Aula 1 bases da matemática

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Bases 
Matemáticas para 
Engenharia
Professor Alexis Silveira
Aula 1
UNIDADE 1 – MATEMÁTICA E 
ENGENHARIA
1.1 – Matemática e Engenharia
1.2 – Modelagem e Simulação
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AS IDEIAS MATEMÁTICAS
As ideias matemáticas aparecem em toda a evolução da
humanidade, definindo estratégias de ação para lidar com
o ambiente, criando e desenhando instrumentos para esse
fim e buscando explicações sobre os fatos e fenômenos da
natureza e para a própria existência.
Em todos os momentos da história e em todas as
civilizações, as ideias matemáticas estão presentes em todas
as formas de fazer e de saber.
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REFLEXÕES SOBRE A MATEMÁTICA
Vamos refletir um pouco sobre a matemática. Para nos ajudar, são
apresentadas algumas citações referentes à Matemática de alguns
pensadores que influenciaram fortemente a Ciência:
• 1. Pitágoras: "O número domina o Universo".
• 2. Sócrates: "O estudo da Matemática é o mais indicado para desenvolver 
as faculdades, fortalecer o raciocínio e iluminar o espírito".
• 3. Galileu Galilei: "O livro da natureza foi escrito exclusivamente com figuras 
e símbolos matemáticos".
• 4.Leonardo da Vinci: "Nenhuma investigação humana pode ser chamada 
realmente Ciência, se não puder ser demonstrada matematicamente".
• 5. Albert Einstein:"A Matemática pura é, à sua maneira, a poesia das ideias 
lógicas".
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DEFINIÇÕES DE ENGENHARIA
Para nos ajudar a pensar em uma definição para a engenharia apresenta-se o pensamento de
uma série de pessoas influentes:
• 1. S. E. Lindsay (1920): Engenharia é a prática da aplicação segura e econômica das leis científicas
que governam as forças e materiais da Natureza, através da organização, design e construção, para o
benefício da humanidade.
• 2. Vanevar Bush (1939): Engenharia, num sentido amplo, é a aplicação da ciência de maneira
econômica para as necessidades da humanidade.
• 3. T. J. Hoover e J. C. L. Fish (1941): Engenharia é a aplicação profissional e sistemática da ciência
para a utilização eficiente dos recursos naturais a fim de produzir riqueza.
• 4. John C. Calhoun, Jr. (1963): É responsabilidade do engenheiro estar atento às necessidades
sociais e decidir como as leis da ciência podem ser melhor adaptadas através da Engenharia a fim de
cumprir essas necessidades.
• 5.Comitê de Certificação de Engenharia e Tecnologia dos Estados Unidos (1982): Engenharia é a
profissão na qual o conhecimento das ciências matemáticas e naturais, obtido através do estudo,
experiência e prática, é aplicado com julgamento no desenvolvimento de novos meios de utilizar,
economicamente, os materiais e forças da Natureza para o benefício da humanidade.
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QUEM É O ENGENHEIRO?
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O engenheiro é um agente transformador da natureza, que cria
novos materiais, dispositivos e equipamentos ou implanta
empreendimentos que impactam o meio ambiente, cada vez mais suas
ações devem ser coerentes, seguras e responsáveis tanto no âmbito
social como no ambiental.
É por meio da união do conhecimento científico e da lógica de
raciocínio que um indivíduo se torna um agente transformador da
natureza com responsabilidade socioambiental, ou seja, um engenheiro.
Não é possível o desenvolvimento tecnológico sem o conhecimento
das leis do universo. Através dos séculos cientistas investigam e
idealizam as leis que regem a natureza, aperfeiçoando e modelando
matematicamente estas ideias, construindo o conhecimento científico da
humanidade.
A IMPORTÂNCIA DA MATEMÁTICA NA 
ENGENHARIA
A análise dos pensamentos apresentados nos mostra
que, quando a matemática não aparece explicitamente
na definição do que seria a engenharia, são
mencionados termos como ciência, leis científicas ou leis
da ciência, que podem ser interpretados como as leis da
física modeladas matematicamente, além de nos
remeterem aos pensamentos acerca da matemática
apresentados inicialmente. Fica claro que existe uma
relação muito forte entre a matemática e a engenharia.
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A IMPORTÂNCIA DA MATEMÁTICA NA 
ENGENHARIA
Se avançarmos para a Mecânica, a Hidráulica, a
Termodinâmica, a Eletricidade, a Química, etc. são
áreas do saber regidas por leis demonstradas
matematicamente. Cabe ao engenheiro estudá-las,
entendê-las e aplicá-las de maneira correta e
responsável, transformando a natureza e a
sociedade.
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A IMPORTÂNCIA DA MATEMÁTICA NA 
ENGENHARIA
Portanto, espera-se que o engenheiro seja um profissional
dotado de raciocínio lógico, capaz de aliar conhecimentos
matemáticos e científicos para produzir avanços tecnológicos
em prol da sociedade. Como a Matemática é reconhecidamente
a melhor forma de se desenvolver o raciocínio lógico e também
é imprescindível para que os conceitos científicos sejam
comprovados, pode-se concluir que a Matemática é essencial
para que o engenheiro possa contribuir com a inovação
tecnológica.
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CONHECIMENTO CIENTÍFICO
• O conhecimento científico nunca é absoluto ou
final, pode ser sempre modificado ou substituído.
• A exatidão sobre um conhecimento nunca é
obtida integralmente, mas sim, através de
modelos sucessivamente mais próximos.
• Um conhecimento é válido até que novas
observações ou experimentações o substituam.
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GALILEU
Inauguration of the Scientific Method
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O MÉTODO CIENTÍFICO CRIADO POR GALILEU
• 1° - Observação: Durante a observação do fenômeno, é 
desenvolvido hipóteses.
• 2° - Reprodução: Em um ambiente apropriado (laboratório) 
é buscado fazer o mesmo fenômeno para melhor 
compreende-lo, isolando suas variáveis.
• 3° - Elaboração: Teorias, formulações matemáticas que 
irão descrever o fenômeno levando em conta os fatos que 
aconteceram durante a reprodução do tal fenômeno.
• 4° - Comprovação: Verifica se todas as teorias, anotações, 
é analisado se realmente se encaixam com o fenômeno em 
questão.
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GALILEU
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• A Matemática é 
a linguagem com a 
qual Deus escreveu o 
Universo 
(Galileu,1564-1642) 
MODELAGEM MATEMÁTICA
Uma vez colocada a importância direta e indireta da
matemática na formação do engenheiro, vamos fazer uma
viagem motivadora até a sua aplicação na pesquisa e no
exercício da profissão de engenheiro.
O desenvolvimento da informática em geral e da
Computação Gráfica em especial, fez com que seja cada vez
mais comum a utilização da modelagem matemática em
sistemas de simulação de fenômenos físicos baseados em
computação gráfica em todas as áreas da engenharia.
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MODELAGEM MATEMÁTICA
Modelagem matemática consiste na arte de
transformar problemas da realidade em problemas
matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções
na linguagem do mundo real... o modelo matemático
"é um conjunto de símbolos e relações matemáticas
que representam de alguma forma o objeto estudado".
(BASSANEZI, R.C. Ensino-aprendizagem com
modelagem matemática. São Paulo: Contexto, 2002.)
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MODELAGEM MATEMÁTICA NA 
ENGENHARIA
Desta forma, a simulação computacional de
problemas de engenharia se tornou uma grande área
de pesquisa, impulsionando o desenvolvimento de
sistemas muito sofisticados que já são largamente
utilizados, tanto em situações de pesquisa quanto
em projetos de engenharia.
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MODELAGEM MATEMÁTICA NA 
ENGENHARIA
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MODELAGEM MATEMÁTICA NA 
ENGENHARIA
A seguir são apresentadas algumas situações
práticas da engenharia, altamente motivadoras para
quem gosta do tema, e que somente são possíveis
pelo uso pesado da matemática. São exemplos
divididos por especialidades, todos envolvendo
modelagem matemática e simulação de problemas
de engenharia.
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MODELAGEM MATEMÁTICA NA 
ENGENHARIA
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MODELAGEM MATEMÁTICA NA 
ENGENHARIA
Na Engenharia Ambiental a modelagem
matemática vem sendo cada vez mais empregada
em simulações diversas como escoamento e
dispersão de poluentes, fluxo de águas subterrâneas
em aquíferos, transporte de sedimentos,
hidrodinâmica e qualidade da água.
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MODELAGEM MATEMÁTICA NA 
ENGENHARIA
O SisBaHia é um sistema de modelagem computacional registrado pela
Fundação Coppetec, órgãogestor de convênios e contratos de pesquisa do
COPPE/UFRJ - Instituto Aberto Luiz Coimbra de Pós Graduação e Pesquisa
de Engenharia (COPPE) da UFRJ (glossário).
A figura a seguir, é de uma modelagem desenvolvida com o
SisBAHIA®, no contexto do Programa de Trabalho para “Estudo da
Circulação Hidrodinâmica e Dragagem no Sistema Lagunar da Baixada de
Jacarepaguá - RJ”.
Fonte: SisBaHia – Sistema Base de
Hidrodinâmica Ambiental.
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MODELAGEM MATEMÁTICA NA 
ENGENHARIA
Na Engenharia de Produção, a modelagem
matemática permite a simulação e a otimização de
processos como, por exemplo, testar diversos
procedimentos, com alterações de rotinas,
equipamentos e layouts em uma indústria sem a
necessidade de interrupção do sistema real que
prossegue em funcionamento.
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MODELAGEM MATEMÁTICA NA 
ENGENHARIA
Na Engenharia Civil é comum o emprego de
métodos matemáticos aplicados à Mecânica
Computacional no desenvolvimento de sistemas
computacionais aplicados à Teoria das Estruturas, à
Mecânica dos Sólidos, à Mecânica dos Solos e à
Mecânica das Rochas. Estes sistemas são importantes
ferramentas para a simulação do comportamento de
estruturas ou de solo/maciço rochoso submetidos à
condições específicas de tensão.
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MODELAGEM MATEMÁTICA NA 
ENGENHARIA
Recentemente, temos visto o desenvolvimento da implantação do BIM (Building
Information Modeling) ou Modelagem da Informação da Construção, em todo o
mundo, inclusive no Brasil. A ideia é que equipes multidisciplinares compartilhem um
único modelo 3D capaz de armazenar e processar o edifício, todos os seus sistemas,
planejamento, orçamento e tudo o mais que se deseje. A implantação do BIM
impacta na forma de trabalhar de todos os elos da cadeia da indústria da construção
civil.
Fonte: emedia – the econocom blog
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MODELAGEM MATEMÁTICA NA 
ENGENHARIA
Na Engenharia de Petróleo contempla temas
como a modelagem de reservatórios, de fluxo em
meios porosos, de elevação e escoamento de
petróleo, modelagem geológica e Geofísica, por
exemplo .
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MODELAGEM MATEMÁTICA NA 
ENGENHARIA
Na Engenharia Elétrica a modelagem
matemática também é utilizada para realização de
simulações de sistemas elétricos de potência, de
fontes alternativas de energia e tecnologias
emergentes de controle e operação de sistemas
elétricos, por exemplo. As técnicas de modelagem e
simulação também são largamente utilizadas para
automação e controle.
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MODELAGEM MATEMÁTICA NA 
ENGENHARIA
Na Engenharia Mecânica, também é utilizada
largamente a modelagem e simulação para
situações de projeto.
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PROBLEMAS NA CONSTRUÇÃO CIVIL
Patologias nas Edificações
Na construção civil, pode-se atribuir patologia aos estudos dos danos
ocorridos em edificações. Por ser encontrada em diversos aspectos, recebe
o nome de manifestações patológicas.
Essas patologias podem se manifestar de diversas formas, como:
• Trincas;
• Fissuras;
• Infiltrações;
• Danos por umidade excessiva na estrutura.
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PROBLEMAS NA CONSTRUÇÃO CIVIL
A falha no projeto, incluindo os cálculos
matemáticos realizados (erros de dimensionamento,
não consideração do efeito térmico, sobrecargas não
previstas), é responsável por 45% das patologias na
construção civil.
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PROBLEMAS NA CONSTRUÇÃO CIVIL
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QUEDA DE VIADUTO EM BELO HORIZONTE
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ERROS
• Erros de cálculos no projeto, redução de
material na construção da estrutura e
dimensão indevida dos blocos de sustentação
dos pilares: esses são os principais fatores
apontados em laudo oficial do Instituto de
Criminalística da Polícia Civil como determinantes
para a queda.
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CONSEQUÊNCIAS
No desmoronamento parcial do elevado, em 3 de
julho de 2014, um micro-ônibus, um Fiat Uno e dois
caminhões foram esmagados pelos destroços,
matando duas pessoas e deixando 23 feridas.
Segundo os técnicos, a tragédia poderia ser
evitada, caso o projeto tivesse passado por
verificação e detalhamento, conforme prevê a
Resolução 6.118, da Associação Brasileira de
Normas Técnicas (ABNT) 33
CICLOVIA TIM MAIA
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ERROS
• Uma das principais conclusões dos engenheiros
envolvidos no estudo é que houve falha na
elaboração do projeto, uma vez que faltaram
estudos preliminares oceanográficos dos efeitos
das ondas sobre a estrutura da ciclovia. Segundo
peritos de Engenharia do Instituto de
Criminalística, a plataforma estava apenas
apoiada sobre os pilares. O volume de onda
que bateu sofreu um movimento ascendente,
encontrando a parte de baixo da ciclovia.
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ETAPAS PARA A OBTENÇÃO DA 
MODELAGEM
O processo de obtenção de um modelo ou de
modelagem de situações com referência na
realidade ou semirrealidade é composto por etapas.
Biembengut e Hein (2000, p.13-15) destacam três
etapas, subdivididas em seis subetapas:
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ETAPAS PARA A MODELAGEM 
MATEMÁTICA
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PRIMEIRA ETAPA: INTERAÇÃO COM O 
ASSUNTO
• Reconhecimento da situação problema;
• Familiarização com o assunto a ser modelado.
Fase preliminar em que ocorre o envolvimento com o
tema a ser estudado/problematizado.
Nessa etapa, a situação a ser estudada será
delineada, e, para torná-la mais clara, deverá ser feita
uma pesquisa sobre o assunto escolhido através de
livros, jornais, revistas especializadas e de dados obtidos
junto a especialistas da área.
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SEGUNDA ETAPA: MATEMATIZAÇÃO
• Formulação do problema;
• Resolução do problema em termos do modelo.
É a fase mais complexa e desafiadora, pois é
nessa que se dará a tradução da situação problema
para a linguagem matemática, ou seja, é aqui que se
formula um problema e escreve-o segundo um
modelo que leve à solução. Intuição, criatividade e
experiência acumulada são elementos
indispensáveis nessa etapa.
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TERCEIRA ETAPA: MODELO MATEMÁTICO
• Interpretação da solução;
• Verificação ou validação.
Para a conclusão e utilização do modelo, nessa 
fase ocorre uma testagem ou validação para verificar 
em que nível o modelo se aproxima da situação-
problema.
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