LISTA _GEOMETRIA_ANALITICA_ENG_CIVIL_MIQUEIAS

Prévia do material em texto

FUNDAÇÃO ALAGOANA DE PESQUISA, EDUCAÇÃO E CULTURA 
FACULDADE DE TECNOLOGIA DE ALAGOAS 
ENGENHARIA CIVIL 2020.1 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
MIQUÉIAS MATEUS FERREIRA LEITE 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS – VETORES 
 
1) A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes. São verdadeiras 
ou falsas as afirmações que seguem? 
 
RESPOSTAS: 
A) V 
B) V 
C) F 
D) V 
E) V 
F) V 
G) F 
H) V 
I) F 
J) V 
K) V 
L) V 
M) F 
N) V 
O) V 
P) V 
Q) V 
R) F 
S) V 
T) V 
 
2) A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeira 
ou falsa cada uma das afirmações abaixo: 
 
RESPOSTAS:
A) V 
B) F 
C) V 
D) V 
E) V 
F) V 
G) F 
H) F 
I) V 
J) V 
K) V 
L) F 
M) V 
N) V 
O) V 
P) V 
 
3) A figura abaixo representa um losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, 
sendo O, o ponto de interseção das diagonais desse losango. Decidir se é 
verdadeira ou falsa cada uma das afirmações: 
 
 
RESPOSTAS:
A) V 
B) F 
C) V 
D) V 
E) F 
F) F 
G) V 
H) V 
I) V 
J) F 
K) V 
L) V 
M) V 
N) F 
O) V 
 
4) Com base na figura do exercício 1, determinar os vetores abaixo, expressando-os 
com origem no ponto A: 
 
RESPOSTAS: 
A) AN 
B) AD 
C) AB 
D) AO 
E) AM 
F) AK 
G) AH 
H) AI 
I) AC 
J) AC 
K) AE 
L) 0 
 
5) Com base na figura do exercício 2, determinar os vetores abaixo, expressando-os 
com origem no ponto A: 
 
RESPOSTAS: 
A) AF 
B) AE 
C) AH 
D) AB 
E) AH 
F) AF 
G) AG 
H) AD 
 
6) Com base na figura do exercício 3, determinar os vetores abaixo, expressando-os 
com origem no ponto A: 
 
RESPOSTAS: 
A) AE 
B) AC 
C) AC 
D) AB 
E) AO 
F) AD 
G) AH 
H) AD 
I) AO 
J) AC 
 
7) Dada a figura abaixo, determine o vetor resultante das somas abaixo: 
 
A) AC 
B) EF 
C) 2BG 
D) 2BG 
E) AC 
 
8) A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos 
eixos coordenados e de medidas 2,1 e 3. Determinar as coordenadas dos vértices 
deste sólido, sabendo que A (2,-1,2). 
 
 
RESPOSTAS: 
 
B(2,-3,2); C(3,-3,2); D(3,-1,2); E(3,-1,5); F(2,-1,5); G(2-3,5) 
 
9) Determine x para que se tenha AB = CD, sendo A(x,1), B(4,x+3), C(x,x+2) e 
D(2x,x+6). 
 
RESPOSTA: 
 
AB = CD 
B – A = D – C 
(4, x + 3) – (x - 1) = (2x, x + 6) – (x, x + 2) 
(4 – x, x + 2) = (x, 4) 
4 – x = x 
2x = 4 
X = 2 
 
10) Escreva o vetor (7,-1), como a soma de dois vetores, um paralelo ao vetor (1,-1) 
e outro paralelo ao vetor (1,1). 
RESPOSTA: 
 (7,-1) = u + v 
 u = α(1,-1) 
 v = β(1,1) 
(7,-1) = α(1,-1) + β(1,1) 
(7,-1) = (α, - α) + (β, β) 
(7,-1) = (α + β, - α + β) 
{
𝛼 + 𝛽 = 7 (I)
− 𝛼 + 𝛽 = −1 (II)
 
 
Somando I e II: 
2𝛽 = 6 
𝜷 = 𝟑 
 
Aplicando na equação I 
𝛼 + 3 = 7 
𝜶 = 𝟒 
 
RESULTADO: 
(7,-1) = 4(1,-1) + 3(1,1) 
(7,-1) = (4,-4) + (3,3) 
 
 
11) Dados A(-1,-1) e B (3,5), determinar C, tal que: 
 
a) AC = 
1
2
AB b) AC = 
2
3
AB 
 
RESPOSTAS: 
 AB = B – A 
 AC = C – A 
 
QUESTÃO A: 
C – A= 
1
2
 [(B – A)] 
C = 
1
2
 [(B – A)] + A 
C = 
1
2
 [(3,5) – (-1,-1)] + (-1,-1) 
C = (2,3) + (-1,-1) 
C = (1,2) 
 
 
QUESTÃO B: 
AC = 2/3*AB 
C-A = 2/3*(B-A) 
C= 2/3*( [3-(-1)] , [5-(-1)])+(-1, -1) 
C= 2/3*(4,6) + (-1, -1) 
C= (8/3, 4) + (-1, -1) 
C= (5/3, 3) 
 
 
12) Dados os vetores a = (2,-1) e b = (1,3) determinar um vetor x, tal que: 
 
 
RESPOSTAS: 
QUESTÃO A: 
2/3x+1/2[2x+2a-b]=a+x/2 
2/3x+x+a-1b/2=a+x/2 
Tirando o MMC de (2,3) = 6 
4x+6x+6a-3b=3a+3x 
4x+6x-3x=-6a+3a+3b 
7x=-3a+3b 
Agora é só substituir os vetores a e b 
7x=-3(2,-1)+3(1,3) 
7x=(-6,3)+(3,9) 
7x=(-3,12) 
x=(-3/7,12/7) 
 
QUESTÃO B: 
4a-2x=1b/3-x+a/2 
 
Faz o MMC(2,3) = 6 
 
24a-12x=2b-6x+3a 
-12x+6x=-24a+3a+2b 
 -6x=-21a+2b 
 -6x=-21(2,-1) + 2(1,3) 
 -6x=(-42,21) + (2,6) 
 -6x=(-40,27) 
 x=(-40/-6 , 27/-6) 
 x=(20/3 , -27/6) 
 
13) Dados os vetores a = (-1,1,2) e b = (2,0,4), determine o vetor de v, tal que: 
 
RESPOSTAS: 
QUESTÃO A: 
a = (-1,1,2) 
b = (2,0,4) 
v = ? 
(2/3)v - 2(v + a) - b = a - (1/2)v 
Simplificando: 
 (2/3)v + (1/2)v - 2v = 3a + b 
Tirando o MMC, obtém-se: 
(4v + 3v - 12v)/6 = 3a + b 
-5v/6 = 3a + b 
Que é o mesmo que: 
(-5/6)v = 3a + b 
-5v = 18a + 6b 
Substituindo: 
-5v = 18 (-1,1,2) + 6(2,0,4) 
-5v = (-18,18,36) + (12,0,24) 
-5v = (-6,18,60) 
v = (6/5, -18/5, -12) 
 
14) Sendo A(1, –1,3) e B(3,1,5), até que ponto se deve prolongar o segmento AB, no 
sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de valor? 
RESPOSTAS: 
AB = B – A 
AB = (2,2,2) 
AB’ = t(AB) 
||t(AB)|| = 4||AB|| 
|t| = 4 
AB’ = (8,8,8) 
B’ – A = (8,8,8) 
B’ = (8,8,8) + (1,-1,3) 
B’= (9,7,11) 
 
15) Sendo A (-2,1,3) e B(6, –7,1) extremidades de um segmento, determinar: 
 
a) os pontos C , D e E, nesta ordem, que dividem o segmento AB em quatro partes 
de mesmo comprimento; 
b) os pontos F e G, nesta ordem que dividem o segmento AB em três partes de 
mesmo comprimento. 
RESPOSTAS: 
Vetor AB = B-A 
(-6,-7,1) - (-2,1,3) 
vetor AB = (8,-8,-2) 
vetor AC= 1/4*AB = (2,-2,-1/2) 
vetor AD= 1/2*AB = (4,-4,-1) 
vetor AE= 3/2*AB = (6,-6,-3/2) 
vetor AF= 1/3*AB = (8/3,-8/3,-2/3) 
vetor AG= 2/3*AB = (16/3,-16/3,-4/3) 
 
Ponto C = A+vetor AC = (-2,1,3) + (2,-2,-1/2) = (0,-1,5/2) 
Ponto D = A+vetor AC = (-2,1,3) + (4,-4,-1) = (2,-3,2) 
Ponto E = A+vetor AC = (-2,1,3) + (6,-6,-3/2) = (4,-5,1/2) 
Ponto F = A+vetor AC = (-2,1,3) + (8/3,-8/3,-2/3) = (2/3,-5/3,7/3) 
Ponto G = A+vetor AC = (-2,1,3) + (16/3,-16/3,-4/3) = (10/3,-13/3,5/3) 
 
16) Dadas as coordenadas, x = 4, y = -12, de um vetor v do R³, calcular sua terceira 
coordenada z, de maneira que |v| = 13. 
 
RESPOSTAS: 
|v| = 13 
13 = √4² + (−12)2 + 𝑧² 
13 = √16 + 144 + 𝑧² 
13 = √160 + 𝑧² 
13² = [√160 + 𝑧2] 
169 = 160 + z² 
z² = 9 
z = ± √9 
z = ± 3 
 
17) Sejam os pontos Sejam os pontos M(1,−2,−2) e P(0,−1,2), determine um vetor v 
colinear à PM e tal que |v| = √3. 
 
RESPOSTAS: 
I) 
PM = M – P 
PM = (1, -2, -2) – (0, -1, 2) 
PM = (1, -1, -4) 
II) 
v = βPM 
v = β(1, -1, -4) 
v = (β, -β, -4 β) 
III) 
|v| = √(𝛽)2 + (−𝛽)2 + (−4𝛽)² 
|v| = √3 
Então, 
√3 = √(𝛽)2 + (−𝛽)2 + (−4𝛽)² 
3 = 18β² 
β² = 3/18 
β² = 1/6 
β = ± √
1
6
 
IV) 
 
18) Achar um vetor x de módulo igual a 4 e de mesmo sentido que o vetor 
v = 6i – 2j – 3k. 
 
RESPOSTAS: 
|x| = √𝑥² + 𝑦² + 𝑧² 
|v| = (6, -2, -3) paralelo ao x = (x, y, z) 
𝑥
6
, 
𝑦
−2
, 
𝑧
−3
 
I) 
𝑥
6
=
𝑦
−2
 
x = -3y 
II) 
𝑦
−2
= 
𝑧
−3
 
z = 
3𝑦
2
 
III) 
|x| = √𝑥² + 𝑦² + 𝑧² 
4² = x² + y² + z² 
16 = (-3y)² + y² + (
3𝑦
2
)² 
y = 
−𝟖
𝟕
 
IV) 
x = -3y 
x = -3 (-8/7) 
x = 24/7 
V) 
z = 3y/2 
z = 3/2 * (-8/7) 
z = 12/7 
 
19) No triângulo ABC, os vértices A(1,2), B(-2,3) e C(0,5): 
a) Determinar a natureza do triângulo; 
b) Calcular o comprimento da mediana AM. Sendo M o ponto do lado BC. 
RESPOSTAS: 
QUESTÃO A: ISÓSCELES 
QUESTÃO B: 
BC = C – B 
BC = (0, 5) – (-2, 3) 
BC = (2, 2) 
 
Ponto médio: 
M = B + ½ * BC 
M = (-2, 3) + ½ * (2, 2) 
M = (-1, 4) 
 
Mediana: 
AM = M - A 
AM = (-1, 4) – (1, 2) 
AM = (-2, 2) 
|AM| = √(22 + 22) 
|AM| = 2√𝟐 
 
20) Sejam a = i + 2j – 3k e b = 2i + j – 2k. Determine um versor dos vetores abaixo: 
a) a + b 
b) 2a – 3b 
c) 5a + 4b 
RESPOSTAS: 
A) 
a + b = (1, 2, -3) + (2, 1, -2) = (3, 3, -5) 
| a + b | = √( (3)² + (3)² + (-5)² ) = √(9 + 9 + 25) = √43 
O versor será: 
(a + b) / | a + b | = (3, 3, -5) / √43 = (3/√43, 3/√43, -5/√43) 
 
B) 
2a - 3b = 2 * (1, 2, -3) - 3 * (2, 1, -2) = (2, 4, -6) - (6, 3, -6) = (-4, 1, 0) 
| 2a - 3b | = √( (-4)² + (1)² + (0)² ) = √(16 + 1 + 0) = √17 
O versor será: 
(2a - 3b) / | 2a - 3b | = (-4, 1, 0) / √17 = (-4/√17, 1/√17, 0) 
 
C) 
5a + 4b = 5 * (1, 2, -3) + 4 * (2, 1, -2) = (5, 10, -15) + (8, 4, -8) = (13, 14, -23) 
| 5a + 4b | = √((13)² + (14)² + (-23)² ) = √(169 + 196 + 529) = √894 
O versor será: 
(2a - 3b) / | 2a - 3b | = (13,14, -23) / √894 = (13/√894 , 14/√894 , -23/√894) 
 
21) Determine um vetor da mesma direção de v = 2i – j + 2k e que: 
a) Tenha norma (módulo) igual a 9; 
b) Seja o versor de v; 
c) Tenha módulo igual a metade de v. 
RESPOSTAS: 
QUESTÃO A 
i) 
w = tv 
w = t(2, -1, 2) 
w = (2t, -t, 2t) 
ii) 
||w|| = 9 
√(2𝑡2) + (−𝑡)2 + (2𝑡)² = 9 
√9𝑡² = 9 
9t² = 81 
t = ± 3 
iii) 
Para t = 3 
w1 = (6, -3, 6) 
Para t = -3 
w2 = (-6, 3, -6) 
 
QUESTÃO B 
u = 
𝑣
||𝑣||
 
u = 
(2,−1, 2)
√2²+(−1)2+2²
 
u = 
(2,−1, 2)
3
 
u = 
𝟏
𝟑
 (2, -1, 2) 
 
QUESTÃO C 
||𝑣||
2
 = 
√2²+(−1)2+2²
2
 = 
3
2
 
a = (1, -1/2, 1) 
 
22) Num paralelogramo ABCD sabe-se que A(1,3,–2) e que as diagonais são 
AC=(4,2,– 3) e BD=(–2,0,1).Calcule as coordenadas dos outros três vértices. 
RESPOSTAS: 
ABCD 
A = (1,3,-2) 
Diagonal AC = (4,2,-3) 
Diagonal BD = (-2,0,1) 
AC = C - A 
C = AC + A 
C = (4,2,-3) + (1,3,-2) 
C = (5,5,-5) 
AC + BD = AB + BC + AD - AB 
AC + BD = BC + AD 
(4,2,-3) + (-2,0,1) = 2 . BC 
(2,2,-2) = 2BC 
BC = (1,1,-1) 
BC = C - B 
(1,1,-1) = (5,5,-5) - B 
B = (5,5,-5) - (1,1,-1) 
B = (4,4,-4) 
 BC =AD e AD = D – A 
(1,1,-1) = D - (1,3,-2) 
D = (1,1,-1) + (1,3,-2) 
D = (2,4,-3) 
 
RESUMINDO: 
A = (1, 3, -2) 
B = (4, 4, -4) 
C = (5, 5, -5) 
D = (2, 4, -3) 
 
23) Sabendo que A (1,−1), B(5,1) e C(6,4) são vértices de um paralelogramo, 
determinar o quarto vértices de cada um dos três paralelogramos possíveis de 
serem formados. 
O ponto médio AC é igual ao ponto médio BD 
MAC= ( (1+6)/2, (-1+4)/2) = (7/2, 3/2) 
MBD = MAC = (7/2, 3/2) 
(Bx + Dx)/2 = 7/2 
(5 + Dx)/2 = 7/2 
Dx = 7 - 5 = 2 
(By + Dy)/2 = 3/2 
(1 + Dy)/2 = 3/2 
Dy = 3 - 1 = 2 
O quarto vértice é D(2,2) 
 
24) Dados os vetores u = (3, 2), v = (2, 4) e w = (1, 3), exprimir w como a 
combinação linear de u e v. 
RESPOSTAS: 
w = a . u + b . v 
 
(1, 3) = a . (3, 2) + b . (2, 4) 
(1, 3) = (3a, 2a) + (2b, 4b) 
(1, 3) = (3a + 2b, 2a + 4b) 
 
{ 3a + 2b = 1 ⇒ Multiplicar por (-2) e somar na segunda 
{ 2a + 4b = 3 
 
-6a + 2a - 4b + 4b = -2 + 3 
-4a = 1*(-1) 
4a = -1 
a = -1 / 4 
 
2a + 4b = 3 
2 . (-1 / 4) + 4b = 3 
-1 / 2 + 4b = 3 
4b = 3 + 1 / 2 
4b = 7 / 2 
b = (7 / 2) : 4 
b = (7 / 2) . (1 / 4) 
b = 7 / 8 
 
w = a . u + b . v 
w = (-1/4) . u + (7/8) . v 
 
25) Dados os vetores a = (3, -2, 1), b = (-1, 1, -2) e c = (2, 1, -3), determinar as 
coordenadas do vetor v = (11, -6, 5) na base β = {a, b, c}. 
RESPOSTAS: 
v = xa + yb + zc 
(11, -6, 5) = x(3, -2, 1) + y(-1, 1, -2) + z(2, 1, -3) 
{
11 = 3𝑥 − 𝑦 + 2𝑧
−6 = −2𝑥 + 𝑦 + 𝑧
5 = 𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧
 
x = 2 
y = -3 
z = 1 
A combinação linear será: 
v = 2a – 3b + z 
 
26) Escreva o vetor v = (4, -1, 0) na base β = {v1, v2, v3}, sendo v1 = (1, 0, 0), v2 = 
(3, 2, 1) e v3 = (-1, -1, 1). 
RESPOSTAS: 
 
v = xa + yb + zc 
(4, -1, 0) = x(1, 0, 0) + y(3, 2, 1) +z(-1, -1, 1) 
{
4 = 𝑥 + 3𝑦 − 𝑧
−1 = 0 + 2𝑦 − 𝑧
0 = 0 + 𝑦 + 𝑧
 
x = 3 
y = 0 
z = -1 
 
v = 3a + 0b – z 
 
27) Dois vetores a = (2, -3, 6) e b = (-1, 2, -2), tem uma mesma origem. Calcular as 
coordenadas do vetor c sobre a bissetriz do ângulo formado pelos vetores a e b, 
sando que |c| = 3√42 
RESPOSTAS: 
 u = a/|a| + b/|b| 
u = (2,-3,6)/√(2²+(-3)²+6²) + (-1,2,-2)/(√((-1)² + 2² + (-2)²) 
u = (2/7, -3/7 , 6/7) + (-1/3 , 2/3 , -2/3) 
u = (-1/21 , 5/21 , 4/21) 
c = (-t , 5t , 4t) 
√((-t)² + (5t)² + (4t)²) = 3√42 
√(42t²) = 3√42 
t = 3 
 
c = (-3, 15 , 12) 
 
28) Dados os vetores a = (1, -1, 0), b = (3, -1, 1), c = (2, 2, 1) e d = (4, -3, 1). 
Determinar o vetor v = (x, y, z), tal que: (v + a) // b e (v + c) //d. 
RESPOSTAS: 
(v + a) // b 
(x + 1, y - 1, 0 + z)//(3,-1,1) 
(x + 1)/3 = (y - 1)/(-1) = z/1 
(x + 1)/3 = (1 - y) = z 
 
z = 1 - y [1] 
(x + 1)/3 = (1 - y) => (x + 1) = 3(1 - y) => (x + 1) = 3 - 3y => -3y = x - 2 => x = -3y + 2 
[2] 
(v + c) // d 
(x + 2, y + 2, z + 1)//(4,-3,1) 
(x + 2)/4 = (y + 2)/(-3) = z + 1 
 
Logo: 
 
z + 1 = -(y + 2)/3 
3z + 3 = -y – 2 
 
Substituindo [1] na equação acima: 
 
3(1 - y) + 3 = -y - 2 
3 - 3y + 3 = -y - 2 
6 - 3y = -y - 2 
-2y = -8 
y = 8/2 
y = 4 
 
Substituindo y = 4 em [2]: 
 
x = -3y + 2 
x = -3.4 + 2 
x = -12 + 2 
x = 10 
 
Substituindo y = 4 em [1]: 
 
z = (1 - y) 
z = (1 - 4) 
z = -3 
 
Logo, v = (-10, 4 ,-3)