g x f x g x= ∂ = ∂ = ∂ + ∂ .
Portanto, ( ) ( ) 0( ) ( )f x g x∂ = ∂ = , isto é, ( )f x a A= ∈ , ( )g x b A= ∈ 
e 1ab = . Logo, ( ) ( )f x a A= ∈ .

28
Corolário 1.1.1 Nenhum anel de polinômios é corpo.
Demonstração. Seja A um anel, e suponha que [ ]A x é corpo. En-
tão ( ) [ ] [ ]( )A A x A x ∗= =  . Como A é subanel com unidade de [ ]A x 
temos que A é domínio. Pela Proposição 1.1.2 concluímos que 
( ) [ ] [ ]( )A A x A x ∗= =  o que é absurdo.

Exemplo 1.1.9 A Proposição 1.1.2 permite concluir que:
	•	 [ ] ( ) { 1}( )x = = ±   ;
	•	 [ ] ( )( )x ∗= =    ;
	•	 [ ] ( )( )x ∗= =    ;
	•	 [ ] ( )( )p p px ∗= =    , p um número primo;
	•	 Se K é corpo qualquer, então [ ] ( )( )K x K K ∗= =  .
29
Lista de Exercícios
1) Sejam 2( ) ( 1)f x a x bx c= − + + e 2( ) 2 2g x ax bx c= + − polinô-
mios de [ ]x , determine os possíveis valores para ,a b e c de 
forma que valha a igualdade ( ) ( )f x g x= .
2) Dados 3( ) 1 5 3f x x x= + + , 2( ) 7g x x x= − , 
2 4( ) 1 3 [ ]h x x x x= − + ∈ , calcule:
 a) ( ) ( )f x g x+ , ( ) ( )f x g x− e ( ) ( )h x g x− .
 b) ( ) ( )f x g x , ( ) ( )f x h x e ( ) ( )g x h x .
3) Sejam ( )f x A Bx= + , 2 2( ) ( ) [ ]( )g x C Bx Ax M x= + + ∈  , 
onde 
1 0
0 0
A  =  
 
, 
0 2
3 0
B  =  
 
e 
3 0
0 1
C  =  
 
.
Calcule 2( )( )f x e 2( ) ( )( )f x g x− .
4) Justifique cada uma das afirmações abaixo:
a) [ ]K x não é corpo, mesmo que K seja corpo.
b) 4 [ ]x é anel comutativo com unidade.
c) 4 [ ]x não é domínio.
d) ( ) [ ]( )nM x é anel com unidade.
e) ( ) [ ]( )nM x não é anel comutativo quando 1n > .
5) Verifique se cada um dos conjuntos abaixo é subanel de [ ]x :
a) 0 1 0... [ ]; é par{ }nnA a a x a x x a= + + + ∈ .
b) 0 1 0... [ ]; 3 = 0{ }nnB a a x a x x a= + + + ∈ .
c) 0 1 0 1... [ ]; 0{ }nnC a a x a x x a a= + + + ∈ + = .
6) Determine todos os polinômios de grau 1 do anel 3 [ ]x .
30
7) Quantos polinômios de grau m existem em [ ]n x ?
8) Sejam A um domínio e ( )f x , ( ) [ ]g x A x∈ . Se
( ) ( ) 5( )f x g x∂ + = e ( ) ( ) 2( )f x g x∂ − = , determine ( ) ( )( )f x g x∂ , 
2 2( ) ( )( ) ( )( )f x g x∂ − e 2 2( ) ( )( ) ( )( )f x g x∂ + .
9) Sejam A um domínio e ( )f x , ( ) [ ]g x A x∈ , tais que 
2( ) 8( )( )f x∂ = e ( ) 7( )g x∂ = . Determine ( ) ( )( )f x g x∂ + , 
( ) ( )( )f x g x∂ − e 2 2( ) 3 ( ) ( ) 4 ( ) ( )( ) ( )( )f x f x g x f x g x∂ + + .
10) Seja 2 3 2 2( ) (2 3) ( 1) ( 1) 3 [ ]f x a a x a x a x x= + − + − + + − ∈ . 
Determine, em função de a , o grau de ( )f x .
11) Seja
 um polinômio inversível. Determine , ,a b c e 1( )( )f x − .
3 2( ) ( 1) ( 2) ( 5) ( 1) [ ]f x a x a b x b c x c a x= − + − − + − + + − − ∈
31
1.2 Algoritmo da Divisão e Raízes
Lembre que se ,a b∈ e 0b ≠ , então existem únicos ,q r∈ 
tais que
a b q r= + com 0 r b≤ < .
Este é o processo de divisão conhecido como algoritmo de Eu-
clides em  .
Nesta seção verificaremos que se ( )f x , ( ) [ ]g x K x∈ , K corpo 
e ( ) 0g x ≠ , então sempre é possível dividir ( )f x por ( )g x , ob-
tendo quociente e resto únicos em [ ]K x . O procedimento usado 
para obter o quociente e o resto é o algoritmo de Euclides para 
polinômios. Veremos que tal algoritmo é útil para estudar raízes 
de polinômios.
Dados ( )f x , ( ) [ ]g x x∈ , ( ) 0g x ≠ , sabemos efetuar a divisão 
de ( )f x por ( )g x , utilizando um processo estudado no ensino 
médio. Veja o exemplo abaixo. 
Exemplo 1.2.1 Sejam 3 2( ) 4 6 4 3f x x x x= + + + , 
2( ) 2 1 [ ]g x x x x= + + ∈ . Dividir ( )f x por ( )g x e identificar o 
quociente e o resto.
3 2 2
3 2
2
2
4 6 4 3 2 1
(4 2 2 ) 2 2
4 2 3
(4 2 2)
1
x x x x x
x x x x
x x
x x
+ + + + +
− + + +
+ +
− + +
3 2 24 6 4 3 (2 1) (2 2) 1x x x x x x+ + + = + + + +
( ) ( ) ( ) ( )f x g x q x r x= + .
O quociente é ( ) 2 2q x x= + .
O resto é ( ) 1r x = .
O procedimento usado no Exemplo 1.2.1 para dividir ( )f x por 
( )g x foi reduzir, em cada etapa, o grau do dividendo até que restas-
se um polinômio cujo grau fosse menor que o grau de ( )g x . Pode-
ria ocorrer, em um outro exemplo, que restasse o polinômio nulo. O 
que nos interessa no momento é observar que o grau de ( )g x é usa-
32
do como critério de parada. De outra forma, para dividir ( )f x por 
( ) 0g x ≠ , reduzimos o grau do dividendo até que reste o polinômio 
nulo ou um polinômio de grau menor que o grau de ( )g x .
No teorema abaixo, provamos que o procedimento para divi-
dir polinômios com coeficientes em um corpo sempre pode ser 
aplicado. Além disso, o quociente e o resto obtidos são únicos.
Teorema 1.2.1 Algoritmo de Euclides.
Sejam K um corpo, ( )f x , ( ) [ ]g x K x∈ e ( ) 0g x ≠ . Então existem úni-
cos ( )q x , ( ) [ ]r x K x∈ tais que
( ) ( ) ( ) ( )f x g x q x r x= + , com ( ) 0r x = ou ( ) ( )( ) ( )r x g x∂ < ∂ .
Demonstração. Se ( ) 0f x = tome ( ) ( ) 0q x r x= = .
Podemos admitir ( ) 0f x ≠ , e como ( ) 0g x ≠ , escrevemos
0 1( ) ...
n
nf x a a x a x= + + + , ( )( )f x n∂ = .
0 1( ) ...
m
mg x b b x b x= + + + , ( )( )g x m∂ = .
1° Caso: ( ) ( )( ) ( )f x g x∂ < ∂
Tome ( ) 0q x = e ( ) ( )r x f x= .
2° Caso: ( ) ( )( ) ( )f x g x∂ ≥ ∂
Vamos usar o Segundo Princípio de Indução sobre ( )( )n f x= ∂ .
Se 0n = , então 0( )f x a K= ∈ .
00 ( ) ( ) ( ) 0 ( )( ) ( ) ( )n f x g x g x g x b K= = ∂ ≥ ∂ ⇒ ∂ = ⇒ = ∈ .
Como 00 ( )g x b K≠ = ∈ , temos que 
1
0b K
− ∈ .
Tome 10 0( )q x b a
−= e ( ) 0r x = . É claro que
1
0 0 0 0( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( )f x a b b a g x q x r x
−= = + = + , com ( ) 0r x = .
Agora consideramos 1n ≥ e nossa hipótese de indução é:
“Se ( ) [ ]h x K x∈ , ( ) 0h x ≠ e ( )( )h x n∂ < , existem 1 ( )q x , 
1 ( ) [ ]r x K x∈ tais que 1 1( ) ( ) ( ) ( )h x g x q x r x= + , com 1( ) 0r x = 
ou 1( ) ( )( ) ( )r x g x∂ < ∂ ”.
33
Agora considere o polinômio
1( ) ( ) ( )( )n mn mh x f x a b x g x− −= − . (*)
Se ( ) 0h x = , então ( ) ( ) ( ) ( )f x g x q x r x= + , com ( ) 0r x = e 
1( ) n mn mq x a b x
− −= .
Se ( ) 0h x ≠ , podemos calcular seu grau. E pela escolha de 
( )h x temos ( )( )h x n∂ < . Usando a hipótese de indução obte-
mos 1( )q x , 1( ) [ ]r x K x∈ tais que 1 1( ) ( ) ( ) ( )h x g x q x r x= + , com 
1( ) 0r x = ou 1 ( ) ( )( ) ( )rx g x∂ < ∂ .
Substituindo em (*) e isolando ( )f x , vem que
1
1 1( ) ( ) ( ) ( )( )n mn mf x g x q x a b x r x− −= + + .
Chame 11( ) ( )
n m
n mq x q x a b x
− −= + e 1( ) ( )r x r x= . Então
( ) ( ) ( ) ( )f x g x q x r x= + , com ( ) 0r x = ou ( ) ( )( ) ( )r x g x∂ < ∂ .
Isso prova a existência de ( )q x e ( )r x como enunciado. Resta 
verificar a unicidade.
Sejam ( )q x ,  ( )q x , ( )r x , ( ) [ ]r x K x∈ tais que
( ) ( ) ( ) ( )f x g x q x r x= + , com ( ) 0r x = ou ( ) ( )( ) ( )r x g x∂ < ∂
( ) ( ) ( ) ( )f x g x q x r x= +  , com ( ) 0r x = ou ( ) ( )( ) ( )r x g x∂ < ∂ .
Temos agora a igualdade
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )g x q x q x r x r x− = − .
Suponha ( ) ( )q x q x≠ . Então ( ) ( ) 0q x q x− ≠ e ( ) ( ) 0r x r x− ≠ . 
Logo,
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )g x q x q x g x r x r x g x∂ ≤ ∂ − = ∂ − < ∂ .
Essa contradição diz que não podemos supor ( ) ( )q x q x≠ . Por-
tanto, ( ) ( )q x q x= . A igualdade ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )g x q x q x r x r x− = − 
fica
0 ( ) ( )r x r x= − .
Isso assegura que ( ) ( )r x r x= .

34
Observação 1.2.1 Vimos que se K é um corpo, então vale o algo-
ritmo de Euclides em [ ]K x . Usamos a função grau, indicada por 
∂ , como critério de parada. Por isso, dizemos que ( [ ], )K x ∂ é um 
domínio Euclidiano.
Exemplo 1.2.2 Sejam 3 2( ) 2 1f x x x x= + + + , 3( ) 2 2 [ ]g x x x= + ∈ . 
Determinar o quociente e o resto da divisão de ( )f x por ( )g x .
( ) ( ) ( ) ( )f x g x q x r x= + , com 2( ) 2 2q x x x= + e ( ) 1r x = .
Exemplo 1.2.3. Sejam ( ) 2 3f x x= + , ( ) 3 [ ]g x x= ∈ . Determinar 
o quociente e o resto da divisão de ( )f x por ( )g x .
( ) ( ) ( ) ( )f x g x q x r x= + , com 2( ) 1
3
q x x= + e ( ) 0r x = .
No exemplo acima, observamos que ( ) 2 3f x x= + e ( ) 3g x = 
também são polinômios do domínio [ ]x . No entanto, não é pos-
sível usar o algoritmo de Euclides para efetuar a divisão de ( )f x 
por ( )g x em [ ]x . Basta notar que o algoritmo de Euclides for-
neceria um único quociente ( ) [ ] [ ]q x x x∈ ⊆  , mas o Exemplo 
1.2.3 mostrou que tal quociente é 
2( ) 1 [ ]
3
q x x x= + ∉ .
O fato de não podermos aplicar o algoritmo de Euclides para 
quaisquer ( )f x , ( ) [ ]g x x∈ , ( ) 0g x ≠ ocorre porque  não satis-
faz as hipóteses do Teorema 1.2.1, pois  não é corpo.
35
Veremos a seguir que o algoritmo de Euclides pode ser aplicado, 
com restrições, para efetuar a divisão do polinômio ( ) [ ]f x A x∈ 
pelo polinômio ( ) [ ]g x A x∈ , ( ) 0g x ≠ , quando A é anel comutati-
vo com unidade. A restrição é que o coeficiente do termo de maior 
grau de ( )g x seja um elemento inversível do anel A .
Teorema 1.2.2 Seja A um anel comutativo com unidade. Dados ( )f x , 
( ) [ ]g x A x∈ , 0 1( ) ...
m
mg x b b x b x= + + + com ( )mb A∈ , existem úni-
cos ( )q x , ( ) [ ]r x A x∈ tais que 
( ) ( ) ( ) ( )f x g x q x r x= + , com ( ) 0r x = ou ( ) ( )( ) ( )r x g x∂ < ∂ .
Demonstração. Para provar a existência de ( )q x , ( ) [ ]r x A x∈ , 
procedemos da mesma maneira como fizemos na prova do Teo-
rema 1.2.1.
Vamos mostrar a unicidade.
Sejam ( )q x ,  ( )q x , ( )r x , ( ) [ ]r x A x∈ tais que
( ) ( ) ( ) ( )f x g x q x r x= + , com ( ) 0r x = ou ( ) ( )( ) ( )r x g x∂ < ∂
( ) ( ) ( ) ( )f x g x q x r x= +  , com ( ) 0r x = ou ( ) ( )( ) ( )r x g x∂ < ∂ .
Isso fornece a igualdade
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )g x q x q x r x r x− = − .
Suponha ( ) ( ) 0q x q x− ≠ .
Afirmação: ( ) ( ) ( ) 0( )g x q x q x− ≠ e 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )g x q x q x g x∂ − ≥ ∂ .
Escreva  0 1( ) ( ) ...
t
tq x q x c c x c x− = + + + , com 0tc ≠ . 
Se ( ) ( ) ( ) 0( )g x q x q x− = vem que 0m tb c = , e daí, 1 0m m tb b c− = , que 
leva à contradição 0tc = . Logo, ( ) ( ) ( ) 0( )g x q x q x− ≠ .
Desde que 0m tb c ≠ , temos:
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )g x q x q x m t m g x∂ − = + ≥ = ∂ .
Da afirmação acima podemos concluir que ( ) 0r x ≠ e ( ) 0r x ≠ . 
De fato, se ( ) 0r x = , então ( ) ( ) ( ) ( )( )g x q x q x r x− =  . Olhando para 
o grau, chegamos ao absurdo
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )g x g x q x q x r x g x∂ ≤ ∂ − = ∂ < ∂ .
36
Assim, ( ) 0r x ≠ , e analogamente ( ) 0r x ≠ . Isso garante que pode-
mos falar em ( )( )r x∂ e ( )( )r x∂  .
Finalmente,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( )( ) { ( ) ( )}( ) ( ) ( ) ( ).g x g x q x q x r x r x máx r x r x g x∂ ≤ ∂ − = ∂ − ≤ ∂ ∂ < ∂ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( )( ) { ( ) ( )}( ) ( ) ( ) ( ).g x g x q x q x r x r x máx r x r x g x∂ ≤ ∂ − = ∂ − ≤ ∂ ∂ < ∂ 
A contradição acima mostra que não podemos ter ( ) ( ) 0q x q x− ≠ . 
Portanto, ( ) ( )q x q x= e conseqüentemente ( ) ( )r x r x=  .

Observação 1.2.2 O teorema anterior assegura, em particular, 
que em [ ]x podemos dividir qualquer polinômio ( )f x por 
( ) ng x x a= − , a∈ e n ∗∈ .
Definição 1.2.1 Sejam A um anel e ( )f x , ( ) [ ]g x A x∈ . Dizemos 
que ( )g x divide ( )f x em [ ]A x quando existe ( ) [ ]h x A x∈ tal que 
( ) ( ) ( )f x g x h x= .
Notação. ( ) | ( )g x f x .
Definição 1.2.2 Sejam A um anel, 0 1( ) ... [ ]
n
nf x a a x a x A x= + + + ∈ e 
 Aa ∈ . Chamamos de valor de ( )f x em  o elemento
2
0 1 2( ) ...
n
nf a a a a   = + + + + .
Como A é anel e  0 1, , ,..., na a a Aa ∈ , temos que ( )f A ∈ .
Definição 1.2.3 Sejam A um anel e ( ) [ ]f x A x∈ . Dizemos que  Aa ∈ 
é raiz de ( )f x quando ( ) 0f  = .
A próxima proposição e seu corolário relacionam o algoritmo 
de Euclides com valor de polinômio em um elemento, e divisibili-
dade de polinômio com raiz. De forma mais precisa: a proposição 
diz que o resto da divisão Euclidiana de ( )f x , por x − é ( )f  , 
e o corolário assegura que  é raiz de ( )f x se, e somente se, x − 
divide ( )f x .
Proposição 1.2.1 Sejam A um anel comutativo com unidade e  Aa ∈ . Para 
( ) [ ]f x A x∈ existe ( ) [ ]q x A x∈ tal que ( ) ( ) ( ) ( )f x x q x f = − + .
37
Demonstração. Como  Aa ∈ , temos [ ]x A x− ∈ . De acordo com o 
Teorema 1.2.2, existem ( )q x , ( ) [ ]r x A x∈ tais que
( ) ( ) ( ) ( )f x x q x r x= − + , com ( ) 0r x = ou ( ) ( ) 1( ) ( )r x x ∂ < ∂ − = .
Isso assegura que ( )r x é constante.
Avaliando ( )f x no ponto  temos
( ) ( ) ( ) ( ).f q r    = − +
Como ( )r x é constante e ( ) ( )r f = , temos que ( ) ( )r x f = .
Logo, ( ) ( ) ( ) ( ).f x x q x f = − +

Corolário 1.2.1 Sejam A um anel comutativo com unidade,  Aa ∈ e 
( ) [ ]f x A x∈ . São equivalentes:
(a)  é raiz de ( )f x .
(b) ( ) | ( )x f x− .
Demonstração. (a) ⇒ (b) De acordo com a Proposição 1.2.1, existe 
( ) [ ]q x A x∈ tal que
( ) ( ) ( ) ( )f x x q x f = − + .
Como  é raiz de ( )f x , temos ( ) 0f  = . Segue que ( ) | ( ).x f x−
(b) ⇒ (a) Por hipótese, existe ( ) [ ]q x A x∈ tal que 
( ) ( ) ( )f x x q x= − .
Avaliando ( )f x em , temos
( ) ( ) ( ) 0.f q   = − =
Logo  é raiz de ( )f x .

Observação 1.2.3 O corolário acima é devido a D’Alembert 
(1717 – 1783).
Exemplo 1.2.4 Determine o resto da divisão de 
4 3 2( ) 2 2 3f x x x x x= − + − − por ( ) 1g x x= − , em [ ]x .
Pela Proposição 1.2.1, o resto procurado é
( ) (1) 2 1 1 2 3 3r x f= = − + − − = − .
38
Exemplo 1.2.5 Determine o resto da divisão de 
5 4 3 2( ) 1f x x x x x x= + + + + + por ( ) 1g x x= + , em [ ]x .
Desde que ( ) ( 1)g x x= − − , o resto procurado é
( ) ( 1) 0r x f= − = .
Exemplo 1.2.6 Determinar k∈ tal que 4 2( ) 2 8f x x kx x= + + − 
seja divisível por ( ) 2g x x= + , em [ ]x .
De acordo com o Corolário 1.2.1, isso ocorre exatamente quando 
( 2) 0f − = . Fazendo as contas,
0 ( 2) 16 4 4 8f k= − = + − −
1k = − .
Exemplo 1.2.7 Determinar a e b em  tais que 1( ) 1g x x= + e 
2 ( ) 2g x x= + dividam3 2( ) 2 2f x x ax bx= + + − .
 Devemos ter ( 1) 0f − = e ( 2) 0f − = .
 
0 ( 1) 2 2
0 ( 2) 16 4 2 2
f a b
f a b
= − = − + − −
 = − = − + − −
 
4
2 9
a b
a b
− =
 − =
Logo, 5a = e 1b = .
Exemplo 1.2.8 Um polinômio ( )f x dividido por ( 3)x − tem resto 
6 , e dividido por ( 5)x − , tem resto 8 . Calcular o resto da divisão 
de ( )f x por ( 3) ( 5)x x− − .
Pela Proposição 1.2.1 sabemos que (3) 6f = e (5) 8f = .
Pelo algoritmo de Euclides,
( ) ( 3) ( 5) ( ) ( )f x x x q x r x= − − + com ( ) 0r x = ou ( ) 2( )r x∂ < .
Segue que ( )r x é da forma ( )r x a bx= + , então basta calcular a e 
b . Note que
 6 (3) (3) 3f r a b= = = +
 8 (5) (5) 5f r a b= = = + .
Isso fornece o sistema
 3 6
5 8
a b
a b
+ =
 + = .
Logo, 3a = e 1b = , isto é, ( ) 3r x x= + .
39
Veremos agora que o grau de um polinômio, com coeficientes 
em um domínio, é uma cota superior para o número de raízes 
deste polinômio.
Proposição 1.2.2 Sejam A um domínio, ( ) [ ]f x A x∈ e ( ) 0f x ≠ . En-
tão o número de raízes de ( )f x em A não ultrapassa ( )( )f x∂ .
Demonstração. Desde que ( ) 0f x ≠ , podemos falar em grau de 
( )f x . Seja ( )( )n f x= ∂ . Faremos a demonstração usando o Pri-
meiro Princípio de Indução sobre n .
Se 0n = então 0( ) 0f x a= ≠ . Logo ( )f x não tem raiz e a proposi-
ção está provada.
Seja 0n > e admita que todo polinômio de grau 1n − tenha no 
máximo 1n − raízes em A .
Note que se ( )f x não tem raiz em A , nada temos para fazer, pois 
neste caso o número de raízes é 0 , que é menor que ( )( )f x n∂ = .
Admita então que ( )f x tenha raiz  Aa ∈ . Pelo Corolário 1.1.1, po-
demos escrever
( ) ( ) ( )f x x q x= − , ( ) [ ]q x A x∈ .
Se ( )f x só possui a raiz  em A , temos que o número de raízes 
é 1 ( )( )f x≤ ∂ . 
Se ( )f x tem raiz  Ab ∈ e b a≠, então  é raiz de ( )q x . 
De fato, 0 ( ) ( ) ( )f q   = = − , e como b a≠ e A é domínio, vem 
que ( ) 0q  = . Como [ ]A x é domínio, a Proposição 1.1.1 (4) permi-
te concluir que
( ) ( ) ( ) 1 ( )( ) ( ) ( ) ( )n f x x q x q x= ∂ = ∂ − + ∂ = + ∂ .
Logo, ( ) 1( )q x n∂ = − , e pela hipótese de indução, ( )q x tem no má-
ximo 1n − raízes em A . Portanto, ( )f x tem no máximo n raízes 
em A , pois as raízes de ( )f x são  e as raízes de ( )q x .

A Proposição 1.2.2 assegura que um polinômio não nulo de 
grau n com coeficientes em  ,  ,  ,  , p , p   , p   , 
 primop = primo, tem no máximo n raízes.
O exemplo seguinte mostra que a hipótese de A ser domínio 
é essencial para limitarmos o número de raízes pelo grau do 
polinômio.
40
Exemplo 1.2.9 O polinômio 2( )f x x x= + tem 4 raízes em 6 .
De fato: 
(0) 0 0 é raiz
(1) 2 1 não é raiz
(2) 0 2 é raiz
(3) 0 3 é raiz
(4) 2 4 não é raiz
(5) 0 5 é raiz.
f
f
f
f
f
f
= ⇒
= ⇒
= ⇒
= ⇒
= ⇒
= ⇒
Uma conseqüência interessante da Proposição 1.2.2 é que dois 
polinômios de grau n , com coeficientes em um domínio, coinci-
dem quando seus valores coincidirem em 1n + pontos distintos.
Corolário 1.2.2 Sejam A um domínio, ( )f x , ( ) [ ]g x A x∈ e 
( ) ( )( ) ( )f x g x n∂ = ∂ = . Se existirem 1, 2,...,n+11 2 1, ,..., n Aa a a + ∈ , dois a dois distin-
tos, tais que ( ) ( )i if g = , 1,2,..., 1i n= + , então ( ) ( )f x g x= .
Demonstração. Suponha que ( ) ( )f x g x≠ . Então 
( ) ( ) ( ) [ ]h x f x g x A x= − ∈ , ( ) 0h x ≠ e ( )( )h x n∂ ≤ . Para cada 
{1,2,..., 1}i n∈ + , temos
( ) ( ) ( ) 0.i i ih f g  = − =
Isso diz que ( )h x tem mais de n raízes em A , contradizendo a 
Proposição 1.2.2. Portanto, ( ) ( )f x g x= .

Sejam A um anel comutativo com unidade,  Aa ∈ e ( ) [ ]f x A x∈ 
( ) 0f x ≠ . Sabemos que
 é raiz de ( )f x ⇔ ( ) | ( )x f x− .
Neste caso, podemos escrever
1( ) ( ) ( )f x x q x= − , 1( ) [ ]q x A x∈ .
	•	 Se 1( ) 0q  ≠ , então  não é raiz de 1( )q x , e dizemos que  é 
uma raiz simples (ou raiz de multiplicidade 1) de ( )f x .
Se •	 1( ) 0q  = então  é raiz de 1( )q x e dizemos que  é raiz 
múltipla de ( )f x . Como 1( ) | ( )x q x− , podemos escrever
1 2( ) ( ) ( )q x x q x= − , 2 ( ) [ ]q x A x∈
2
2( ) ( ) ( ).f x x q x= −
41
Se •	 2 ( ) 0q  ≠ , então  é raiz de multiplicidade 2 de ( )f x .
Se •	 2 ( ) 0q  = , então  é raiz de 2 ( )q x e 2( ) | ( )x q x− .
Segue que
 2 3( ) ( ) ( )q x x q x= − , 3 ( ) [ ]q x A x∈
 3
3( ) ( ) ( ).f x x q x= −
Se •	 3 ( ) 0q  ≠ , então a é raiz de multiplicidade 3 de ( )f x .
Se •	 3 ( ) 0q  = , seguimos o processo.
Proposição 1.2.3 O processo descrito acima é finito, isto é, existe r ∗∈ 
tal que ( ) ( ) ( )r rf x x q x= − , com ( ) [ ]rq x A x∈ e ( ) 0rq  ≠ .
Demonstração. Seja ( )( )n f x= ∂ e suponha que o processo não 
seja finito. Então podemos escrever
1
1( ) ( ) ( )
n
nf x x q x + += − , com 1( ) [ ]nq x A x+ ∈ e 1( ) 0nq + = .
Segue que 1 1( ) ( ) ( ) .( ) ( )n nx q x f x n + +∂ − = ∂ =
Por outro lado, como 1( ) 0nq x+ ≠ , podemos escrever:
1 0 1( ) ...
t
n tq x a a x a x+ = + + + , com 0ta ≠ e 0t ≥ .
Segue que o termo de maior grau do polinômio 1 1( ) ( )
n
nx q x + +−
é 1 1n t n tt tx a x a x
+ + += . Logo, 1 1( ) ( ) 1( )n nx q x n t n + +∂ − = + + > , o que é 
uma contradição.
Portanto, o processo é finito, ou seja, existe r ∗∈ tal que
( ) ( ) ( )r rf x x q x= − , com ( ) [ ]rq x A x∈ e ( ) 0rq  ≠ .

Definição 1.2.4 Sejam A um anel comutativo com unidade e Aα∈ 
uma raiz de ( ) [ ]f x A x∈ , ( ) 0f x ≠ . Dizemos que  é raiz de multi-
plicidade r , r ∗∈ quando
( ) ( ) ( )rf x x q x= − , com ( ) [ ]q x A x∈ e ( ) 0q  ≠ .
Observação 1.2.4 Com a notação usada na definição anterior, te-
mos que  é raiz de multiplicidade r de ( )f x exatamente quando 
( ) | ( )rx f x− e 1( ) | ( )rx f x +− / .
42
Observação 1.2.5 A multiplicidade de raiz não está definida para 
o polinômio nulo.
Exemplo 1.2.10 Determinar a multiplicidade da raiz 2 do polinô-
mio 4 3 2( ) 3 5 2f x x x x x= + − − − .
Dividindo ( )f x por 2x − temos
 
3 2( ) ( 2) ( 3 3 1)f x x x x x= − + + + .
Como 2 não é raiz de 3 21( ) 3 3 1q x x x x= + + + , pois 1(2) 0q ≠ , te-
mos que 2 é raiz simples (multiplicidade 1) de ( )f x .
Exemplo 1.2.11 Determinar a multiplicidade da raiz 1− do poli-
nômio 4 3 2( ) 3 5 2 [ ]f x x x x x x= + − − − ∈ .
Dividindo ( )f x por 1x + temos
 3( ) ( 1) ( 3 2)f x x x x= + − − .
Como 1− é raiz de 31( ) 3 2q x x x= − − , pois 1( 1) 0q − = , dividimos 
1( )q x por 1x + .
2
1( ) ( 1) ( 2)q x x x x= + − − .
Como 1− é raiz de 22 ( ) 2q x x x= − − , pois 2 ( 1) 0q − = , dividimos 
2 ( )q x por 1x + .
2 ( ) ( 1) ( 2)q x x x= + − .
É claro que 1− não é raiz de 3 ( ) ( 2)q x x= − .
Assim, 3( ) ( 1) ( 2)f x x x= + − e 1− é raiz de multiplicidade 3 de 
( )f x .
Determinar a multiplicidade de uma raiz, fazendo divisões, 
pode ser um trabalho demorado quando a multiplicidade é um 
número relativamente grande. Existe um procedimento mais prá-
tico para determinar a multiplicidade. Este procedimento usa o 
conceito de derivada formal de um polinômio.
Definição 1.2.5 Sejam A um anel comutativo com unidade e 
0 1( ) ... [ ]
n
nf x a a x a x A x= + + + ∈ . Chamamos de derivada formal de 
( )f x o polinômio
2 1
1 2 3( ) 2 3 ... [ ]
n
nf x a a x a x na x A x
−= + + + + ∈ .
43
Por recorrência,
 (2)( ) ( )f x f x= é a derivada formal de ( )f x ,
 (3)( ) ( )f x f x= é a derivada formal de (2) ( )f x ,
 
 ( ) ( )rf x é a derivada formal de ( 1) ( )rf x− .
Observação 1.2.6 No caso em que o anel A é o corpo  dos 
números reais, a definição de derivada formal de um polinômio 
coincide com a definição de derivada estudada no curso de cál-
culo. A palavra “formal” se deve ao fato de que em um anel qual-
quer nãotemos o conceito de limite, como estudado em  , que 
leva à definição de derivada.
Exemplo 1.2.12 A derivada formal de 
2( ) (2 3 ) (1 ) ( 3 2 ) [ ]f x i i x i x x= + + − + + ∈ é 
( ) (1 ) (2 3 4 )f x i i x= − + + .
O lema a seguir mostra que as regras de derivação da soma e 
do produto de polinômio valem para a derivada formal.
Lema 1.2.1 Sejam A um anel comutativo com unidade e ( )f x , 
( ) [ ]g x A x∈ .
(a) ( ) ( ) ( ) ( )( )f x g x f x g x+ = +   .
(b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )f x g x f x g x f x g x= +   .
Demonstração. Sejam 0 1( ) ...
n
nf x a a x a x= + + + 
0 1( ) ...
m
mg x b b x b x= + + + .
Sem perda de generalidade, consideramos que n m≥
(a) 
1 1
1 1 2 2 1( ) ( ) 2( ) ... ( ) ( 1) ...( ) m m nm m m nf x g x a b a b x m a b x m a x na x− −++ = + + + + + + + + + + 
( ) 1 11 1 2 2 1( ) ( ) 2( ) ... ( ) ( 1) ...m m nm m m nf x g x a b a b x m a b x m a x na x− −++ = + + + + + + + + + +
1 1
1 2 1( 2 ... ( 1) ... )
m m n
m m na a x ma x m a x n a x
− −
+= + + + + + + + +
1
1 2( 2 ... )
m
mb b x mb x
−+ + + +
( ) ( )f x g x= +  .
1
0 0 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... .
m m n
m m m nf x g x a b a b x a b x a x a x
+
++ = + + + + + + + + +
44
(b) Escreva 0 1( ) ( ) ...
n m
n mf x g x c c x c x
+
+= + + + onde k i j
i j k
c a b
+ =
= ∑ .
1 1
1 2( ) ( ) 2 ... ... ( )( ) m n mm n mf x g x c c x mc x n m c x− + −+= + + + + + +
1
0 1 1 0 0 2 1 1 2 0 0 1 1 0( ) 2( ) ... ( ... ) ...
m
m m ma b a b a b a b a b x m a b a b a b x
−
−= + + + + + + + + + +
1
0 1 1 0 0 2 1 1 2 0 0 1 1 0( ) 2( ) ... ( ... ) ...
m
m m ma b a b a b a b a b x m a b a b a b x
−
−= + + + + + + + + + +
1 1
1 1 0... ( ... ) ... ( ) .
n n m
n m m n m m n n mn a b a b a b x n m a b x
− + −
− − + −+ + + + + + +
1 1
1 1 0... ( ... ) ... ( ) .
n n m
n m m n m m n n mn a b a b a b x n m a b x
− + −
− − + −+ + + + + + +
Fazendo agrupamentos convenientes, chegamos a
1 1
0 1 2 1 1 2( ) ( ) ( 2 ... ) ( 2 ... ) ...( ) m mm mf x g x a b b x mb x a x b b x mb x− −= + + + + + + + + +
1 1
0 1 2 1 1 2( ) ( ) ( 2 ... ) ( 2 ... ) ...( ) m mm mf x g x a b b x mb x a x b b x mb x− −= + + + + + + + + + 11 2 1 0 1( 2 ... ) ( ... )n m mn m ma x b b x mb x a b b x b x−+ + + + + + + + +
1
1 2 1 0 1( 2 ... ) ( ... )
n m m
n m ma x b b x mb x a b b x b x
−+ + + + + + + + + 12 0 1 0 12 ( ... ) ... ( ... )
m n m
m n ma x b b x b x na x b b x b x
−+ + + + + + + + +
1
2 0 1 0 12 ( ... ) ... ( ... )
m n m
m n ma x b b x b x na x b b x b x
−+ + + + + + + + +
1
1 2 0 1( 2 ... ) ( ... )
n m
n ma a x na x b b x b x
−= + + + + + + +
1
0 1 1 2( ... ) ( 2 ... )
n m
n ma a x a x b b x mb x
−+ + + + + + +
( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x= +  .

Proposição 1.2.4 Sejam A um domínio,  Aa ∈ e ( ) [ ]f x A x∈ , 
( ) 0f x ≠ . São equivalentes:
(i)  é raiz de multiplicidade r de ( )f x .
(ii) ( 1)( ) ( ) ( ) ... ( ) 0rf f f f   −= = = = =  e ( ) ( ) 0rf  ≠ .
Demonstração. (i) ⇒ (ii) Usaremos o Primeiro Princípio de Indu-
ção sobre r . 
Quando 1r = , temos ( ) ( ) ( )f x x q x= − para algum ( ) [ ]q x A x∈ 
e ( ) 0q  ≠ .
Segue que ( ) ( ) ( ) ( )f x q x x q x= + −  . Assim, ( ) 0f  = e 
( ) ( ) 0f q = ≠ . Portanto, vale para 1r = .
Assuma que (ii) vale para r , isto é, se  é raiz de multiplicidade r 
de ( ) [ ]g x A x∈ , então
( 1)( ) ( ) ... ( ) 0rg g g  −= = = = e ( ) ( ) 0rg  ≠ .
45
Devemos provar que vale para 1r + . Para tanto, consideramos 
que  é raiz de multiplicidade 1r + de ( )f x . Segue que 
1( ) ( ) ( )rf x x q x += − , ( ) [ ]q x A x∈ e ( ) 0q  ≠ .
Chame ( ) ( ) ( )rg x x q x= − . Como ( ) 0q  ≠ , temos que r é raiz de 
multiplicidade r de ( )g x . Pela hipótese de indução, concluímos 
que ( 1)( ) ( ) ... ( ) 0rg g g  −= = = = e ( ) ( ) 0rg  ≠ .
Agora ( ) ( ) ( )f x g x x = − e claramente ( ) 0f  = . Além disso,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0f x g x x g x f g  = − + ⇒ = =   ;
( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 0f x g x x g x f g  = − + ⇒ = =     ;

( 1) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2)( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) 0r r r r rf x g x x r g x f r g  − − − − −= − + − ⇒ = − =
( 1) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2)( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) 0r r r r rf x g x x r g x f r g  − − − − −= − + − ⇒ = − = ;
( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0r r r r rf x g x x r g x f r g  − −= − + ⇒ = =
( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0r r r r rf x g x x r g x f r g  − −= − + ⇒ = = ;
( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( )( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) 0r r r r rf x g x x r g x f r g  + + += − + + ⇒ = + ≠
( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( )( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) 0r r r r rf x g x x r g x f r g  + + += − + + ⇒ = + ≠ .
Note, na linha acima, que 1 0r + ≠ e ( ) ( ) 0rg  ≠ garante que 
( )( 1) ( ) 0rr g + ≠ , pois [ ]A x é domínio.
(ii) ⇒ (i) Novamente usaremos o Primeiro Princípio de Indução 
sobre r .
Quando 1r = , a hipótese (ii) diz que ( ) 0f  = e ( ) 0f  ≠ .
De ( ) 0f  = temos que  é raiz de ( )f x . Escrevemos então 
( ) ( ) ( )f x x q x= − , ( ) [ ]q x A x∈ .
Derivando:
( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ).f x q x x q x f q  = + − ⇒ ≠ =  
Segue que  é raiz de multiplicidade 1 de ( )f x . 
Agora vamos assumir que vale para r , isto é, se ( ) [ ]g x A x∈ , 
( 1)( ) ( ) ... ( ) 0rg g g  −= = = = e ( ) ( ) 0rg  ≠ então  é raiz de mul-
tiplicidade r de ( )g x .
Devemos provar que vale para 1r + . Para isso, consideramos 
( ) [ ]f x A x∈ com ( )( ) ( ) ... ( ) 0rf f f  = = = = e ( 1) ( ) 0rf + ≠ .
Desde que ( ) 0f  = , temos que  é raiz de ( )f x . Vamos verificar 
que a multiplicidade de  é 1r + .
46
Escrevendo ( ) ( ) ( )f x x g x= − , ( ) [ ]g x A x∈ e derivando, temos:
( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )f x g x x g x f g  = + − ⇒ = =   ;
( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 2 ( ) ( ) 0f x g x x g x f g g   = + − ⇒ = = ⇒ =     
( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 2 ( ) ( ) 0f x g x x g x f g g   = + − ⇒ = = ⇒ =      ;

( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1)( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0r r r r r rf x r g x x g x f r g g   − − −= + − ⇒ = = ⇒ =
( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1)( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0r r r r r rf x r g x x g x f r g g   − − −= + − ⇒ = = ⇒ = ;
( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( )( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( 1) ( ) ( ) 0r r r r r rf x r g x x g x f r g g   + + += + + − ⇒ ≠ = + ⇒ ≠
( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( )( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( 1) ( ) ( ) 0r r r r r rf x r g x x g x f r g g   + + += + + − ⇒ ≠ = + ⇒ ≠ .
Pela hipótese de indução,  é raiz de multiplicidade r de ( )g x . 
Assim, existe ( ) [ ]q x A x∈ tal que
( ) ( ) ( )rg x x q x= − , ( ) 0.q  ≠
Substituindo em ( ) ( ) ( )f x x g x= − , vem que
1( ) ( ) ( )rf x x q x += − , ( ) 0.q  ≠
Logo,  é raiz de multiplicidade 1r + de ( )f x .

Agora vamos refazer o Exemplo 1.2.11 usando a Proposição 1.2.4.
Exemplo 1.2.13 Determinar a multiplicidade da raiz 1− como raiz 
dos polinômios 4 3 2( ) 3 5 2 [ ]f x x x x x x= + − − − ∈ ;
( 1) 0f − = ;
3 2
2
( ) 4 3 6 5 ( 1) 0
( ) 12 6 6 ( 1) 0
( ) 24 6 ( 1) 0
f x x x x f
f x x x f
f x x f
= + − − ⇒ − =
= + − ⇒ − =
= + ⇒ − ≠
 
 
 
Logo, 1− é raiz de multiplicidade 3 de ( )f x . Dividindo ( )f x por 
3( 1)x + , obtemos 3( ) ( 1) ( 2)f x x x= + − .
Vimos acima que 4 3 2( ) 3 5 2 [ ]f x x x x x x= + − − − ∈ pode ser 
escrito como 
3( ) ( 1) ( 2)f x x x= + − .
Além disso, como 1− é raiz de multiplicidade 3 de ( )f x e 2 é 
47
raiz de multiplicidade 1, temos que a soma das multiplicidades 
das raízes não ultrapassa ( )( )f x∂ . Veremos agora que este resul-
tado vale para todo polinômio com coeficientes em um domínio.
Proposição 1.2.5 Sejam A um domínio, ( ) [ ]f x A x∈ , ( ) 0f x ≠ e 
1, 2,..., t12, ,..., t Aa a a ∈ as raízes distintas de ( )f x com multiplicidade 1 2, ,..., tr r r 
respectivamente. Então 1 2 ... ( )( )tr r r f x+ + + ≤ ∂ .
Demonstração. Como 1 é raiz de multiplicidade 1r , temos
1
1 1( ) ( ) ( )
rf x x q x= − , com 1( ) [ ]q x A x∈ e 1 1( ) 0q  ≠ .
Como 2 é raiz de ( )f x , 22 1a a≠ 1 e [ ]A x é domínio, segue que 2 
é raiz de 1( )q x . Levando em consideração a multiplicidade de a2, 
escrevemos
1 2
1 2 2( ) ( ) ( ) ( )
r rf x x x q x = − − , com 2 ( ) [ ]q x A x∈ e 2 2( ) 0q  ≠ .
Seguindo o processo,
1 2
1 2( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )t
r rr
t tf x x x x q x  = − − − com ( ) [ ]tq x A x∈ .
Usando a propriedade do grau de polinômio em domínios, vem que
1 2
1 2( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )t
r rr
t tf x x x x q x  ∂ = ∂ − + ∂ − + + ∂ − + ∂
1 2 ... ( )( )t tr r r q x= + + + + ∂
1 2 ... .tr r r≥ + + +

Observação 1.2.7 A Proposição 1.2.2 pode ser vista como um caso 
particular da proposição anterior. De fato, se ( ) [ ]f x A x∈ não tem 
raiz em A , a Proposição 1.2.2 está provada. Caso tenha raízes em 
A , o número destas raízes é menor ou igual à soma das multipli-
cidades das raízes. Então, pela Proposição 1.2.5 vem que o núme-
ro de raízes é menor ou igual a ( )( )f x∂ .
48
Lista de Exercícios
1) Determine o quociente e o resto da divisão de ( )f x por 
( )g x .
a) 4 2( ) 4 6 2f x x x= − + e 
2( ) 1g x x= − em [ ]x .
b) 3( ) 4 3f x x x= − + e 
2( ) 2 2 6g x x x= + − em [ ]x .
c) 2( ) 1f x x= + e ( ) 1g x x= + em 2 [ ]x .
2) Determine ,a b∈ para que 4 3 2( ) 3 2f x x x x ax b= + + + + divi-
dido por 2( ) 1g x x x= + + tenha resto 7 5x − . Qual é o quociente?
3) Calcule o resto da divisão de
10 9 8 7 6 5 4 3 2( ) 1f x x x x x x x x x x x= + + + + + + + + + + por ( ) 1g x x= − .
4) Sejam A um anel e ( ) [ ]p x A x∈ . Mostre que a soma dos 
coeficientes de ( )p x é (1)p . Qual é a soma dos coeficientes de 
4 3 2 10( ) (7 3 4 2 1) [ ]p x x x x x x= − − − + ∈ ?
5) Determine o valor de k∈ para que 3 2( ) 3 2f x x x k x= + + 
seja divisível por 3x + em [ ]x .
6) Determine ( ) [ ]f x x∈ sabendo que ( ) 2( )f x∂ = , 1 2
3 3
f   =  
 e 
que as raízes de ( )f x são 0 e 3 .
7) Um polinômio ( ) [ ]f x x∈ dividido por 1x − tem resto 2 , e 
dividido por 4x + tem resto 4 . Calcule o resto da divisão de ( )f x 
por 2 3 4x x+ − .
8) Seja ( ) [ ]f x x∈ . Se a ∈ é raiz de ( )f x , mostre que o con-
jugado de  também é raiz de ( )f x .
9) Mostre, através de um contra–exemplo, que o resultado do 
exercício anterior pode não valer quando ( ) [ ]f x x∈ .
49
10) Mostre que, se 2( ) [ ]f x ax bx c x= + + ∈ , 0a ≠ , então as ra-
ízes de ( )f x são 2 4
2
b b a c
a
− ± − .
11) Seja 0 1( ) ... [ ]nnf x a a x a x x= + + + ∈ um polinômio de grau 
1n ≥ .
a) Mostre que, se 
r
s
∈ , ( , ) 1mdc r s = é raiz de ( )f x , então 
| ns a e 0|r a .
Sugestão: Calcule 
rf
s
 
  
 e iguale a zero. Multiplique por sn. 
Isole anr
n para concluir que s|an. Isole a0s
n para concluir que r|a0.
b) Conclua que, se 1na = , então toda raiz racional de ( )f x é 
inteira.
c) Conclua que toda raiz inteira de ( )f x deve dividir 0a .
12) Calcule as raízes de 3 2( ) 2 5 6f x x x x= + − − .
13) Calcule as raízes de 3 8( ) [ ]f x x x= ∈ .
14) Calcule a multiplicidade de 1− como raiz de 
5 4 3 2( ) 5 8 4f x x x x x x= − − + + + .
15) Determine a e b para que 1 seja raiz de multiplicidade 3 
de 5 4 3 2( ) 2 5 9 12f x x ax x bx x= + − + − + .
50
1.3 Irredutibilidade
Em Álgebra I, estudamos elementos irredutíveis em um do-
mínio qualquer. Agora estudaremos elementos irredutíveis em 
domínios de polinômios. Tais elementos são chamados de poli-
nômios irredutíveis.
Veremos que os polinômios irredutíveis são aqueles que não 
podem ser decompostos como produto de outros polinômios não 
inversíveis. Desta forma, os polinômios irredutíveis do domínio 
[ ]D x são os análogos dos números primos do domínio  .
Em geral, a tarefa de conhecer todos os polinômios irredutíveis 
de [ ]D x , quando D é domínio ou corpo, não é trivial. Mesmo 
no caso de domínios de polinômios que estamos acostumados a 
trabalhar, como por exemplo [ ]x e [ ]x , podem-se estabelecer 
alguns critérios e conhecer polinômios irredutíveis específicos, 
mas conhecer todos é muito difícil.
Existem situações especiais em que conhecemos todos os poli-
nômios irredutíveis. Uma delas é de polinômios em [ ]x , em que 
é possível provar que os polinômios irredutíveis são exatamen-
te os polinômios de grau 1 e os polinômios de grau 2 que têm 
discriminante negativo. Outro caso em que conhecemos todos os 
polinômios irredutíveis é quando trabalhamos em [ ]K x , onde K 
é um corpo algebricamente fechado, isto é, todo polinômio não 
constante de [ ]K x , tem todas as raízes em K . No caso de K ser 
algebricamente fechado, pode-se provar que os únicos polinô-
mios irredutíveis são os polinômios de grau 1.
O principal exemplo de corpo algebricamente fechado é o cor-
po  dos números complexos. Este resultado é conhecido como 
Teorema Fundamental da Álgebra, e foi provado por Karl F. Gauss 
(1777 – 1855) em 1799. A demonstração deste teorema não é trivial. 
O leitor interessado pode encontrá-la na página 435 do livro [5] da 
bibliografia.
Enunciamos a seguir o Teorema Fundamental da Álgebra, que 
será usado inicialmente para verificar que todo polinômio não 
constante de [ ]x pode ser decomposto como produto de fatores 
de grau 1. 
51
Teorema 1.3.1 Teorema Fundamental da Álgebra.
Todo polinômio não constante de [ ]x tem todas as suas raízes em  .

Seja 0 1( ) ... [ ]
n
nf x a a x a x x= + + + ∈ , ( )( )f x n∂ = . Pelo Teorema 
1.3.1, existe 11a ∈ tal que 1 é raiz de ( )f x . Assim, 
1 1( ) ( ) ( )f x x q x= − , com 1( ) [ ]q x x∈ e 1( ) 1( )q x n∂ = − .
Se 1 0n − ≠ , aplicamos novamente o Teorema 1.3.1, obtendo 
2 2a ∈ tal que 2 é raiz de 1( )q x . Logo,
1 2 2( ) ( ) ( )q x x q x= − , com 2 ( ) [ ]q x x∈ e 2 ( ) 2( )q x n∂ = − ;
1 2 2( ) ( ) ( ) ( ).f x x x q x = − −
Se 2 0n − ≠ , seguimos o processo. Claro que chegaremos a
1 2( ) ( ) ( )...( ) ( )n nf x x x x q x  = − − − , com ( ) 0( )nq x∂ = .
Segue que ( )nq x é polinômio constante. Além disso, pela igualda-
de dos coeficientes da variável x obtido na equação acima, temos 
que ( )n nq x a= . Portanto,
1 2( ) ( ) ( )...( ).n nf x a x x x  = − − −
Desta forma, decompusemos ( )f x em fatores de grau 1 (fato-
res lineares) em [ ]x . Note que tal decomposição não pode ser 
feita em um anel qualquer [ ]A x , pois nem sempre todas as raízes 
estão em [ ]A x .
Exemplo 1.3.1 Seja 3 2( ) 2 2 [ ]f x x x x x= − − + ∈ . Como (1) 0f = e ,
' (1) 0f ≠ temos que 1 é raiz simples de ( )f x .
Dividindo ( )f x por 1x − temos
2( ) ( 1) ( 2)f x x x= − − .
Segue que as outras raízes de ( )f x são 2 , 2− ∉ .
Portanto, a decomposição de ( )f x em [ ]x ou [ ]x é
2( ) ( 1) ( 2)f x x x= − − .
Por outro lado, a decomposição de ( )f x em [ ]x ou [ ]x é
( ) ( 1) ( 2) ( 2)f x x x x= − − + .
52
Exemplo 1.3.2 O polinômio 2( ) 1 [ ]f x x x= + ∈ tem raízes i± . A 
decomposição de ( )f x em [ ]x , [ ]x ou [ ]x é
2( ) 1f x x= + .
A decomposição de ( )f x em [ ]x é
( ) ( ) ( )f x x i x i= − + .
Nos exemplos acima, vimos que um polinômio ( ) [ ]f x D x∈ , 
em que D é domínio ou corpo, nem sempre pode ser decomposto 
em fatores lineares de [ ]D x . Surge a pergunta seguinte:
Existe uma maneira “padrão” para decompor ( )f x ?
A resposta é sim. Para decompor ( ) [ ]f x D x∈ em [ ]D x usa-
mos os elementos irredutíveis do domínio [ ]D x .
Na definição abaixo apresentaremos o conceito de elemento 
irredutível no domínio [ ]D x . Chamamosa atenção para o fato 
de que esta definição é caso particular da definição de elemento 
irredutível, estudado no curso de Álgebra I.
Definição 1.3.1 Seja D um domínio. Dizemos que ( ) [ ]p x D x∈ é ir-
redutível em [ ]D x quando:
(a) ( )p x é não nulo e não inversível em [ ]D x ;
(b) ( ) ( ) ( )p x f x g x= com ( )f x , ( ) [ ]g x D x∈ , então ( )f x ou 
( )g x é inversível em [ ]D x .
Se D é domínio, segue da Proposição 1.1.2 que os elementos in-
versíveis de [ ]D x coincidem com os elementos inversíveis de D , 
isto é, ( [ ]) ( )D x D=  . Assim, podemos reescrever as condições 
(a) e (b) acima como:
(a’) ( ) [ ] ( )p x D x D∗∈  .
(b’) ( ) ( ) ( )p x f x g x= com ( )f x , ( ) [ ]g x D x∈ ⇒ ( ) ( )f x D∈ 
ou ( ) ( )g x D∈ .
Definição 1.3.2 Seja D um domínio. Dizemos que ( ) [ ]p x D x∈ é re-
dutível em [ ]D x quando:
(a) ( ) [ ] ( )p x D x D∗∈  .
53
(b) Existem ( )f x , ( )g x não inversíveis em [ ]D x tais que 
( ) ( ) ( )p x f x g x= .
Observação 1.3.1 De acordo com as definições anteriores, o poli-
nômio nulo e os polinômios inversíveis não são irredutíveis nem 
redutíveis. Os demais polinômios serão redutíveis se puderem 
ser decompostos como produto de polinômios não inversíveis, e 
caso contrário, serão irredutíveis.
Apesar da irredutibilidade de polinômios ser definida para po-
linômios em [ ]D x , onde D é um domínio qualquer, nosso interesse 
neste curso é pelo estudo de polinômios irredutíveis em [ ]x , [ ]x , 
[ ]x e [ ]x . Por isso, nossos exemplos e resultados serão direcio-
nados para polinômios com coeficientes em  ,  ,  ou  .
Iniciamos com um resultado enunciado para um corpo qual-
quer K , tendo em mente as possibilidades K = ,  ou  .
Proposição 1.3.1 Sejam K um corpo e ( ) [ ]p x K x∈ .
(a) Se ( )p x é polinômio constante, então ( )p x não é redutível e nem 
irredutível em [ ]K x .
(b) Se ( ) 1( )p x∂ = , então ( )p x é irredutível em [ ]K x .
Demonstração. (a) É claro que o polinômio ( ) 0p x = não é redutível 
e nem irredutível. Se ( )p x a= , 0a ≠ , então ( )p x é polinômio inver-
sível de [ ]K x e, portanto, não é redutível nem irredutível em [ ]K x .
(b) Como ( ) 1( )p x∂ = , temos que ( ) [ ] ( )p x K x K∗∈  . Escreven-
do ( ) ( ) ( )p x f x g x= com ( )f x , ( ) [ ]g x K x∈ e usando os resulta-
dos sobre grau de polinômios, temos:
1 ( ) ( )( ) ( )f x g x= ∂ + ∂ .
Segue que ( ) 0( )f x∂ = ou ( ) 0( )g x∂ = . Assim, ( )f x ou ( )g x 
é polinômio constante não nulo. Logo, ( ) ( )f x K K∗∈ =  ou 
( ) ( )g x K K∗∈ =  .
Portanto, ( )p x é irredutível em [ ]K x .

54
Exemplo 1.3.3 Como caso particular da proposição anterior, ve-
mos que:
	•	 ( ) [ ]p x a x= ∈ não é redutível nem irredutível em [ ]x .
	•	 ( ) [ ]p x ax b x= + ∈ é irredutível em [ ]x quando 0a ≠ .
	•	 ( ) [ ]p x ax b x= + ∈ é irredutível em [ ]x quando 0a ≠ .
Vimos acima que todo polinômio de grau 1 em [ ]x é irre-
dutível em [ ]x . A próxima proposição mostra que estes são os 
únicos polinômios irredutíveis de [ ]x .
Proposição 1.3.2. Seja ( ) [ ]p x x∈ equivalentes.
(i) ( ) 1( )p x∂ = .
(ii) ( )p x é irredutível em [ ]x .
Demonstração. (i) ⇒ (ii) Segue do item (b) da Proposição 1.3.1.
(ii) ⇒ (i) Como ( )p x é irredutível em [ ]x , segue da Proposição 
1.3.1 (a) que ( )p x não é constante. Logo, ( ) 1( )p x∂ ≥ . Suponha 
( ) 1( )p x∂ > . Pelo Teorema 1.3.1, ( )p x possui raiz a ∈ , e então
( ) ( ) ( )p x x q x= − , ( ) [ ]q x x∈ .
Segue que ( ) 1 ( ) 1( ) ( )q x p x∂ + = ∂ > . Assim, ( ) 0( )q x∂ > . Desta 
forma, obtivemos uma decomposição de ( )p x como produto de 
dois polinômios não inversíveis de [ ]x , contradizendo a irredu-
tibilidade de ( )p x . Portanto, ( ) 1( )p x∂ = .

Observação 1.3.2 A proposição acima continua valendo se trocar-
mos  por um corpo K que seja algebricamente fechado.
Os polinômios irredutíveis de [ ]x estão perfeitamente carac-
terizados pela Proposição 1.3.2. Esta caracterização não vale para 
polinômios de [ ]x , [ ]x e [ ]x , isto é, existem polinômios ir-
redutíveis em [ ]x , [ ]x e [ ]x de grau diferente de 1. Veja o 
próximo exemplo.
Exemplo 1.3.4 O polinômio 2( ) 1p x x= + é irredutível em [ ]x , 
[ ]x e [ ]x .
É claro que ( )p x é não nulo e não inversível em [ ]x , [ ]x e 
[ ]x . 
55
Vamos ver que ( )p x não pode ser decomposto como produto de 
dois polinômios não inversíveis de [ ]x , [ ]x e [ ]x .
Escrevendo ( ) ( ) ( )p x f x g x= , vem que ( ) ( ) 2( ) ( )f x g x∂ + ∂ = .
Temos as possibilidades: ( ) 2( )f x∂ = e ( ) 0( )g x∂ = ; ( ) 2( )g x∂ = e 
( ) 0( )f x∂ = ; ( ) ( ) 1( ) ( )f x g x∂ = ∂ = .
As duas primeiras possibilidades são análogas, e por isso tratare-
mos apenas da primeira e da terceira.
1° Caso: ( ) 2( )f x∂ = e ( ) 0( )g x∂ = .
Sejam 2( )f x ax bx c= + + e ( )g x d= . A igualdade 
( ) ( ) ( )p x f x g x= diz que 1a d = . Portanto, ( )g x d= é inversível 
em [ ]x , [ ]x e [ ]x .
2° Caso: ( ) ( ) 1( ) ( )f x g x∂ = ∂ = .
Sejam ( )f x ax b= + e ( )g x c x d= + . A igualdade 
( ) ( ) ( )p x f x g x= leva ao sistema 
1
0
1
a c
a d b c
b d
=
 + =
 =
.
Multiplicando a segunda equação por c d e usando as outras 
duas, temos:
2 2( ) ( ) 0a c d b d c+ =
2 21 1 0d c+ =
2 2 0d c+ =
2 2d c= − .
Desde que esta equação não tenha solução em  , o segundo caso 
nunca pode ocorrer.
Portanto, 2( ) 1p x x= + é irredutível em [ ]x , [ ]x e [ ]x .
Proposição 1.3.3 
(a) Sejam D um domínio, ( ) [ ]p x D x∈ e ( ) 1( )p x∂ > . Se ( )p x tem 
raiz em D então ( )p x é redutível em [ ]D x .
(b) Sejam K um corpo, ( ) [ ]p x K x∈ e ( ) 2( )p x∂ = ou ( ) 3( )p x∂ = . 
Então: 
( )p x é redutível em [ ]K x ⇔ ( )p x tem raiz em K .
56
Demonstração. (a) Seja  Da ∈ uma raiz de ( )p x . Segue que
( ) ( ) ( )p x x q x= − , com ( )x − , ( ) [ ]q x D x∈ .
Como ( ) 1( )p x∂ > , temos que ( ) 1x ∂ − = e ( ) 1( )q x∂ ≥ .
Assim, x a− e ( )q x são polinômios não inversíveis de [ ]D x .
Logo, ( )p x é redutível em [ ]D x .
(b) ( )⇐ Segue do item (a).
( )⇒ Desde que ( )p x seja redutível em [ ]K x , existem 
( )f x , ( ) [ ]g x K x∈ , ( )f x e ( )g x não inversíveis, tais que 
( ) ( ) ( )p x f x g x= .
Como ( )p x tem grau 2 ou 3 e ( )f x e ( )g x não são constantes, 
vem que ( ) 1( )f x∂ = ou ( ) 1( )g x∂ = .
Sem perda de generalidade admitimos que ( ) 1( )f x∂ = , e escreve-
mos ( )f x a x b= + , 0a ≠ . Assim,
 ( ) ( ) ( )p x a x b g x= + .
Portanto, 1a b K−− ∈ é raiz de ( )p x .

Vamos usar a proposição anterior para refazer uma parte do 
Exemplo 1.3.4.
Exemplo 1.3.5 O polinômio 2( ) 1p x x= + é irredutível em [ ]x e 
[ ]x .
De fato, como as raízes de ( )p x não estão em  , basta aplicar a 
Proposição 1.3.3 (b).
O próximo exemplo mostra que:
Não vale a recíproca do item •	 (a) da Proposição 1.3.3.
A Proposição 1.3.3 •	 (b) ( )⇒ não vale para domínio que não 
é corpo.
Exemplo 1.3.6 O polinômio 2( ) 2 2 [ ]p x x x= + ∈ é redutível em 
[ ]x e não tem raiz em  .
É claro que ( )p x não tem raiz em  , pois suas raízes são i± . 
Para ver se é redutível, escrevemos 2( ) 2( 1)p x x= + . Desde que 
( ) 2f x = e 2( ) 1g x x= + sejam não-inversíveis em [ ]x , temos 
que ( )p x é redutível em [ ]x .
57
Pela Proposição 1.3.1, os polinômios constantes não são redutíveis 
nem irredutíveis em [ ]x , [ ]x e [ ]x . No exemplo a seguir, estu-
daremos a irredutibilidade dos polinômios constantes em [ ]x .
Exemplo 1.3.7. Seja ( ) [ ]p x a x= ∈ .
	•	 Se {0,1, 1}a∈ − , então ( )p x não é redutível nem irredutível 
em [ ]x .
	•	 ( )p x é irredutível em [ ]x ⇔ a é número primo.
É claro que o polinômio nulo ( ) 0p x = e os polinômios inversíveis 
( ) 1p x = ± não satisfazem