CfVV - derivadas direcional 2 13-04

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Universidade Paulista – UNIP
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Profa. Isabel Espinosa
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Derivada direcional
Parte 2
Profa. Isabel Espinosa
Derivada direcional
Exemplos:
4) Calcule a derivada direcional de
na direção do vetor Ԧ𝑣 = 2 Ԧ𝑖 + Ԧ𝑗, no ponto P = (3,1)
f(x,y) x . Ln(xy)=
𝐷𝑢𝑓 𝑥0, 𝑦0 = ∇𝑓 𝑥0, 𝑦0 . (𝑎, 𝑏)
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 1. 𝐿𝑛 𝑥𝑦 + 𝑥 . 𝑦.
1
𝑥𝑦
⇒
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝐿𝑛 𝑥𝑦 + 1
Derivada direcional
P = (3,1)f(x,y) x . Ln(xy)=
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= x . 𝑥.
1
𝑥𝑦
⇒
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
𝑥
𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝐿𝑛 𝑥𝑦 + 1
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(3,1) = 𝐿𝑛 3.1 + 1
𝜕𝑓
𝜕𝑥
3,1 = 1,10 + 1 = 2,10
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
𝑥
𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(3,1) =
3
1
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(3,1) = 3
Derivada direcional
Versor de Ԧ𝑣 = 2 Ԧ𝑖 + Ԧ𝑗 é 𝑢 =
𝑣
|𝑣|
Ԧ𝑣 = 2 Ԧ𝑖 + Ԧ𝑗 ⇒ Ԧ𝑣 = 22 + 12 ⇒ Ԧ𝑣 = 5
Ou
𝑢 =
2 Ԧ𝑖 + Ԧ𝑗
5
⇒
𝑢 =
2
5
,
1
5
𝑢 =
2
5
Ԧ𝑖 +
1
5
Ԧ𝑗
Derivada direcional
Versor de Ԧ𝑣 = 2 Ԧ𝑖 + Ԧ𝑗 é
𝐷𝑢𝑓 𝑥0, 𝑦0 = ∇𝑓 𝑥0, 𝑦0 . (𝑎, 𝑏)
∇𝑓 3,1 = (2.10 , 3)
𝑢 =
2
5
,
1
5
𝐷𝑢𝑓 3,1 = (2.10 , 3) .
2
5
,
1
5
𝐷𝑢𝑓 3,1 =
7,20
5
= 3,22
Derivada direcional
5) Calcule a derivada direcional de 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2. 𝑦 + 𝑦2
na direção de P = (-1,2) a Q = (0, 3), no ponto P = (-1,2).
𝑓𝑥 = 2𝑥 . y 𝑓𝑦 = 𝑥
2 + 2𝑦
𝑓𝑥(−1,2) = 2 −1 . 2
𝑓𝑥 −1,2 = −4
∇𝑓 −1,2 = (−4 , 5)
𝑓𝑦 −1,2 = (−1)
2+2.2
𝑓𝑦 −1,2 = 5
Derivada direcional
direção de P = (-1,2) a Q = (0, 3),
Versor de
𝑃𝑄 = (𝑥𝑄 − 𝑥𝑃, 𝑦𝑄 − 𝑦𝑃)
𝑃𝑄 = (0 − (−1), 3 − 2) ⇒ 𝑃𝑄 = (1, 1)
𝑃𝑄 = (1, 1)
𝑢 =
𝑃𝑄
|𝑃𝑄|
⇒ 𝑢 =
1,1
|(1,1)|
⇒ 𝑢 =
(1,1)
2
𝑢 =
1
2
,
1
2
Derivada direcional
Versor de Ԧ𝑣 = 1,1 é
𝐷𝑢𝑓 𝑥0, 𝑦0 = ∇𝑓 𝑥0, 𝑦0 . (𝑎, 𝑏)
𝐷𝑢𝑓 −1,2 = (−4 , 5) .
1
2
,
1
2
𝐷𝑢𝑓 −1,2 = −4
1
2
+ 5
1
2
∇𝑓 −1,2 = (−4 , 5)
𝑢 =
1
2
,
1
2
𝐷𝑢𝑓 −1,2 =
1
2
= 0,71
Derivada direcional
6) Calcule a derivada direcional de 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦
na direção do vetor , no ponto P = (-2,-2).
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 ou 𝑓 𝑥, 𝑦 = (𝑥2 + 2𝑥𝑦)1/2
Ԧ𝑣 = −1 , 3
𝑓𝑥 =
1
2
. (2𝑥 + 2𝑦). (𝑥2 + 2𝑥𝑦)
1
2−1
𝑓𝑥 =
1
2
. 2𝑥 + 2𝑦 . 𝑥2 + 2𝑥𝑦
−1
2
𝑓𝑥 = 𝑥 + 𝑦 . 𝑥
2 + 2𝑥𝑦
−1
2
Derivada direcional
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 ou 𝑓 𝑥, 𝑦 = (𝑥2 + 2𝑥𝑦)1/2
𝑓𝑦 =
1
2
. (0 + 2𝑥). (𝑥2 + 2𝑥𝑦)
1
2
−1
𝑓𝑦 =
1
2
. 2𝑥 . 𝑥2 + 2𝑥𝑦
−1
2
𝑓𝑦 = 𝑥 . 𝑥
2 + 2𝑥𝑦
−1
2
Derivada direcional
𝑓𝑥(−2,−2) = −2 + (−2) . (−2)
2+2 −2 . −2
−1
2
𝑓𝑥 −2,−2 =
−4
12
𝑓𝑥 −2,−2 = −1,15
𝑓𝑥 = 𝑥 + 𝑦 . 𝑥
2 + 2𝑥𝑦
−1
2
Derivada direcional
𝑓𝑦 −2,−2 = (−2) . (−2)
2+2. −2 . (−2)
−1
2
𝑓𝑦 −2,−2 =
−2
12
𝑓𝑦 −2,−2 = −0,58
𝑓𝑦 = 𝑥 . 𝑥
2 + 2𝑥𝑦
−1
2
∇𝑓 −2,−2 = −1.15 Ԧ𝑖 − 0,58 Ԧ𝑗
Derivada direcional
direção do vetor
𝑢 =
Ԧ𝑣
| Ԧ𝑣|
𝑢 =
−1, 3
|(−1, 3)|
𝑢 =
(−1,3)
10
𝑢 =
−1
10
,
3
10
Ԧ𝑣 = −1 , 3
| Ԧ𝑣 | = (−1)2 + 32
| Ԧ𝑣 | = 10
Derivada direcional
Versor de Ԧ𝑣 = −1, 3 é
𝐷𝑢𝑓 𝑥0, 𝑦0 = ∇𝑓 𝑥0, 𝑦0 . (𝑎, 𝑏)
𝐷𝑢𝑓 −2,−2 = (−1.15 ,−0,58 ).
−1
10
,
3
10
𝐷𝑢𝑓 −2,−2 = −1.15
(−1)
10
+ (−0.58)
3
10
𝐷𝑢𝑓 −2,−2 = −
0,59
10
= −0,19
𝑢 =
−1
10
,
3
10
∇𝑓 −2,−2 = −1.15 Ԧ𝑖 − 0,58 Ԧ𝑗
Derivada direcional
7) Calcule a derivada direcional de
na direção do vetor , no ponto P = (-2,0).Ԧ𝑣 = 2Ԧ𝑖 − Ԧ𝑗
𝑓𝑥 = 2. (−2). 1 . (𝑥 + 𝑦)
−2−1
𝑓 𝑥, 𝑦 =
2
(𝑥 + 𝑦)2
𝑓 𝑥, 𝑦 =
2
(𝑥 + 𝑦)2
𝑜𝑢 𝑓 𝑥, 𝑦 =2 (𝑥 + 𝑦)−2
𝑓𝑥 = −4. (𝑥 + 𝑦)
−3
𝑓𝑥(−2,0) = −4. ((−2) + 0)
−3
𝑓𝑥 −2,0 =
−4
−8
⇒ 𝑓𝑥 −2,0 =
1
2
Derivada direcional
𝑓𝑦 = 2. (−2). 1 . (𝑥 + 𝑦)
−2−1
𝑓 𝑥, 𝑦 =
2
(𝑥 + 𝑦)2
𝑜𝑢 𝑓 𝑥, 𝑦 =2 (𝑥 + 𝑦)−2
𝑓𝑦 = −4 . (𝑥 + 𝑦)
−3
∇𝑓 −2,0 =
1
2
Ԧ𝑖 +
1
2
Ԧ𝑗
𝑓𝑦(−2, 0) = −4 . ((−2) + 0)
−3
𝑓𝑦 −2,0 =
−4
−8
⇒ 𝑓𝑦 −2,0 =
1
2
Derivada direcional
direção do vetor
𝑢 =
Ԧ𝑣
| Ԧ𝑣|
𝑢 =
2,−1
|(2, −1)|
𝑢 =
(2, −1)
5
𝑢 =
2
5
,
(−1)
5
| Ԧ𝑣 | = (2)2 + (−1)2
| Ԧ𝑣 | = 5
Ԧ𝑣 = 2Ԧ𝑖 − Ԧ𝑗
Derivada direcional
Versor de Ԧ𝑣 = (2,−1) é
𝐷𝑢𝑓 𝑥0, 𝑦0 = ∇𝑓 𝑥0, 𝑦0 . (𝑎, 𝑏)
𝐷𝑢𝑓 −2,0 = (0.5 , 0.5).
2
5
,
−1
5
𝐷𝑢𝑓 −2,0 = 0.5
2
5
+ (0.5)
(−1)
5
𝐷𝑢𝑓 −2,0 =
0,5
5
= 0,22
∇𝑓 −2,0 =
1
2
Ԧ𝑖 +
1
2
Ԧ𝑗
𝑢 =
2
5
,
(−1)
5
Exercícios propostos
Exercícios propostos:
Resolva 1 dos 3 exercícios a seguir e entregue quando solicitado.
1) Calcule a derivada direcional na direção do vetor Ԧ𝑣 = 2, −3 , no ponto
P = (2,0), da função f(x,y) = y Ln(xy).
2) Calcule a derivada direcional na direção de P = (2,3) a Q = (-1,2), no ponto
P = (2,3), da função f(x,y) = 3 x2. y3.
3) Calcule a derivada direcional na direção do versor que forma ângulo de 65º 
com o eixo x, no ponto P = (1,-1), da função f(x,y) = 3 x y2 -2x + 3 y.
Atenção: Os alunos devem resolver individualmente, 6 exercícios do sistema, entre os módulos 
Funções de 2 variáveis e derivadas parciais.
No aviso colocado no sistema foi informado incorretamente que vocês deveriam fazer os exercício dos 
módulos 1,2,3 e módulos complementares.