CfVV - derivadas direcional 1 13-04

Prévia do material em texto

Universidade Paulista – UNIP
CFVV
Em instantes iniciaremos 
Profa. Isabel Espinosa
Universidade Paulista – UNIP
CFVV
Derivada direcional
Profa. Isabel Espinosa
Gradiente
Gradiente de f(x,y) - vetor dado por:
∇𝑓 = 𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 ou
∇𝑓 = 𝑓𝑥 . Ԧ𝑖+𝑓𝑦 . Ԧ𝑗 ou
∇𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
. Ԧ𝑖 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
. Ԧ𝑗
Gradiente
Exemplos
1) Determinar o gradiente de 2 2f(x,y) 3x .y=
2 1 2f 3.2.x .y
x
− = 

2 2 1f 3x .2y
y
− = 

2f 6x.y
x

=

2f 6x .y
y

=

Gradiente
ou
2 2f(x,y) 3x .y=
2f 6x.y
x

=

2f 6x .y
y

=

∇𝑓 = 6 𝑥. 𝑦2. Ԧ𝑖 + 6 𝑥2𝑦. Ԧ𝑗
∇𝑓 = ( 6 𝑥. 𝑦2 , 6 𝑥2𝑦 )
Gradiente
2) Determinar o gradiente de f(x,y) = 3x y2 + x3 y, no 
ponto (1,-1)
2 2f 3.y 3x y
x

= +

2 1 3f 3x.2y x
y
− = + 

3f 6xy x
y

= +

Gradiente
f(x,y) = 3x y2 + x3 y, no ponto (1,-1)
∇𝑓 = 0 Ԧ𝑖 − 5 Ԧ𝑗
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 3𝑦2+3x2y 𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 6𝑥𝑦 + 𝑥3
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(1,−1) = 6.12 . (−1) + 13 ⇒
𝜕𝑓
𝜕𝑦
1,−1 = −5
𝜕𝑓
𝜕𝑥
1,−1 = 3 . (−1)2−3 ⇒
𝜕𝑓
𝜕𝑥
1,−1 = 0
Gradiente
3) Determine o gradiente de , no 
ponto (𝜋,1)
f(x,y) y.sen(2x)=
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑦. 2. cos(2𝑥) ⇒
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 2𝑦cos(2𝑥)
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
Gradiente
, no ponto (𝜋,1)f(x,y) y.sen(2x)=
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 2𝑦cos(2𝑥)
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜋, 1 = 2.1 cos(2𝜋) ⇒
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜋, 1 = 2
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝜋, 1 = 𝑠𝑒𝑛(2𝜋) ⇒
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝜋, 1 = 0
∇𝑓 = 2 Ԧ𝑖 + 0 Ԧ𝑗
Derivada direcional
Derivada direcional –
taxa de variação em uma direção qualquer
𝐷𝑢𝑓 𝑥0, 𝑦0 = 𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 . 𝑎 + 𝑓𝑦 𝑥0, 𝑦0 . 𝑏
𝐷𝑢𝑓 𝑥0, 𝑦0 = ∇𝑓 𝑥0, 𝑦0 . (𝑎, 𝑏)
Derivada de f no ponto P = (x0,y0) na direção de um 
versor 𝑢 = 𝑎, 𝑏
Produto escalar
Derivada direcional
Exemplos:
1) Calcule a derivada direcional de na 
direção do versor 𝑢 =
2
2
,
2
2
, no ponto P = (2,-1)
2 2f(x,y) 2x .y=
2f 4.x.y
x

=

2f 2.x .2.y
y

= 

2f 4.x .y
y

=

𝐷𝑢𝑓 𝑥0, 𝑦0 = 𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 . 𝑎 + 𝑓𝑦 𝑥0, 𝑦0 . 𝑏
Derivada direcional
na direção do versor 𝑢 =
2
2
,
2
2
2 2f(x,y) 2x .y=
2f 4.x.y
x

=

2f 4.x .y
y

=

𝜕𝑓
𝜕𝑥
2,−1 = 4 .2. −1 2 ⇒
𝜕𝑓
𝜕𝑥
2 − 1 = 8
𝜕𝑓
𝜕𝑦
2,−1 = 4 . 2 2. (−1) ⇒
𝜕𝑓
𝜕𝑦
2,−1 = −16
Derivada direcional
na direção do versor 𝑢 =
2
2
,
2
2
2 2f(x,y) 2x .y=
𝜕𝑓
𝜕𝑥
2 − 1 = 8 𝜕𝑓
𝜕𝑦
2,−1 = −16
𝐷𝑢𝑓 𝑥0, 𝑦0 = 𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 . 𝑎 + 𝑓𝑦 𝑥0, 𝑦0 . 𝑏
𝐷𝑢𝑓 𝑥0, 𝑦0 = 8 .
2
2
+ (−16).
2
2
𝐷𝑢𝑓 𝑥0, 𝑦0 = −4 2
Derivada direcional
2) Calcule a derivada direcional de na 
direção do vetor Ԧ𝑣 = 2,−2 , no ponto P = (1,-1).
𝑧𝑥= 2𝑥 cos(𝑥
2 + 𝑦2)
𝑧𝑦= 2𝑦 cos(𝑥
2 + 𝑦2)
𝑧 = sen(𝑥2 + 𝑦2)
𝐷𝑢𝑓 𝑥0, 𝑦0 = 𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 . 𝑎 + 𝑓𝑦 𝑥0, 𝑦0 . 𝑏
Derivada direcional
vetor Ԧ𝑣 = (2,−2) P = (1,-1)
𝑧𝑥 1,−1 = 2. 1 cos 1
2 + −1 2 ⇒
𝑧𝑥= 2𝑥 cos(𝑥
2 + 𝑦2)
𝑧 = sen(𝑥2 + 𝑦2)
𝑧𝑥 1,−1 = 2 cos 2 ⇒
𝑧𝑥 1,−1 = 2. (−0,42)
Em radianos
𝑧𝑥 1,−1 = −0,84
Derivada direcional
vetor Ԧ𝑣 = (2,−2) P = (1,-1)
𝑧𝑦 1,−1 = 2. (−1) cos 1
2 + −1 2 ⇒
𝑧 = sen(𝑥2 + 𝑦2)
𝑧𝑦= 2𝑦 cos(𝑥
2 + 𝑦2)
𝑧𝑦 1,−1 = −2 cos 2 ⇒
Em radianos
𝑧𝑦 1,−1 = −2. (−0,42)
𝑧𝑦 1,−1 = 0,84
Derivada direcional
vetor Ԧ𝑣 = (2,−2) P = (1,-1)
𝑢 versor de Ԧ𝑣 = (2,−2)
𝑢 =
Ԧ𝑣
| Ԧ𝑣|
𝑢 =
(2,−2)
|(2,−2)|
𝑧 = sen(𝑥2 + 𝑦2)
𝑢 =
(2,−2)
22 + (−2)2
=
(2, −2)
8
𝑢 =
2
8
,
−2
8
Derivada direcional
versor de Ԧ𝑣 = (2,−2) P = (1,-1)𝑢 =
2
8
,
−2
8
𝑧𝑦 1,−1 = 0,84𝑧𝑥 1,−1 = −0,84
𝐷𝑢𝑧 1,−1 = 𝑧𝑥 1,−1 . 𝑎 + 𝑧𝑦 1,−1 . 𝑏
𝐷𝑢𝑧 1, −1 = −0,84 .
2
8
+ 0,84. −
2
8
𝐷𝑢𝑧 1, −1 = - 1,19 
Derivada direcional
3) Calcule a derivada direcional de z = y e2x y 
na direção do vetor unitário que forma ângulo θ = 50º 
com o eixo x, no ponto P = (2,3).
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 2𝑦 . y. 𝑒2𝑥𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 1 . 𝑒2𝑥𝑦 + 𝑦. 2𝑥 . 𝑒2𝑥𝑦
Derivada direcional
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 2𝑦 . y. 𝑒2𝑥𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 1 . 𝑒2𝑥𝑦 + 𝑦. 2𝑥 . 𝑒2𝑥𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥
(2,3) = 2. 32 . 𝑒2.2.3 ⇒
𝜕𝑧
𝜕𝑥
2,3 = 18 . 𝑒12
𝜕𝑧
𝜕𝑦
(2,3) = 1 . 𝑒2.2.3 + 3. 2.2 . 𝑒2.2.3
𝜕𝑧
𝜕𝑦
2,3 = 𝑒12 + 12. 𝑒12
Derivada direcional
versor
50º
cosθ
senθ
O
𝑢 = (𝑐𝑜𝑠50, 𝑠𝑒𝑛50)
𝑢 = (0.64 , 0.77)
Derivada direcional
Versor :
𝐷𝑢𝑓 𝑥0, 𝑦0 = 𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 . 𝑎 + 𝑓𝑦 𝑥0, 𝑦0 . 𝑏z
𝜕𝑧
𝜕𝑥
2,3 = 18 . 𝑒12
𝜕𝑧
𝜕𝑦
2,3 = 13. 𝑒12
𝑢 = (0.64 , 0.77)
𝐷𝑢𝑧 2,3 = 𝑧𝑥 2, 3 . 𝑎 + 𝑧𝑦 2, 3 . 𝑏
𝐷𝑢𝑧 2,3 = 18 . 𝑒
12. (0,64) + 13. 𝑒12. (0,77)
𝐷𝑢𝑧 2,3 = 21,53 . 𝑒
12