DERIVADA DIRECIONAL

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Derivada Direcional e gradiente no 
plano
• Seja um campo escalar no plano xy descrito por uma
função diferenciável a duas variáveis. Assim se z=f(x,y),
então z é o valor do campo escalar no ponto
P=(x,y).Seja L uma reta no plano xy. Quando P se move
ao longo de L, z pode variar e faz sentido perguntar pela
taxa de variação dz/ds de z em relação à distância s
medida ao longo de L. (fig 1)
• Para encontrar dz/ds, introduziremos um vetor unitário
paralelo a L e na direção do movimento de P
ao longo de L, (fig. 2).Se P=(x,y) está a s unidades de
um ponto fixado P0 =(x0,y0) em L, então
Isto é,
jbiau


jbsiasjyyixx

 )()( 00
usPP 0
Igualando os componentes temos x-x0=as e y-yo=bs; isto é, x=x0+as e 
y=y0+bs. Portanto,
a
ds
dx
 e
b
y
za
x
z
ds
dy
y
z
ds
dx
x
z
ds
dz












E segue da Regra da cadeia 
b
ds
dy

A derivada dz/ds, que é a taxa de variação do campo escalar z em relação
à distância medida na direção do vetor unitário u, é denominada
derivada direcional de z (ou derivada direcional da função f) na direção de u
e é escrita como Duz(ou Duf). Assim tem-se
byxfayxfyxfD
b
y
za
x
zzD
yxu
u
),(),(),( 








• Onde 
jseniu
 )()(cos  
Em particular, se u é o vetor unitário que faz um ângulo  como eixo
positivo de x, então 
jbiau


e


senyxfyxfyxfD
sen
y
z
x
zzD
yxu
u
),(cos),(),(
cos









• Portanto, as derivadas direcionais de z nas direções dos eixos positivos de x 
e y são as derivadas parciais de z com respeito a x e a y respectivamente.
• A derivada direcional Duz pode ser expressa na forma de produto escalar 




































j
y
zi
x
zuj
y
zi
x
zjbia
y
zb
x
zab
y
za
x
zzD u


)(
O vetor 








 j
y
zi
x
z 
cujos componentes escalares são as derivadas parciais de z com respeito a
a x e a y é denominado gradiente do campo escalar z (ou da função f) e é
escrito como z(ou como f). O símbolo , um delta grego invertido, é chamado
“nabla”. Assim temos










 j
y
zi
x
z 
z= e podemos escrever a derivada direcional como 
),(),( yxfuyxfD
zuzD
u
u






Ou seja, a derivada direcional de um campo escalar numa dada direção é o 
produto escalar desta direção pelo gradiente do campo escalar.
• Ex1:Se z=4x2-5xy2, encontre :
(a)z, (b) o vetor de z no ponto (2,-3), e c) a derivada direcional Duz 
no ponto (2,-3) e na direção do vetor unitário u=(cos /3)i+(sen /3)j.
Sol. a) =(8x-5y2)i+(-10xy)j
b)-29i+60j
c) 
2
29360
2
3)60(
2
1)29(
3
60
3
cos29
)6029(
33
cos
































sen
jijsenizuzDu


j
y
zi
x
zz







• Ex 2. Se f(x,y)=4x2 +xy+9y2, encontre: a) o gradiente de f(1,2); b)a 
derivada direcional de f(1,2);onde u é o vetor na direção de v=4i-3j.
• Obtemos o vetor u normalizando o vetor v, assim:
5
71
75
111
5
40
3710
5
3
5
4)2,1()2,1()
3710)2,1()2,1()2,1(
18 e 8)
5
3
5
4
25
34
)3(4
34
22






 



















jijifufDb
jij
y
fi
x
ff
yx
y
fyx
x
fa
jijiji
v
vu
u








• Se fixarmos um ponto (x0,y0) no plano xy então a derivada direcional 
),(),( 0000 yxfuyxfDu 


depende apenas da escolha do vetor unitário u, visto que o vetor gradiente 
f(x0,y0) está fixado. Se  é o ângulo entre u e f(x0,y0) (fig 3), então pela 
definição de produto escalar 
cos),(),( 0000 yxfuyxfu 

),(),( 0000 yxfuyxfDu 


cos),(),( 0000 yxfuyxfu 

• Já que |u|=1, segue que cos),(),( 0000 yxfyxfDu 
Quando variamos o ângulo  na última fórmula, obtemos o valor da derivada
direcional, em várias direções, no ponto (x0,y0). Tomando = /2, temos cos=0
Ou seja Duf(x0,y0)= 0. Assim temos:
1. A derivada direcional é nula quando tomamos a direção perpendicular ao
gradiente;
Desde que cos  assume seu valor máximo, a saber 1, quando =0, também
obtemos
o seguinte fato:
2. A derivada direcional assume seu valor máximo quando tomamos a direção do
Gradiente e esse máximo valor é | f(x0,y0)|.
Em outras palavras, o gradiente de um campo escalar, calculado num ponto P, é um
Vetor cuja direção indica a direção na qual o campo escalar aumenta mais
rapidamente enquanto o módulo do vetor gradiente é numericamente igual a taxa
instantânea de aumento do campo por unidade de distância nesta direção
quando no ponto P.
• Por exemplo, se estamos num dado campo de temperatura e
desejamos seguir para onde a temperatura aumenta mais
rapidamente, basta tomar a direção do gradiente neste ponto.
• Por outro lado, se nos movimentarmos perpendicularmente ao
vetor gradiente, a taxa instantânea de variação é nula e estaremos
seguindo sobre a isoterma que passa por este ponto.
• Movendo-se na direção oposta ao gradiente (isto é , na direção do
gradiente negativo) a temperatura diminuirá mais rapidamente.