calculo 2 aula 11 - Área sob o gráfico de uma função

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Área sob o gráfico de uma função
Lembre-se de que, quando a função f é contínua e não negativa em [a,b], a integral definida representa a área sob o gráfico de f de a até b, ou seja,
Exemplo 1
Calcule a área sob o gráfico da função f , esboçada a seguir, no intervalo [0,4]. 
unidades de área (u.a.).
Considere uma função f contínua e não positiva em [a,b].
Deseja-se calcular a área entre o gráfico de f(x) e o eixo Ox, de a até b. 
Note que a área entre o gráfico de f(x) e o eixo Ox é igual à área sob o gráfico de função –f(x), de a até b.
Assim, você pode concluir que a área entre o gráfico de f(x) e o eixo Ox, de a até b, é dada pela integral:
u.a.
No exemplo ilustrado, tem-se:
Observe a área sob o gráfico da função – f(x), de a até b.
Exemplo 2: Calcule a área sombreada esboçada a seguir.
A1
A2
A3
u.a.
u.a.
u.a.
A =
A1
+ A2
+ A3
u.a.
Exemplo 3: Calcule a área sombreada esboçada a seguir.
Considere as áreas:
A área A entre os gráficos da funções pode ser calculada pela diferença:
A =
A1
- A2
Observe que a função f(x) = 4 – 2x é maior que a função g(x) = x2 + 1, para todo x  [0,1].
Exemplo 3: Calcule a área sombreada esboçada a seguir.
Considere as áreas:
A área A entre os gráficos da funções pode ser calculada pela soma:
A =
A1
+A2
Ou seja,
Observe que a função f(x) = x2 + 1 é maior que a função g(x) = x - 2, para todo x  [0,1].
Exemplo 4: Calcule a área sombreada esboçada a seguir.
Considere as áreas:
A área A entre os gráficos da funções pode ser calculada pela diferença:
A =
A1
- A2
Observe que a função f(x) = x2 - 1 é maior que a função g(x) = x - 2, para todo x  [0,1].
Propriedade
Sejam f e g duas funções contínuas em [a,b], tais que f(x)  g(x), para todo x  [a,b]. 
A área entre os gráficos das funções f e g, de a até b pode ser calculada pela integral:
Exemplo 5: Calcule a área sombreada esboçada a seguir.
u.a.
ò
=
b
a
dx
)
x
(
f
A
ò
+
-
=
4
0
2
dx
)
5
x
4
x
(
A
4
0
2
3
x
5
2
x
4
3
x
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+
×
-
=
-
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
×
+
×
-
=
4
5
2
4
4
3
4
A
2
3
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
×
+
×
-
0
5
2
0
4
3
0
2
3
3
28
ò
-
=
b
a
dx
)
x
(
f
A
ò
-
=
b
a
dx
)
x
(
f
ò
-
+
-
-
=
4
0
2
dx
)
5
x
4
x
(
A
3
28
=
ò
+
-
=
4
0
2
dx
)
5
x
4
x
(
ò
-
-
=
0
1
2
1
dx
)
x
2
x
(
A
0
1
2
3
x
3
x
-
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-
-
-
-
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-
=
2
3
2
3
)
1
(
3
)
1
(
0
3
0
ú
û
ù
ê
ë
é
-
-
-
=
1
3
1
3
4
=
ò
-
-
=
2
0
2
2
dx
)
x
2
x
(
A
ò
+
-
=
2
0
2
dx
)
x
2
x
(
2
0
2
3
2
x
3
x
A
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+
-
=
(
)
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+
-
-
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+
-
=
2
3
2
3
)
0
(
3
)
0
(
2
3
2
3
4
=
ò
-
=
4
2
3
dx
)
2
x
(
A
4
2
2
x
2
2
x
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-
=
ú
ú
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ù
ê
ê
ë
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×
-
-
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
×
-
=
2
2
2
2
4
2
2
4
2
2
2
=
3
14
2
3
4
3
4
=
+
+
=
ò
-
=
1
0
1
dx
)
x
2
4
(
A
ò
+
=
1
0
2
2
dx
)
1
x
(
A
-
-
=
ò
1
0
dx
)
x
2
4
(
A
ò
+
1
0
2
dx
)
1
x
(
[
]
ò
+
-
-
=
1
0
2
dx
)
1
x
(
)
x
2
4
(
[
]
ò
+
-
=
1
0
2
dx
)
3
x
2
x
(
ò
+
=
1
0
2
1
dx
)
1
x
(
A
ò
-
-
=
1
0
2
dx
)
2
x
(
A
(
)
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-
-
+
+
=
ò
ò
1
0
1
0
2
dx
2
x
dx
)
1
x
(
A
(
)
[
]
ò
-
-
+
=
1
0
2
dx
2
x
)
1
x
(
ò
-
-
=
1
0
1
dx
)
2
x
(
A
ò
-
-
=
1
0
2
2
dx
)
1
x
(
A
(
)
(
)
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-
-
-
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-
-
=
ò
ò
1
0
2
1
0
dx
1
x
dx
2
x
A
(
)
(
)
[
]
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-
-
-
=
ò
1
0
2
dx
2
x
1
x
(
)
(
)
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-
+
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-
-
=
ò
ò
1
0
2
1
0
dx
1
x
dx
2
x
[
]
ò
-
=
b
a
dx
)
x
(
g
)
x
(
f
A
(
)
[
]
ò
-
-
=
2
0
2
x
dx
2
x
2
A
(
)
ò
+
-
=
2
0
2
x
dx
2
x
2
2
0
3
x
x
2
3
x
)
2
ln(
2
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+
-
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
×
+
-
-
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
×
+
-
=
0
2
3
0
)
2
ln(
2
2
2
3
2
)
2
ln(
2
3
0
3
2
)
2
ln(
1
4
3
8
)
2
ln(
4
-
+
-
=
)
2
ln(
3
)
2
ln(
4
9
+
=
3
4
)
2
ln(
3
+
=