Pontos Notáveis no Triângulo e Polígonos

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MATEMÁTICA
F B O N L I N E . C O M . B R
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Professor(a): Fabrício Maia
assunto: Pontos notáveis no triângulo, Polígonos e ângulo na circunFerência
frente: MateMática i
014.978 - 140323/19
AULAS 28 A 30
EAD – ITA/IME
Resumo Teórico
Pontos notáveis do triângulo
Altura de um triângulo
Segmento perpendicular que liga um vértice ao lado oposto 
ou ao seu prolongamento.
Ortocentro (O)
O
O
O
acutângulo retângulo obtusângulo
As retas suportes das alturas de um triângulo interceptam-se 
num ponto chamado ortocentro (indicado por O na figura anterior).
O ortocentro de um triângulo é interno, vértice do ângulo reto 
ou externo ao triângulo, conforme este seja acutângulo, retângulo ou 
obtusângulo, respectivamente.
Mediana de um triângulo
Segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto.
Baricentro (G)
As três medianas de um triângulo concorrem no mesmo ponto, 
chamado baricentro (indicado por G na figura a seguir), do triângulo 
e situado a 2/3 de cada mediana, a partir do vértice.
O baricentro de um triângulo é sempre um ponto interior.
A
G
B C
M3 M2
M1
Teorema: GA = (2/3)AM
1
; GB = (2/3)BM
2
 e GC = (2/3)CM
3
Bissetriz de um triângulo
Uma bissetriz interna (ou externa) de um triângulo é um segmento 
com extremos num vértice e na reta suporte do lado oposto, contido na 
bissetriz interna (respectivamente externa) do ângulo do vértice.
A A
B BC
CI
J
AI – Bissetriz interna AJ – Bissetriz externa
αα α
α
Incentro (I)
As bissetrizes internas de um triângulo interceptam-se num 
ponto chamado incentro (indicado por I, em geral), que é o centro 
da circunferência inscrita (circunferência tangente internamente aos 
lados de um triângulo).
A
CB
I
As bissetrizes externas interceptam-se, duas a duas, em três pontos 
denominados ex-incentros e estes são centros das circunferências que 
tangenciam as retas suportes dos lados do triângulo.
Na figura seguinte, temos: AI
1
, AI
3
, BI
1
, Bl
2
, CI
2
, CI
3
 que são as 
bissetrizes dos ângulos externos, I
1
, I
2
 e I
3
 são os ex-incentros e as 
circunferências são as ex-inscritas.
A
B C
I1 I3
I2
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Módulo de estudo
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Mediatriz de um triângulo
Uma mediatriz de um triângulo é uma reta perpendicular a um 
dos lados desse triângulo no seu ponto médio.
Circuncentro (C)
As mediatrizes de um triângulo se interceptam num ponto 
chamado circuncentro, que é o centro da circunferência circunscrita 
(circunferência que contém os vértices do triângulo).
O circuncentro de um triângulo pode ser interior, ponto médio 
da hipotenusa ou exterior ao triângulo, conforme este seja acutângulo, 
retângulo ou obtusângulo, respectivamente.
A
Acutângulo Retângulo Obtusângulo
CB
o
CB
A
o
A
B C
o
Importantíssimo:
• Em um triângulo isósceles, coincidem a mediana, a altura, a 
bissetriz interna e a mediatriz relativas à base.
• Em todo triângulo isósceles, os pontos notáveis (baricentro, 
ortocentro, incentro e circuncentro) são alinhados.
• Em todo triângulo equilátero, os pontos notáveis são 
coincidentes.
Polígonos
Consideremos, em um plano, n pontos (n ≥ 3), A
1
, A
2
, A
3
,...,A
n
, 
ordenados de modo que três consecutivos não sejam colineares.
Chama-se polígono A
1
A
2
A
3
...A
n
 a figura formada pela união 
dos n segmentos consecutivos não colineares.
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
• Vértices do polígono: A
1
, A
2
, A
3
,...,A
8
.
• Lados do polígono: 
 A A A A A A1 2 2 3 7 8, ,..., .
• Perímetro: (2p) é a soma dos 
comprimentos de todos os lados.
• Gênero de um polígono é o número 
de lados.
• Vértices adjacentes: dois vértices 
P e Q são adjacentes se, e somente 
se, PQ é lado.
• Diagonal de um polígono: segmento de reta que une dois vértices 
não adjacentes.
Classificação dos polígonos
Quanto à região
• Polígono convexo: uma reta qualquer só corta o polígono em 
dois pontos.
• Polígono não convexo: uma reta qualquer pode cortar o polígono 
em mais de dois pontos.
Quanto ao gênero
De acordo com o gênero, os polígonos podem receber as 
denominações:
Triângulo ......................................................................... 3 lados
Quadrilátero ................................................................... 4 lados
Pentágono ....................................................................... 5 lados
Hexágono ....................................................................... 6 lados
Heptágono ...................................................................... 7 lados
Octógono ........................................................................ 8 lados
Eneágono ........................................................................ 9 lados
Decágono .......................................................................10 lados
Undecágono ...................................................................11 lados
Dodecágono ...................................................................12 lados
Pentadecágono ...............................................................15 lados
Icoságono ....................................................................... 20 lados
Para os demais, dizemos polígonos de n lados.
• Um polígono é equilátero quando seus lados forem congruentes.
• Um polígono é equiângulo quando seus ângulos internos forem 
congruentes.
• Um polígono é regular quando for equilátero e equiângulo.
Soma dos ângulos internos de um 
polígono convexo
Para encontrar a soma dos ângulos internos de um polígono 
convexo qualquer, basta fazer uma decomposição do polígono em 
triângulos a partir de um ponto interior.
a b
c
d
e
f
g
Exemplo: heptágono convexo.
Assim:
S a b c d e f gi
o= ⋅ − + + + + + +7 180 ( )  
S
i
 = 7 ⋅ 180º – 360º
Generalizando: S
i
 = n ⋅ 180º – 360º
S
i
 = (n – 2) ⋅ 180º
Se o polígono for regular, teremos:
a
n
n
i
o
=
− ⋅( )2 180
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Módulo de estudo
Soma dos ângulos externos 
de um polígono convexo
Sabemos que:
Num polígono convexo qualquer, a soma do ângulo interno 
com o externo adjacente é sempre 180º.
 Então:
i
1
 + e
1
 = 180º
i
2
 + e
2
 = 180º

i
n
 + e
n
 = 180º
n igualdadesn igualdades
e3 i3
e2
i2
e1
i1
 Somando:
 S
i
 + S
e
 = n ⋅ 180º
 n ⋅ 180º – 360º + S
e
 = n ⋅ 180º
 Logo: S
e
 = 360º
 Se o polígono for regular, teremos: a
n
e
o
=
360
Número de diagonais de 
um polígono convexo
V2 V3
V4
V5
V6
V7
V1
Exemplo: heptágono convexo.
Perceba:
1. Diagonais que partem de um vértice: Dv = 7 – 3
2. Número total de diagonais: DT =
⋅ −7 7 3
2
( )
Generalizando, para um polígono convexo de n lados, temos:
• Número de diagonais que partem de um vértice é igual a n – 3.
• Número de diagonais de um polígono convexo é igual a n n⋅ −( ) .
3
2
Polígono regular de gênero par
 Exemplo: Determinar o número de diagonais que não passam 
pelo centro do octógono regular.
 Perceba:
 De um vértice é possível traçar 8 – 4 diagonais que não passam 
pelo centro.
 Como são 8 vértices, então o total de diagonais que não passam 
pelo centro é igual a 8 8 4
2
⋅ −( )
.
Generalizando, para n par, encontramos:
• Nº de diagonais de um vértice que não passam pelo centro: 
d
v
 = n – 4.
• Nº de diagonais que não passam pelo centro: d
n n
nc =
⋅ −( )4
2
• Nº de diagonais que passam pelo centro: d
n
c = 2
Ângulos na circunferência
Considerando uma reta do plano de uma circunferência, sua 
posição em relação a essa circunferência pode ser:
• externa: não intersecta a circunferência.
• tangente: intersecta a circunferência em um único ponto.
• secante: intersecta a circunferência em dois pontos distintos.
Para a resolução com desenvoltura de situações-problema 
relativos a áreas e ângulos na circunferência é de fundamental 
importância o reconhecimento dos ângulos formados por retas 
secantes e/ou tangentes, bem como o conhecimento das relações 
existentes entre as medidas das áreas determinadasna circunferência 
por essas retas.
Dependendo das retas que as formam e da posição do vértice 
no círculo, os ângulos recebem nomes espécies. Veja a seguir:
Ângulo central
O: centro
α = ( )m AB 
a é chamado de central.
A
B
O α
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Ângulo inscrito
B
A
O αP
O: centro
Propriedade: β
α
=
2
b é chamado de inscrito.
Arco capaz
A
B
α
α
α
P
P´
P´´
α =
( )m AB
2
Observação:
Todo triângulo inscrito num semicírculo é retângulo.
B A
O
O: centro
Ângulo de segmento ou semi-inscrito
α =
2
m( )
)
AB
A
B
α
semirreta tangente
 α é chamado de ângulo de segmento.
Ângulo excêntrico interior
D
C
A
B
α α =
2
m( )) )AB ( )CD+m
Observação:
Também chamado de excêntrico interno.
Ângulo excêntrico exterior
A
A
C
C
B
B
PP
D
α
a = ângulo excêntrico exterior.
α =
( ) − ( )m AB m CD 
2
A
A
C
C
B
B
PP
D
α
q = ângulo excêntrico exterior.
θ =
( ) − ( )m CB m AB 
2
A
P
B
N Mβ
b = ângulo circunscrito.
β =
( ) − ( )m AMB m ANB 
2
Exercícios
01. O triângulo ABC é retângulo, A e D

 são um ponto do segmento 
BC, tal que a medida do ângulo ADC

 seja o dobro da medida do 
ângulo ACB .
A
D BC
α
2α
 Se a medida de CD é 13 m, e a medida de BD é 3 m, então a 
medida de AD, em metros, é
A) 6 B) 7
C) 8 D) 9
E) 10
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Módulo de estudo
02. Se I é o incentro do ∆ABC e IT = R (circunraio), determine a 
medida ABC .
B
A
I
C
T
03. Seja n o número de lados de um polígono convexo. Se a soma de 
n – 1 ângulos internos do polígono é 2004º, determine o número 
n de lados do polígono.
A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
E) 20
04. No eneágono regular estrelado a seguir, identifique o ângulo que 
não pode ser medido entre seus lados ou seus prolongamentos.
A) 20º
B) 30º
C) 40º
D) 60º
E) 80º
05. Demonstre que se em polígono convexo de n lados, 4 desses 
ângulos forem retos, então esse polígono é um retângulo.
06. Analise as afirmativas a seguir.
I. Sejam a, b e c os lados de um triângulo, com c > b ≥ a. Pode-
se afirmar que c2 = a2 + b2 se, e somente se, o triângulo for 
retângulo.
II. Se um triângulo é retângulo, então as bissetrizes intermas dos 
ângulos agudos formam entre si um ângulo de 45° ou 135º.
III. O centro de um círculo circunscrito a um triângulo retângulo 
está sobre um dos catetos.
IV. O baricentro de um triângulo retângulo é equidistante dos 
lados do triângulo.
Assinale a opção correta.
A) Somente I e II são verdadeiras.
B) Somente II e III são verdadeiras.
C) Somente I e IV são verdadeiras.
D) Somente I, III e IV são verdadeiras.
E) As afirmativas I, II, III e IV são verdadeiras.
07. Em um triângulo de vértices A, B e C, a altura, a bissetriz e a 
mediana, relativamente ao vértice C, dividem o ângulo BCA em 
quatro ângulos iguais. Se l é a medida do lado oposto ao vértice C, 
calcule:
A) A medida da mediana em função de l.
B) Os ângulos CÂB, ABC e BCA  .
08. Gerard Stenley Hawkins, matemático e físico, nos anos 1980, 
envolveu-se com o estudo dos misteriosos círculos que apareceram 
em plantações na Inglaterra. Ele verificou que certos círculos 
seguiam o padrão indicado na figura a seguir, isto é, três círculos 
congruentes, com centros nos vértices de um triângulo equilátero, 
tinham uma reta tangente comum.
 Nestas condições, e considerando-se uma circunferência maior 
que passe pelos centros dos três círculos congruentes, calcule a 
razão entre o raio da circunferência maior e o raio dos círculos 
menores.
09. No triângulo ABC, são dados os vértices B e C e também medida 
do ângulo A, agudo. O lugar geométrico do vértice A é 
A) uma circunferência.
B) um arco de circunferência.
C) a união de dois arcos de circunferência.
D) uma reta.
E) a união de duas retas paralelas.
10. Na figura a seguir, os arcos QMP e MTQ medem, respectivamente, 
170º e 130º. Então, o arco MSN mede:
S M
N
Q
T
P
A) 60º
B) 70º
C) 80º
D) 100º
E) 110º
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11. No triângulo ABC (figura seguinte), os lados AB, AC e BC medem, 
respectivamente, 5 cm, 7 cm e 9 cm. Se P é o ponto de encontro 
das bissetrizes dos ângulos B e C e PQ//MB, PR//NC e MN//BC, a 
razão entre os perímetros dos triângulos AMN e PQR é:
A
PM
B Q R C
N
A) 
10
9
B) 
9
8
C) 
7
6
D) 
4
3
E) 
7
5
12. Na figura a seguir, o triângulo ∆ABC é equilátero com lados de 
comprimento 2 cm. Os três círculos C
1
, C
2
 e C
3
 têm raios de 
mesmo comprimento igual a 1 cm e seus centros são so vértices 
do triângulo ∆ABC. Seja r > 0 o raio do círculo C
4
 interior ao 
triângulo ∆ABC e simultaneamente tangente aos círculos C
1
, C
2
 
e C
3
. Calcule 9(1 + r)2.
AC1
C4
C2 C3CB
13. Prolongando-se os lados de um octógono convexo ABCDEFGH, 
obtém-se um polígono estrelado, conforme a figura. A soma a
1
 
+ ... + a
8
 vale
α5
E
F
D C
B
AH
G
α4
α6
α7
α8
α1
α3
α2
A) 180º.
B) 360º.
C) 540º.
D) 720º.
E) 900º.
14. A figura a seguir mostra duas circunferências tangentes em A. 
Uma reta corta a circunferência maior em B e C e é tangente 
à circunferência menor em T. A reta TA encontra novamente a 
circunferência maior em D.
B
A
D
C T
 No sentido anti-horário, sobre a circunferência maior, o arco BD 
mede 150º, e o arco DA mede 110º. Então, o arco AC mede:
A) 20º
B) 30º
C) 40º
D) 50º
E) 60º
15. Considere as afirmações sobre polígonos convexos:
I. Existe apenas um polígono cujo número de diagonais coincide 
com o número de lados.
II. Não existe polígono cujo número de diagonais seja o quádruplo 
do número de lados.
III. Se a razão entre o número de diagonais e o de lados de um 
polígono é um número natural, então o número de lados do 
polígono é impar.
A) Todas as afirmações são verdadeiras.
B) Apenas I e III são verdadeiras.
C) Apenas I é verdadeira.
D) Apenas III é verdadeira.
E) Apenas II e III são verdadeiras.
Gabarito
01 02 03 04 05
C * D B –
06 07 08 09 10
A * * C A
11 12 13 14 15
D 12 B C B
 02: 60º
 – Demonstração
 07: A) l
2
 B) A B  = = =67 30 22 30 90º ’; º ‘; C º
 08: 
4
3
SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: FABRÍCIO MAIA
ANDRÉ – REV.: CAMILLA