Transformações Trigonométricas

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MATEMÁTICA
F B O N L I N E . C O M . B R
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Professor(a): Fabrício Maia
assunto: arco duplo, arco Metade e arco triplo
frente: MateMática i
003.983 – 130126/18
AULAS 13 a 15
EAD – ITA/IME
Resumo Teórico
Transformações trigonométricas
• ARCO DUPLO
sen x senx x
x x sen x x sen x
2 2
2 2 1 1 22 2 2 2
( ) = ⋅ ⋅
( ) = − = ⋅ − = − ⋅
cos
cos cos cos
ttg x
tgx
tg x
2
2
1 2
( ) = ⋅
−






• ARCO METADE 
sen
x x
x x
tg
x x
2
1
2
2
1
2
2
1



 = ±
−



 = ±
+



 = ±
−
cos
cos
cos
cos
11+









cos x
• ARCO TRIPLO 
sen x senx sen x
x x x
tg x
tgx t
3 3 4
3 4 3
3
3
3
3
( ) = ⋅ − ⋅
( ) = ⋅ − ⋅
( ) = ⋅ −
cos cos cos
gg x
tg x
3
21 3− ⋅






Exercícios
01. O conjunto imagem e o período de f(x) = 2sen2 (3x) + sen(6x) – 1 
são, respectivamente,
A) [–3, 3] e 2π B) −[ ]2 2 2
3
, e
π
C) − 2 2
3
, e
π
 D) −[ ]1 3
3
, e
π
E) −[ ]1 3 2
3
, e
π
02. Considere α e b números reais que satisfazem a equação
cos cos sen sen cos .α β α β
α β
+( ) + +( ) = ⋅ −


2 2 22
2 
Marque a alternativa correta.
A) α β
π
− =
3
 
B) α – b ∈ {2kπ / k ∈ Z}
C) α – b ∈ {(2k +1)π / k ∈ Z} 
D) α β
π
π− ∈ + ∈{ }2 4k k Z/
E) α β
π
π− ∈ + ∈{ }6 10k k Z/
03. Calculando o valor da expressão: 
y = tg10º · (3cos10º – 2sen10º · cos70º), 
sem emprego de tábuas, obtém-se:
A) 1 B) 
1
4
C) 
1
6
 D) 
1
8
E) 
1
2
04. Determine o valor da soma S = sec40º + sec80º + sec160º.
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
05. Mostre que cos20º não é um número racional.
06. Determine o valor máximo de f(x) = sen2 x + 6cos2 x + 12senxcosx.
A) 14
B) 13
C) 12
D) 11
E) 10
07. Se 4 3 2 5⋅ − ⋅ =senα αcos , então o valor de cos sen2 12 2 2α α− ⋅
é igual a
A) 8
B) 6
C) 4
D) 2
E) 
1
2
2F B O N L I N E . C O M . B R
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Módulo de estudo
003.983 – 130126/18
08. Calcule o valor de 
M = +

 ⋅ +



 ⋅ +



 +



1
7
8
1
3
8
1
5
8
1
8
cos cos cos . cos
π π π π
 .
A) 1 B) 
1
2
C) 
1
4
 D) 
1
8
E) 
1
16
09. Se k
tg
=
° + °
° − °
20 40
20 40
cotg
cotg cotg
, então k é igual a
A) 1 B) 0,5
C) 0,25 D) –0,5
E) –0,25
10. Se W = 4 – 8sen29º – 3sec18º, então uma expressão equivalente 
para W será:
A) tg9°
B) tg18°
C) 2tg18°
D) 2tg9°
E) tg36°
11. Se k = + + ⋅ 


1
2
1
2
1
2
1
2 50
cos ,
π
 então k é igual a
A) − 

sen
π
100
B) sen
π
400




C) sen
π
100




D) − 

cos
π
200
E) cos
π
200




12. Se Q =
+ °
°
1 6 20
2 20
3 cos
cos
, então Q vale:
A) 1
B) 0
C) 0,5
D) 1,5
E) 3
13. Se tg
θ
π θ
π
4
1 5
2
3
2



 =
+
< <, , então cos
θ
2



 é igual a:
A) −
5
4
 B) −
5
5
C) −
5
10
 D) −
5
15
E) −
5
20
14. Seja n um inteiro positivo tal que sen
n
π
2
2 3
4
=
−
.
A) Determine n.
B) Determine sen
π
24
.
15. Assinale a alternativa que apresenta o mesmo valor da expressão 
4 9 3 4 27 32 2cos cos :°( ) −[ ] °( ) −[ ]
A) sen (9°)
B) tg (9°)
C) cos (9°)
D) sec (9°)
E) cossec (9°)
Gabarito
01 02 03 04 05
C C E D –
06 07 08 09 10
E A D A C
11 12 13 14 15
E A B – B
– Demonstração.
SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: FABRÍCIO MAIA
 DIG.: GEORGENES – REV.: LÍCIA