Aula8-Heterocedasticidade

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ECONOMETRIA I
Unidade II – Relaxamento das hipóteses do modelo clássico
Aula 8 - Heterocedasticidade
Paulo Roberto Scalco
FACE-UFG
	Econometria I – Gujarati: cap. 11; Wooldridge: cap. 8					 2
 Linearidade nos parâmetros;
 X fixos ou,
	 
 ;
 
 para ;
 n > k (k é igual ao número de parâmetros do modelo)
 variabilidade em .
Não há colinearidade exata entre as variáveis .
Ausência de viés de especificação
Hipótese do MCRLM
Homocedasticidade
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O que significa Heterocedasticidade?
A hipótese de homocedasticidade implica que a variância de cada termo de erro , condicional aos valores selecionados das variáveis explicativa, é um número constante igual a . 
Fonte: Gujarati e Porter (2011)
A variância do termo de erro é constante ao longo de .
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O que significa Heterocedasticidade?
No caso da heterocedasticidade não podemos mais assumir que a variância de cada termo de erro é constante. Formalmente:
Fonte: Gujarati e Porter (2011)
Notem que, agora, a variância não é mais constante ao longo de .
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Origens do problema
Diversas fontes:
Modelos de aprendizagem-erro (learning-by-doing);
Hipótese da renda discricionária;
Aprimoramento das técnicas de coleta de dados
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Origens do problema
Diversas fontes:
Outliers;
R versus lucro 
R versus lucro – sem outliers
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Origens do problema
Diversas fontes:
Assimetria na distribuição dos regressores;
Distribuição de frequência da variável 
Resíduos da regressão
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Origens do problema
Diversas fontes:
Viés de especificação (modelo mau especificado);
Forma funcional incorreta, ou problemas na transformação dos dados.
Preços de diamantes versus tamanho 
Resíduos da regressão
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Consequências da heterocedasticidades
Estimadores de MQO continuam sendo não-tendenciosos.
Considerando um modelo de regressão linear simples, dado pela FRP: , para demonstrar a inexistência de viés, não utilizamos a hipótese de homocedasticidade. Portanto, 
Contudo, as variâncias dos estimadores não serão mais as mesmas. Sob a hipótese de homocedasticidade, derivamos
Entretanto, se essa hipótese for violada, isto é, na presença de heterocedasticidade:
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Consequências da heterocedasticidades
Estimadores de MQO deixam de ser BLUE. Embora continuem sendo não-viesados, eles não possuem variância mínima.
Estimação de MQO desconsiderando a heterocedasticidade: a da eq. (2) é um estimador tendencioso da dada pela eq. (3), ou seja, na média ela superestima ou subestima a variância.
O viés surge do fato de que , o estimador convencional de , a saber, , não é mais um estimador não-tendendioso de , quando a heterocedasticidade está presente.
Como consequência, não podemos calcular os intervalos de confiança e realizar os testes t e F.
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Detecção da heterocedasticidade
Métodos informais
Natureza do problema
Gráfico dos resíduos
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Detecção da heterocedasticidade
Métodos informais
Gráfico dos resíduos
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Detecção da heterocedasticidade
Métodos formais
Teste de Breusch-Pagan 
A ideia do teste é bastante simples! Queremos testar a hipótese de que é uma constante. Para ilustrá-lo, considere um modelo de regressão linear com k variáveis explicativas
	Suponha que a variância do erro seja descrita como
	ou seja, é uma função linear dos Z. Se , então , que é uma constante.
Atenção! No Gujarati esse teste é chamado de Breusch-Pagan-Godfrey, sec. 11.5)
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Detecção da heterocedasticidade
Teste de Breusch-Pagan 
Procedimentos para calculo do teste (“na mão”)
Estime a eq. (4) por MQO e obtenha os resíduos .
Obtenha . 
Construa variáveis definidas como: 
Faça a regressão de construída sobre os como
Obtenha a SQE dessa regressão e calcule: 
Suponha que os sejam normalmente distribuídos, pode-se demonstrar que se há homocedasticidade e se o tamanho da amostra n aumenta indefinidamente, então
Se o calculado for maior que o valor crítico no nível escolhido, poderemos rejeitar a hipótese nula de homocedasticidade; caso contrário, esta não será rejeitada.
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Detecção da heterocedasticidade
Teste de Breusch-Pagan 
Exemplo utilizando a base de dados Diamantes.gdf
Estime o modelo de regressão linear: e salve os resíduos elevados ao quadrado
Calcule o valor de , dados por, . 
Para isso, abra o console do Gretl e calcule um escalar, dado por:
scalar sigma2=sum(usq1)/53940
Construa variáveis definida como: 
Faça a regressão de assim construída sobre os como
Obtenha a SQE dessa regressão e calcule: .
Utilize o localizador de p-valor do Gretl para tomar uma decisão sobre o teste de hip.
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Detecção da heterocedasticidade
Teste geral de heterocedasticidade de White
Mesma ideia do teste BP. Queremos testar a hipótese de que é uma constante.
Procedimentos para calculo do teste (“na mão”). Considere um modelo de regressão linear com duas variáveis explicativas
Estime a eq. (5) por MQO e obtenha os resíduos .
Estime a seguinte regressão (auxiliar):
Sob a hipótese nula de que não há heterocedasticidade, pode-se mostrar que
Se o valor de exceder o valor crítico do qui-quadrado ao nível escolhido de significância, a conclusão é de que há heterocedasticidade.
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Detecção da heterocedasticidade
Teste geral de heterocedasticidade de White
Exemplo utilizando a base de dados Diamantes.gdf.
Já temos os resíduos elevados ao quadrado do exercício anterior. Falta, entretanto, a variável carat elevada ao quadrado. 
Estime a seguinte regressão (auxiliar):
Calcule a estatística:
Utilize o localizador de p-valor do Gretl para tomar uma decisão quanto ao teste de hipótese.
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Medidas corretivas
Quando é conhecido: o método de mínimos quadrados ponderados
Se, de alguma forma, conhecemos a estrutura de , podemos transformar a FRP original, da seguinte forma:
Suponha que a FRP seja dada por um modelo de regressão linear simples
	que para facilitar o cálculo podemos escrever como:
	em que para cada i.
Se for conhecido, podemos dividir ambos os lados da FRP, da seguinte forma:
	que pode ser representado como:
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Medidas corretivas
Quando é conhecido: o método de mínimos quadrados ponderados
Pode-se demonstrar que agora é constante:
	já que 
		 	 	já que é conhecido
		 	já que 
		 	
A ideia básica do MQP é que as observações vindas de populações com maior variabilidade recebam menos peso do que as provenientes de populações com menos variabilidade. Ou seja, nossas observações são ponderadas.
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Medidas corretivas
Quando é desconhecido
Com o avanço da tecnologia, hoje é comum nos pacotes estatísticos a possibilidade de rodar modelos de regressão robustos à heterogeneidade.
No Gretl esse recurso está disponível na mesma janela onde especificamos o nosso modelo.
Os erros padrão corrigidos para heterocedasticidadesão calculados de formas alternativas (normalmente por um processo de interação) de modo que inferências estatísticas válidas assintoticamente possam ser feitas sobre os verdadeiros valores dos parâmetros.
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Medidas corretivas
Mas cuidado!!!
As vezes, a heterocedasticidade pode ser decorrente de um problema na especificação do modelo (viés de especificação), portanto, o teste de White pode ser utilizado como um teste geral para verificação de heterocedasticidade e também de viés de especificação.
Além disso, precisamos ter bem claro quais são as implicações da violação da hipótese de homocedasticidade. Em alguns casos, o melhor a fazer é: não fazer nada.
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-100
-50
 0
 50
 100
 150
 200
-5e+006 0 5e+006 1e+007
r_medio
lucro_m
-50
-40
-30
-20
-10
 0
 10
 20
 30
 40
 50
 60
-1,5e+006 -1e+006 -500000 0 500000 1e+006 1,5e+006 2e+006
r_medio
lucro_m
r_medio versus lucro_m (com ajustamento por mínimos quadrados)
Y = 4,61 + 9,99e-006X
-1000
 0
 1000
 2000
 3000
 4000
 5000
 6000
 7000
 8000
 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
resíduo
salh
Resíduos da regressão (= observados - ajustados salh)
 0
 0,2
 0,4
 0,6
 0,8
 1
 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
Frequência relativa
salh
 0
 5000
 10000
 15000
 20000
 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000
price
price previsto
efetivo = previsto
-20000
-15000
-10000
-5000
 0
 5000
 10000
 15000
 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000
resíduo
price
Resíduos da regressão (= observados - ajustados price)