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MATEMÁTICA
F B O N L I N E . C O M . B R
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PROFESSOR(A): FABRÍCIO MAIA
ASSUNTO: ROTAÇÃO DE SISTEMAS, HIPÉRBOLE. ELIPSE E PARÁBOLA
FRENTE: MATEMÁTICA I
018.273 – 143539/19
AULAS 77 A 80
EAD – ITA/IME
Resumo Teórico
Rotação de Sistemas
Seja xOy um sistema de eixos ortogonais.
Aplicando uma rotação α ∈[0,2π) no sentido positivo em torno 
da origem O, obtemos:
y
Pb
b’
y’
x’
a’
a
α
O
x
Relações de mudanças de coordenadas
a a b sen
b a b
a sen= ⋅ − ⋅
= ⋅ + ⋅



 ⇒



 =
−‘ cos ‘
‘ sen ‘ cos b
cosα α
α α
α αα
α αsen
a
bcos
‘
‘



 ⋅




Defi nição de elipse
É o conjunto dos pontos P de um plano, tais que d d aPF PF1 2 2+ =
é constante e maior que d cFF1 2 2= (F1 e F2 são pontos fi xos do mesmo 
plano).
B
2
B
1
A
2
A
1 F
1
F
2
2a
2b
a
ab
a
R Q
O
PT
c c
Na fi gura anterior, A
1
, T, B
2
, P, A
2
, Q, B
1
 e R pertencem à elipse, 
isto é:
d d d d d d aA F A F TF TF PF PF11 1 2 1 2 1 2 2+ = + = + =�
Elementos principais da elipse
F
1
 e F
2
→ focos
O → centro
A
1
A
2
 = 2a → eixo maior (a é o semi-eixo maior)
B
1
B
2
 = 2a → eixo menor (b é o semi-eixo menor)
F
1
F
2
 = 2c → distância focal
c
a
→ excentricidade (grau de arrendondamento da elipse)�
�
�
�
�
Observação:
• 0 1< <c
a
• Se 
c
a
 = 0 ⇒ elipse = circunferência
• Se 
c
a
 = 1 ⇒ elipse = segmento de reta
Relação notável da elipse
F
1
F
2
a
aa
a2 = b2 + c2
b
b
cO
(Teorema de Pitágoras)
2F B O N L I N E . C O M . B R
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MÓDULO DE ESTUDO
018.273 – 143539/19
Equação reduzida de uma elipse
Tomemos um sistema cartesiano ortogonal tal que as 
coordenadas dos focos sejam F
1
 (–c, O) e F
2
 (c, O), isto é, o centro da 
elipse se encontra sobre a origem do sistema cartesiano.
P
x
a b
y
c O
2a
F
1
F
2
a2 = b2 + c2
ou
a2 – c2 = b2
Então, sendo P(x, y) um ponto qualquer da elipse, temos:
PF PF a x c y x c y a
x c y a a
1 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
4 4
+ = ⇔ +( ) + + − + = ⇒
⇒ + + = =
( )
( )
� ��� ���
(( ) ( )
( ) ( ) (
x c y x c y
a x c y a cx a x c y a
− + + − + ⇒
⇒ − + = = ⇒ − +[ ] =
2 2 2 2
2 2 2 2 2 24 4 4 22 2
2 2 2 2 4 2 2 2
2 2 2 2 2 2 4
2 2
= ⇒
⇒ − + +[ ] = − + ⇒
⇒ − + =
cx
a x cx c y a a cx c x
a x c x a y a
)
−− ⇒ −( ) + = −( )
⇒ + =
a c x a c a y a a c
b x x y a
b b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
��� �� ��� ��
bb2
Então, como ab ≠ 0:
b x
a b
a y
a b
a b
a b
x
a
y
b
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
1+ = ⇒ + =
De modo geral, para a elipse centrada no ponto O’(x
0
, y
0
), com 
eixo maior paralelo ao eixo dos x, temos a seguinte equação da elipse:
x x
a
y y
b
−( ) + −( ) =0
2
2
0
2
2
1
Área da elipse
Dada a elipse de eixo maior igual a 2a e eixo menor igual a 2b, 
sua área é igual a S
elipse
 = πab.
2b
b
2a
a
S
elipse
 = πab
Em outras palavras, a área da elipse equivale à área de um 
círculo onde o raio r é a média geométrica entre o semi-eixo maior 
(a) e o semi-eixo menor (b), isto é:
• r ab=
• S
elipse
 = πr2 ⇒ S
elipse
 = πab
Veja para você não esquecer:
2a
2a
b
b
• raio do círculo maior = a.
• raio do círculo menor = b.
• raio médio = ab (média geométrica)
Daí: b ab a b ab
rea
da
elipse
2 2 2 2 2< ( ) < ⇒ < ( )π π
área
do
círculo
menor
á
� ��� ��
<< πa
rea
do
c rculo
maior
2
á
í
�
Defi nição de hipérbole
É o conjunto dos pontos P do plano, tais que d dPF PF1 2− = 2a é 
constante e menor que dFF1 2 = 2c (F1 e F2 são pontos fi xos do mesmo 
plano).
y
a0
c
c
b
2a
F
2
F
1
B
2
B
1
A
1
A
2
P
x
d dPF PF1 2− = 2, com 2a < 2c
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018.273 – 143539/19
MÓDULO DE ESTUDO
Elementos principais da hipérbole
F
1
 e F
2
→ focos
O → centro
A
1
A
2
 = 2a → eixo real ou transverso
B
1
B
2
 = 2b → eixo imaginário
F
1
F
2
 = 2c → distância focal
c
a
→ excentricidade�
�
�
�
�
Relação notável da hipérbole
B
1
c c
b c
a
aa
F
2
F
1 A2A1
B
2
c2 = a2 + b2
Equação reduzida de uma hipérbole
Tomemos um sistema cartesiano ortogonal, tal que as 
coordenadas dos focos sejam F
1
 (–c, 0) e F
2
 (c, 0), isto é, o centro da 
hipérbole se encontra sobre a origem do sistema cartesiano:
y
x
a
a a
c
b
0
B
1
A
1
A
2
B
2
F
2
F
1
2c
P(x, y)
Então, sendo P(x, y) um ponto qualquer da hipérbole, temos:
PF PF a x c y x c y a2 1
2 2 2 22 0 0 2− = ⇒ +( ) + −( ) − −( ) + −( ) = ± ⇒� ���� ����
 
⇒ ... (c2 – a2) x2 – a2y2 = a2(c2 – a2)
Como c2 = a2 + b2, isto é, c2 – a2 = b2, obtemos:
b x a y a b
b x
a b
a y
a b
a b
a b
x
a
y
b
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
1
− = ⇒ − =
∴ − =
De modo geral, para a hipérbole centrada no ponto O’ (x
o
, y
o
), 
com eixo real paralelo ao eixo dos x, temos a seguir equação.
x x
a
y y
b
o o−( ) − −( ) =
2
2
2
2
1
Nota:
Essa equação foi obtida de modo análogo à equação da 
elipse, através de uma translação de sistema (veja elipse).
Para a hipérbole com eixo real paralelo ao eixo dos y, a 
equação é:
y y
a
x x
b
o o−( ) − −( ) =
2
2
2
2
1
Equações das assíntotas 
de uma hipérbole
As retas r
1
 e r
2
 da fi gura a seguir são chamadas de assíntotas 
da hipérbole:
Centro: O(x
0
, y
0
)
y
x
A
D
–b
–a a
b
B
C
r
2r1
F
1
F
2
• As equações das assíntotas são:
( )
( )
r y y
b
a
x x
r y y
b
a
x x
2 0 0
1 0 0
− = −( )
− = − −( )
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MÓDULO DE ESTUDO
018.273 – 143539/19
 Veja:
�����
P(x, y)
a
b
θ
O(x
0
, y
0
)
r
2
 
P(x, y)
180º – θ
θ
O(x
0
, y
0
)
r
1
Coef. angular = tgθ = b
a
 Coef. angular = tg(180º – θ) = – b
a
 Daí
 Coef. angular = ± =
−
−
b
a
y y
x x
0
0
y y
b
a
x x− = ± −( )0 0
Observação:
Caso o eixo real esteja na vertical, os coefi cientes angulares das 
assíntotas serão ± a
b
, e suas equações passam a ser:
y y
a
b
x x− = ± −( )0 0
Defi nição de parábola como lugar 
geométrico
Parábola é o lugar geométrico representado pela curva plana, 
cujos pontos são equidistantes de um ponto fi xo (foco) e de uma reta 
fi xa (diretriz) ou curva resultante de uma secção feita em um cone por 
um plano paralelo à geratriz.
p
FV
D
y
d
Observe a parábola representada acima. Nela, temos os 
seguintes elementos:
• foco: o ponto F;
• diretriz: a reta d;
• vértice: o ponto V;
• parâmetro: p.
Então, temos que:
• o vértice V e o foco F fi cam em uma mesma reta, o eixo de simetria 
e. Assim, sempre temos e d;
• DF = p;
• V é o ponto médio de DF DV VF
p= =

2
.
Equações
Vamos considerar os seguintes casos:
a) Parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo 
de simetria horizontal.
D
p−

2
0, F
p
2
0,




M (x, y)
P (x, y)
V
x
yd
Como a reta d tem equação x = − p
2
 e na parábola temos:
• F
p
2
0,




;
• P(x, y);
• d
PF
 = d
Pd
 (defi nição);
 obtemos, então, a equação da parábola: y px2 2=
b) Parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e 
eixo de simetria horizontal.
 Nessas condições, a equação da parábola é:
− p
2
− p
2
���
F
y d
v
y2 = –2px
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018.273 – 143539/19
MÓDULO DE ESTUDO
c) Parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de 
simetria vertical.
�
�
�
p
2
V
F
x
y
d
x2 = 2py
d) Parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de 
simetria vertical:
�
�
�
p
2 V
F
x
y
d
x2 = –2py
Exercícios
01. Assinale a opção que identifi ca o lugar geométrico de todos os 
pares ordenados (a, b) ∈R2 que tornam impossível o sistema linear 
S
x y
a
b x aby
:
− + =
+




+ =




5 10
5
5 10 1
2
2
A) Uma elipse
B) Uma reta
C) Uma parábola
D) Uma hipérbole
E) Um único ponto
02. O lugar geométrico dos pontos (a, b) ∈R2 tais que a equação, 
em z ∈C, z2 + z + 2 – (a + ib) = 0 possua uma raiz puramente 
imaginária é
A) uma circunferência. 
B) uma parábola.C) uma hipérbole. 
D) uma reta.
E) duas retas paralelas.
03. Determine o valor da excentricidade da cônica dada pela equação 
x xy y2 210 3 11 16 0− + + = .
04. Em cada um dos casos, a seguir, identifi que a curva analisando 
os coefi cientes:
A) 5x2 + 4xy + 8y2 + 8x + 14y + 5 = 0
B) 9x2 + 24xy + 16y2 – 20x + 110y – 50 = 0
C) 3x2 – 10xy + 3y2 – 12x + 20y + 16 = 0
05. A equação da reta tangente à curva de equação x2 + 4y2 – 100 = 0 
no ponto P(8, 3) é:
A) 2x + 3y – 25 = 0
B) x + y – 11 = 0
C) 3x – 2y – 18 = 0
D) x + 2y – 14 = 0
E) 3x + 2y – 30 = 0
06. Considere o subconjunto P, do conjunto dos números complexos 
C, dado por: {z ∈ C z = x + iy, com y2 = x + 4}. Se exatamente 
três raízes da equação x5 – 7x3 + 20x2 – 44x + 80 = 0 estão em P, 
duas das quais são números imaginários puros (parte real nula), 
o produto das raízes desta equação que não pertence a P é:
A) –1
B) 3
C) 3i
D) 5
E) 4 – i
07. Sejam x
1
, x
2
, x
3
 e x
4
 números complexos que estão sobre a elipse
x y2 2
25 9
1+ = e possuem os mesmos argumentos das raízes x4 = 1. 
Determine S, onde:
S
x x x x
=
+ + +( )1 2 2 2 3 2 4 2
4
08. Uma elipse cujo centro encontra-se na origem e cujos eixos são 
paralelos ao sistema de eixos cartesianos possui comprimento 
de semi-distância focal igual a 3 e excentricidade igual a 
3
2
.
Considere que os pontos A, B, C e D representam as interseções 
da elipse com as retas de equações y = x e y = –x. A área do 
quadrilátero ABCD é
A) 8 B) 16
C) 
16
3
 D) 
16
5
E) 
16
7
09. Dada a cônica λ: x2 – y2 –1, qual das retas abaixo é perpendicular 
à λ no ponto P = 2 3,
?( )
A) y x= −3 1
B) y x=
3
2
C) y x= +
3
3
1
D) y x= − −
3
5
7
E) y x= − −
3
2
4
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MÓDULO DE ESTUDO
018.273 – 143539/19
10. Sabendo que 9y2 – 16x2 – 144y + 224x – 352 = 0 é a equação de 
uma hipérbole, calcule sua distância focal.
11. Considere a hipérbole de equação y
x
= 1 mostrada na fi gura a 
seguir:
(–2, 2)
y
x
Para quais valores não nulos do parâmetro real m, a reta de 
equação y – 2 = m(x + 2), intersecta a hipérbole em exatamente 
um ponto?
A) 
− ±1 5
2
B) 
− ±2 5
3
C) 
− ±5 2
3
D) 
− ±3 5
2
E) 
− ±1 3
2
12. A galeria de sussurros é uma câmara na forma elipsoide (uma 
superfície de seções transversais elípticas) em que um sussurro 
emitido a partir de um dos focos pode claramente ser ouvido a 
uma distância considerável, no outro foco, mesmo sendo inaudível 
em pontos intermediários. O domo da Catedral de Saint Paul, em 
Londres, foi construído utilizando essa propriedade.
Supondo que a equação de uma seção transversal da Catedral 
seja dada pela equação:
4x2 + 25y2 – 16x + 200y + 316 = 0
em que x e y são medidos em metros, a distância focal, em metros, 
deverá ser de aproximadamente:
A) 8 
B) 9
C) 10 
D) 11
E) 12
13. A solução gráfi ca do sistema de inequações 3 2
1
2 2
2 2
x y
x y
+ ≤
+ ≤



 é a 
região sombreada em
A) y
x
y
x
y
x
y
x0
0
00
y
x0
 B) y
x
y
x
y
x
y
x0
0
00
y
x0
 
C) 
y
x
y
x
y
x
y
x0
0
00
y
x0
 D) 
y
x
y
x
y
x
y
x0
0
00
y
x0
E) 
y
x
y
x
y
x
y
x0
0
00
y
x0
14. Um holofote situado na posição (–5, 0) ilumina uma região 
elíptica de contorno x2 + 4y2 = 5, projetando sua sombra numa 
parede representada pela reta x = 3, conforme ilustra a fi gura. 
Considerando o metro a unidade dos eixos, o comprimento da 
sombra projetada é de:
x2 + 4y2 = 5
(3, y’)
(3, –y’)
–5 3 x
y
0
T
d
A) 2 B) 3
C) 4 D) 5
E) 6
15. A expressão 4e2x + 9e2y – 16ex – 54ey + 61 = 0, com x e y reais, 
representa
A) o conjunto vazio.
B) um conjunto unitário.
C) um conjunto não unitário com um número fi nito de pontos.
D) um conjunto com um número infi nito de pontos. 
E) o conjunto {(x, y) ∈ R2 2(ex – 2)2 3 + (ey – 3)2 = 1}.
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018.273 – 143539/19
MÓDULO DE ESTUDO
Gabarito
01 02 03 04 05
B B * * A
06 07 08 09 10
D 17 D E 10
11 12 13 14 15
D B C D D
*03: 
5
2
 04: A) Elipse
 B) Parábola
 C) Hipérbole
Anotações
SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: FABRÍCIO MAIA
DIG.: ESTEFANIA – 09/10/19 – REV.: ??