CALCULO 3

Prévia do material em texto

Integrais Duplas sobre regiões genéricas
VIMOS QUE:
Desta maneira, poderemos ter duas situações distintas que levarão ao mesmo resultado:
Uma região plana D é dita do tipo I se for região entre o gráfico de duas funções continuas
de x, ou seja,
𝐷 = Τ𝑥, 𝑦 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑔1 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2 𝑥
ඵ
𝐷
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = න
𝑎
𝑏
න
𝑔1 𝑥
𝑔2 𝑥
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥
Região do tipo I:
Uma região plana D é dita do tipo II se for região entre o gráfico de duas funções continuas
de y, ou seja,
𝐷 = Τ𝑥, 𝑦 𝑐 ≤ 𝑥 ≤ 𝑑, ℎ1 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ ℎ2 𝑥
ඵ
𝐷
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = න
𝑐
𝑑
න
ℎ1 𝑥
ℎ2 𝑥
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
Região do tipo II:
Um exemplo que pode ilustrar na prática as duas regiões é o seguinte:
Ou seja, o tipo da região (I ou II) refere-se à forma pela qual “olhamos” as
funções.
𝑦 = 𝑥2
𝑦 = 𝑥
1
1
𝑇𝑖𝑝𝑜 𝐼: න
0
1
න
𝑥2
𝑥
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥
⇒ 𝑥 = 𝑦
𝑇𝑖𝑝𝑜 𝐼𝐼: න
0
1
න
𝑦
𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
න
0
1
න
2𝑥
2
𝑒𝑦
2
𝑑𝑦𝑑𝑥
Exemplificando
Inverta a ordem de integração e após calcule a integral:
Acompanhe a resolução no link:
Voltamos em 5 minutos...
encurtador.com.br/cV058
න
0
1
න
2𝑥
2
𝑒𝑦
2
𝑑𝑦𝑑𝑥
Exemplificando
Inverta a ordem de integração e após calcule a integral:
Inverta a ordem de integração e após calcule a integral:
න
0
1
න
𝑥
1
sin 𝑦2 𝑑𝑦𝑑𝑥 =
encurtador.com.br/jpP46Acompanhe a resolução no link:
Voltamos em 5 minutos...
Inverta a ordem de integração e após calcule a integral:
න
0
1
න
𝑥
1
sin 𝑦2 𝑑𝑦𝑑𝑥 =
Tipo I
= න
0
1
න
0
𝑦
sin 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦
Tipo II
= න
0
1
𝑥 sin 𝑦2
𝑦
0
𝑑𝑦
= න
0
1
𝑦 sin 𝑦2 𝑑𝑦
Por substituição
𝑢 = 𝑦2 𝑑𝑢 = 2𝑦 𝑑𝑦
1
2
නsin 𝑢 𝑑𝑢 = −
1
2
cos 𝑢
= −
1
2
(cos 𝑦2)
1
0
=
1
2
(1 − cos 1)
Integrais duplas em coordenadas polares
Suponha que queiramos calcular 𝑅׭ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴, onde R é uma das
regiões abaixo:
Em qualquer um dos casos, a descrição de R é complicada em
coordenadas retangulares. Usamos as “Coordenadas Polares”
Integrais duplas em coordenadas polares
Por exemplo, vamos supor que queremos integrar a função
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2numa região delimitada pela circunferência de
raio 1 centrada na origem.
ඵ
𝑅
𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝐴 = ?
= න
−1
1
න
− 1−𝑥2
1−𝑥2
𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑦 = − 1 − 𝑥2
𝑦 = 1 − 𝑥2
 Representação e equivalência entre os sistemas:
Dois pontos:
(𝑥, 𝑦)
Raio (𝑟) e um
Ângulo (𝜃), 
geralmente em 
radianos
𝑃(𝑥, 𝑦) 𝑃(𝑟, 𝜃)
 De uma forma geral:
Relações importantes entre os
dois sistemas de coordenadas:
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃
𝑦 = 𝑟 sin 𝜃
𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2
Integrais duplas em coordenadas polares
Voltando as figuras iniciais:
𝑅 = Τ𝑟, 𝜃 0 ≤ 𝑟 ≤ 1, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋
𝑅 = Τ𝑟, 𝜃 1 ≤ 𝑟 ≤ 2, 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋
Mudança para coordenadas polares em uma integral dupla
Se 𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏 e 𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽:
ඵ
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = න
𝛼
𝛽
න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑟, 𝜃 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
Para convertermos retangulares para 
polares em uma integral dupla
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃
𝑦 = 𝑟 sin 𝜃
𝑑𝐴 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
Integrais duplas em coordenadas polares
Voltando ao exemplo comentado anteriormente:
ඵ
𝑅
𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝐴 = ?
න
0
2𝜋
න
0
1
𝑟2 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
Em polares:
= න
0
2𝜋 𝑟4
4
0
1
𝑑𝜃 =
1
4
න
0
2𝜋
𝑑𝜃 =
𝜋
2