BDQ CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 
1a aula 
Lupa 
 
 
 
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Exercício: CCE1298_EX_A1_201709074825_V1 4/15/2019 (Finaliz.) 
Aluno(a): ADRIANO ALVES FRAZÃO 
Disciplina: CCE1298 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 201709074825 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
Determine a ordem da equação diferencial abaixo e diga se ela é linear ou não. 
t2y(2)+ty´+2y=sen(t)t2y(2)+ty´+2y=sen(t) 
 
 3ª ordem e linear. 
 
4ª ordem e não linear. 
 2ª ordem e linear. 
 
4ª ordem e linear. 
 
2ª ordem e não linear. 
 
 
Explicação: 
A ordem de uma ED é a ordem das derivadas de mais alta ordem(das derivadas) nela presentes. 
O grau é a potência da mais alta ordem da derivada presente na ED. É linear porque a variável 
dependente yy e suas derivadas aparecem em combinações aditivas de suas primeiras potências. 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Determine a ordem da equação diferencial abaixo e diga se ela é linear ou não. 
d3ydt3+td2ydt2+(cos2(t))y=t3d3ydt3+td2ydt2+(cos2(t))y=t3 
 
 
5ª ordem e não linear. 
 3ª ordem e linear. 
 
3ª ordem e não linear. 
 
5ª ordem e linear. 
 
6ª ordem e linear. 
 
 
Explicação: 
Ordem da ED = maior ordem presente na ED 
Grau - expoente do termo que define a ordem da ED 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
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Resolva a seguinte EDO utilizando a técnica de Fator Integrante: 
y2cos(x)dx+(4+5y sen(x))dy=0y2cos(x)dx+(4+5y sen(x))dy=0 
 
 y5sen(x)+y4=ky5sen(x)+y4=k 
 y5sen(x)+y5=ky5sen(x)+y5=k 
 y5xsen(x)+y5=ky5xsen(x)+y5=k 
 x5sen(x)+y5=kx5sen(x)+y5=k 
 y5sen(y)+y4=ky5sen(y)+y4=k 
 
 
Explicação: 
 Para chegar a esta solução ,y5sen(x)+y4=ky5sen(x)+y4=k coloque a ED dada na forma 
padrão e teremos o P(x). Aplique o método de solução realizando a integração. 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Identifique o valor de t entre os pontos do intervalo [-π,π], onde as funções { t,sent, cost} são 
linearmente dependentes. 
 
 
 ππ 
 −π-π 
 0 
 π4π4 
 π3π3 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Considere as seguintes equações diferenciais: 
I) 4(y′)5+y′′=14(y′)5+y″=1 
II) ∂5y∂x5−∂2y∂x2=0∂5y∂x5−∂2y∂x2=0 
III) (y′′)3+(y′)5=x(y″)3+(y′)5=x 
De acordo com as alternativas, determine a alternativa correta. 
 
 
A segunda e a terceira são de ordens iguais. 
 
A primeira é de grau 5 e a segunda é de ordem 3. 
 A primeira e a segunda são de graus iguais a 1. 
 
A terceira é de ordem 1 e grau 5. 
 
A segunda é de ordem 2 e a grau 3 e a terceira é de ordem 2 e grau 3. 
 
 
Explicação: 
A primeira e a segunda são de graus iguais a 1, ou seja, é o grau da mais alta derivada da ED. 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Determine a ordem e o grau da equação diferencial abaixo: 
(y´´)2−3yy´+xy=0(y´´)2−3yy´+xy=0. 
 
 
Ordem 2 e grau 4. 
 
Ordem 4 e grau 3. 
 Ordem 2 e grau 2. 
 
Ordem 4 e grau 2. 
 Ordem 2 e grau 3. 
 
 
Explicação: 
A ordem de uma ED é a ordem das derivadas de mais alta ordem (das derivadas) nela presente 
e grau de uma ED é a maior potência da derivada de mais alta ordem 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
"As equações diferenciais começaram com o estudo de cálculo por Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilheim 
Leibnitz (1646-1716), no século XVII." Boyce e Di Prima. Com relação às equações diferenciais é SOMENTE correto 
afirmar que 
 
 (I) Chama-se equação diferencial toda equação em que figura pelo menos uma derivada ou diferencial da função 
incógnita. 
(II) Chama-se ordem de uma equação diferencial a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que 
figura na equação. 
(III) Chama-se grau de uma equação diferencial o maior expoente da derivada de mais alta ordem da função 
incógnita que figura na equação. 
 
 
(I) 
 (I) e (II) 
 (I), (II) e (III) 
 
(I) e (III) 
 
(II) e (III) 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Determine a ordem e o grau da equação diferencial abaixo: 
t2s(2)−ts=1−sen(t)t2s(2)−ts=1−sen(t) 
 
 Ordem 2 e grau 1. 
 
Ordem 4 e grau 2. 
 
Ordem 2 e grau 2. 
 Ordem 1 e grau 2. 
 
Ordem 1 e grau 1. 
 
 
Explicação: 
Ordem de uma ED corresponde a ordem da derivada de mais alta ordem da ED. Grau de uma ED corresponde ao grau ("expoente") do 
termo da ED que definirá sua ordem 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 
1a aula 
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Exercício: CCE1298_EX_A1_201709074825_V2 15/04/2019 (Finaliz.) 
Aluno(a): ADRIANO ALVES FRAZÃO 2019.1 - F 
Disciplina: CCE1298 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 201709074825 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
Determine a ordem da equação diferencial abaixo e diga se ela é linear ou não. 
y(4)+y(3)+y(2)+y´+y=1y(4)+y(3)+y(2)+y´+y=1 
 
 5ª ordem e linear. 
 
4ª ordem e não linear. 
 4ª ordem e linear. 
 
3ª ordem e não linear. 
 
3ª ordem e linear. 
 
 
Explicação: 
4ª ordem - a derivada de mais alta ordem na ED é 4 
linear - todas as derivadas da ED estão em expoente 1 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Resolvendo a equação diferencial cosydy=dxxcosydy=dxx, obtemos: 
 
 e) sen y - cos x = C 
 
cos y - ln x = C 
 
ln y - sen x = C 
 sen y - ln x = C 
 
ln y - cos x = C 
 
 
Explicação: 
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 Basta integrar ambos os membros. 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Resolvendo a equação diferencial dy/y - (cos x)dx = 0, obtemos: 
 
 
ln y = cos x + C 
 e) sen y + cos x = C 
 ln y = sen x + C 
 
y = ln x + C 
 
ln y = x + C 
 
 
Explicação: 
Resposta: b) ln y = sen x + C Basta fazer dy/y = (cos x)dx e integrar ambos os membros 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Dada a função  (t) = (t2 , cos t, t3) então o vetor derivada será? 
 
 (t , sen t, 3t2) 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 (2t , - sen t, 3t2) 
 (2 , - sen t, t2) 
 (2t , cos t, 3t2) 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Dadas as EDOs abaixo: 
I - t3d3ydt3+d2ydt2+dydt+ty2=0t3d3ydt3+d2ydt2+dydt+ty2=0 
II - d2ydt2+sen(t+y)y´+y=sen(t)d2ydt2+sen(t+y)y´+y=sen(t) 
III - (d2ydt2)2+tdydt+2y=t(d2ydt2)2+tdydt+2y=t 
Assinale a alternativa correta. 
 
 
Apenas a alternativa III é linear. 
 
Apenas a alternativa II é linear. 
 
Apenas a alternativa I é linear. 
 
I, II e III são lineares. 
 I, II e III são não lineares. 
 
 
Explicação: 
I, II e III são não lineares, porque: as alternativas I e III possuem termos quadráticos e a alternativa II 
apresenta a variável multiplicada pela sua derivada. 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Seja a função F parametrizada por: 
 . 
Calcule F(2) 
 
 
(4,5) 
 (2,16) 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
(5,2) 
 
(6,8) 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de variáveis separáveis 
dx + e3x dy. 
 
 y = (e3x/2) + k 
 y = e-2x + k 
 y = (e-3x/3) + k 
 y = (e-2x/3) + k 
 y = e-3x + K 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
São grandezas vetoriais, exceto: 
 
 Um corpo em queda livre. 
 Maria assistindo um filme do arquivo X. 
 
Maria indo se encontrar com João, na porta do cinema. 
 
João dirigindo o seu carro indo em direção ao bairro do Riacho Fundo. 
 
O aviãoda Air France partindo do aeroporto de Brasília com destino a Paris. 
 
1a aula 
 
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Exercício: CCE1298_EX_A1_201709074825_V3 15/04/2019 (Finaliz.) 
Aluno(a): ADRIANO ALVES FRAZÃO 2019.1 - F 
Disciplina: CCE1298 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 201709074825 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
Indique qual é a solução geral correta para a solução da equação 
diferencial: xdx+ydy=0xdx+ydy=0 
 
 x + y=Cx + y=C 
 x²+y²=Cx²+y²=C 
 x−y=Cx-y=C 
 −x² + y²=C-x² + y²=C 
 x²− y²=Cx²- y²=C 
 
 
Explicação: 
Método de separação de variáveis. 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Resolva a seguinte equação diferencial pelo método da substituição: 
Função: yy = x416x416 
EDO:y′=x(y12)y′=x(y12) 
 
 x4=x4x4=x4 são iguais, portanto resolve a EDO. 
 x34=x34x34=x34 são iguais, portanto resolve a EDO. 
 x34=x34x34=x34 são diferentes, portanto não resolve a EDO. 
 x4=x16x4=x16 são diferentes, portanto não resolve a EDO. 
 x34=x316x34=x316 são diferentes, portanto não resolve a EDO. 
 
 
Explicação: 
y′=x34y′=x34, substituindo na EDO, encontramos a igualdade: 
x34=x34x34=x34 
que resolve a EDO. 
 
 
 
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 3a Questão 
 
 
Determine a ordem e o grau da equação diferencial abaixo: 
x4y(4)+xy3=exx4y(4)+xy3=ex 
 
 Ordem 4 e grau 1. 
 
Ordem 1 e grau 1. 
 
Ordem 4 e grau 3. 
 
Ordem 4 e grau 4. 
 
Ordem 1 e grau 4. 
 
 
Explicação: 
O aluno deve mostrar conhecimento sobre as definições de ordem e grau de uma EDO 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Resolvendo a equação diferencial (x+1)y' = x + 6, encontramos: 
 
 
y = x + 4 ln| x + 1 | + C 
 
y = -x + 5 ln | x + 1 | + C 
 y = x + 5 ln | x + 1 | + C 
 
y = -3x + 8 ln | x - 2 | + C 
 y = ln | x - 5 | + C 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Dadas as EDOs abaixo: 
I - d2ydt2+dydt+ty2=0d2ydt2+dydt+ty2=0 
II - d2ydt2+tdydt+t3y=etd2ydt2+tdydt+t3y=et 
III - t3d3ydt3+tdydt+y=tt3d3ydt3+tdydt+y=t 
Assinale a alternativa verdadeira. 
 
 Apenas a II é linear. 
 
Apenas a I é linear. 
 
Apenas a III é linear. 
 Apenas a II e III são lineares. 
 
Apenas a I e II são lineares. 
 
 
Explicação: 
Na EDO linear, todos os expoentes da variável que se está derivando valem 1 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Dadas as equações diferenciais ordinárias abaixo: 
I - (y(IV))2+3xy′+2y=e2x(y(IV))2+3xy′+2y=e2x 
II - d2ydt2+tdydt+2y=sen(t)d2ydt2+tdydt+2y=sen(t) 
III - d2ydt2+dydt+ty2=0d2ydt2+dydt+ty2=0 
Assinale a alternativa verdadeira. 
 
 
Apenas a alternativa I e II é linear. 
 Apenas a alternativa II é linear. 
 
Apenas a alternativa I é linear. 
 I, II e III são lineares. 
 
Apenas a alternativa III é linear. 
 
 
Explicação: 
I possui função exponencial e III tem o termo y2y2 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Resolvendo a equação diferencial dy/y = (cos x)dx, obtemos: 
 
 
y = ln x + C 
 
ln y = cos x + C 
 ln y = sen x + C 
 
e) sen y + cos x = C 
 
ln y = x + C 
 
 
Explicação: 
Resposta: b) ln y = sen x + C Basta integrar ambos os membros 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Determine o limite da função (t , cos t, (8-t3)/(4-t2)) quando t tende a 2. 
 
 (2,cos 2, 3) 
 (2,0, 3) 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
(2,sen 1, 3) 
 
(2,cos 4, 5) 
 
 
 
 
2a aula 
 
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Exercício: CCE1298_EX_A2_201709074825_V1 15/04/2019 (Finaliz.) 
Aluno(a): ADRIANO ALVES FRAZÃO 2019.1 - F 
Disciplina: CCE1298 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 201709074825 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de 1ª ordem linear: 
y´−3y=6y´−3y=6 
 
 y=3+ce3xy=3+ce3x 
 y=−6+ce3xy=−6+ce3x 
 y=2+ce3xy=2+ce3x 
 y=−2+ce3xy=−2+ce3x 
 y=−3+ce3xy=−3+ce3x 
 
 
Explicação: 
A solução é por separação de variáveis use y′=dy/dxy′=dy/dx 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
 (y,,)2 - 3yy, + xy = 0 
 
 
ordem 1 grau 1 
 
ordem 1 grau 2 
 ordem 2 grau 2 
 
ordem 1 grau 3 
 ordem 2 grau 1 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Considere a equação diferencial ordinária em que a função y depende exclusivamente da variável x, tal que dy - ex.dx = 0 e y(0) = 2. 
Determine a solução para as condições iniciais apresentadas. 
 
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ex + 2 
 
ex - 1 
 
ex 
 e
x - 2 
 e
x + 1 
 
 
Explicação: 
dy ¿ ex.dx = 0 , logo dy = ex.dx. Integrando, temos: y = ex + C. Para x = 0, Y = 2. Portanto, 2 = e0 + C, logo C = 1. Assim, y = ex + 
1. 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de variáveis 
separáveis 
dydx=e−7xdydx=e−7x 
 
 y=−e−7x+Cy=−e−7x+C 
 y=e−7x6+Cy=e−7x6+C 
 y=−e−6x+Cy=−e−6x+C 
 y=−e−7x7+Cy=−e−7x7+C 
 y=−e−7x6+Cy=−e−7x6+C 
 
 
Explicação: 
A solução consiste em se colocar cada variável junto a sua diferencial e depois realizar a 
integração. 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de 1ª ordem linear: 
y´+6xy=0y´+6xy=0 
 
 y=ce−6xy=ce−6x 
 
Nenhuma alternativa está correta. 
 y=ce−7xy=ce−7x 
 y=ce7xy=ce7x 
 y=ce6xy=ce6x 
 
 
Explicação: 
Inicie a solução usando y′=dy/dxy′=dy/dx, separe as variáveis e integre. 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Resolva a equação diferencial (x+1).dydx=x.(1+y2)(x+1).dydx=x.(1+y2). 
 
 y=cotg[x−ln|x+1|+C]y=cotg[x-ln|x+1|+C] 
 y=tg[x−ln|x+1|+C]y=tg[x-ln|x+1|+C] 
 y=sec[x−ln|x+1|+C]y=sec[x-ln|x+1|+C] 
 y=sen[x−ln|x+1|+C]y=sen[x-ln|x+1|+C] 
 y=cos[x−ln|x+1|+C]y=cos[x-ln|x+1|+C] 
 
 
Explicação: 
Solução pelo método de separação de variáveis e uso da função inversa arco tangente. 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Diversos são os sistemas cujo comportamento é descrito por equações diferenciais ordinárias. Desta forma, é importante que se estude 
a resolução destas equações. 
Com relação à resolução de equações diferenciais é SOMENTE correto afirmar que 
 
(I) Resolver uma equação diferencial significa determinar todas as funções que verificam a equação, isto é, que a transformem numa 
identidade. 
(II) Chama-se solução da equação diferencial F(x,y´,y´´,y´´,...,yn)=0 toda função , definida em um intervalo aberto (a,b), 
juntamente com suas derivadas sucessivas até a ordem n inclusive, tal que ao fazermos a substituição de y por na equação diferencial 
F(x,y´,y´´,y´´,...,yn)=0 , esta se converte em uma identidade com respeito a x no intervalo (a,b). 
(III) Integrar uma equação diferencial significa determinar todas as funções que verificam a equação, isto é, que a transformem numa 
identidade. 
 
 
(III) 
 
(I) 
 (I), (II) e (III) 
 (I) e (II) 
 
(II) 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Qual o valor de w para que a a função y = w seja solução da equação diferencial y' + 7y = 28? 
 
 
10 
 
2 
 4 
 
6 
 
8 
 
2a aula 
 
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Exercício: CCE1298_EX_A2_201709074825_V215/04/2019 (Finaliz.) 
Aluno(a): ADRIANO ALVES FRAZÃO 2019.1 - F 
Disciplina: CCE1298 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 201709074825 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
Resolva a equação diferencial separável de primeira ordem e informe qual a resposta correta: 
2rcosθdr−tgθdθ=02rcosθdr−tgθdθ=0 
 
 
 r2−cosθ=Cr2−cosθ=C 
 r2−secθ=Cr2−secθ=C 
 r2+tgθ=Cr2+tgθ=C 
 r3−secθ=Cr3−secθ=C 
 r2−senθ=Cr2−senθ=C 
 
 
Explicação: 
Use o método de separação de variáveis e integre para calcular a resposta correta. 
2rdr = sen(teta)/cos2(teta).d(teta) 
cos(teta)= u 
-sen(teta)d(teta) = du 
2rdr = - du/u2 
r2 + 1/u = C 
r2 - sec(teta) = C 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Classificando as seguintes EDOs como LINEAR ou NÃO LINEAR: 
a) d²y/dx² = -2x(dy/dx) + 2y 
b) dx/dt = k(4-x).(1-x) 
encontramos: 
 
 
(a)não linear (b)não linear 
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 (a)não linear (b)linear 
 (a)linear (b)não linear 
 
(a)linear (b)linear 
 
impossivel identificar 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Indique a solução correta da equação diferencial: `dy/dx = sqrt(7x³). 
 
 y=7x³+Cy=7x³+C 
 `y = (2sqrt7)/(5)x^(5/2) + C 
 y=7x+Cy=7x+C 
 y=− 7x³+Cy=- 7x³+C 
 y=x²+Cy=x²+C 
 
 
Explicação: 
Calcule a integral: y=√7 ∫x32dx=25√7 x52+Cy=7∫x32dx=257x52+C 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
A solução geral da equação diferencial xy´+y=0 é 
 
 
y=x+C 
 y=ln x+C 
 
y=ln 2x -1 
 
y=2x-ln(x+1)+C 
 y=C/x 
 
 
Explicação: 
xy´+y=0 é 
xdy/dx = -y 
-dy/y = dx/x 
-lny = lnx + c 
-lny = lncx 
lny + lncx = 0 
lncxy = 0 
cxy = 1 
y = 1/cx 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de variáveis 
separáveis 
1xdx+dy=01xdx+dy=0. 
 
 y=ln|x|+cy=ln⁡|x|+c 
 y=−ex+cy=−ex+c 
 y=−ln|x|+cy=−ln⁡|x|+c 
 
Nenhuma alternativa anterior está correta. 
 y=ex+cy=ex+c 
 
 
Explicação: 
dx/x = -dy 
lnx = -y + c 
-lnx + c = y 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Resolva a equação diferencial dada abaixo por separação de variáveis. 
xy´=4yxy´=4y 
 
 y=cx4y=cx4 
 y=cx3y=cx3 
 y=cx−3y=cx-3 
 y=cxy=cx 
 y=cx2y=cx2 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 Resolva a equação diferencial de primeira ordem e informe qual a única resposta correta: 
ydx+(x+xy)dy=0ydx+(x+xy)dy=0 
 
 lnx+y=Clnx+y=C 
 lnx+x=Clnx+x=C 
 lnxy+y=Clnxy+y=C 
 xy=Cxy=C 
 lnxy=Clnxy=C 
 
 
Explicação: 
Dada a ED ydx+(x+xy)dy=0ydx+(x+xy)dy=0devemos prepará-la para separar as variáveis, 
logo: ydx+x(1+y)dy=0ydx+x(1+y)dy=0. 
A partir daí separam-se as variáveis: dxx+1+yydy=0dxx+1+yydy=0. Assim, podemos integrar e 
obter a solução. 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Resolva a seguinte equação diferencial ordinária utilizando a técnica de variáveis separáveis: 
dx+e3xdy=0dx+e3xdy=0 
 
 y=e−3x+cy=e−3x+c 
 y=−3e−3x+cy=−3e−3x+c 
 y=−e−3x+cy=−e−3x+c 
 y=e−x+cy=e−x+c 
 y=e−3x/3+cy=e−3x/3+c 
 
 
Explicação: 
 
e-3xdx = -dy 
-e-3x / 3 = -y + c 
y = e-3x / 3 + c 
 
2a aula 
 
Lupa 
 
 
 
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Exercício: CCE1298_EX_A2_201709074825_V3 15/04/2019 (Finaliz.) 
Aluno(a): ADRIANO ALVES FRAZÃO 2019.1 - F 
Disciplina: CCE1298 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 201709074825 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
Resolvendo a equação diferencial separável xdy = ydx, obtemos: 
 
 ln y = ln x + C 
 
ln y = x + C 
 
x = ln y + C 
 
y + x = C 
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y = ln x + C 
 
 
Explicação: 
Resposta: a) ln y = ln x + C Basta separar as variáveis e integrar ambos os membros. 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Sabendo que () = (cos t , sen t, 2) representa o vetor posição de uma partícula que se move em cada instante t. Determine o vetor 
velocidade V(t) e o vetor aceleração A(t). 
 
 
V(t) = ( sen t, cos t, 0) e A(t) = ( cos t, sen t , 0 ) 
 V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (- cos t, sen t , 0 ) 
 V(t) = (- sen t, cos t, 0) e A(t) = ( - cos t, - sen t, 0) 
 
V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (- cos t, - sen t , 0 ) 
 
V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (cos t, - sen t , 0 ) 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias no instante t. após 3 horas, observou-
se a existência de 400 bactérias. Após 9 horas, 2500 bactérias. Podemos afirmar que o número inicial de bactérias é: 
 
 
Aproximadamente 170 bactérias. 
 Aproximadamente 165 bactérias. 
 Aproximadamente 160 bactérias. 
 
Aproximadamente 150 bactérias. 
 
Nenhuma bactéria 
 
 
Explicação: 
Aproximadamente 160 bactérias. 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Dada a seguinte EDO, resolva pelo método das variáveis separáveis: 
dydt=et−ydydt=et−y 
 
 y=ln(e)+cy=ln(e)+c 
 y=et−yy=et−y 
 y=t+ky=t+k 
 y=ln(et+c)y=ln(et+c) 
 y=ety+ky=ety+k 
 
 
Explicação: 
eydy = etdt 
ey = et + c 
y = ln(et + c) 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Determine a ordem e o grau da equação diferencial (y')³ + ex = 0. 
 
 
Grau 3 e ordem 2. 
 Grau 2 e ordem 2. 
 Grau 3 e ordem 1. 
 
Grau 1 e ordem 1. 
 
Grau 3 e ordem 3. 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de variáveis 
separáveis 
y´=5yy´=5y 
 
 y=ce5xy=ce5x 
 y=ce−xy=ce−x 
 y=cexy=cex 
 
Nenhuma das alternativas 
 y=ce−5xy=ce−5x 
 
 
Explicação: 
dy/dx = 5y -> dy/ y = 5dx -> lny = 5x + c -> y = ce5x 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Nas ciências e na engenharia, modelo matemáticos são desenvolvidos para auxiliar na compreensão de fenômenos físicos. Estes modelos frequentemente 
geram uma equação que contém algumas derivadas de uma função desconhecida. Tal equação é chamada de equação diferencial. Para iniciar o estudo 
de tal equação, se faz necessário alguma terminologia comum. Assim sendo, antes de estudar métodos para resolver uma equação diferencial se faz 
necessário classificar esta equações. 
Três classificações primordiais são: 
1. Segundo a natureza (Equação diferencial ordinária ou parcial) 
2. Segundo a ordem desta equação. 
3. Segundo a linearidade. 
Classifique as seguintes equações: 
a) dxdt=5(4−x)(1−x)dxdt=5(4-x)(1-x) 
b) 5d2ydx2+4dydx+9y=2cos3x5d2ydx2+4dydx+9y=2cos3x 
c) ∂4u∂x4+∂2u∂t2=0∂4u∂x4+∂2u∂t2=0 
d) d2ydx2+x2(dydx)3−15y=0d2ydx2+x2(dydx)3-15y=0 
Admitindo os seguintes índices para a classificação: 
A=1: para E.D.O. 
A=2: para E.D.P. 
n: A ordem da Equação 
B=5: para equação linear 
B=6: para equação não linear 
A soma (A+n+B)para cada equação resultará respectivamente em: 
 
 
 
7; 8; 9; 8 
 8; 8; 11; 9 
 8; 8; 9; 8 
 
7; 8; 11; 10 
 
8; 9; 12; 9 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Resolva a equação diferencial (x+1).dydx=x.(1+y2)(x+1).dydx=x.(1+y2). 
 
 y=cos[x−ln|x+1|+C]y=cos[x-ln|x+1|+C] 
 y=tg[x−ln|x+1|+C]y=tg[x-ln|x+1|+C] 
 y=sec[x−ln|x+1|+C]y=sec[x-ln|x+1|+C] 
 y=sen[x−ln|x+1|+C]y=sen[x-ln|x+1|+C] 
 y=cotg[x−ln|x+1|+C]y=cotg[x-ln|x+1|+C] 
 
 
Explicação: 
Solução da ED por Separação de Variáveis com uso de métodos de integração de função arco tangente e fração 
imprópria. 
 
3a aula 
 
Lupa 
 
 
 
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Exercício: CCE1298_EX_A3_201709074825_V115/04/2019 (Finaliz.) 
Aluno(a): ADRIANO ALVES FRAZÃO 2019.1 - F 
Disciplina: CCE1298 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 201709074825 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
Identificando a ordem e o grau da equação diferencial y´=f(x,y)y´=f(x,y), obtemos respectivamente: 
 
 1 e 2 
 
2 e 1 
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2 e 2 
 1 e 1 
 
3 e 1 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Dada a seguinte EDO Linear, ache a sua resolução particular ypyp: 
 
 
 y(x)=(ex+2)/2+ky(x)=(ex+2)/2+k 
 y(x)=e(2x)+ky(x)=e(2x)+k 
 y(x)=ex+ky(x)=ex+k 
 y(x)=−ex+ky(x)=−ex+k 
 y(x)=2ex+ky(x)=2ex+k 
 
 
Explicação: 
Trata-se de uma ED não homogênea. Tentamos uma solução yp=Ae2xyp=Ae2x. Derivamos 
uma vez e substituimos na ED original para achar a resposta correta para a solução particular. 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir: 
d2ydt2+5dydt+4y(t)=0d2ydt2+5dydt+4y(t)=0 , com y(0)=1y(0)=1 e y'(0)=0y′(0)=0 
 
 y(t)=53e−t+23e−(4t)y(t)=53e-t+23e-(4t) 
 y(t)=43e−t+13e−(4t)y(t)=43e-t+13e-(4t) 
 y(t)=43e−t − 13e−(4t)y(t)=43e-t - 13e-(4t) 
 y(t)=43e−t − 13e4ty(t)=43e-t - 13e4t 
 y(t)= − 43e−t − 13e−(4t)y(t)= - 43e-t - 13e-(4t) 
 
 
Explicação: 
Trata-se de um PVI - Problema de Valor Inicial, pois, as condições são no mesmo 
ponto. 
Equação característica: m²+5m+4=0m²+5m+4=0...(1) 
Raízes: m1=−1;m2=−4m1=−1;m2=−4 ... A resposta típica 
é: y(t)=C1e−t+C2e−4ty(t)=C1e−t+C2e−4t....(2) 
Vamos aplicar o PVI na equação (2): 
y(0)=1;y′(0)=0y(0)=1;y′(0)=0 
Teremos um sistenma com duas equações do qual 
calculamos: C1=43;C2=−13C1=43;C2=−13 
Finalmente, substituindo as constantes na equação (2), teremos: 
y(t)=y(t)=43e−t−13e−4t43e−t−13e−4t 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Uma função f(x,y)f(x,y)é dita homogênea de grau de homogeneidade n quando f(tx,ty)=tnf(x,y)f(tx,ty)=tnf(x,y). 
Verifique se a função f(x,y)=5x4+x2y2f(x,y)=5x4+x2y2 é homogênea e, se for, qual é o grau e indique a resposta correta. 
 
 
Não é função homogênea. 
 É função homogênea de grau 5. 
 É função homogênea de grau 4. 
 
É função homogênea de grau 3. 
 
É função homogênea de grau 2. 
 
 
Explicação: 
Calculando f(tx, ty), verifica-se, no exemplo pedido f(tx, ty) = t4f(x, y) 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Dado um conjunto de funções {f1,f2,...,fn}{f1,f2,...,fn} , considere o determinante de ordem n: 
W(f1,f2,...,fn)W(f1,f2,...,fn) = ⎡⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢⎣f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n−1f2n−1...fnn−1⎤⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥⎦[f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n-1f2n-1...fnn-1] 
Calcule o Wronskiano formado pelas funções na primeira linha,pelas primeiras derivadas dessas 
funções na segunda linha, e assim por diante, até a (n-1)-ésima derivadas das funções na n-ésima 
linha. Sejam as funções: f(x)f(x)= e2xe2x ; 
 g(x)g(x)=senxsenx e 
 h(x)h(x)= `x^2 + 3*x + 1 
Determine o Wronskiano W(f,g,h)W(f,g,h) em xx= 00. 
 
 2 
 1 
 -1 
 -2 
 7 
 
 
Explicação: 
O wronskiano nos indica se as respostas de equações diferenciasi são LI ou LD. 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Uma função f(x,y)f(x,y)é dita homogênea de grau de homogeneidade n quando
 f(tx,ty)=tnf(x,y)f(tx,ty)=tnf(x,y). 
Verifique se a função f(x,y)=7x3+2xy2f(x,y)=7x3+2xy2 é homogênea e, se for, qual é o grau 
e indique a resposta correta. 
 
 
É homogênea de grau 2. 
 É homogênea de grau 3. 
 
Não é homogênea. 
 
É homogênea de grau 1. 
 
É homogênea de grau 4. 
 
 
Explicação: 
Aplica-se o teste descrito no texto da questão. 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Seja →F(t)=(cost,sent)F→(t)=(cost,sent). Determine lim(h→0)→F(t+h)−→F(t)hlim(h→0)F→(t+h)-F→(t)h 
 
 ( -sent, cos t) 
 
( - sen t, - cos t) 
 
0 
 
1 
 ( sen t, - cos t) 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Verifique se a função f(x,y)=x3+xy2eyxf(x,y)=x3+xy2eyx é homogênea e, se for, qual é o 
grau e indique a resposta correta. 
 
 
Não é homogênea. 
 
Homogênea de grau 1. 
 Homogênea de grau 3. 
 
Homogênea de grau 4. 
 
Homogênea de grau 2. 
 
 
Explicação: 
Calcular f(tx, ty) e verificar que f(tx, ty) = t³f(x, y) 
 
3a aula 
 
Lupa 
 
 
 
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Exercício: CCE1298_EX_A3_201709074825_V2 15/04/2019 (Finaliz.) 
Aluno(a): ADRIANO ALVES FRAZÃO 2019.1 - F 
Disciplina: CCE1298 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 201709074825 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
Sabendo que () = (  +cos 3t , 5 + sen 3t) representa o vetor posição de uma partícula que se move em cada instante t. Determine o 
vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração. 
 
 
V(t) = ( cos 3t , 3 sen 3t) e A(t) =( 3 sen t, sen t) 
 V(t) =( sen 3t, cos 3t) e A(t) = (cos 3t, sen 3t) 
 
V(t) = ( 9 cos 3t, sen 3t) e A (t) = ( 3t sen 3t, 3t cos 3t) 
 
V(t) = ( 3 sen 3t, - cos 3t) e A(t) = (9 cos 3t, 9 sen 3t) 
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 V(t) = ( - 3 sen 3t , 3 cos 3t) e A(t) = ( - 9 cos 3t, - 9 sen 3t) 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Classifica-se uma equação diferencial quanto ao tipo: ordinária ou parcial; quanto à ordem, primeira, segunda, terceira ordem, etc; 
quanto a linearidade: linear ou não linear. Marque a classificação para equação x^3 y''' - x^2 y'' + 4xy' - 3y = 0: 
 
 equação diferencial ordinária, terceira ordem, linear 
 
equação diferencial parcial, terceira ordem, não linear; 
 
equação diferencial parcial, segunda ordem, não linear. 
 
equação diferencial parcial, terceira ordem, não linear 
 
equação diferencial ordinária, quarta ordem, linear 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Dada uma função de modo que f(5,6)=7 e seu grau é igual a 1, podemos afirmar que f(20,24) é: 
 
 
24 
 28 
 
1 
 
20 
 
7 
 
 
Explicação: 
28 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Com relação às equações diferenciais de primeira ordem e seus tipos de soluções é SOMENTE correto afirmar que: (I) Solução Geral é a 
solução que contém tantas constantes arbitrárias quantas são as unidades da ordem da equação. (II) Solução Particular é toda solução 
obtida da solução geral atribuindo-se valores particulares às constantes. (III) Para cada condição inicial é possível encontrar uma 
solução particular para uma equação diferencial. 
 
 
Apenas I e II são corretas. 
 Apenas II e III são corretas. 
 
Apenas I é correta. 
 
Apenas I e III são corretas. 
 Todas são corretas. 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Dadas as EDOs abaixo. Determine quais são EDOs homogêneas. 
I - dydx=x2+2y2xydydx=x2+2y2xy 
II - dydx=x2+y22xydydx=x2+y22xy 
III - dydx=2xyx2−2y2dydx=2xyx2−2y2 
 
 
Apenas a I. 
 Todas são homogêneas. 
 
Apenas a III. 
 
Nenhuma é homogênea. 
 
Apenas a II. 
 
 
Explicação: 
Uma EDO da forma dy/dx = f(x,y) será homogênea quando f(tx, ty) = tnf(x, y) 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Uma função f(x,y)f(x,y) é dita homogênea de grau de homogeneidade n quando f(tx,ty)=tnf(x,y)f(tx,ty)=tnf(x,y). Verifique se a 
função f(x,y)=x2+xy+y2f(x,y)=x2+xy+y2 é homogênea e, se for, qual é o grau e indique a respostacorreta. 
 
 
É função homogênea de grau 1. 
 É função homogênea de grau 2. 
 
É função homogênea de grau 4. 
 
Não é função homogênea. 
 
É função homogênea de grau 3. 
 
 
Explicação: 
Fazendo a adequada substituição, verifica-se, no presente exercício que f(tx, ty) = t² f(x, y) 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Classifique a equação diferencial x^3 y" + xy' + (x^2 - 4)y = 0 de acordo com o tipo, a ordem e a linearidade: 
 
 
equação diferencial ordinária de terceira ordem e linear; 
 
equação diferencial parcial de primeira ordem e linear; 
 
equação diferencial ordinária de primeira ordem e não linear. 
 equação diferencial parcial de terceira ordem e não linear; 
 equação diferencial ordinária de segunda ordem e linear; 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Dadas as funções abaixo, determine quais são homogêneas. 
I - f(x,y)=5x4+x2y2f(x,y)=5x4+x2y2 
II - f(x,y)=xy+y2f(x,y)=xy+y2 
III - f(x,y)=x+ysen(yx)f(x,y)=x+ysen(yx) 
 
 
Apenas a I. 
 
Apenas a III. 
 Apenas a II. 
 
Apenas a II. 
 Todas são homogêneas. 
 
 
Explicação: 
Aplique o teste: f(tx,ty)=tnf(x,y)f(tx,ty)=tnf(x,y) 
 
3a aula 
 
Lupa 
 
 
 
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Exercício: CCE1298_EX_A3_201709074825_V3 15/04/2019 (Finaliz.) 
Aluno(a): ADRIANO ALVES FRAZÃO 2019.1 - F 
Disciplina: CCE1298 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 201709074825 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
Dadas as funções, determine quais são homogêneas. 
I - f(x,y)=4x3+3y3f(x,y)=4x3+3y3 
II - f(x,y)=x+xyf(x,y)=x+xy 
III - f(x,y)=2x+x2f(x,y)=2x+x2 
 
 
Todas não são homogêneas. 
 Todas são homogêneas. 
 
Apenas a II. 
 
Apenas a III. 
 Apenas a I. 
 
 
Explicação: 
EDO homogênea é da forma dy/ dx = f(x, y), onde f(tx, ty) = tn f(x, y) 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
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Verifique se a equação (2x-1) dx + (3y+7) dy = 0 é exata. 
 
 
É exata, pois (δMδy)=(δNδx)=0(δMδy)=(δNδx)=0 
 
É exata, pois (δMδy)=(δNδx)=5x(δMδy)=(δNδx)=5x 
 
É exata, pois (δMδx)=(δNδy)=4(δMδx)=(δNδy)=4 
 
É exata, pois (δMδx)=(δNδy)=7(δMδx)=(δNδy)=7 
 
É exata, pois (δMδx)=(δNδy)=0(δMδx)=(δNδy)=0 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Determine a ordem e o grau da equação diferencial (y''')² + 3y' + 2y = ex. 
 
 
Ordem 3 e não possui grau. 
 Ordem 2 e grau 3. 
 Ordem 3 e grau 2. 
 
Ordem 3 e grau 3. 
 
Ordem 3 e grau 5. 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Dadas as EDOs abaixo. Determine quais são EDO homogênea. 
I- dydx=y−xxdydx=y−xx 
II - dydx=2y+xxdydx=2y+xx 
III - dydx=x2+2y2xydydx=x2+2y2xy 
 
 Todas são homogêneas. 
 
Apenas a III. 
 
Nenhuma é homogênea. 
 
Apenas a I. 
 
Apenas a II. 
 
 
Explicação: 
Aplique o teste: f(tx,ty)=tnf(x,y)f(tx,ty)=tnf(x,y) 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Identificando a ordem e o grau da equação diferencial y´=f(x,y)y´=f(x,y), obtemos respectivamente: 
 
 
2 e 1 
 
2 e 2 
 1 e 1 
 
3 e 1 
 
1 e 2 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Seja →F(t)=(cost,sent)F→(t)=(cost,sent). Determine lim(h→0)→F(t+h)−→F(t)hlim(h→0)F→(t+h)-F→(t)h 
 
 
( sen t, - cos t) 
 
( - sen t, - cos t) 
 ( -sent, cos t) 
 0 
 
1 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Dada a seguinte EDO Linear, ache a sua resolução particular ypyp: 
 
 
 y(x)=(ex+2)/2+ky(x)=(ex+2)/2+k 
 y(x)=2ex+ky(x)=2ex+k 
 y(x)=−ex+ky(x)=−ex+k 
 y(x)=e(2x)+ky(x)=e(2x)+k 
 y(x)=ex+ky(x)=ex+k 
 
 
Explicação: 
Trata-se de uma ED não homogênea. Tentamos uma solução yp=Ae2xyp=Ae2x. Derivamos 
uma vez e substituimos na ED original para achar a resposta correta para a solução particular. 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir: 
d2ydt2+5dydt+4y(t)=0d2ydt2+5dydt+4y(t)=0 , com y(0)=1y(0)=1 e y'(0)=0y′(0)=0 
 
 y(t)= − 43e−t − 13e−(4t)y(t)= - 43e-t - 13e-(4t) 
 y(t)=43e−t+13e−(4t)y(t)=43e-t+13e-(4t) 
 y(t)=43e−t − 13e−(4t)y(t)=43e-t - 13e-(4t) 
 y(t)=43e−t − 13e4ty(t)=43e-t - 13e4t 
 y(t)=53e−t+23e−(4t)y(t)=53e-t+23e-(4t) 
 
 
Explicação: 
Trata-se de um PVI - Problema de Valor Inicial, pois, as condições são no mesmo 
ponto. 
Equação característica: m²+5m+4=0m²+5m+4=0...(1) 
Raízes: m1=−1;m2=−4m1=−1;m2=−4 ... A resposta típica 
é: y(t)=C1e−t+C2e−4ty(t)=C1e−t+C2e−4t....(2) 
Vamos aplicar o PVI na equação (2): 
y(0)=1;y′(0)=0y(0)=1;y′(0)=0 
Teremos um sistenma com duas equações do qual 
calculamos: C1=43;C2=−13C1=43;C2=−13 
Finalmente, substituindo as constantes na equação (2), teremos: 
y(t)=y(t)=43e−t−13e−4t 
 
4a aula 
 
Lupa 
 
 
 
Vídeo 
 
PPT 
 
MP3 
 
 
 
Exercício: CCE1298_EX_A4_201709074825_V1 15/04/2019 (Finaliz.) 
Aluno(a): ADRIANO ALVES FRAZÃO 2019.1 - F 
Disciplina: CCE1298 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 201709074825 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas. 
I - ydx+xdy=0ydx+xdy=0 
II - (x−2y)dx+(x+y)dy=0(x−2y)dx+(x+y)dy=0 
III - (2x2−y)dx+(x+y)dy=0(2x2−y)dx+(x+y)dy=0 
 
 
Apenas a III. 
 
I, II e III são exatas. 
 Apenas a I. 
 
I, II e III são não exatas. 
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 Apenas a II. 
 
 
Explicação: 
Uma EDO da forma Mdx + Ndy será exata quando dM/ dy = dN / dx 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução da equação y" + 2y' + y = 0. 
 
 y = C1e-t + C2e-t 
 y = C1e-t + C2et 
 y = C1et + C2e-5t 
 y = C1e-t + C2 
 y = C1e-3t + C2e-2t 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
y"+3y'+6y=sen(x) 
 
 ordem 1 grau 1 
 
ordem 2 grau 2 
 
ordem 1 grau 3 
 ordem 2 grau 1 
 
ordem 1 grau 2 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
São grandezas escalares, exceto: 
 
 
A energia cinética nos pontos da trajetória do trenzinho da montanha russa. 
 
A temperatura do meu corpo 
 
A espessura da parede da minha sala é 10cm. 
 
O carro parado na porta da minha casa. 
 João empurrando um carrinho de mão, cheio de livros. 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Resolva a seguinte EDO EXATA: 
y′=5y−2x−5x+3y2y′=5y−2x−5x+3y2 
 
 −5xy2+y3+x2=k−5xy2+y3+x2=k 
 −5x+y3+x2=k−5x+y3+x2=k 
 −5xy+y3+x2=k−5xy+y3+x2=k 
 −5y+y3+x2=k−5y+y3+x2=k 
 −5x2+y3+x2=k−5x2+y3+x2=k 
 
 
Explicação: 
Inicie fazendo y′=dy/dxy′=dy/dx 
O método abrange desde a comprovação da Condição de Exatidão, escolhendo-se uma ordem de 
integração de M(x,y) ou N(x,y), chegando-se a uma função g(x,y) que, se derivada parcialmente 
em relação a x e a y, reproduza M(x,y) e N(x,y). Derive a função abaixo parcialmente em relação 
a x e a y e encontraremos M e N. 
−5xy+y3+x2=k−5xy+y3+x2=k 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Uma solução da equação diferencial y´=y é a função: 
 
 
y = e2 
 
y = x2.e 
 y = e
x 
 
y = 2x 
 
y = x2 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas. 
I - (xy+x2)dx+(−5)dy=0(xy+x2)dx+(−5)dy=0 
II - xexydx+yexydy=0xexydx+yexydy=0 
III - yexydx+xexydy=0yexydx+xexydy=0 
 
 I, II e III são exatas. 
 Apenas a III. 
 
Apenas a I. 
 
I, II e III são não exatas. 
 
Apenas a II. 
 
 
Explicação: 
Dada uma EDO da formaMdx + Ndy = 0, esta será exata se dM/dy = dN/dx 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Quais das opções melhor justifica o wronskiano do par de funções cost e sent. 
 
 2 
 
-2 
 1 
 
1/2 
 
-1 
 
4a aula 
 
Lupa 
 
 
 
Vídeo 
 
PPT 
 
MP3 
 
 
 
Exercício: CCE1298_EX_A4_201709074825_V2 15/04/2019 (Finaliz.) 
Aluno(a): ADRIANO ALVES FRAZÃO 2019.1 - F 
Disciplina: CCE1298 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 201709074825 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas. 
I - 2xydx+(1+x2)dy2xydx+(1+x2)dy 
II - (x+sen(y))dx+(xcos(y)−2y)dy=0(x+sen(y))dx+(xcos(y)−2y)dy=0 
III - (2xy+x)dx+(x2+y)dy=0(2xy+x)dx+(x2+y)dy=0 
 
 I, II e III são exatas 
 
Nenhuma é exata. 
 
Apenas a I. 
 
Apenas a III. 
 Apenas a II. 
 
 
Explicação: 
Basta aplicar o Teste da Exatidão e verificar se as derivadas parciais de M em relação a y são iguais às derivadas parciais de N em 
relação a x, nas alternativas apresentadas. 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas. 
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I - 2xydx+(1+x2)dy2xydx+(1+x2)dy 
II - (ysen(x)+xycos(x))dx+(xsen(x)+1)dy=0(ysen(x)+xycos(x))dx+(xsen(x)+1)dy=0 
III - (x−y)dx+(x+y)dy=0(x−y)dx+(x+y)dy=0 
 
 
 Todas não são exatas. 
 Apenas I e II. 
 
Apenas I e III. 
 
Apenas II e II. 
 
Todas são exatas. 
 
 
Explicação: 
Uma EDO da forma Mdx + Ndy = 0 será exata quando dM/ dy = dN / dx 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Resolver a equação diferencial 4𝑥 − 𝑦² = 1, com a condição y(2) = 2: 
 
 
𝑦 = 2𝑥² + 𝑥 - 2 
 
𝑦 = 2𝑥² − 𝑥 + 10 
 𝑦 = 2𝑥² − 𝑥 + 8 
 
𝑦 = 𝑥² − 𝑥 + 2 
 
𝑦 = − 𝑥 + 8 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Uma equação diferencial M(x,y)dx+N(x,y)dy=0M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 é 
chamada de exata se: 
 
 δM(x,y)δy=−δN(x,y)δxδM(x,y)δy=−δN(x,y)δx 
 δM(x,y)=δN(x,y)δM(x,y)=δN(x,y) 
 δM(x,y)δy=δN(x,y)δxδM(x,y)δy=δN(x,y)δx 
 2δM(x,y)δy=δN(x,y)δx2δM(x,y)δy=δN(x,y)δx 
 δN(x,y)δy=δM(x,y)δxδN(x,y)δy=δM(x,y)δx 
 
 
Explicação: 
Este é o critério de Exatidão para uma ED ser considerada 
Exata: δM(x,y)δy=δN(x,y)δxδM(x,y)δy=δN(x,y)δx 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Resolva a seguinte EDO EXATA: 
(y−x2)dx−(y2−x)dy=0(y−x2)dx−(y2−x)dy=0 
 
 yx−x33−y33=kyx−x33−y33=k 
 y−x22−y22=ky−x22−y22=k 
 yx3−x33−y33=kyx3−x33−y33=k 
 y−x33−y33+3ky−x33−y33+3k 
 y−x33−y33+cy−x33−y33+c 
 
 
Explicação: 
O método abrange desde a comprovação da Condição de Exatidão, escolhendo-se uma ordem de integração de M(x,y) ou N(x,y), 
chegando-se a uma função g(x,y) que, se derivada parcialmente em relação a x e a y, reproduza M(x,y) e N(x,y). Derive a função 
abaixo parcialmente em relação a x e a y e encontraremos M e N. 
yx−x33−y33=kyx−x33−y33=k 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Segundo estatísticas, a população de certo lugar está crescendo a uma taxa aproximada de 1.500t−121.500t-12 pessoas por ano, 
sendo t o número de anos transcorridos após 1990. Em 1999, a população deste lugar era de 39.000 pessoas.Qual era a população, em 
1990? 
 
 15000 
 
25000 
 
20000 
 30000 
 
40000 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Várias equações diferenciais de 1ª ordem que podem se apresentar com o formato: M(x,y)dx + 
N(x,y)dy = 0. Para que tenhamos uma uma equação diferencial exata é necessário que: 
 
 
A derivada de M em relação à x seja igual à derivada de N em relação à x. 
 
A derivada de N em relação à y seja igual à derivada de M em relação à x. 
 
Nenhuma da alternativas 
 A derivada de M em relação à y seja igual à derivada de N em relação à x. 
 
A derivada de M em relação à y seja igual à derivada de M em relação à x. 
 
 
Explicação: 
Essa resposta é a condição para que tenhamos uma EDO exata 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Calcule C1C1 e C2C2 de modo que y(x)=C1senx+C2cosxy(x)=C1senx+C2cosx satisfaça as condições dadas: 
y(0)=2y(0)=2; `y '(0) = 1. 
Explique se tais condições caracterizam um Problema de Valor Inicial ou de Valor de Contorno. Marque a única 
resposta correta. 
 
 C1=−1C1=-1; C2=− 2C2=- 2 
PVI 
 C1=1C1=1; C2=ln2C2=ln2 
PVC 
 C1=1C1=1; C2=2C2=2 
PVI 
 C1=2C1=2; C2=1C2=1 
PVC 
 C1=√3 C1=3; C2=√2C2=2 
PVC 
 
 
Explicação: 
O chamado, problema de valor inicial - PVI, é uma condição imposta para que, dentre a família de soluções que 
uma ED pode admitir, escolhamos uma curva-solução, em um mesmo ponto, que atenda ao projeto/processo em 
estudo. 
O chamado, problema de valor contorno - PVC, é uma condição imposta para que, dentre a família de soluções que 
uma ED pode admitir, escolhamos curvas-solução, em dois pontos distintos, que atenda ao projeto/processo em 
estudo. 
 
4a aula 
 
Lupa 
 
 
 
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MP3 
 
 
 
Exercício: CCE1298_EX_A4_201709074825_V3 15/04/2019 (Finaliz.) 
Aluno(a): ADRIANO ALVES FRAZÃO 2019.1 - F 
Disciplina: CCE1298 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 201709074825 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
(y")³+3y'+6y=tan(x) 
 
 ordem 2 grau 2 
 
ordem 3 grau 3 
 
ordem 1 grau 3 
 ordem 2 grau 3 
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ordem 1 grau 1 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução da equação y" + 2y' + y = 0. 
 
 y = C1et + C2e-5t 
 y = C1e-t + C2e-t 
 y = C1e-t + C2 
 y = C1e-t + C2et 
 y = C1e-3t + C2e-2t 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
y"+3y'+6y=sen(x) 
 
 
ordem 1 grau 3 
 ordem 2 grau 2 
 
ordem 1 grau 1 
 ordem 2 grau 1 
 
ordem 1 grau 2 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
São grandezas escalares, exceto: 
 
 
A energia cinética nos pontos da trajetória do trenzinho da montanha russa. 
 
A espessura da parede da minha sala é 10cm. 
 
O carro parado na porta da minha casa. 
 
A temperatura do meu corpo 
 João empurrando um carrinho de mão, cheio de livros. 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Resolva a seguinte EDO EXATA: 
y′=5y−2x−5x+3y2y′=5y−2x−5x+3y2 
 
 −5xy+y3+x2=k−5xy+y3+x2=k 
 −5y+y3+x2=k−5y+y3+x2=k 
 −5x2+y3+x2=k−5x2+y3+x2=k 
 −5x+y3+x2=k−5x+y3+x2=k 
 −5xy2+y3+x2=k−5xy2+y3+x2=k 
 
 
Explicação: 
Inicie fazendo y′=dy/dxy′=dy/dx 
O método abrange desde a comprovação da Condição de Exatidão, escolhendo-se uma ordem de 
integração de M(x,y) ou N(x,y), chegando-se a uma função g(x,y) que, se derivada parcialmente 
em relação a x e a y, reproduza M(x,y) e N(x,y). Derive a função abaixo parcialmente em relação 
a x e a y e encontraremos M e N. 
−5xy+y3+x2=k−5xy+y3+x2=k 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Uma solução da equação diferencial y´=y é a função: 
 
 
y = 2x 
 
y = x2.e 
 
y = e2 
 y = e
x 
 
y = x2 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas. 
I - ydx+xdy=0ydx+xdy=0 
II - (x−2y)dx+(x+y)dy=0(x−2y)dx+(x+y)dy=0 
III - (2x2−y)dx+(x+y)dy=0(2x2−y)dx+(x+y)dy=0 
 
 
Apenas a III. 
 
I, II e III são não exatas. 
 I, II e III são exatas. 
 
Apenas a II. 
 Apenas a I. 
 
 
Explicação: 
Uma EDO da forma Mdx +Ndy será exata quando dM/ dy = dN / dx 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Quais das opções melhor justifica o wronskiano do par de funções cost e sent. 
 
 
1/2 
 1 
 
-2 
 
-1 
 
2 
 
5a aula 
 
Lupa 
 
 
 
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MP3 
 
 
 
Exercício: CCE1298_EX_A5_201709074825_V1 15/04/2019 (Finaliz.) 
Aluno(a): ADRIANO ALVES FRAZÃO 2019.1 - F 
Disciplina: CCE1298 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 201709074825 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
Identifique no intervalo[ - π,ππ,π] onde as funções {t,t2, t3}{t,t2, t3} são lineramente dependentes. 
 
 t= π3t= π3 
 t=−πt=-π 
 t=−π2t=-π2 
 t=0t=0 
 t= πt= π 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Dado um conjunto de funções {f1,f2,...,fn}{f1,f2,...,fn} , considere o determinante de ordem 
n: 
W(f1,f2,...,fn)W(f1,f2,...,fn) = ⎡⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢⎣f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n−1f2n−1...fnn−1⎤⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
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⎥⎦[f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n-1f2n-1...fnn-1] 
Calcule o Wronskiano formado pelas funções na primeira linha,pelas primeiras derivadas dessas 
funções na segunda linha, e assim por diante, até a (n-1)-ésima derivadas das funções na n-
ésima linha. Sejam as funções: f(x)f(x)= e2⋅xe2⋅x ; 
 g(x)g(x)=senxsenx e 
 h(x)=x²+3x+1h(x)=x²+3x+1 
Determine o Wronskiano W(f,g,h)W(f,g,h) em xx= 00. 
 
 -2 
 1 
 7 
 2 
 -1 
 
 
Explicação: 
A explicação da construção do wronskiano está no texto da pergunta. 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Determine o Wronskiano W(x,xex)W(x,xex) 
 
 2x2ex2x2ex 
 
exex 
 x2exx2ex 
 
x2x2 
 
x2e2xx2e2x 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Utilizando o método de resolução para EDO Linear de primeiro grau, determine a solução da equação: 
y′−(y/x)=2x4/ey′−(y/x)=2x4/e 
 
 y(x)=(x5/e)+ky(x)=(x5/e)+k 
 y(x)=(x/2e)+cky(x)=(x/2e)+ck 
 y(x)=(x2/2e)+cxy(x)=(x2/2e)+cx 
 y(x)=(e/2)+ky(x)=(e/2)+k 
 y(x)=(x5/2e)+cxy(x)=(x5/2e)+cx 
 
 
Explicação: 
Resolver como ED linear de 1ª ordem da forma dy/dx + P(x)y = Q(x), onde P(x) = -1/x e Q(x) = 2x4/e 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Determine o Wronskiano W(x3,x5)W(x3,x5) 
 
 
5x75x7 
 
x7x7 
 3x73x7 
 
4x74x7 
 2x72x7 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Classificando a equação diferencial entre: separável, homogênea, exata ou linear de primeira ordem. 
x.y' +2.y = 2 + ln(x) concluimos que ela é: 
 
 
homogênea 
 linear de primeira ordem 
 
separável 
 não é equação diferencial 
 
exata 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
A relação entre o custo de fabricação por objeto (C) e o número de tipos 
objetos fabricados (x) é tal que a taxa de aumento do custo quando o número de tipos 
aumenta é expressa pela equação diferencial homogênea (dC(x)/dx ) = (C(x) + x)/x. 
Determinar a relação entre o custo de fabricação por objeto e o número de tipos de 
objetos fabricados, sabendo C(1)=1000 unidades monetárias. 
 
 
C(x) = 5ln x + 40 
 
C(x) = 2x ln x 
 C(x) = x(1000+ln x) 
 
C(x) = ln x 
 
C(x) = x(ln x) 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Seja uma equação diferencial ordinária (EDO) dada por y' + 2y = e2x . Se para 
x =0, y = 4, determine a solução desta EDO. 
Dado que y' = dy/dx 
 
 y = (e
2x + 15.e-2x)/4 
 y = (-3e
2x + 19.e-2x)/4 
 
y = (- e2x + 16.e-2x)/4 
 
y = (3e2x + 13.e-2x)/4 
 
y = (2e2x + 14.e-2x)/4 
 
 
Explicação: 
Fator integrante: eIntegral(2dx) = e2x 
y. e2x = Integral (e2x . e2x dx) 
y. e2x = (1e4x)/4 + c 
y = (e2x)/4 + c.e-2x 
Para x=0, y = 4. Logo, 4 = (e2.0)/4 + c.e-2.0 
4 = 1/4 + c 
c = 15/4 
Logo, y = (e2x + 15.e-2x)/4 
5a aula 
 
Lupa 
 
 
 
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Exercício: CCE1298_EX_A5_201709074825_V2 15/04/2019 (Finaliz.) 
Aluno(a): ADRIANO ALVES FRAZÃO 2019.1 - F 
Disciplina: CCE1298 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 201709074825 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
y"+3yy'=exp(x) 
 
 
ordem 1 grau 3 
 ordem 1 grau 2 
 ordem 2 grau 1 
 
ordem 1 grau 1 
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ordem 2 grau 2 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de 1ª ordem linear 
y´−2xy=xy´−2xy=x 
 
 y=−12+cex2y=−12+cex2 
 y=12+cex2y=12+cex2 
 y=−12+ce−x3y=−12+ce−x3 
 y=12+ce−x3y=12+ce−x3 
 y=−12+ce−x2y=−12+ce−x2 
 
 
Explicação: 
y=−12+cex3y=−12+cex3 
 
Uma EDO linear da forma dy/dx + p(x)y = q(x) terá como solução y = [1/u(x)] . ∫u(x)q(x)dx∫u(x)q(x)dx onde 
u(x) = e^(∫p(x)dx∫p(x)dx 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Qual a única resposta correta como solução da ED : dydx=yx+1dydx=yx+1 ? 
 
 `lny = ln|x| 
 `lny = ln|x + 1| 
 `lny = ln| 1 - x | 
 `lny = ln|x - 1| 
 `lny = ln| sqrt(x 1)| 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Dadas as EDOs abaixo, determine quais são lineares. 
I - y´+4xy=x4y´+4xy=x4 
II - y´−2xy=xy´−2xy=x 
III - y´−3y=6y´−3y=6 
 
 
Apenas a III. 
 
Nenhuma alternativa anterior está correta. 
 
Apenas a I. 
 I, II e III são lineares. 
 Apenas a II. 
 
 
Explicação: 
Uma EDO é linear quando a variável que está sendo derivada não tem, em nenhum termo, expoente diferente de 1 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
O Wronskiano de 3ª ordem é o resultado do determinante de uma matriz 3x3, cuja primeira linha é 
formada por funções, a segunda linha pelas primeiras derivadas dessas funções e a terceira linha 
pelas segundas derivadas daquelas funções. 
O Wronskiano é utilizado para calcular se um conjunto de funções deriváveis são linearmente 
dependentes ou independentes. Caso o Wronskiano vseja igual a zero em algum ponto do intervalo, 
as funções são ditas linearmente dependentes nesse ponto. 
Identifique, entre os pontos do intervalo[−π,π][-π,π] apresentados, onde as 
funções t,sent,costt,sent,cost são linearmente dependentes. 
 
 t=πt=π 
 t=π2t=π2 
 t=π3t=π3 
 t=π4t=π4 
 t=0t=0 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Dada x.y´ = 4.y, resolver a equação diferencial por separação de variável. 
 
 y = c.x^4 
 
y = c.x^7 
 
y = c.x^5 
 y = c.x^3 
 
y = c.x 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Classificando a equaçâo diferencial entre : separável, homogênea, exata ou linear de primeira ordem. 
ydx + xdy = 0 concluimos que ela é; 
 
 Separável, Homogênea, Exata e Linear de Primeira Ordem. 
 
Separável, Homogênea e Linear de Primeira Ordem. 
 Homogênea, Exata e Linear de Primeira Ordem. 
 
Separável, Exata e Linear de Primeira Ordem. 
 
Separável, Homogênea e Exata 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Seja uma equação diferencial ordinária (EDO) dada por y' + 2y = e2x . Se para 
x =0, y = 4, determine a solução desta EDO. 
Dado que y' = dy/dx 
 
 
y = (2e2x + 14.e-2x)/4 
 y = (- e
2x + 16.e-2x)/4 
 y = (e
2x + 15.e-2x)/4 
 
y = (3e2x + 13.e-2x)/4 
 
y = (-3e2x + 19.e-2x)/4 
 
 
Explicação: 
Fator integrante: eIntegral(2dx) = e2x 
y. e2x = Integral (e2x . e2x dx) 
y. e2x = (1e4x)/4 + c 
y = (e2x)/4 + c.e-2x 
Para x=0, y = 4. Logo, 4 = (e2.0)/4+ c.e-2.0 
4 = 1/4 + c 
c = 15/4 
Logo, y = (e2x + 15.e-2x)/4 
5a aula 
 
Lupa 
 
 
 
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Exercício: CCE1298_EX_A5_201709074825_V3 15/04/2019 (Finaliz.) 
Aluno(a): ADRIANO ALVES FRAZÃO 2019.1 - F 
Disciplina: CCE1298 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 201709074825 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
Identifique no intervalo[ - π,ππ,π] onde as funções {t,t2, t3}{t,t2, t3} são lineramente dependentes. 
 
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javascript:diminui();
javascript:aumenta();
javascript:abre_frame('1','5','','','314441314');
javascript:abre_frame('2','5','','','314441314');
javascript:abre_frame('3','5','','','314441314');
 t=0t=0 
 t=−πt=-π 
 t= πt= π 
 t= π3t= π3 
 t=−π2t=-π2 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Dado um conjunto de funções {f1,f2,...,fn}{f1,f2,...,fn} , considere o determinante de ordem 
n: 
W(f1,f2,...,fn)W(f1,f2,...,fn) = ⎡⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢⎣f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n−1f2n−1...fnn−1⎤⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥⎦[f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n-1f2n-1...fnn-1] 
Calcule o Wronskiano formado pelas funções na primeira linha,pelas primeiras derivadas dessas 
funções na segunda linha, e assim por diante, até a (n-1)-ésima derivadas das funções na n-
ésima linha. Sejam as funções: f(x)f(x)= e2⋅xe2⋅x ; 
 g(x)g(x)=senxsenx e 
 h(x)=x²+3x+1h(x)=x²+3x+1 
Determine o Wronskiano W(f,g,h)W(f,g,h) em xx= 00. 
 
 2 
 -2 
 -1 
 7 
 1 
 
 
Explicação: 
A explicação da construção do wronskiano está no texto da pergunta. 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Determine o Wronskiano W(x,xex)W(x,xex) 
 
 
exex 
 
2x2ex2x2ex 
 
x2e2xx2e2x 
 x2x2 
 x2exx2ex 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Utilizando o método de resolução para EDO Linear de primeiro grau, determine a solução da equação: 
y′−(y/x)=2x4/ey′−(y/x)=2x4/e 
 
 y(x)=(x5/2e)+cxy(x)=(x5/2e)+cx 
 y(x)=(x/2e)+cky(x)=(x/2e)+ck 
 y(x)=(e/2)+ky(x)=(e/2)+k 
 y(x)=(x5/e)+ky(x)=(x5/e)+k 
 y(x)=(x2/2e)+cxy(x)=(x2/2e)+cx 
 
 
Explicação: 
Resolver como ED linear de 1ª ordem da forma dy/dx + P(x)y = Q(x), onde P(x) = -1/x e Q(x) = 2x4/e 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Determine o Wronskiano W(x3,x5)W(x3,x5) 
 
 
4x74x7 
 
x7x7 
 2x72x7 
 
3x73x7 
 
5x75x7 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Classificando a equação diferencial entre: separável, homogênea, exata ou linear de primeira ordem. 
x.y' +2.y = 2 + ln(x) concluimos que ela é: 
 
 linear de primeira ordem 
 
não é equação diferencial 
 
homogênea 
 
exata 
 
separável 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
A relação entre o custo de fabricação por objeto (C) e o número de tipos 
objetos fabricados (x) é tal que a taxa de aumento do custo quando o número de tipos 
aumenta é expressa pela equação diferencial homogênea (dC(x)/dx ) = (C(x) + x)/x. 
Determinar a relação entre o custo de fabricação por objeto e o número de tipos de 
objetos fabricados, sabendo C(1)=1000 unidades monetárias. 
 
 
C(x) = 2x ln x 
 C(x) = 5ln x + 40 
 
C(x) = x(ln x) 
 C(x) = x(1000+ln x) 
 
C(x) = ln x 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Seja uma equação diferencial ordinária (EDO) dada por y' + 2y = e2x . Se para 
x =0, y = 4, determine a solução desta EDO. 
Dado que y' = dy/dx 
 
 
y = (-3e2x + 19.e-2x)/4 
 y = (- e
2x + 16.e-2x)/4 
 
y = (2e2x + 14.e-2x)/4 
 
y = (3e2x + 13.e-2x)/4 
 y = (e
2x + 15.e-2x)/4 
 
 
Explicação: 
Fator integrante: eIntegral(2dx) = e2x 
y. e2x = Integral (e2x . e2x dx) 
y. e2x = (1e4x)/4 + c 
y = (e2x)/4 + c.e-2x 
Para x=0, y = 4. Logo, 4 = (e2.0)/4 + c.e-2.0 
4 = 1/4 + c 
c = 15/4 
Logo, y = (e2x + 15.e-2x)/4 
6a aula 
 
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Exercício: CCE1298_EX_A6_201709074825_V1 15/04/2019 (Finaliz.) 
Aluno(a): ADRIANO ALVES FRAZÃO 2019.1 - F 
Disciplina: CCE1298 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 201709074825 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
Dinâmica populacional - Sabendo que o modelo de crescimento populacional supõe que a taxa de crescimento de uma população dy/dt é 
proporcional a população presente naquele instante y(t), portanto podemos descreve-lo como um problema de Valor Inicial dy/dt = k y 
onde y(0) = y0. Com base nessa informação, encontre a solução do problema de crescimento populacional (problema de valor inicial) 
sabendo que y0 = 3 e que em 10 dias havia 240 indivíduos. 
 
 
O problema terá a solução y (t) = t2 ekt . Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 45t/10 
 O problema terá a solução y (t) = 3 e
kt . Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 3.80 t/10 
 
O problema terá a solução y (t) = 3 e4t . Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 80 t/10 
 
O problema terá a solução y (t) = 7ekt . Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 56t/10 
 
O problema terá a solução y (t) = ekt + t. Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 3.80 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Podemos afirmar que o fator integrante da 
equação (6xy)dx+(4y+9x2)dy(6xy)dx+(4y+9x2)dy é: 
 
 I=xyI=xy 
 I=2xI=2x 
 I=2yI=2y 
 I=y2I=y2 
 I=x2I=x2 
 
 
Explicação: 
I=y2I=y2 
 
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 3a Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução da equação y" + 4y = 0. 
 
 y = C1cost + C2sent 
 y = C1cos2t + C2sen2t 
 y = C1cos6t + C2sen2t 
 y = C1cos4t + C2sen4t 
 y = C1cos3t + C2sen3t 
 
 
Explicação: 
Trata-se de uma EDH com raízes complexas, cuja resposta típica é do 
tipo: y=C1e(ax)cos(bx)+C2e(ax)sen(bx)y=C1e(ax)cos(bx)+C2e(ax)sen(bx) 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Seja a função f(x,y) = (3 y2 ) / (x+ y). Calcule o limite da função f(x,y) quando (x, y) tende a (-1,2). 
 
 
o Limite será 5. 
 o Limite será 12. 
 o Limite será 9. 
 
o Limite será 1. 
 
o Limite será 0. 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir: 
d2ydt2+5dydt+4y(t)=0d2ydt2+5dydt+4y(t)=0 , com y(0)=1y(0)=1 e y'(0)=0y′(0)=0 
 
 y(t)=43e−t − 13e−(4t)y(t)=43e-t - 13e-(4t) 
 y(t)=43e−t − 13e4ty(t)=43e-t - 13e4t 
 y(t)=43e−t+13e−(4t)y(t)=43e-t+13e-(4t) 
 y(t)=53e−t+23e−(4t)y(t)=53e-t+23e-(4t) 
 y(t)= − 43e−t − 13e−(4t)y(t)= - 43e-t - 13e-(4t) 
 
 
Explicação: 
Trata-se de um PVI - Problema de Valor Inicial, pois, as condições são no mesmo 
ponto. A equação característica é: 
m²+5m+4=0m²+5m+4=0 .....cujas raízes 
são: m1=−1;m2=−4m1=−1;m2=−4. 
A resposta típica é: y=C1e−t+C2e−4ty=C1e−t+C2e−4t 
Aplicando as condições do PVI na equação acima, determina-se a resposta esperada. 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Seja y1 = cos x e y2 = sen x soluções particulares da equação y + y = 0. Calcule o Wronskiano. 
 
 O Wronskiano será 1. 
 
O Wronskiano será 0. 
 
O Wronskiano será 5. 
 
O Wronskiano será 3. 
 
O Wronskiano será 13. 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Aplicando a transformada de Laplace na função y = 4sen4t, obtemos: 
 
 ss²+16ss²+16 
 4s²+44s²+4 
 16s²+1616s²+16 
 4s²+164s²+16 
 4ss²+164ss²+16 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
O estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes foram estudados em duas fases, a primeira 
tratando dasEDOs deste tipo homogêneas e posteriormente as não homogêneas. A solução das homogêneas é bastante fácil, 
resumindo a três casos, em função das raízes da equação característica. Como podemos formar a solução particular quando após a 
iguadade na EDO for um polinômio ? 
 
 O grau do polinômio da particular será dada por m+h, onde h é a 
menor ordem de derivada da EDO e m é o grau do polinômio após a 
igualdade na EDO 
 O grau do polinômio da particular será dada por m-h, 
onde h é a menor ordem de derivada da EDO e m é o grau 
do polinômio após a igualdade na EDO. 
 O grau do polinômio da particular será dada por m-h, onde h é a maior 
ordem de derivada da EDO e m é o grau do polinômio após a igualdade na 
EDO 
 O grau do polinômio da particular será dada por m+h, 
onde h é a menor ordem de derivada da EDO e m é o 
menor grau do polinômio após a igualdade na EDO. 
 
Nenhuma das alternativas 
 
 
Explicação: 
Esta questão trata de uma EDO de segunda ordem. Após a igualdade temos um polinômio de grau m. 
O h da resposta está relacionado com a menor ordem de derivada que a EDO apresenta no lado esquerdo da equação. 
Então, o grau da proposta da solução particular é dada por m+h. 
6a aula 
 
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Exercício: CCE1298_EX_A6_201709074825_V2 15/04/2019 (Finaliz.) 
Aluno(a): ADRIANO ALVES FRAZÃO 2019.1 - F 
Disciplina: CCE1298 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 201709074825 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
Dado um conjunto de funções {f1,f2,...,fn}{f1,f2,...,fn} , considere o determinante de ordem 
n: 
W(f1,f2,...,fn)W(f1,f2,...,fn) = ⎡⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢⎣f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n−1f2n−1...fnn−1⎤⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥⎦[f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n-1f2n-1...fnn-1] 
Calcule o Wronskiano formado pelas funções na primeira linha,pelas primeiras derivadas dessas 
funções na segunda linha, e assim por diante, até a (n-1)-ésima derivadas das funções na n-
ésima linha. Sejam as funções: 
 f(x)f(x)= e2xe2x ; 
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 g(x)g(x)=senxsenx e 
 h(x)=x2+3x+1h(x)=x2+3x+1 
Determine o Wronskiano W(f,g,h)W(f,g,h) em xx= 00. 
 
 -1 
 1 
 -2 
 2 
 7 
 
 
Explicação: 
Calculando-se o Wronskiano, encontra-se W= -2. 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
As Linhas de Força e as linhas Equipotenciais interceptam-se ortogonalmente. 
Determinar as linhas de força do campo elétrico gerado por dois fios paralelos de 
material condutor, carregados com cargas opostas de mesma intensidade, encontrando as 
trajetórias ortogonais da família x2 + y2 + 1 = 2 Cx. Sugestão: Usar o fator integrante 
u(y) = y - 2 
 
 Será :x
2+ y2 - 1 = Ky 
 
Será :x2+ y2 = Ky 
 
Será : y2 - 1 = Ky 
 Será :x
2 - 1 = Ky 
 
 
Será :x2+ 1 = Ky 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Descreva o domínio da função z=(x+y-2)1/2 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 {(x,y)  2| x+y = 2} 
 {(x,y)  2| x+y2 ≥ 2} 
 {(x,y)  2| x+y ≥ 2} 
 {(x,y)  3| x+y ≥ - 2} 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Determine a ordem da equação diferencial abaixo e diga se ela é linear ou não. 
d2ydt2+sen(t+y)=td2ydt2+sen(t+y)=t 
 
 3ª ordem e linear. 
 
1ª ordem e não linear. 
 2ª ordem e não linear. 
 
1ª ordem e linear. 
 
2ª ordem e linear. 
 
 
Explicação: 
A ordem de uma ED é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação e, nesse 
caso, temos uma ED de segunda ordem e não linear por causa do sen(t+y)sen(t+y) 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir: 
d2ydt2+5dydt+4y(t)=0d2ydt2+5dydt+4y(t)=0 , com y(0)=1y(0)=1 e y'(0)=0y′(0)=0 
 
 y(t)=43e−t+13e−(4t)y(t)=43e-t+13e-(4t) 
 y(t)=43e−t − 13e−(4t)y(t)=43e-t - 13e-(4t) 
 y(t)= − 43e−t − 13e−(4t)y(t)= - 43e-t - 13e-(4t) 
 y(t)=53e−t+23e−(4t)y(t)=53e-t+23e-(4t) 
 y(t)=43e−t − 13e4ty(t)=43e-t - 13e4t 
 
 
Explicação: 
Trata-se de um PVI - Problema de Valor Inicial, pois, as condições são no mesmo 
ponto. 
Equação característica: m²+5m+4=0m²+5m+4=0...(1) 
Raízes: m1=−1;m2=−4m1=−1;m2=−4 ... A resposta típica 
é: y(t)=C1e−t+C2e−4ty(t)=C1e−t+C2e−4t....(2) 
Vamos aplicar o PVI na equação (2): 
y(0)=1;y′(0)=0y(0)=1;y′(0)=0 
Teremos um sistenma com duas equações do qual 
calculamos: C1=43;C2=−13C1=43;C2=−13 
Finalmente, substituindo as constantes na equação (2), teremos: 
y(t)=y(t)=43e−t−13e−4t43e−t−13e−4t 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir: 
d2ydt2+5dydt+4y(t)=0d2ydt2+5dydt+4y(t)=0 , com y(0)=1y(0)=1 e y'(0)=0y′(0)=0 
 
 y(t)=43e−t − 13e4ty(t)=43e-t - 13e4t 
 y(t)= − 43e−t − 13e−(4t)y(t)= - 43e-t - 13e-(4t) 
 y(t)=43e−t − 13e−(4t)y(t)=43e-t - 13e-(4t) 
 y(t)=53e−t+23e−(4t)y(t)=53e-t+23e-(4t) 
 y(t)=43e−t+13e−(4t)y(t)=43e-t+13e-(4t) 
 
 
Explicação: 
Trata-se de um PVI - Problema de Valor Inicial, pois, as condições são no mesmo 
ponto. 
Equação característica: m²+5m+4=0m²+5m+4=0...(1) 
Raízes: m1=−1;m2=−4m1=−1;m2=−4 ... A resposta típica 
é: y(t)=C1e−t+C2e−4ty(t)=C1e−t+C2e−4t....(2) 
Vamos aplicar o PVI na equação (2): 
y(0)=1;y′(0)=0y(0)=1;y′(0)=0 
Teremos um sistenma com duas equações do qual 
calculamos: C1=43;C2=−13C1=43;C2=−13 
Finalmente, substituindo as constantes na equação (2), teremos: 
y(t)=y(t)=43e−t−13e−4t43e−t−13e−4t 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Problemas de variação de temperatura : A lei de variação de temperatura de Newton 
afirma que a taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de 
temperatura entre o corpo e o meio ambiente, dT/dt = k( T- Tm) Supondo que um objeto 
à temperatura inicial de 500F é colocado ao ar livre , onde a temperatura ambiente é de 
100 0 F . Se após 5 minutos a temperatura do objeto é de 60 oF , determinar o tempo 
necessário para a temperatura atingir 75 0 F . 
 
 15,4 min 
 2 min 
 
10 min 
 
3 min 
 
20 min 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Problemas de variação de temperatura : A lei de variação de temperatura de Newton 
afirma que a taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de 
temperatura entre o corpo e o meio ambiente, dT/dt = k( T- Tm) Supondo que um objeto 
à temperatura inicial de 500F é colocado ao ar livre , onde a temperatura ambiente é de 
100 0 F . Se após 5 minutos a temperatura do objeto é de 60 oF , determinar a temperatura 
do corpo após 20 min. 
 
 79,5 graus F 
 
-5 graus F 
 49,5 graus F 
 
0 graus F 
 
20 graus F 
 
6a aula 
 
Lupa 
 
 
 
Vídeo 
 
PPT 
 
MP3 
 
 
 
Exercício: CCE1298_EX_A6_201709074825_V3 15/04/2019 (Finaliz.) 
Aluno(a): ADRIANO ALVES FRAZÃO 2019.1 - F 
Disciplina: CCE1298 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 201709074825 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
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Dinâmica populacional - Sabendo que o modelo de crescimento populacional supõe que a taxa de crescimento de uma população dy/dt é 
proporcional a populaçãopresente naquele instante y(t), portanto podemos descreve-lo como um problema de Valor Inicial dy/dt = k y 
onde y(0) = y0. Com base nessa informação, encontre a solução do problema de crescimento populacional (problema de valor inicial) 
sabendo que y0 = 3 e que em 10 dias havia 240 indivíduos. 
 
 
O problema terá a solução y (t) = 7ekt . Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 56t/10 
 O problema terá a solução y (t) = 3 e
4t . Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 80 t/10 
 
O problema terá a solução y (t) = t2 ekt . Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 45t/10 
 
O problema terá a solução y (t) = ekt + t. Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 3.80 
 O problema terá a solução y (t) = 3 e
kt . Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 3.80 t/10 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Podemos afirmar que o fator integrante da 
equação (6xy)dx+(4y+9x2)dy(6xy)dx+(4y+9x2)dy é: 
 
 I=xyI=xy 
 I=2yI=2y 
 I=y2I=y2 
 I=2xI=2x 
 I=x2I=x2 
 
 
Explicação: 
I=y2I=y2 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução da equação y" + 4y = 0. 
 
 y = C1cost + C2sent 
 y = C1cos4t + C2sen4t 
 y = C1cos3t + C2sen3t 
 y = C1cos2t + C2sen2t 
 y = C1cos6t + C2sen2t 
 
 
Explicação: 
Trata-se de uma EDH com raízes complexas, cuja resposta típica é do 
tipo: y=C1e(ax)cos(bx)+C2e(ax)sen(bx)y=C1e(ax)cos(bx)+C2e(ax)sen(bx) 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Seja a função f(x,y) = (3 y2 ) / (x+ y). Calcule o limite da função f(x,y) quando (x, y) tende a (-1,2). 
 
 
o Limite será 1. 
 o Limite será 9. 
 o Limite será 12. 
 
o Limite será 5. 
 
o Limite será 0. 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir: 
d2ydt2+5dydt+4y(t)=0d2ydt2+5dydt+4y(t)=0 , com y(0)=1y(0)=1 e y'(0)=0y′(0)=0 
 
 y(t)=43e−t − 13e−(4t)y(t)=43e-t - 13e-(4t) 
 y(t)=43e−t − 13e4ty(t)=43e-t - 13e4t 
 y(t)=53e−t+23e−(4t)y(t)=53e-t+23e-(4t) 
 y(t)= − 43e−t − 13e−(4t)y(t)= - 43e-t - 13e-(4t) 
 y(t)=43e−t+13e−(4t)y(t)=43e-t+13e-(4t) 
 
 
Explicação: 
Trata-se de um PVI - Problema de Valor Inicial, pois, as condições são no mesmo 
ponto. A equação característica é: 
m²+5m+4=0m²+5m+4=0 .....cujas raízes 
são: m1=−1;m2=−4m1=−1;m2=−4. 
A resposta típica é: y=C1e−t+C2e−4ty=C1e−t+C2e−4t 
Aplicando as condições do PVI na equação acima, determina-se a resposta esperada. 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Seja y1 = cos x e y2 = sen x soluções particulares da equação y + y = 0. Calcule o Wronskiano. 
 
 O Wronskiano será 1. 
 
O Wronskiano será 5. 
 
O Wronskiano será 0. 
 
O Wronskiano será 3. 
 
O Wronskiano será 13. 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Aplicando a transformada de Laplace na função y = 4sen4t, obtemos: 
 
 4ss²+164ss²+16 
 4s²+44s²+4 
 4s²+164s²+16 
 16s²+1616s²+16 
 ss²+16ss²+16 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
O estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes foram estudados em duas fases, a primeira 
tratando das EDOs deste tipo homogêneas e posteriormente as não homogêneas. A solução das homogêneas é bastante fácil, 
resumindo a três casos, em função das raízes da equação característica. Como podemos formar a solução particular quando após a 
iguadade na EDO for um polinômio ? 
 
 O grau do polinômio da particular será dada por m+h, 
onde h é a menor ordem de derivada da EDO e m é o 
menor grau do polinômio após a igualdade na EDO. 
 
Nenhuma das alternativas 
 O grau do polinômio da particular será dada por m+h, onde h é a 
menor ordem de derivada da EDO e m é o grau do polinômio após a 
igualdade na EDO 
 
O grau do polinômio da particular será dada por m-h, onde h é a maior 
ordem de derivada da EDO e m é o grau do polinômio após a igualdade na 
EDO 
 O grau do polinômio da particular será dada por m-h, 
onde h é a menor ordem de derivada da EDO e m é o 
grau do polinômio após a igualdade na EDO. 
 
 
Explicação: 
Esta questão trata de uma EDO de segunda ordem. Após a igualdade temos um polinômio de grau m. 
O h da resposta está relacionado com a menor ordem de derivada que a EDO apresenta no lado esquerdo da equação. 
Então, o grau da proposta da solução particular é dada por m+h. 
7a aula 
 
Lupa 
 
 
 
Vídeo 
 
PPT 
 
MP3 
 
 
 
Exercício: CCE1298_EX_A7_201709074825_V1 15/04/2019 (Finaliz.) 
Aluno(a): ADRIANO ALVES FRAZÃO 2019.1 - F 
Disciplina: CCE1298 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 201709074825 
 
 
 
 1a Questão 
 
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Seja a função f(x,y)=2x³+xy. A derivada na direção do vetor v=3i-4j, no ponto P=(1,-2) tem valor de: 
 
 8/5 
 
11/2 
 
10/3 
 
13/4 
 
18/7 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
O gráfico das curvas de nível e o gráfico de f(x,y)=x2+y2 pode ser definido pelas curvas: 
 
 Quando z = 1 temos uma circunferência de raio 1, 1 =x2+y2 
Quando z = 4 temos uma circunferência de raio 2, 4 =x2+y2 
 Quando z = 1 temos uma circunferência de raio 1, 2 =2x+2y 
Quando z = 4 temos uma circunferência de raio 2, 2 =x+y 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
Quando z = 1 temos uma circunferência de raio 1, 1 =2x+2y 
Quando z = 4 temos uma circunferência de raio 2, 2 =x+y 
 Quando z = 1 temos uma circunferência de raio 1, 1 =x+y 
 Quando z = 4 temos uma circunferência de raio 2, 4 =x+y 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Sabendo que y1 = cos x e y2 = sen x são soluções particulares da equação y + y = 0 utilizando o princípio de superposição podemos 
afirmar que: 
I - y = c1 sen x + c2 cos x também é solução da equação. 
II - y = c1 sen x + c2 cos x não é solução da equação. 
III - y1/y2 é LI 
IV - o Wronskiano nos garante que se y1 e y2 são LI, entao o W(y1,y2) é dirente de zero em cada ponto num intervalo aberto I. 
 
 
Todas as afirmações são verdadeiras, 
 Apenas I e IV são verdadeiras. 
 
Apenas IV é verdadeiras 
 Apenas I, III e IV são verdadeiras. 
 
Apenas I e II são verdadeiras. 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Determine caso exista o limite da função (x2y)/(x2+y2) quando (x,y) tende a (0,0). 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
tende a x 
 
tende a 1 
 tende a 9 
 tende a zero 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir: 
d2ydt2+5dydt+4y(t)=0d2ydt2+5dydt+4y(t)=0 , com y(0)=1y(0)=1 e y'(0)=0y′(0)=0 
 
 y(t)=43e−t+13e−(4t)y(t)=43e-t+13e-(4t) 
 y(t)= − 43e−t − 13e−(4t)y(t)= - 43e-t - 13e-(4t) 
 y(t)=43e−t − 13e4ty(t)=43e-t - 13e4t 
 y(t)=43e−t − 13e−(4t)y(t)=43e-t - 13e-(4t) 
 y(t)=53e−t+23e−(4t)y(t)=53e-t+23e-(4t) 
 
 
Explicação: 
Trata-se de um PVI - Problema de Valor Inicial, pois, as condições são no mesmo 
ponto. 
Equação característica: m²+5m+4=0m²+5m+4=0...(1) 
Raízes: m1=−1;m2=−4m1=−1;m2=−4 ... A resposta típica 
é: y(t)=C1e−t+C2e−4ty(t)=C1e−t+C2e−4t....(2) 
Vamos aplicar o PVI na equação (2): 
y(0)=1;y′(0)=0y(0)=1;y′(0)=0 
Teremos um sistenma com duas equações do qual 
calculamos: C1=43;C2=−13C1=43;C2=−13 
Finalmente, substituindo as constantes na equação (2), teremos: 
y(t)=y(t)=43e−t−13e−4t43e−t−13e−4t 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 Sobre Transformadas de Laplace podemos afirmar: 
1. É um método simples. 
2. Serve para transformar uma Equação Diferencial com condições iniciais em uma equação algébrica, de modo a obter uma 
solução deste PVI de uma forma indireta sem calcular a solução geral. 
3. Equação Diferencial são resolvidas através de integrais e derivadas. 
4.