Proporcionalidade e Semelhança de Triângulos

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MATEMÁTICA
F B O N L I N E . C O M . B R
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Professor(a): Fabrício Maia
assunto: ProPorcionalidade: tales, teoreMas das bissetrizes e seMelhança
frente: MateMática i
014.979 – 140322/19
AULAS 31 A 33 
EAD – ITA/IME
Resumo Teórico
TEOREMA DE TALES
O teorema de Tales garante que um feixe de paralelas 
determina, em duas transversais, quaisquer segmentos proporcionais.
t
a c
r
s
v
db
A A’
B’B
C’C
t’
Propriedade:
a
b
=
c
d
 r // s // v (paralelas)
 t e t’ (transversais)
Uma rápida justificativa para o Teorema de Tales:
t
a paralelogramo
paralelogramo
a c
d h
s
r
v
b b
A A’
B’B’’B
C’C’’C
t’
Propriedades auxiliares:
• triângulos que têm a mesma base e a mesma altura são 
equivalentes, isto é, têm áreas iguais.
• quando dois triângulos têm a mesma altura, suas áreas são 
diretamente proporcionais às respectivas áreas.
 Aplicando as propriedades auxiliares na figura anterior, obtemos
 
á â
á â
rea do tri ngulo A’B’B"
rea do tri ngulo B"B’C"
 ( I )= a
b
áá â
á â
rea do tri ngulo A’B"B’
rea do tri ngulo B’B"C’
 ( II= c
d
 )
Veja que:
 Como B”B’C” e B’B”C’ são triângulos de mesma base e mesma 
altura, então são equivalentes.
base
b d
s
v
h = altura
B’’ B’
C’C’’
De (I) e (II), concluímos que:
a
b
=
c
d
(Proporcionalidade de Tales)
Teorema da bissetriz interna
A bissetriz interna de um ângulo de um triângulo, divide o 
lado oposto em dois segmentos (aditivos) proporcionais aos lados 
adjacentes do triângulo.
B
A
c
a
α α
m n
b
D C
Se AD é a bissetriz interna do ângulo Â, então:
Teorema: 
c
m
b
n
onde m n a= + =,
Teorema da bissetriz externa
Se a bissetriz externa de um triângulo encontrar a reta 
que contém o lado oposto, em tal caso ela divide o lado oposto 
externamente em dois segmentos (subtrativos) proporcionais aos lados 
adjacentes do triângulo.
a n
b
c
A
C
α
α
DB
m
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Módulo de estudo
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Se AD é a bissetriz externa do ângulo Â, então:
Teorema: 
c
m
b
n
onde m n a= − =,
Semelhança de triângulos
Dois triângulos dizem-se semelhantes quando têm seus pares 
de lados correspondentes, ordenadamente proporcionais e os ângulos 
correspondentes iguais.
B B’ C’
A’
C
bc c’ b’
a’a
A
Se os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes, então:
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ’ ’ ’
A A
B B
C C
e
c
c
a
a
b
b
k
=
=
=





= = =
’
’
’
 (raz o de semelhanã çça)
Casos de semelhanças
• Primeiro caso de semelhança de triângulos: dois triângulos 
são semelhantes quando têm dois ângulos ordenadamente iguais.
A
c
c’
b
a a’
b’
CB B’ C’
A’
 Â
B B
ABC A B C
a
a
b
b
c
c
k e C C
≡
≡



⇒ ⇒ = = = =’ˆ ˆ ’
’ ’ ’
’ ’ ’
’∆ ∆∼ � �
• Segundo caso de semelhança de triângulos: dois triângulos 
são semelhantes quando têm um ângulo igual, compreendido 
entre dois lados proporcionais.
Ca
b
c
C’
A’
A
B B’
c’
b’
a’
c
c
b
b
k
A A
ABC A B C
a
a
k B B C C’ ’
’
’ ’ ’
’
, ˆ ’ ˆ , ˆ ˆ ’
= =
≡




⇒ ⇒ = ≡ ≡


� �
∼∆ ∆ 
• Terceiro caso de semelhança de triângulos: dois triângulos 
são semelhantes quando têm os três lados ordenadamente 
proporcionais.
C
B
a
b
c C’
A’A
B’
c’
b’
a’
a
a
b
b
c
c
k ABC A B C A A B B C C
’ ’ ’
’ ’ ’ ( ˆ ˆ ’, ˆ ˆ ’, ˆ ˆ ’)= = = ⇒ ⇒ ≡ ≡ ≡∆ ∆∼
Importantíssimo:
• Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade 
se mantém constante para quaisquer dois segmentos 
correspondentes, tais como: lados, alturas, medianas, inraios, 
circunraios etc.
Semelhança de polígonos
Dois polígonos são semelhantes se for possível estabelecer 
uma correspondência entre vértices e lados de modo que ângulos de 
vértices correspondentes sejam congruentes e lados correspondentes 
sejam proporcionais.
E
G
G’
D
Heptágono côncavo
C
F’
e’
d’
c’
b’
a’
f’
E’
D’
C’
B’A’BA
F
e
d
c
b
a
f
ˆ ˆ ’, ˆ ˆ ’, ˆ ˆ ’, ˆ ˆ ’, ˆ ˆ ’, ˆ ˆ ’, ˆ ˆ ’
’ ’
A A B B C C D D E E F F G G
a
a
b
b
c
c
= = = = = = =
= =
’’ ’ ’ ’ ’
= = = = =




⇒ −d
d
e
e
f
f
g
g
k
ABCDEFG A’B’C’D’E’F’G’
Importantíssimo:
• k é chamado razão de semelhança.
• É fácil provar que se os polígonos são semelhantes com razão 
de semelhança k, a razão entre as áreas é k2.
• Uma extensão razoável dos resultados anteriores, vemos na 
geometria espacial. Quando se tem dois sólidos semelhantes, 
diremos que a razão entre os seus volumes é igual ao cubo da 
razão entre as linhas homólogas, isto é, a razão de semelhança 
(razão entre as linhas homólogas) sendo igual a k, a respectiva 
razão entre os volumes será k3.
O retângulo áureo
Diz-se que um retângulo ABCD qualquer é áureo quando ele 
apresenta a seguinte propriedade: se dele retira-se o quadrado ABFE, 
o retângulo CDEF restante será semelhante ao retângulo original.
B a
a
a
b
b
A
F
E
E F
D C
C
D
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Módulo de estudo
ABCD ~ CDEF, então:
a
a b
b
a+
= .
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, vem:
b2 + ab = a2
Dividindo ambos os membros por b2, encontramos:
1 + a
b
a
b
= 



2
Tomando k = 
a
b
 (conhecido como Razão Áurea), teremos:
k2 = k + 1
Portanto, k = + ( )1 5
2
número áureo .
Exercícios de Fixação
01. Na figura a seguir, o triângulo ABD é retângulo em ˆ ,B e AC é a 
bissetriz de BADˆ . Se AB = 2 ⋅ BC, fazendo BC = b metros e CD = d 
metros, então
D
C
B A
A) d = b B) d
b
=
5
2
C) d
b
=
5
3
 D) d
b
=
6
5
 
E) d
b
=
5
4
02. Um dispositivo colocado no solo a uma distância d de uma torre 
dispara dois projéteis em trajetórias retilíneas. O primeiro, lançado 
sob um ângulo θ
π
∈



0
4
, , atinge a torre a uma altura h. Se o 
segundo, disparado sob um ângulo 2θ, atinge a uma altura H, a 
relação entre as duas alturas será
A) 2hd2 ⋅ (d2 – h2)–1 B) 2hd2 ⋅ (d2 + h)–1
C) 2hd2 ⋅ (d2 – h)–1 D) 2hd2 ⋅ (d2 + h2)–1
E) hd2 ⋅ (d2 + h2)–1
03. O ângulo, sob o qual um observador vê o topo de um prédio de 
h m de altura, duplica quando esse observador se aproxima a 
m do prédio, e triplica quando ele se aproxima mais b m. Neste 
instante, a distância d entre o observador e o prédio é
A a
α 2α 3α
b dB DC
hh
A) b ab h2 2− − 
B) b ab h2 2− +
C) b ab h2 2+ + 
D) b ab h2 2+ −
E) b h2 2+
04. Um círculo de raio r está inscrito em um setor circular de raio R. 
O comprimento da corda PQ do setor é igual a 2d.
P
Q
R
O
r
Demonstre que: 
1 1 1
r R d
= +
05. Na figura a seguir, ABCD é um quadrado.
A D E
B C
F
 Sabendo que AD = EF = 1 dm. determine a medida DE.
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Módulo de estudo
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06. Na figura, ABC é um triângulo com AC = 20 cm, AB = 15 cm e 
BC = 14 cm.
A P C
R
Q
B
 Sendo AQ e BP bissetrizes interiores do triângulo ABC, o quociente 
QR/AR é igual a
A) 0,3 
B) 0,35
C) 0,4 
D) 0,45
E) 0,5
07. Se dois círculos cujas medidas dos raios são respectivamente u e 
v, com u < v são tangentes exteriormente no ponto P e se estes 
círculos também tangenciam os lados de um ângulo com vértice 
no ponto M, então, o comprimento do segmento MP é
A) 
2u v
v u
+
−
 B) 
2uv
v u−
C) 
uv
v u−
 D) 
2( )u v
v u
+
−
E) 
2uv
v u+
08. Considere um triângulo ABC, onde BC = a, AB = c, AC = b, c > 
b. O círculo inscrito a esse triângulo tangencia BC, em D e DE é 
um diâmetro desse círculo. A reta que tangencia o círculo e que 
passa por E intercepta AB em P e AC em Q. A reta AE intercepta 
BC no ponto R. Determine os segmentos de reta EQ e DR em 
função dos lados do triângulo: a, b e c.
09. Na figura a seguir, os triângulos ABC e ABD são retângulos em 
A e D, respectivamente. Sabe-se que AC = 15 cm, AD = 16 cm e 
BD = 12 cm.
E
BA
C
D
A área do triângulo ABE é de
A) 100 cm2
B) 96 cm2
C) 75 cm2
D) 60 cm2
E) 82 cm2
10. O quadrado PQRS está inscrito em um círculo de centro C. 
A corda intersecta a diagonal do quadrado em A, sendo que 
QA cm e AB cm= =6 4 .
S R
B
P Q
C
A
 Nas condições descritas, a medida do lado do quadradoPQRS, 
em cm, é igual a
A) 2 10 B) 5 2
C) 2 15 D) 6 2
E) 7 2
11. Os dois triângulos da figura são congruentes, ambos isósceles 
com base e altura medindo 1.
A
A
A A A A
 O triângulo da esquerda foi dividido em três partes de áreas iguais 
por duas retas paralelas à sua base e o da direita foi dividido em 
três partes de áreas iguais por duas retas perpendiculares à sua 
base.
 A distância entre as duas retas perpendiculares à base no triângulo 
da direita é igual a
A) 3 2
6
− 
B) 
3 2
6
−
C) 
3 3
3
−
 
D) 6 6
6
−
E) 
3 6
3
−
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Módulo de estudo
12. Os pontos A, B, C, D, E e F estão em AF e dividem esse segmento 
em 5 partes congruentes. O ponto G está fora de AF , e os pontos 
H e J estão em GD e GF , respectivamente.
G
H
A B C D E F
J
 Se GA HC e JE, , são paralelos, então a razão 
HC
JE
 é
A) 
5
3
 B) 3
2
C) 
4
3
 D) 5
4
E) 
6
5
13. Uma semicircunferência de centro O e raio r está inscrita em um 
setor circular de centro C e raio R, conforme a figura.
D
B
S
O
R
A
C
r
 O ponto D é de tangência de BC com a semicircunferência. 
Se AB s= , demonstre que R ⋅ s = R ⋅ r + r ⋅ s.
14. Na figura, ABCD é um quadrado de lado 4 cm, e M é o ponto 
médio de CD. Sabe-se ainda que BD é arco de circunferência de 
centro A e raio 4 cm, e CD é arco de circunferência de centro M 
e raio 2 cm, sendo P e D pontos de intersecção desses arcos.
A B
P
CMD
 A distância de P até CB, em centímetros, é igual a
A) 
4
5
 B) 19
25
C) 3
4
 D) 
7
10
E) 
17
25
15. Define-se geometricamente a razão áurea do seguinte modo: 
O ponto C da figura a seguir divide o segmento AB na razão 
áurea quando os valores AC/AB e CB/AC são iguais. Esse valor 
comum é chamado “razão áurea”.
A C B
 A razão áurea, também denominada proporção áurea, número 
de ouro ou divina proporção, conquistou a imaginação popular 
e é tema de vários livros e artigos. Em geral, suas propriedades 
matemáticas estão corretamente enunciadas, mas muitas 
afirmações feitas sobre ela na arte, na arquitetura, na literatura 
e na estética são falsas ou equivocadas. Infelizmente, essas 
afirmações sobre a razão áurea foram amplamente divulgadas e 
adquiriram status de senso comum. Mesmo livros de geometria 
utilizados no ensino médio trazem conceitos incorretos sobre ela.
Trecho traduzido e adaptado do artigo de G. Markowsky, 
Misconceptions about the golden ratio. The College Mathematics 
Journal, 23. pp. 2-19. Acesso em: 01 jan. 1992. 
 Na figura a seguir, o polígono ADEFG é um pentágono regular. 
Utilize semelhança de triângulos para demonstrar que o ponto C 
da figura divide o segmento AB na razão áurea.
A
C
B
D
E
F
G
y
x
Resolução
01 02 03 04 05
C A D – *
06 07 08 09 10
C B * C C
11 12 13 14 15
E A – A –
– Demonstração
05. DE =
− + −2 1 2 2 1
2
08. EQ
c a a c b
a b c
e DR c b=
+ − + −
+ +
= −
(b )( )
( )2
SUPERVISOR(A)/DIRETOR(A): MARCELO PENA – AUTOR(A): FABRÍCIO MAIA 
DIGITADOR(A): VICENTINA – REVISOR(A): CARLA ARAÚJO