Resistência dos materiais

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Resistência dos materiais
Prof. Guilherme Cardoso
guilherme.wa@gmail.com
Resistência dos Materiais
• A resistência dos materiais se baseia nas leis da estática 
e serão aplicadas para corpos rígidos.
• A estática está fundamentada nas leis de Newton, que 
estudam corpos rígidos sob ação de forças em equilíbrio.
• Unidade de medidas – Sistema Internacional:
• Múltiplos e submúltiplos da unidade:
Grandeza Unidade Símbolo
Massa Quilograma Kg
Força Newton N = kg.m/s2
Peso Newton N = kg.m/s2
Pressão Pascal Pa = N/m2
Tensão Pascal Pa = N/m2
Prefixos Símbolo Fator
Giga G 109
Mega M 106
Quilo K 103
Centi c 10-2
Mili m 10-3
Resistência dos Materiais
• Resultante de uma força:
Resistência dos Materiais
Resultante de uma força
• Decomposição de forças:
Utilizando a trigonometria para esta situação:
( )
( )
( )


tg
Fx
Fy
FsenFy
FFx
=
=
= cos
22 FyFxF +=

Resultante de uma força
Exemplo
• Dadas duas forças sobre um parafuso, 
determine a resultante atuando.
Resultante de uma força
( )
166,14
arctan 43, 2
176,9
Fy
tg
Fx


=
 
= =  
 
2 2 2 2176,9 166,14
242,68
F Fx Fy
F kN
= + = +
=
Momento estático
• Momento é definido como a grandeza física que dá medida da
tendência de uma força “F” provocar rotação em torno de um
eixo fixo. A determinação do momento deve levar em
consideração o módulo da força “F” e a distância da força
em relação ao eixo fixo.
Momento estático
• Este conteúdo sempre irá considerar como 
positivo o sentido anti-horário.
Cálculo do momento estático
• O momento escalar é definido como a relação do vetor 
“F” que atua sobre um corpo rígido fixo no ponto “O”. 
• M é o momento escalar
• F é a força
• O é o polo ou centro de momento
• d é a distância perpendicular de “O” da linha de ação de “F”
• A unidade de momento no sistema internacional 
de medidas é N.m (Newton metro)
 M d x F=
Momento estático
• Determine o momento da força em relação ao ponto “O”. 
Momento estático
• Determine o momento da força em relação ao ponto “O”. 
3 300 2,5 500
350 . ( anti- )
M x x
M N m sentido horário
= − +
= +
Momento estático
• Determine o momento da força em relação ao ponto “O”. 
Momento estático
• Determine o momento da força em relação ao ponto “O”.
1 2 3 3cos(30º ) 2 (60º ) 5 cos(36,87º ) 5 (36,87º )
433,01 1299,04 2000 900
2832,05 N.m 2832,05 N.m (sentido horário)
M Fxd
M F x F sen x F x F sen
M
M M
=
= − − − +
 − − − +
 − 
Equilíbrio das estruturas
• Estruturas são sistemas compostos de uma ou mais peças
ligadas entre si e ao meio exterior de modo a formar um
conjunto estável. Exemplos: máquina industrial,
um automóvel, um avião, um edifício etc.
• As estruturas podem ser classificas dependendo
de sua geometria, ou seja, em função das dimensões
de comprimento, espessura e altura.
Unidimensionais Bidimensionais Tridimensionais
Equilíbrio das estruturas
As estruturas também podem ser classificadas quanto ao seu
equilíbrio estático, sendo classificadas como:
Isostáticas Hipostática Hiperestáticas
Para estruturas isostáticas e hipostáticas, os esforços internos
e externos são determinados utilizando as três equações:
ΣFx=0 ΣFy=0 ΣM=0 
Apoios
• Para uma estrutura em equilíbrio estático, deve-se 
impedir o deslocamento de pontos da estrutura 
introduzindo nela vínculos (barreiras). Estes vínculos 
reagirão às forças aplicadas à estrutura em sentido 
contrário. Esta força é conhecida como reação de 
apoio. 
• Um corpo rígido qualquer tem três graus de liberdade 
de movimento: deslocamento em duas direções e 
rotação. Dependendo do tipo de apoio, ele impedirá o 
movimento.
Apoios
• Apoio simples ou de primeiro gênero (apoio móvel):
• Articulação ou apoio de segundo gênero (apoio fixo):
Apoios
• Engaste ou apoio de terceiro gênero (apoio engastado):
Tipos de carregamento
• Para a análise das reações de apoio é necessário levar em 
consideração como a carga (força) é aplicada na estrutura.
Carga 
uniformemente 
distribuída
Carga 
concentrada Carga linearmente 
distribuída
Momento 
concentrado (carga 
momento)
Cálculo de reações de apoio
• Um corpo está em equilíbrio quando a resultante de todas 
as forças que nele atuam é nula.
 = 0Fx  = 0Fy  = 0M
Cálculo de reações de apoio
• No cálculo de reação de apoio, deve-se concentrar a carga
distribuída no centro de gravidade da área da carga distribuída.
Exemplos: 
Cálculo de reações de apoio
• No cálculo de reação de apoio, deve-se concentrar a carga 
distribuída no centro de gravidade da área da carga distribuída.
Exemplos: 
Cálculo de reações de apoio
• No cálculo de reação de apoio, os momentos pontuais
são somados ao cálculo de somatória dos momentos,
considerando seu sentido de giro.
Exemplos: 
Uma empilhadeira de 2.700 kg é usada para levantar 
um caixote de 1.500 kg. Determine a reação em cada 
uma das duas rodas dianteiras A e traseiras B.
Esforços solicitantes
Efeito da força ao longo de toda estrutura
– Forças de tração ou compressão (forças normais).
– Forças cortantes (cisalhantes).
– Momentos internos (momento fletor).
Diagramas de força cortante, diagrama de 
momento fletor e diagrama de força normal
Determinar os pontos de máximo valor das forças e momentos:
• Força cortante (V):
• Momento fletor (M):
Diagramas de força cortante, diagrama de 
momento fletor e diagrama de força normal
• Os exemplos a seguir demonstraram de forma prática 
a construção dos diagramas de força cortante (V) 
e momento fletor (M).
• Construa o diagrama de força cortante (V) e momento 
fletor (M) para seguinte estrutura:
Diagramas de força cortante, diagrama de 
momento fletor e diagrama de força normal
• Primeiro passo – reações de apoio:
Diagramas de força cortante, diagrama de 
momento fletor e diagrama de força normal
• construção do diagrama de força cortante 
e momento fletor:
Diagramas de força cortante, diagrama de 
momento fletor e diagrama de força normal
• Exemplo para carga distribuída:
Diagramas de força cortante, diagrama de 
momento fletor e diagrama de força normal
• Exemplo para carga distribuída:
Diagramas de força cortante, diagrama de 
momento fletor e diagrama de força normal
• Exemplo para carga distribuída:
Ex 2 - Módulo 5
A) Rav = 5,5tf Rha = 0 tf Rvb = 3 tf
B) Rav = 5,5tf Rha = 0,5 tf Rvb = 3 tf
C) Rav = 8 tf Rha = 10 tf Rvb = 3 tf
D) Rav = 5,5tf Rha = 0 tf Rvb = o,5 tf
E) Rav = 0,5tf Rha = 0 tf Rvb = 5,5 tf
Ex 4 - Módulo 5
As reações de apoio da viga abaixo serão Ra e Rb respectivamente:
A) Ra= 1,5.P; Rb= 1,5.P
B) Ra= 2P; Rb= 2P
C) Ra= P; Rb= P
D) Ra= 2P; Rb= P
E) Ra= P; Rb= 2P
Ex 5- Módulo 5
A) 40.000 N.m
B) 12.500 N.m
C) 16.500 N.m
D) 8.500 N.m
E) zero
Ex 6- Módulo 5
A) N= 250N V=-1200N M= -2400N.m
B) N= -250N V= 200N M= -240N.m
C) N= 250N V= 1200N M= -400N.m
D) N= 250N V=-1200N M= -400N.m
E) N= 250N V=-200N M= -400N.m
Ex 8 - Módulo 5
A) HA = 20tf VA = 5,5 tf VB = 0.5 tf.
B) HA = 20tf VA = 0,5 tf VB =5.5 tf.
C) HA = 2,0tf VA = 5,5 tf VB = 0.5 tf.
D) HA = 20tf VA = 5,5 tf VB = 5.5 tf.
E) HA = 5,5tf VA = 5,5 tf VB = 0.5 tf.
Tensão e deformação
• Tensão é o resultado da ação de cargas externas sobre uma unidade 
de área da seção analisada na estrutura, submetida a solicitações 
mecânicas.
Área
Força
Tensão =
Fonte: livro-texto.
Tensão
• Tensão normal:
F → Newton (N)
A →Metros quadrados (m2)
 → N/m2 (Pa)
Múltiplos (MPa , GPa)
A
F
=
Deformação
• A deformação como a relação entre a variação do comprimento da 
peça (L) e comprimento inicial da peça (Lo).
Lo
LoL
Lo
L −
=

=
Diagrama tensão x deformação
• O ensaio de tração consiste em aplicar uma força variável 
em um corpo de prova cujas dimensões são padronizadas 
pela Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). 
Diagrama tensão x deformação
• Os materiais podem ser divididos em material frágil 
e material dúctil devido às suas propriedades.
Material frágil
• Concreto, vidro, giz, 
ferro fundido,cerâmica.
Material dúctil 
• Latão, alumínio, aço. 
Lei de Hooke
O curso de resistência dos materiais abrange a parte inicial 
do diagrama tensão x deformação, ou seja, a peça ou estrutura projetada não 
deve ultrapassar o limite de escoamento do material. 
• “E” representa o módulo de elasticidade ou módulo de 
Young.
 .E=
MATERIAIS
Limite de 
Escoamento (MPa)
Módulo de 
Elasticidade (GPa)
Aço ASTM-A36 247 200
Alumínio – Liga 2014-T4 290 73
Latão-C23000 124 115
Bronze – C76100 331 105
Titânio (6%Al,4%V) 727 114
Exemplo de aplicação 
• Determine o diâmetro dos cabos para sustentar um motor 
de massa = 300kg, sabendo que são feitos de aço com tensão de 
escoamento de 220 MPa. Considere um fator de segurança = 3,0 
para aplicação. Aceleração da gravidade = 10 m/s2.
Exemplo de aplicação 
 = 0Fy
N
sen
F
senF
senFsenF
32,2121
)º45(.2
3000
3000)º45(.2
03000)º45(.)º45(.
=
=
=−+
MPaadm 33,73
0,3
10.220 6
==
25
6
10.892,2
10.33,73
32,2121
mA
F
A
A
F
adm
−==→=→=


2
6,06
4
d
A d mm

= → =
Exercício
Uma barra de seção circular é tracionada por uma carga 100 
kN. Determine o diâmetro dessa barra, considerando um 
fator de segurança de 3,0 e que o material da barra é de aço 
estrutural com limite de escoamento de 247 Mpa.
Exercício
Uma barra de aço de seção quadrada de lado 1 cm e 
comprimento 20 cm é solicitada a uma força de tração de 
1000 kgf.
Qual a deformação elástica gerada pelo esforço de tração, 
sendo o módulo de elasticidade longitudinal (E) 
2,1.106 Kgf/cm2