Construcao do conhecimento Unidades 5 e 6

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CONSTRUÇÃO DO
CONHECIMENTO
LÓGICO-MATEMÁTICO
ELZA LIMA DE SOUZA MANSANO
1º Ed. | Julho | 2013
Impressão em São Paulo - SP
“A Geometria faz com que possamos adquirir o há-
bito de raciocinar, e esse hábito pode ser empregado, 
então, na pesquisa da verdade e ajudar-nos na vida.”
Jacques Bernoulli
161
UNIDADE 5
OS ESPAçOS, AS fOrMAS, AS MEDIDAS E O 
trAtAMENtO DAS INfOrMAçõES;
A fUNçãO DO DESENhO NA rEPrESENtAçãO 
DO ESPAçO E DAS qUANtIDADES
163
Caro aluno,
Nesta unidade, estudaremos os espaços, as formas, as 
medidas e o tratamento das informações. Estudaremos, 
ainda, a função do desenho na representação do espaço 
e das quantidades. Será apresentada uma síntese do que 
autores e pesquisadores vêm escrevendo sobre o assunto 
e a importância no processo ensino-aprendizagem.
Bom Estudo!
165
5
OS ESPAÇOS, AS FORMAS, AS 
MEDIDAS E O TRATAMENTO 
DAS INFORMAÇÕES
Os Parâmetros Curriculares Nacionais recomendam 
conteúdos de Matemática, como: os espaços, as formas, 
as medidas e o tratamento das informações. O que vem 
a ser isso? Qual a sua relevância no processo ensino 
aprendizagem?
Conforme os Parâmetros Curriculares Nacionais 
(1998, p. 39), os conceitos geométricos constituem par-
te importante do currículo de Matemática no ensino 
fundamental, porque, por meio deles, o aluno desen-
volve um tipo especial de pensamento que lhe permite 
compreender, descrever e representar, de forma organi-
zada, o mundo em que vive.
A Geometria é um campo fértil para se trabalhar 
com situações-problema e é um tema pelo qual os alu-
nos costumam se interessar naturalmente. O trabalho 
com noções geométricas contribui para a aprendizagem 
de números e medidas, pois estimula a criança a obser-
var, perceber semelhanças e diferenças, identificar regu-
laridades e vice-versa.
Além disso, se esse trabalho for feito a partir da ex-
ploração dos objetos do mundo físico, de obras de arte, 
166
pinturas, desenhos, esculturas e artesanato, ele permiti-
rá ao aluno estabelecer conexões entre a Matemática e 
outras áreas do conhecimento.
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais 
(1998, p. 39), este bloco caracteriza-se por sua forte re-
levância social, com evidente caráter prático e utilitário. 
Na vida em sociedade, as grandezas e as medidas estão 
presentes em quase todas as atividades realizadas. Des-
se modo, desempenham papel importante no currículo, 
pois mostram claramente ao aluno a utilidade do co-
nhecimento matemático no cotidiano.
As atividades em que as noções de grandezas e 
medidas são exploradas proporcionam melhor compre-
ensão de conceitos relativos ao espaço e às formas. São 
contextos muito ricos para o trabalho com os significa-
dos dos números e das operações, da ideia de propor-
cionalidade e escala, e um campo fértil para uma abor-
dagem histórica.
Conforme os Parâmetros Curriculares Nacionais 
(1998, p. 40), a demanda social é que leva a destacar o 
Tratamento da Informação como um bloco de conteú-
do, embora pudesse ser incorporado aos anteriores. A 
finalidade do destaque é evidenciar sua importância, em 
função de seu uso atual na sociedade.
Integrarão este bloco estudos relativos a noções de 
estatística, de probabilidade e de combinatória. Eviden-
temente, o que se pretende não é o desenvolvimento 
167
de um trabalho baseado na definição de termos ou de 
fórmulas envolvendo tais assuntos.
Com relação à estatística, a finalidade é fazer com 
que o aluno venha a construir procedimentos para co-
letar, organizar, comunicar e interpretar dados, utilizan-
do tabelas, gráficos e representações que aparecem fre-
quentemente em seu dia a dia.
Relativamente à combinatória, o objetivo é levar 
o aluno a lidar com situações-problema que envolva 
combinações, arranjos, permutações e, especialmente, 
o princípio multiplicativo da contagem.
Com relação à probabilidade, a principal finalidade é 
a de que o aluno compreenda que grande parte dos acon-
tecimentos do cotidiano é de natureza aleatória e é possí-
vel identificar prováveis resultados desses acontecimentos.
As noções de acaso e incerteza, que se manifestam 
intuitivamente, podem ser exploradas na escola, em si-
tuações nas quais o aluno realiza experimentos e obser-
va eventos (em espaços equiprováveis).
Os conceitos geométricos são ensinados, tradicio-
nalmente, de maneira euclidiana: projetiva e topológica. 
Para Piaget, porém, a ordem lógica em que a geometria 
é construída no pensamento inicia-se com conceitos 
topológicos, depois vêm os projetivos e os euclidianos.
O estudo do espaço é de ordem topológica, é per-
cebida através das ideias de localização, direção, dentro, 
fora, ao lado e com a ideia de vizinhança. A compre-
168
ensão e construção de um conceito de medidas, por 
exemplo, é um processo longo e demorado. Inicia-se 
com a construção de medidas espontâneas, com a con-
servação de distância e comprimento para só mais tarde 
surgir a necessidade de um sistema de coordenadas.
Surgem, então, a comparação entre as alturas de 
si mesma e a dos colegas e caracteriza o processo de 
construção do conceito de medida, partindo de algo 
muito informal. Logo, a partir da compreensão da ideia 
de distância, surgem, então, as relações euclidianas, a 
passagem do espaço para o plano. Para isso, é necessária 
também a compreensão de uma geometria projetiva; a 
noção de projeção. Nesta fase adquirem-se os conceitos 
através da noção dos objetos no espaço, projeta-se o 
espaço no plano, visualiza-se a ideia do objeto, usando 
a geometria plana euclidiana para a representação plana 
de objetos com visualização espacial.
Desta forma, a compreensão de uma geometria 
planificada e projetada só aparece mais tarde com um 
raciocínio mais elaborado e com a ideia adulta das re-
presentações manipuladas.
Entretanto, existem diversificadas formas de orga-
nizar o espaço físico escolar. Cada professor ou equipe 
escolar buscar despertar, ao máximo, o interesse, a aten-
ção, o envolvimento, o desejo de aprender, a capacidade 
da criança para inter-relacionar o que aprende com o 
que já sabia previamente. A tarefa do professor está vol-
169
tada para estimular o desejo da criança para aprender. 
Ele a motiva e organiza diferentes atividades escolares, 
recreativas, sociais, lúdicas, para que ela venha a parti-
cipar, com autonomia e interesse, das tarefas escolares 
(ARRIBAS et alii, 2004).
Ao pensar a organização do espaço físico ofere-
cido às crianças, é de grande importância, perceber o 
que está contido nas teorias de Piaget (1995), Vygotsky 
(1998, 1984) e Wallon (1989), os quais salientam a ca-
pacidade para aprender através de trocas estabelecidas 
entre os sujeitos e o objeto de conhecimento.
A evolução do espaço prático é inteiramente soli-
dária com a construção dos objetos. No começo há tan-
tos espaços, não coordenados entre si, quanto domínios 
sensoriais (espaço bucal, visual, tátil etc.) e cada um de-
les estão centralizados sobre movimentos e atividades 
próprias (PIAGET, 1995, p. 21).
No entanto, as crianças estão naturalmente en-
volvidas em tarefas que exploram o espaço, pois se 
movem, interagem com os objetos, adquirindo assim 
noções intuitivas que fundamentam suas habilidades es-
paciais. Mas, que espaços são estes?
Existem três maneiras de se conceber o espaço: 
espaço vivido: está relacionado ao espaço físico; espaço 
percebido: é aquele que não precisa ser experimentado 
fisicamente para que a criança possa se lembrar, e espaço 
concebido: é aquele que a criança estabelece relações es-
170
paciais entre os elementos através de suas representações.
Pensar em organização de espaço para o desenvol-
vimento das crianças é uma tarefa delicada, pois cabe a 
responsabilidade de estabelecer diferenças significativas 
entre espaço físico e o ambiente educativo. Segundo 
Zabalza (1998), há diferença entre espaço físico e am-
biente educativo, o termo “espaço” refere-se ao espaço 
físico disponível à realização das atividades, os locais 
caracterizados pelos objetos, pelomobiliário e pela de-
coração e o termo “ambiente educativo” refere-se ao 
conjunto de atividades pedagógicas que são implemen-
tadas no espaço físico. No entanto, o espaço físico pode 
ser transformado em espaço educativo, dependendo da 
atividade que nele acontece.
É necessário pensar uma proposta que auxilie 
no desenvolvimento das habilidades que organizarão 
a percepção de espaço para a criança em desenvolvi-
mento, como: a capacidade de coordenar a visão com 
o movimento do corpo, a memória visual, a percepção 
de figuras planas, a capacidade de reconhecer forma e 
tamanho, as relações espaciais e a capacidade de distin-
guir semelhanças e diferenças entre os objetos.
A criança estabelece relações entre o mundo e as 
pessoas interagem com o meio, traz consigo muitas 
noções de espaço, pois suas primeiras experiências no 
mundo são de caráter espacial, as quais manifestando 
suas emoções, seus sentimentos, suas conquistas mo-
171
dificam desta forma o ambiente. Como o meio físico é 
fator determinante para estimular e motivar as aprendi-
zagens, é imprescindível que o professor esteja atento 
ao organizá-lo, para que as crianças possam brincar e 
interagir de forma criativa e desafiadora.
Horn (2004, p. 16) destaca que o espaço físico 
“não é algo dado, natural, mas sim construído”. A es-
cola constitui-se em lugar ideal para oportunizar não 
só aprendizagem, mas também iniciativa, criatividade, 
interação e convivência. Barbosa e Horn (2001, p. 75) 
afirmam que as aquisições sensoriais e cognitivas das 
crianças têm estreita relação com o meio físico e social, 
pois ele ajuda a estruturar as funções motoras, senso-
riais, simbólicas, lúdicas e relacionais.
No espaço físico, a criança compartilha aprendiza-
gens, “a experiência coletiva oferece a possibilidade de 
encontrar novas formas sociais de trabalho e de convi-
vência, já que, cada vez mais rapidamente, a criança tem 
necessidade de comunicar aquilo que conhece e sabe” 
(ARRIBAS et alii, 2004, p. 345).
Para o espaço físico ser bem aproveitado, a atua-
ção do professor é fundamental. Zabalza (1998) expli-
cita que o professor define as intenções educativas e o 
método de trabalho, ao selecionar e organizar cantos, 
oficinas, unidades didáticas para que as crianças possam 
fazer suas escolhas.
Kramer (2003) afirma que a criança tem o direito 
172
de brincar, criar, enfrentar desafios como instâncias de 
formação cultural e social. Na escola, “não basta ensi-
nar coisas, ao contrário, a prática pedagógica envolve 
conhecimentos e afetos, saberes e valores, cuidados e 
educação, seriedade e riso” (KRAMER, 2003, p. 11).
As tarefas do professor, nesse processo, podem ser 
segundo Zabalza (1998), agrupadas em quatro eixos: con-
cretizar as intenções educativas e o método de trabalho; 
planejar e organizar o espaço; observar e avaliar o seu 
funcionamento; introduzir as modificações que forem ne-
cessárias. Para isso, o professor precisa estabelecer metas, 
estratégias de ação e (re)avaliar o processo reflexivamente.
Veja a seguir o que Pires descreve sobre o espaço e 
a forma (2000, p. 29 a 32). A Geometria é o estudo dos 
objetos do espaço. Mas que espaço é esse e de que ob-
jetos estamos falando? Como esse espaço se apresenta 
para a criança?
O espaço se apresenta para a criança de forma es-
sencialmente prática: ela constrói suas primeiras noções 
espaciais, por meio dos sentidos e dos movimentos. 
Esse espaço percebido pela criança - espaço perceptivo 
- possibilitará a ela, mais adiante, a construção de um 
espaço representativo.
O espaço que percebemos é o espaço que contém 
objetos perceptíveis por meio dos sentidos - um espaço 
sensível. O ponto, a reta, o quadrado não pertencem 
a esse espaço. Podem ser concebidos de maneira ide-
173
al, mas rigorosamente, não fazem parte desse espaço 
sensível. Pode-se então dizer que a Geometria parte do 
mundo sensível e o estrutura no mundo geométrico - 
dos volumes, das superfícies, das linhas, dos pontos.
Piaget distingue o espaço perceptivo ou sensório-
-motor (conhecimento dos objetos resultando de um 
contato direto com eles) e o espaço representativo (que 
ocorre quando se evoca os objetos em sua ausência ou 
quando se completa seu conhecimento perceptivo por re-
ferência a outros objetos não percebidos no momento).
A passagem do espaço perceptivo, ou sensório-
-motor, ao espaço representativo é, às vezes, contínua, 
ou seja, a imagem de uma ação é interiorizada ou se 
pode então coordená-la com outras e descobrir a rever-
sibilidade operatória. Outras vezes é descontínua, isto é, 
a criança não transpõe unicamente o que faz e o que vê, 
a intuição geométrica não se apoia diretamente sobre 
os dados sensório-motores, mas há uma reconstrução 
e, portanto, transformação.
É multiplicando suas experiências sobre os obje-
tos do espaço em que vive que a criança vai aprender 
e, desse modo, construir uma rede de conhecimentos 
relativos à localização, à orientação que vai lhe permitir 
penetrar no domínio da representação dos objetos e, 
assim, se distanciar do espaço sensorial ou físico.
A compreensão das relações geométricas pelas 
crianças supõe sua ação sobre objetos. No entanto, é 
174
bom ter cuidado para não confundir isso com falsas 
ideias, segundo as quais se imagina que basta mostrar 
objetos geométricos aos alunos, para que estes os co-
nheçam, ou que basta enunciar suas propriedades para 
que os alunos delas se apropriem.
A questão que se pode levantar então é: como pas-
sar de um espaço a outro? Provavelmente, é o aspecto 
experimental que vai colocar em relação esses dois es-
paços: o sensível e o geométrico. De um lado, a expe-
rimentação permite agir, antecipar, ver, explicar o que 
se passa no espaço sensível e de outro, vai permitir o 
trabalho sobre as representações dos objetos do espaço 
geométrico e, assim, desprender-se da manipulação dos 
objetos reais para raciocinar sobre representações men-
tais o que constitui enfim, a própria ação Matemática.
O conhecimento matemático dos objetos do es-
paço que se tornam objetos geométricos passa por um 
esforço de sistematização coerente. Os objetos reais são 
um simples pretexto de pensamento matemático. São 
suas propriedades que serão repertoriadas, diferencia-
das, comparadas. Se a atenção está primeiramente cen-
trada sobre o objeto físico ela se orienta depois para 
organizar uma reflexão e para realizar um raciocínio - as 
figuras e imagens serão um apoio.
Para Piaget essa estruturação espacial da criança 
inicia-se pela constituição de um sistema de coordena-
das relativo ao seu próprio corpo. É a fase chamada 
175
egocêntrica, no sentido de que, para se orientar, a crian-
ça é incapaz de considerar qualquer outro elemento, que 
não o seu próprio corpo, como ponto de referência.
Aos poucos, ela vai tomando consciência de que os 
diferentes aspectos são os quais os objetos se apresentam 
para ela, são perfis de uma mesma coisa, ou seja, ela vai 
tomando consciência dos movimentos de seu próprio 
corpo, de seu deslocamento. Essa capacidade de deslo-
car-se mentalmente e de perceber o espaço de diferentes 
pontos de vista, são condições necessárias à coordenação 
espacial. Nesse processo, está a origem das noções de 
direção, sentido, distância, ângulo e muitas outras essen-
ciais à construção do pensamento geométrico.
Estudos piagetianos mostram que as crianças dis-
criminam formas geométricas simples, bem mais cedo 
do que as reproduzem. A gênese da representação pas-
sa pela interiorização da imitação da ação pessoal sobre 
os objetos, no processo geral de construção. A intui-
ção é apontada como fator importante na constituição 
da Geometria do espaço. A intuição de uma reta, por 
exemplo, surge da ação de seguir com a mão ou com o 
olhar, sem mudar de direção.
Esses estudos apontam também que a criança con-
sidera primeiro as relações topológicas de uma figura e, 
somente depois, as projetivas e as euclidianas, que são 
construídas quase que simultaneamente.
Assim, as primeirasrelações que a criança repre-
176
senta graficamente, são as de vizinhança, separação, or-
dem, entorno e continuidade. Muito cedo, ela distingue 
figuras fechadas e abertas, diferencia interior e exterior 
de uma figura dada - noções topológicas.
As chamadas relações projetivas são aquelas que 
vão permitir à criança, a constituição de uma Geome-
tria do espaço exterior e não mais a partir de um único 
ponto de referência - ela própria - mas a partir da co-
ordenação de diferentes pontos de vista; desse modo, 
noções como, por exemplo, na frente/ atrás, à direita/ 
à esquerda, deixam de ser absolutas e passam a ser rela-
tivas (na frente/ atrás de quê/ quem? à direita de quê / 
à esquerda de quê/ quem?).
As relações métricas surgem por último e impli-
cam o uso de operações, tais como: a partição de um 
todo em partes, para construir uma unidade de medida, 
o deslocamento para aplicar essa unidade de medida em 
forma reiterada, cobrindo toda a extensão do objeto das 
operações intelectuais, via a internalização das ações.
Para que a criança construa a noção de espaço, 
é necessária uma longa caminhada, realizada através 
de etapas como já estudamos ao longo dos capítulos. 
Desde os primeiros meses de vida, a criança começa a 
localizar objetos usando como referência seu próprio 
corpo. Ela estabelece relações entre si e os objetos; nes-
ta fase a criança passa do egocentrismo a uma noção 
de espaço em que ela não é o centro para a localização.
177
O ensino de grandezas e medidas é um campo vas-
to para relacionar situações-problemas no dia a dia da 
criança. Por se tratar de convenções abstratas, as uni-
dades de medidas devem ser trabalhadas em situações 
práticas, com o auxílio de instrumentos, como relógio, 
calendário, balança, régua etc.
Hoje, na sociedade, saber ler e interpretar dados e 
informações representadas graficamente vêm tomando 
um lugar de destaque na educação e, particularmente, 
na educação matemática.
5.1. A fUNçãO DO DESENhO NA rEPrESENtA-
çãO DO ESPAçO E DAS qUANtIDADES
“Antes eu desenhava como Rafael, mas precisei de 
toda uma existência para aprender a desenhar como 
as crianças.” 
Picasso
O desenho, entre o jogo simbólico e a imagem 
mental, subordina-se às leis da conceituação e da per-
cepção (PIAGET, 1973). A percepção do objeto cor-
responde à atribuição de sentido dada pela criança, 
constituindo-se realidade conceituada, e não material 
(VYGOTSKY, 1988).
Segundo Izabel Galvão, pedagoga, mestranda na 
178
Faculdade de Educação da USP, toda criança desenha, 
mesmo que não seja adequadamente instrumentada para 
tal, a criança pequena quase sempre encontra uma ma-
neira de deixar, nas superfícies, o registro de seus gestos: 
se não tiver papel, pode ser na terra, na areia, ou até mes-
mo na parede de casa; se não tiver lápis, serve um pedaço 
de tijolo, uma pedra, ou uma lasca de carvão.
Desenhar constitui, para a criança, uma atividade 
integradora, que coloca em jogo as inter-relações do 
ver, do pensar, do fazer e dá unidade aos domínios per-
ceptivo, cognitivo, afetivo e motor. “A criança desenha, 
entre outras tantas coisas, para se divertir.”
Um jogo que não exige companheiros, onde a 
criança é dona de suas próprias regras. Nesse jogo soli-
tário, ela vai aprender a estar só, “aprender a só ser”. O 
desenho é o palco de suas encenações, a construção do 
seu universo particular” (DERDYK, 1989, p. 50).
Além de características pessoais da criança, que 
podem definir sua preferência pelo desenho ou por ou-
tra atividade expressiva, o gosto pelo desenhar também 
depende das oportunidades oferecidas pelo meio. No 
caso do ambiente escolar, a influência é ainda maior, já 
que o desenho se insere no contexto do saber institu-
cionalizado, cuja “autoridade” tende a repercutir sensi-
velmente na relação da criança com a linguagem.
Para Piaget, a criança desenha menos o que vê e 
mais o que sabe. Ao desenhar ela elabora conceitual-
179
mente objetos e eventos. Daí a importância de se es-
tudar o processo de construção do desenho junto ao 
enunciado verbal que nos é dado pelo indivíduo. O 
desenho é precedido pela garatuja, fase inicial do gra-
fismo. Semelhantemente ao brincar, se caracteriza ini-
cialmente pelo exercício da ação. O desenho passa a ser 
conceituado como tal a partir do reconhecimento pela 
criança de um objeto no traçado que realizou. Nessa 
fase inicial, predomina no desenho a assimilação, isto 
é, o objeto é modificado em função da significação que 
lhe é atribuída, de forma semelhante ao que ocorre com 
o brinquedo simbólico.
Para Piaget, os níveis da evolução do desenho in-
fantil, além de constituírem uma introdução ao estudo 
da imagem mental, revelam uma convergência com a 
evolução da geometria espontânea da criança, ou seja, 
o desenvolvimento do desenho é solidário com a estru-
turação do espaço pela criança. Assim, “as primeiras re-
presentações espaciais da criança são topológicas, antes 
de serem projetivas ou de se conformarem com a métri-
ca euclidiana” (PIAGET & INHELDER, 1982, p. 58).
Segundo a autora Thereza Bordoni, seguem as fases 
de evolução do desenho sobre uma análise piagetiana:
Garatuja: Faz parte da fase sensório-motora (0 a 
2 anos) e parte da fase pré-operacional (2 a 7 anos). A 
criança demonstra extremo prazer nesta fase. A figu-
ra humana é inexistente ou pode aparecer de maneira 
180
imaginária. A cor tem um papel secundário, aparecendo 
o interesse pelo contraste, mas não há intenção cons-
ciente. Pode ser dividida em: Desordenada: movimen-
tos amplos e desordenados. Com relação à expressão, 
vemos a imitação “eu imito, porém não represento”. 
Ainda é um exercício. Ordenada: movimentos longitu-
dinais e circulares; coordenação viso-motora. A figura 
humana pode aparecer de maneira imaginária, pois aqui 
existe a exploração do traçado; interesse pelas formas 
(Diagrama). Aqui a expressão é o jogo simbólico: “eu 
represento sozinho”. O símbolo já existe. Identificada 
mudança de movimentos; formas irreconhecíveis com 
significado; atribui nomes, conta histórias. A figura hu-
mana pode aparecer de maneira imaginária, aparecem 
sóis, radiais. A expressão também é o jogo simbólico.
Pré-Esquematismo: Dentro da fase pré-opera-
tória, aparece a descoberta da relação entre desenho, 
pensamento e realidade. Quanto ao espaço, os dese-
nhos são dispersos inicialmente, não relacionam entre 
si. Então, aparecem as primeiras relações espaciais, sur-
gindo devido a vínculos emocionais. A figura humana 
torna-se uma procura de um conceito que depende do 
seu conhecimento ativo, inicia a mudança de símbolos. 
Quanto à utilização das cores, pode usar, mas não há 
relação ainda com a realidade, dependerá do interesse 
emocional. Dentro da expressão, o jogo simbólico apa-
rece como: “nós representamos juntos”.
181
Esquematismo: Faz parte da fase das operações 
concretas (7 a 10 anos). Esquemas representativos, afir-
mação de si mediante repetição flexível do esquema; ex-
periências novas são expressas pelo desvio do esquema. 
Quanto ao espaço, é o primeiro conceito definido de es-
paço: linha de base. Já tem um conceito definido quanto 
à figura humana, porém aparecem desvios do esquema, 
como: exagero, negligência, omissão ou mudança de 
símbolo. Aqui, existe a descoberta das relações quanto à 
cor; cor-objeto, podendo haver um desvio do esquema 
de cor expressa por experiência emocional. Aparece na 
expressão o jogo simbólico coletivo ou jogo dramático 
e a regra.
Realismo: Também faz parte da fase das opera-
ções concretas, mas já no final desta fase. Existe uma 
consciência maior do sexo e autocrítica pronunciada. 
No espaço é descoberto o plano e a superposição. 
Abandona a linha de base. Na figura humana aparece o 
abandono das linhas. As formas geométricas aparecem. 
Maior rigidez e formalismo. Acentuação das roupas di-
ferenciando os sexos. Aqui acontece o abandono do es-
quema de cor, a acentuação será de enfoque emocional. 
Tanto no Esquematismo como no Realismo aparece na 
expressão o jogosimbólico coletivo ou o jogo dramá-
tico e a regra.
Pseudo Naturalismo: Estamos na fase das ope-
rações abstratas (10 anos em diante). É o fim da arte 
182
como atividade espontânea. Inicia a investigação de 
sua própria personalidade. Aparecem aqui dois tipos de 
tendência: visual (realismo, objetividade); háptico (ex-
pressão subjetividade) No espaço já apresenta a profun-
didade ou a preocupação com experiências emocionais 
(espaço subjetivo). Na figura humana as características 
sexuais são exageradas, presença das articulações e pro-
porções. A consciência visual (realismo) ou acentuação 
da expressão, também fazem parte deste período. Uma 
maior conscientização no uso da cor, podendo ser ob-
jetiva ou subjetiva. A expressão aparece como: “eu re-
presento e você vê”. Aqui estão presentes: o exercício, 
símbolo e a regra. Para saber mais acesse: 
http://www.profala.com/arteducesp62.htm
183
SÍNtESE DO CAPÍtULO
Nesta unidade você pode perceber a importância dos 
espaços, das formas, do tratamento da informação, no 
dia a dia do ser humano, pode constatar que estes ele-
mentos são essenciais para a natureza e para o convívio 
humano, bem como diferenciar o espaço físico do espa-
ço pedagógico. Foi possível estudar as características da 
evolução do desenho segundo Piaget e observar a sua 
importância no processo educativo.
SUGEStõES PArA COMPLEMENtAçãO DE EStUDOS
■ Leitura do livro: Formas e figuras. Kátia Stocco Smole, Ma-
ria Ignez Diniz e Patricia Candido. Porto Alegre: Artmed, 2003.
■ Leitura individual da Série Saber mais: A geometria na 
sua vida. Consultor Nilson José Machado. 1º Ed., 2003.
■ Leitura do Livro: Ensinar matemática na educa-
ção infantil e nas séries iniciais: analise e propos-
tas. Mabel Panizza; tradução Antonio Feltrin. – Porto 
Alegre: Artmed, 2006.
■ Leitura do texto: O tratamento da informação 
nos livros didáticos e a teoria dos registros de re-
presentação semiótica. Roberta Schnorr Buehring 
– Mestranda, Cláudia Regina Flores - CED/PPGECT 
– UFSC, Méricles Thadeu Moretti - CFM/PPGECT – 
184
UFSC. Acesse: 
http://www.redemat.mtm.ufsc.br/reremat/republic_03_artigo.PDF
■ Assista ao filme: Um Diretor Contra Todos.
EXErCÍCIOS DE fIXAçãO
1. Pensar em organização de espaço para o desenvol-
vimento das crianças é uma tarefa delicada, pois cabe a 
responsabilidade de estabelecer diferenças significativas 
entre espaço físico e o ambiente educativo. Segundo 
Zabalza (1998), o que difere um do outro? Esses espa-
ços podem se transformar? Por quê?
2. Segundo os autores: Roberta Schnorr Buehring, 
Cláudia Regina Flores e Méricles Thadeu Moretti, basta 
abrirmos um jornal, uma revista ou assistirmos televi-
são para percebermos que, cada vez mais, a estatística 
é incluída ao nosso cotidiano e ao de nossos alunos. 
Informações de toda natureza passam rapidamente 
sob nossos olhos em forma de gráficos e tabelas. Este 
se tornou um hábito comum no dia a dia de qualquer 
pessoa, mas será que os livros didáticos estão vendo a 
estatística como uma linguagem usual a ser ensinada? 
Comente sobre essa afirmação.
185
3. Os Parâmetros Curriculares Nacionais recomendam 
conteúdos de Matemática, como: os espaços, as formas, 
as medidas e o tratamento das informações. Elabore 
seu conceito de relevância para estes conteúdos no pro-
cesso ensino aprendizagem.
4. Transcreva e comente sobre uma análise piagetiana 
referente aos estágios do desenho, segundo a autora 
Thereza Bordoni.
5. Conforme os Parâmetros Curriculares Nacionais 
(1998, p. 39), por que os conceitos geométricos consti-
tuem parte importante do currículo de Matemática no 
ensino fundamental? 
“Para Tales... a questão primordial não era o que sa-
bemos, mas como sabemos.”
Aristóteles
189
UNIDADE 6
tECNOLOGIA DIGItAL E O JOGO NA OrGANIZAçãO 
DA AçãO EDUCAtIvA
191
Caro aluno,
Nesta Unidade estudaremos a importância da tecnolo-
gia digital e do jogo no processo de ensino-aprendiza-
gem da matemática.
Bom Estudo!
193
6 TECNOLOGIAS DA INFORMAÇÃO
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998, 
p. 34 e 35), as técnicas, em suas diferentes formas e 
usos, constituem um dos principais agentes de transfor-
mação da sociedade, pelas implicações que exercem no 
cotidiano das pessoas.
Estudiosos do tema mostram que escrita, leitura, 
visão, audição, criação e aprendizagem são capturados 
por uma informática cada vez mais avançada. Nesse ce-
nário, insere-se mais um desafio para a escola, ou seja, o 
de como incorporar ao seu trabalho, apoiado na oralida-
de e na escrita, novas formas de comunicar e conhecer.
Por outro lado, também é fato que o acesso a calcu-
ladoras, computadores e outros elementos tecnológicos 
já é uma realidade para parte significativa da população.
Estudos e experiências evidenciam que a calcu-
ladora é um instrumento que pode contribuir para a 
melhoria do ensino da Matemática. A justificativa para 
essa visão é o fato de que ela pode ser usada como um 
instrumento motivador na realização de tarefas explo-
ratórias e de investigação.
Além disso, ela abre novas possibilidades educati-
vas, como a de levar o aluno a perceber a importância 
do uso dos meios tecnológicos disponíveis na socie-
194
dade contemporânea. A calculadora é também um re-
curso para verificação de resultados, correção de erros, 
podendo ser um valioso instrumento de autoavaliação.
Como exemplo de uma situação exploratória e 
de investigação que se tornaria imprópria sem o uso 
de calculadora, poder-se-ia imaginar um aluno sendo 
desafiado a descobrir e a interpretar os resultados que 
obtém quando divide um número sucessivamente por 
dois (se começar pelo 1, obterá 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625; 
0,03125; 0,015625). Usando a calculadora, terá muito 
mais condições de prestar atenção no que está aconte-
cendo com os resultados e de construir o significado 
desses números.
O fato de, neste final de século, estar emergindo um 
conhecimento por simulação, típico da cultura informá-
tica, faz com que o computador seja também visto como 
um recurso didático cada dia mais indispensável.
Ele é apontado como um instrumento que traz 
versáteis possibilidades ao processo de ensino e apren-
dizagem de Matemática, seja pela sua destacada presen-
ça na sociedade moderna, seja pelas possibilidades de 
sua aplicação nesse processo.
Tudo indica que seu caráter lógico-matemático pode 
ser um grande aliado do desenvolvimento cognitivo dos 
alunos, principalmente na medida em que ele permite um 
trabalho que obedece a distintos ritmos de aprendizagem.
Embora os computadores ainda não estejam am-
195
plamente disponíveis para a maioria das escolas, eles já 
começam a integrar muitas experiências educacionais, 
prevendo-se sua utilização em maior escala em curto 
prazo. Isso traz como necessidade a incorporação de 
estudos nessa área, tanto na formação inicial como na 
formação continuada do professor do ensino funda-
mental, seja para poder usar amplamente suas possibili-
dades ou para conhecer e analisar softwares educacionais.
Quanto aos softwares educacionais é fundamental 
que o professor aprenda a escolhê-los em função dos 
objetivos que pretende atingir e de sua própria concep-
ção de conhecimento e de aprendizagem, distinguindo 
os que se prestam mais a um trabalho dirigido para testar 
conhecimentos dos que procuram levar o aluno a intera-
gir com o programa de forma a construir conhecimento.
O computador pode ser usado como elemento de 
apoio para o ensino (banco de dados, elementos visu-
ais), mas também como fonte de aprendizagem e como 
ferramenta para o desenvolvimento de habilidades. O 
trabalho com o computador pode ensinar o aluno a 
aprender com seus erros e a aprender junto com seus 
colegas, trocando suas produções e comparando-as.
196
LEItUrA COMPLEMENtAr
O COMPUTADOR AUXILIANDO O PROCESSO 
DE MUDANÇA NA ESCOLA
 José A. Valente 
NIED-UNICAMP e CED-PUCS
Estamos praticamente vivendo na sociedade do 
conhecimento onde os processos de aquisição do co-
nhecimento assumem umpapel de destaque exigindo 
um profissional crítico, criativo, reflexivo e com capaci-
dade de pensar, de aprender a aprender, de trabalhar em 
grupo e de se conhecer como indivíduo. Cabe à educa-
ção formar esse profissional. No entanto, a educação 
capaz de formar esse profissional não pode mais ser 
baseada na instrução que o professor transmite ao alu-
no, mas na construção do conhecimento pelo aluno e 
no desenvolvimento dessas novas competências. Uma 
das tentativas de se repensar a educação tem sido feita 
por intermédio da introdução do computador na esco-
la. Entretanto, a utilização do computador na educação 
não significa, necessariamente, o repensar da educação. 
O computador usado como meio de 
passar a informação ao aluno mantém a aborda-
gem pedagógica vigente, informatizando o processo 
instrucional e, portanto, conformando e fossilizando a 
197
escola. Na verdade, tanto o ensino tradicional quanto 
sua informatização prepara um profissional obsoleto.
Por outro lado, o computador apresenta recursos 
importantes para auxiliar o processo de mudança na 
escola - a criação de ambientes de aprendizagem que 
enfatizam a construção do conhecimento e não a ins-
trução. Isso implica em entender o computador como 
uma nova maneira de representar o conhecimento pro-
vocando um redimensionamento dos conceitos básicos 
já conhecidos e possibilitando a busca e compreensão 
de novas ideias e valores. Usar o computador com essa 
finalidade requer a análise cuidadosa do que significa 
ensinar e aprender demanda rever a prática e a forma-
ção do professor para esse novo contexto, bem como 
mudanças no currículo e na própria estrutura da escola.
O QUE É INFORMÁTICA NA EDUCAÇÃO?
 O termo “Informática na Educação” tem assu-
mido diversos significados dependendo da visão educa-
cional e da condição pedagógica em que o computador 
é utilizado. 
 (...) O termo “Informática na Educação” signi-
fica a inserção do computador no processo de apren-
dizagem dos conteúdos curriculares de todos os níveis 
e modalidades de educação. Para tanto, o professor da 
disciplina curricular deve ter conhecimento sobre os 
potenciais educacionais do computador e ser capaz de 
198
alternar adequadamente atividades tradicionais de ensi-
no-aprendizagem e atividades que usam o computador.
 No entanto, a atividade de uso do computador 
na disciplina curricular pode ser feita tanto para con-
tinuar transmitindo a informação para o aluno e, por-
tanto, para reforçar o processo tradicional de ensino 
(processo instrucionista), quanto para criar condições 
para o aluno construir seu conhecimento por meio da 
criação de ambientes de aprendizagem que incorporem 
o uso do computador (processo construcionista). 
AS ABORDAGENS INSTRUCIONISTA E 
CONSTRUCIONISTA
 O computador pode ser usado na educação 
como máquina de ensinar ou como máquina para ser 
ensinada. O uso do computador como máquina de en-
sinar consiste na informatização dos métodos de ensino 
tradicionais. Do ponto de vista pedagógico, esse é o pa-
radigma instrucionista. Alguém implementa no compu-
tador uma série de informações e essas informações são 
passadas aos alunos na forma de um tutorial, exercício-e-
-prática ou jogo. Além disso, esses sistemas podem fazer 
perguntas e receber respostas no sentido de verificar se a 
informação foi retida. Essas características são bastante 
desejadas em um sistema de ensino instrucionista já que a 
tarefa de administrar o processo de ensino pode ser exe-
cutada pelo computador, livrando o professor da tarefa 
199
de correção de provas e exercícios.
Embora nesse caso, o paradigma pedagógico ain-
da seja o instrucionista, esse uso do computador tem 
sido caracterizado, erroneamente, como construtivista, 
no sentido piagetiano, ou seja, para propiciar a constru-
ção do conhecimento na “cabeça” do aluno. Como se 
o conhecimento fosse construído por meio de tijolos 
(informação) que devem ser justapostos e sobrepostos 
na construção de uma parede. 
Nesse caso, o computador tem a finalidade de faci-
litar a construção dessa “parede”, fornecendo “tijolos” 
do tamanho mais adequado, em pequenas doses e de 
acordo com a capacidade individual de cada aluno.
Com o objetivo de evitar essa noção errônea sobre 
o uso do computador na educação, Papert denominou 
de construcionista a abordagem pela qual o aprendiz 
constrói, por intermédio do computador, o seu próprio 
conhecimento. Ele usou esse termo para mostrar um 
outro nível de construção do conhecimento: a cons-
trução do conhecimento que acontece quando o aluno 
constrói um objeto de seu interesse, como uma obra 
de arte, um relato de experiência ou um programa de 
computador. Na noção de construcionismo de Papert, 
existem duas ideias que contribuem para que esse tipo 
de construção do conhecimento seja diferente do cons-
trutivismo de Piaget. Primeiro, o aprendiz constrói al-
guma coisa, ou seja, é o aprendizado por meio do fazer, 
200
do “colocar a mão na massa”. Segundo, o fato de o 
aprendiz estar construindo algo do seu interesse e para 
o qual ele está bastante motivado. O envolvimento afe-
tivo torna a aprendizagem mais significativa.
Entretanto, na minha opinião, o que contribui para 
a diferença entre essas duas maneiras de construir o co-
nhecimento é a presença do computador - o fato de o 
aprendiz estar construindo algo usando o computador 
(computador como máquina para ser ensinada). Nesse 
caso, o computador requer certas ações que são bastan-
te efetivas no processo de construção do conhecimento.
Quando o aluno interage com o computador pas-
sando informação para a máquina se estabelece um ci-
clo - descrição-execução-reflexão-depuração-descrição 
- que é o propulsor do processo de construção do co-
nhecimento. Por exemplo, para programar o computa-
dor para resolver um problema o aluno deve ser capaz 
de passar a ideia de como resolver o problema na forma 
de uma sequência de comandos da linguagem de pro-
gramação. Isso significa a descrição da solução do pro-
blema usando comandos da linguagem de programação.
O computador, por sua vez, realiza a execução 
desses procedimentos. O computador age de acordo 
com cada comando, apresentando na tela um resultado 
na forma de um gráfico. O aluno olha para a figura que 
está sendo construída na tela e para o produto final e 
faz uma reflexão sobre essas informações.
201
O processo de refletir sobre o resultado de um 
programa de computador pode acarretar uma das se-
guintes ações alternativas: ou o aluno não modifica o 
programa porque as suas ideias iniciais sobre a reso-
lução daquele problema correspondem aos resultados 
apresentados pelo computador e, então, o problema 
está resolvido; ou depura o programa quando o resul-
tado é diferente da sua intenção original. A depuração 
pode ser em termos de alguma convenção da linguagem 
de programação, sobre um conceito envolvido no pro-
blema em questão (o aluno não sabe sobre o ângulo), 
ou ainda sobre estratégias (o aluno não sabe como usar 
técnicas de resoluções de problemas).
A atividade de depuração é facilitada pela existên-
cia do programa do computador. Esse programa é a 
descrição das ideias do aluno em termos de uma lin-
guagem simples, precisa e formal. Essas características 
disponíveis no processo de programação facilitam a 
análise do programa de modo que o aluno possa achar 
seus erros (bugs).
O processo de achar e corrigir o erro constitui uma 
oportunidade única para o aluno aprender sobre um 
determinado conceito envolvido na solução do proble-
ma ou sobre estratégias de resolução de problemas. O 
aluno pode também usar seu programa para relacionar 
com seu pensamento em um nível metacognitivo. Ele 
pode analisar seu programa em termos de efetividade 
202
das ideias, estratégias e estilo de resolução de problema. 
Nesse caso, o aluno começa a pensar sobre suas pró-
prias ideias (abstração reflexiva).
Entretanto, o processo de descrever, refletir e de-
purar não acontece simplesmente colocando o aluno 
em frente ao computador.A interação aluno-compu-
tador precisa ser mediada por um profissional que co-
nhece os potenciais do computador, tanto do ponto de 
vista computacional, quanto do pedagógico e do psico-
lógico. Esse é o papel do professor ou agente de apren-
dizagem. Além disso, o aluno como um ser social, está 
inserido em um ambiente social que é constituído, lo-
calmente, pelos seus colegas e, globalmente, pelos pais, 
amigos e mesmo a sua comunidade. O aluno pode usar 
todos esses elementos sociais como fonte de ideias, de 
conhecimento ou de problemas a serem resolvidos por 
intermédio do uso do computador.
O ciclo descrição-execução-reflexão-depuração-
-descrição que se estabelece na programação também 
acontece quando o aluno usa o computador para criar 
um texto usando um processador de texto, quando utili-
za o computador para desenvolver uma multimídia por 
meio de um software de autoria, ou mesmo uma planilha 
ou criar um banco de dados. Ou seja, esse ciclo acontece 
sempre que o aluno interage com o computador usando 
software abertos onde é o aluno que transmite informa-
ção para a máquina e não a máquina para o aluno.
203
IMPLICAÇÕES DO CONSTRUCIONISMO NA 
MUDANÇA DA ESCOLA
A abordagem que usa o computador como meio 
para transmitir a informação ao aluno mantém a práti-
ca pedagógica vigente. Na verdade, o computador está 
sendo usado para informatizar os processos de ensino 
que já existem. Isso tem facilitado a implantação do 
computador na escola, pois não quebra a dinâmica por 
ela adotada.
Além disso, não exige muito investimento na for-
mação do professor. Para ser capaz de usar o compu-
tador nessa abordagem basta ser treinado nas técnicas 
de uso de cada software. No entanto, os resultados em 
termos da adequação dessa abordagem no
 preparo de cidadãos capazes de enfrentar as mu-
danças que a sociedade está passando são questionáveis. 
Tanto o ensino tradicional quanto sua informatização 
preparam um profissional obsoleto.
Por outro lado, o uso do computador na criação 
de ambientes de aprendizagem que enfatizam a cons-
trução do conhecimento apresenta enormes desafios. 
Primeiro, implica em entender o computador como 
uma nova maneira de representar o conhecimento. Se-
gundo, requer a análise cuidadosa do que significa en-
sinar e aprender, bem como demanda rever o papel do 
professor nesse contexto. Terceiro, a formação desse 
professor envolve muito mais do que prover o profes-
204
sor com conhecimentos sobre computadores. O pre-
paro do professor não pode ser uma simples oportu-
nidade para passar informações, mas deve propiciar a 
vivência de uma experiência. É o contexto da escola, 
a prática dos professores e a presença dos seus alunos 
que determinam o que deve ser abordado nos curso de 
formação. Assim, o processo de formação deve ofere-
cer condições para o professor construir conhecimento 
sobre as técnicas computacionais e entender por que e 
como integrar o computador na sua prática pedagógica.
Além disso, a mudança na escola envolve muito 
mais do que formar o professor. Mudanças na forma-
ção deste profissional não podem ser vistas como único 
fator desencadeador de mudança na escola como um 
todo. Outros aspectos também devem ser revistos, tais 
como: a forma como o currículo afeta o desempenho 
do professor e a maneira como a gestão escolar inter-
fere na sala de aula. É necessário que os elementos atu-
antes na escola - alunos, professores, administradores 
e pais - sejam capazes de superar barreiras de ordem 
pessoal, administrativa e pedagógica, com o objetivo de 
ultrapassar uma visão fragmentada de ensino a fim de 
alcançar uma concepção interdisciplinar voltada para o 
desenvolvimento de projetos específicos de interesse 
dos alunos e da comunidade. Além disso, a escola deve 
criar condições para que o aluno saiba recontextualizar 
o aprendizado, integrar a experiência vivenciada na sua 
205
formação com a sua realidade de vida, compreendendo 
suas potencialidades e compatibilizando-as com os ob-
jetivos profissionais que pretende alcançar.
Portanto, os desafios na implementação do com-
putador na escola, objetivando uma mudança educacio-
nal, são enormes. No entanto, se eles não forem ataca-
dos corremos o risco de perpetuarmos uma escola que 
já é obsoleta. Só que agora, ela será obsoleta, porém, 
usando a informática.
6.1. A IMPOrtÂNCIA DOS JOGOS NA 
APrENDIZAGEM MAtEMÁtICA 
Segundo Piaget, o ato de inteligência culmina num 
equilíbrio entre a assimilação e a acomodação, en-
quanto que a imitação prolonga a última por si mes-
ma, poder-se-á dizer, inversamente, que o jogo é espe-
cialmente a assimilação ou assimilação predominando 
sobre a acomodação. Conforme Kamii, os jogos são 
partes essenciais do ensino construtivista por muitas 
razões. Pensando no desenvolvimento da autonomia 
das crianças, aqueles jogos que envolvem regras que 
são fundamentais para o desenvolvimento das habili-
dades das crianças de governarem a si mesmas. Já para 
a aritmética são motivadores para o desenvolvimento 
das quatro operações elementares.
206
Para fundamentar a importância da utilização dos 
jogos no processo de ensino-aprendizagem da Mate-
mática recorremos aos Parâmetros Curriculares Nacio-
nais (PCN, 1998), que são nossa maior referência em 
termos de orientação para o ensino de todas as áreas, 
inclusive, é claro, da Matemática.
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais 
(1998, p. 35 e 36), o jogo, além de ser um objeto so-
ciocultural em que a Matemática está presente, é uma 
atividade natural no desenvolvimento dos processos 
psicológicos básicos; supõe um “fazer sem obrigação 
externa e imposta”, embora demande exigências, nor-
mas e controle.
No jogo, mediante a articulação entre o conhecido 
e o imaginado, desenvolve-se o autoconhecimento — 
até onde se pode chegar — e o conhecimento dos ou-
tros — o que se pode esperar e em que circunstâncias.
Para crianças pequenas, os jogos são as ações que 
elas repetem sistematicamente, mas que possuem um 
sentido funcional (jogos de exercício), isto é, fonte de 
significados e, portanto, possibilitam compreensão, ge-
ram satisfação, formam hábitos que se estruturam num 
sistema. Essa repetição funcional também deve estar 
presente na atividade escolar, pois é importante no sen-
tido de ajudar a criança a perceber regularidades.
Por meio dos jogos as crianças não apenas viven-
ciam situações que se repetem, mas aprendem a lidar 
207
com símbolos e a pensar por analogia (jogos simbóli-
cos): os significados das coisas passam a ser imaginados 
por elas. Ao criarem essas analogias, tornam-se produ-
toras de linguagens, criadoras de convenções, capacitan-
do-se para se submeterem às regras e dar explicações.
Além disso, passam a compreender e a utilizar con-
venções e regras que serão empregadas no processo de 
ensino e aprendizagem. Essa compreensão favorece sua 
integração num mundo social bastante complexo e propor-
ciona as primeiras aproximações com futuras teorizações.
Em estágio mais avançado, as crianças aprendem a 
lidar com situações mais complexas (jogos com regras) 
e passam a compreender que as regras podem ser com-
binações arbitrárias que os jogadores definem; perce-
bem também que só podem jogar em função da jogada 
do outro (ou da jogada anterior, se o jogo for solitário). 
Os jogos com regras têm um aspecto importante, pois 
neles o fazer e o compreender constituem faces de uma 
mesma moeda.
A participação em jogos de grupo também repre-
senta uma conquista cognitiva, emocional, moral e so-
cial para a criança e um estímulo para o desenvolvimen-
to do seu raciocínio lógico.
Finalmente, um aspecto relevante nos jogos é o 
desafio genuíno que eles provocam no aluno, que gera 
interesse e prazer. Por isso, é importante que os jogos fa-
çam parte da cultura escolar, cabendo ao professor ana-
208
lisar e avaliar a potencialidade educativa dos diferentes 
jogos e o aspecto curricular que se deseja desenvolver.
PArA rEfLEtIr
História retirada da Revista O Menino Maluquinho – EditoraGlobo – N. 12.
209
Segundo Piaget (1976): “... os jogos não são ape-
nas uma forma de desafogo ou entretenimento para 
gastar energias das crianças, mas meios que contribuem 
e enriquecem o desenvolvimento intelectual”.
O jogo é, portanto, sob as suas duas formas es-
senciais de exercício sensório-motor e de simbolismo, 
uma assimilação da real à atividade própria, fornecendo 
a esta seu alimento necessário e transformando o real 
em função das necessidades múltiplas do eu. Por isso, 
os métodos ativos de educação das crianças exigem a 
todos que se forneça às crianças um material conve-
niente, a fim de que, jogando, elas assimilem as realida-
des intelectuais e que, sem isso, permanecem exteriores 
à inteligência infantil.
Não é de agora, que os jogos encantam as crianças 
e os adultos, assim como sua importância no desenvol-
vimento social e intelectual. Conforme Smole (2007), 
o uso dos jogos nas aulas de matemática implica uma 
mudança significativa no processo ensino aprendiza-
gem. O trabalho bem planejado e orientado auxilia o 
desenvolvimento das habilidades como: levantamento 
de hipóteses, busca de suposição, reflexão, argumenta-
ção, entre outros que estão diretamente ligados ao de-
senvolvimento do raciocínio lógico.
O jogar, segundo a autora, pode ser visto como 
uma base sobre a qual se desenvolve o espírito cons-
trutivista, a imaginação, a capacidade de sistematizar, 
210
abstrair e a capacidade de se comunicar socialmente. 
Com base teórica em Kamii (1991) e Krulik (1993) 
(apud SMOLE, 2007) depreendemos que: o jogo deve 
ser para dois ou mais jogadores, sendo, portanto, uma 
atividade que os alunos realizem juntos; deverá ter obje-
tivos a serem alcançados pelos participantes, ou seja, no 
final haverá um ganhador; também deverá permitir que 
os alunos assumam papéis interdependentes, opostos e 
cooperativos. Os jogos precisam ter regras preestabe-
lecidas que não podem ser modificadas no decorrer da 
jogada; deve haver a possibilidade de usar estratégias, 
estabelecer planos, executar jogadas e avaliar a eficácia 
desses elementos.
Os jogos podem ser classificados de diferentes 
formas, de acordo com o critério adotado. Vários au-
tores se dedicaram ao estudo do jogo, entretanto Piaget 
elaborou uma “classificação genética baseada na evolu-
ção das estruturas. Piaget classificou os jogos em três 
grandes categorias que correspondem às fases do de-
senvolvimento infantil.
Sensório-motor (em média de 0 a 2 anos) - as 
crianças brincam sozinhas, sem utilização da noção de 
regras. Nessa fase, Piaget faz uma observação que quan-
to mais uma criança ouve e vê, mais quer ver e ouvir.
Pré-operacional (em média de 2 a 7 anos) - as 
crianças adquirem a noção da existência de regras e 
começam a jogar com outras crianças jogos de faz de 
211
conta. Nessa fase, Piaget afirma: “Jogando as crianças 
chegam a assimilar as realidades intelectuais que, sem 
isso, permanecem exteriores à inteligência.”
Das operações concretas (em média de 7 a 11-12 
anos) - as crianças aprendem as regras dos jogos e jo-
gam em grupos. Esta é a fase dos jogos de regras como: 
futebol, xadrez etc. Já nesta fase o jogo mantém rela-
ções profundas entre as crianças e as fazem aprender a 
viver e a crescer nas relações sociais.
Das operações formais (em média de 11-12 anos 
em diante) - o jogo se caracteriza como atividades adap-
tativas ao equilibrio físico, à prática de esportes. Enfim, 
essa fase tem o caráter de algo novo, jogos intelectuais 
exercem maior atração.
Desta maneira, Piaget classifica os jogos segundo 
sua evolução a partir do aparecimento da linguagem, 
em três grandes estruturas: jogos de exercício, simbóli-
cos e de regras. Esses dados são relevantes porque de-
terminam a classificação dos jogos proposta por Piaget.
Os jogos de exercícios se referem à atividade de 
prazer funcional e não de representação. A principal 
característica é obter a satisfação de suas necessidades. 
Com a ampliação dos esquemas, a criança vai cada vez 
se tornando mais consciente de suas potencialidades, 
colocando em ação um conjunto de condutas, sem mo-
dificar as estruturas, onde as ações ficam dirigidas so-
mente para atingir seu objetivo maior que é o prazer.
212
Como já sabemos, o ato de jogar é uma atividade 
natural no ser humano. Inicialmente, a atividade lúdica 
surge como uma série de exercícios motores simples. 
Sua finalidade é o próprio prazer do funcionamento. 
Estes exercícios consistem em repetição de gestos e 
movimentos simples, como caminhar, pular, correr, gri-
tar, estalar os dedos, andar de bicicleta etc. Porém, esse 
tipo de jogo reaparece durante toda a infância e na fase 
adulta. Enfim, segundo Piaget, o jogo de exercício é es-
sencialmente sensório-motor e pode envolver as fun-
ções superiores, como fazer perguntas pelo prazer de 
perguntar, sem o interesse pela resposta nem resolução 
do problema.
Os jogos simbólicos são a representação de um 
objeto ausente ou de simulação funcional, ou seja, é 
uma representação fictícia. Segundo Piaget, a crian-
ça, além do prazer, começa a utilizar a simbologia. A 
função simbólica já está estruturada e começa a fazer 
imagens mentais. Neste ponto, já domina a linguagem 
falada. A função desse jogo, segundo Piaget, “consiste 
em satisfazer o eu por meio de uma transformação do 
real em função dos desejos”.
A criança tende a reproduzir nesses jogos as rela-
ções predominantes do meio onde está inserida e assi-
milar dessa maneira a realidade uma forma de autoex-
pressar. Nesse “jogo de faz de conta” a criança passa a 
dirigir seu comportamento pelo mundo imaginário, isto 
213
é, o pensamento está separado dos objetos e as ações 
surgem das ideias. A criança libera, através desse jogo, 
o imaginário, revela sonhos, fantasias, medos, aliviando 
tensões e frustrações.
Os jogos de regras emergem das relações sociais 
e/ou interindividuais. O jogo é a atividade lúdica do ser 
socializado, de acordo com Piaget, a criança aprende 
a lidar com delimitações no espaço, no tempo, o que 
pode e o que não pode fazer. Ao invés de símbolo, a 
regra supõe relações sociais, porque a regra é imposta 
pelo grupo e sua falta significa ficar de fora do jogo. 
Este tipo de jogo continua durante toda a vida do in-
divíduo e são classificados em jogos sensório-motores 
(futebol) e intelectuais (xadrez).
O que caracteriza o jogo de regras é a existência 
de um conjunto de leis imposto pelo grupo, sendo que 
seu descumprimento é normalmente penalizado e uma 
forte competição entre os indivíduos. O jogo de re-
gra pressupõe a existência de parceiros e um conjunto 
de obrigações (as regras), o que lhe confere um cará-
ter eminentemente social. Este jogo aparece quando a 
criança abandona a fase egocêntrica possibilitando de-
senvolver os relacionamentos afetivo-sociais.
Cada estágio do desenvolvimento descrito por 
Piaget tem uma sequência que depende da evolução da 
criança, do nascimento até o final da vida. Uma fase se 
interliga com a outra de forma que o final de uma se 
214
confunde com o começo de outra. A evolução começa 
com a fase puramente reflexiva, passando pela assimila-
ção, pelo simbolismo até chegar à acomodação.
Em suma, trabalhar com jogos envolve o planeja-
mento de uma sequência didática e saber qual é a sua 
finalidade distinguindo o conteúdo da estrutura do 
jogo. Pois, conteúdo é o interesse lúdico e a estrutura é 
a forma de organização mental. É claro que para isso o 
professor precisa entender e ter convicção clara que o 
essencial, é mais que jogar mais que brincar, é o proces-
so de aprendizagem eficaz. 
215
SÍNtESE DO CAPÍtULO
Nesta Unidade estudamos as tecnologias de informa-
ção, com destaque ao computador, enquanto recurso 
didático que pode facilitar a aprendizagem dos alunos. 
A importância dos jogos na aprendizagem matemática 
foi abordada.
SUGEStõES PArA COMPLEMENtAçãO DE EStUDOS
■ Leitura do livro: O que é Midia-Educação. Maria Lui-
za Belloni. 2º Ed. Campinas, SP: Autores Associados, 2005. 
(ColeçãoPolêmicas do nosso tempo: 78)
■ Leitura individual do livro: Jogos de matemática de 1º ao 
5º ano. Kátia Stocco, Maria Ignez Diniz, Patrícia Cândido. 
Porto alegre: Artmed, 2007 (Série Cadernso Mathema – En-
sino Fundamental).
■ Leitura do texto: Uma Reflexão Sobre O Uso De Ma-
teriais Concretos E Jogos No Ensino Da Matemática. 
Dario Fiorentini e Maria Ângela Miorim Docentes da Fa-
culdade de Educação da UNICAMP. Publicado no Boletim 
SBEM-SP Ano 4 - nº 7. http://www.matematicahoje.com.br/telas/
sala/didaticos/recursos_didaticos.asp?aux=C
216
EXErCÍCIOS DE fIXAçãO
1. Segundo o autor José Valente, o termo “Informá-
tica na Educação” tem assumido diversos significados 
dependendo da visão educacional e da condição peda-
gógica em que o computador é utilizado. Como você 
interpreta esses significados na educação? Na sua con-
cepção a informática na educação contribui ou atrapa-
lha o processo? Justifique sua resposta.
2. Convide um amigo e resolva a situação-problema es-
tabelecida: JOGO DE LÓGICA: QUEM MORA?
a) Temos 5 casas.
■ Na primeira casa mora o padeiro;
■ Ao lado do padeiro mora o eletricista;
■ O eletricista conversa muito com o engenheiro que 
mora na última casa;
■ O engenheiro é amigo do contador que é vizinho do 
eletricista;
■ Entre o contador e o engenheiro mora o professor.
Quem mora na quarta casa?
b) Três patos: Quá-Quá, Quém-Quém e Quim-Quim 
são de cores diferentes e têm, cada um, um lugar. Os 
lugares são: na chuva, no palheiro e no mato. As cores 
são: amarelo, cinza e branco. Determine a cor e o lugar 
217
de cada patinho, sabendo que:
■ O pato cinza é vizinho do pato que dorme no mato.
■ Quim-Quim caiu na lama e sujou a cama do patinho 
que dorme no palheiro.
■ O pato que dorme na chuva e o pato cinza são amigos 
de Quá-Quá.
■ Quá-Quá foi visitar seu amigo branco.
■ Quim-Quim tomou banho e ficou mais limpo que o 
pato branco.
■ O pato que dorme no palheiro aprendeu a nadar com 
Quim-Quim.
3. Piaget classifica os jogos segundo sua evolução a 
partir do aparecimento da linguagem, em três grandes 
estruturas. Quais são? Explique.
4. O que caracteriza o jogo de regras? Comente.
219
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GABARITO
UNIDADE 1
1. Sensório-motor (em média de O a 2 anos); Interesse 
em estimulações sensoriais; Tendência egocêntrica. Pré-
-operacional (em média de 2 a 6 anos); Desenvolvimento 
das representações mentais; Estabelecimento de uma co-
municação verbal. Operações concretas (em média de 6 
a 11-12 anos); Capacidade de manipular representações 
mentalmente; A manipulação mental está limitada a ob-
jetos “concretos”, e não conceitos abstratos. Operações 
formais (em média de 11-12 anos em diante); Capacidade 
de realizar operações mentais sobre abstrações e símbo-
los que podem não ter formas concretas ou físicas; Plena 
capacidade referente à teoria da mente.
3. A assimilação é um processo de entrada de estímu-
los que são incorporados à atividade de um indivíduo. 
“A assimilação é, essencialmente, a utilização do meio 
externo pelo sujeito, tendo em vista alimentar os seus 
esquemas hereditários e adquiridos”. A assimilação 
ocorre de forma contínua; a pessoa não processa um 
estímulo por vez. O ser humano está continuamente 
processando um grande número de estímulos. A as-
similação é sempre o fim, o produto. O outro meca-
229
230
nismo, através do qual o organismo tente restabelecer 
um equilíbrio superior com o meio exterior, é chamado 
de acomodação. “A acomodação é a criação de novos 
esquemas ou a modificação de velhos esquemas. Am-
bas as ações resultam em uma mudança na estrutura 
cognitiva (esquemas) ou no seu desenvolvimento”. Pela 
dimensão acomodadora, a pessoa produz transforma-
ções em si mesmo, no mundo subjetivo. “Durante a as-
similação, uma pessoa impõe sua estrutura disponível 
aos estímulos que estão sendo processados. Isto é, os 
estímulos são ‘forçados’ a se ajustarem à estrutura da 
pessoa. Na acomodação o inverso é verdadeiro. A pes-
soa é ‘forçada’ a mudar sua estrutura para acomodar os 
novos estímulos. A acomodação explica o desenvolvi-
mento (uma mudança qualitativa), e a assimilação ex-
plica o crescimento (uma mudança quantitativa); juntos 
explicam a adaptação intelectual e o desenvolvimento 
das estruturas cognitivas.” Os processos de assimilação 
e a acomodação são necessários para o crescimento e o 
desenvolvimento cognitivo. Em síntese: na assimilação, 
o organismo “encaixa” os estímulos à estrutura que já 
existe; na acomodação, o organismo “muda” a estrutura 
para encaixar o estímulo.
4. A abstração simples é característica da experiência 
física e a abstração reflexiva, própria da experiência 
lógico-matemática. A abstração simples implica a crian-
231
ça focalizar apenas uma única propriedade do objeto, 
enquanto ignora as demais. Em contrapartida, na abs-
tração reflexiva ou construtiva, está envolvida a cons-
trução de relações entre os objetos, feita pela criança. É 
bom lembrar que tais relações não existem na realidade 
externa. Assim, a similaridade ou a diferença entre dois 
objetos existe somente na mente de quem criou essas 
relações. A abstração reflexiva é uma construção feita 
pela mente, ao invés de representar apenas o enfoque 
sobre algo já existente nos objetos. Apesar de fazer a 
distinção teórica entre abstração empírica e construtiva, 
Piaget adverte que, na realidade psicológica, da criança, 
nenhum dos dois tipos de abstração pode ocorrer sem 
o outro.
5. CONHECIMENTO FÍSICO - a fonte deste conhe-
cimento é parcialmente externa ao indivíduo, está no 
objeto. É o conhecimento das características ou pro-
priedades físicas dos objetos da realidade externa. A 
criança só adquire este conhecimento através da sua 
ação sobre os objetos: explorando, manipulando, obser-
vando, amassando, jogando, etc.; CONHECIMENTO 
LÓGICO-MATEMÁTICO - a fonte está no próprio 
pensamento do indivíduo; é uma fonte interna. Implica 
na relação entre os objetos. Relações precisam ser cria-
das por cada pessoa porque ideias como “diferente”, 
“maior” ou “dois” não existem no meio externo, não 
232
é observável. Para que a criança possa construir este 
conhecimento, é necessário estabelecer relação entre 
vários objetos; CONHECIMENTO SOCIAL (CON-
VENCIONAL) - a fonte deste conhecimento é parcial-
mente externa ao indivíduo; está centrado nas normas 
sociais, nas convenções desenvolvidas pelas pessoas 
(ex.: despedir-se quando parte; agradecer, após receber 
um favor...). A principal característica do conhecimento 
social é sua natureza geralmente arbitrária. A criança 
adquire este conhecimento através da transmissão so-
cial; são valores, normas sociais, regras, etc.
UNIDADE 2
1. A partir dos estudos e descobertas de Jean Piaget e 
colaboradores a respeito de como a criança pensa, sabe-
-se que o conceito de número não pode ser transmitido. 
Este conceito é construído pelo próprio indivíduo, atra-
vés de um processo que envolve o seu amadurecimento 
biológico, as experiências vividas e as informações que 
recebe do meio. Mas esta construção é lenta, partindo 
do processo de contagem direta, que abrange os nú-
meros naturais até o processo de medidas. Para que 
a construção do pensamento lógico-matemático seja 
consolidada, a criança deve relacionar a abstração empí-
rica com a abstração reflexiva distinguindo as partes do 
233
todo, deste modo construir o conhecimento físico para 
possibilitar a elaboração do conhecimento matemático. 
O conhecimento lógico-matemático não é inato, porém 
é construído por meio do contato social. Os conceitos 
numéricossão construídos pelas crianças por meio da 
abstração reflexiva à medida que atuam, mentalmente, 
sobre os objetos. 
2. Para que esses processos se desenvolvam é necessário 
conduzirmos a aprendizagem do conceito de número 
desenvolvendo as habilidades de simbolização, classifi-
cação, ordenação, seriação, correspondência e conser-
vação de quantidade.
3. Para a criança construir o conceito de número, deverá 
fazer a síntese entre dois tipos de relações que a crian-
ça elabora entre os objetos, por abstração reflexiva: or-
dem e inclusão hierárquica de classes; é necessário que 
adquira a noção de quantidade. Colocar os objetos em 
ordem implica em ordenar mentalmente os mesmos: 
cada objeto só será contado apenas uma vez e todos os 
objetos deverão ser incluídos na contagem. Para a crian-
ça quantificar numericamente uma coleção de objetos, 
tem de colocá-los numa relação de inclusão hierárquica. 
A inclusão hierárquica de classes significa que cada obje-
to contado inclui o objeto que o precede, na proporção 
“mais” 1. Por exemplo, quando a criança conta 5 objetos, 
234
ela vai incluindo mentalmente: 1 em 2; 2 em 3; 3 em 4; 
4 em 5. Diante de cinco objetos, pode quantificar nume-
ricamente a coleção somente se puder colocar todos os 
objetos em uma única relação, sintetizando assim, ordem 
e inclusão hierárquica. Piaget explica a obtenção da es-
trutura hierárquica da inclusão de classes pela mobilidade 
crescente do pensamento da criança. Por este motivo, 
passa a ser imperioso que as crianças possam colocar 
todos os tipos de conteúdos (objetos, eventos e ações) 
dentro de todos os tipos de relações (grifo nosso). Kamii 
(1990, p.15) afirma que a criança progride na construção 
do conhecimento lógico-matemático pela coordenação 
das relações simples que anteriormente ela criou entre os 
objetos. O conhecimento lógico-matemático consiste na 
coordenação de relações.
4. Para Constance Kamii, pedir para a criança contar 
objetos não é a melhor maneira de ajudá-las a quan-
tificar objetos. O ideal seria pedir-lhe que compare 
dois conjuntos. Esta opção é melhor porque comparar 
conjuntos é uma atividade passiva, sem contar que só 
existem três respostas: os dois têm o mesmo número 
de elementos, o primeiro tem mais que o segundo ou 
o segundo tem mais que o primeiro. Quando a crian-
ça tem de fazer um conjunto, vai pegando mais um 
até decidir quando parar. Esta espécie de decisão tem 
maior valor educacional porque deve começar em zero 
235
e decidir exatamente quando interromper a ação de adi-
cionar mais um. Por ex.: O professor pede à criança 
que traga apenas copos suficientes para todos que estão 
sentados à mesa. Desaconselha-se o uso de cadernos 
de exercícios para explorar este princípio de ensino 
porque impedem toda e qualquer possibilidade de mo-
ver os objetos para fazer um conjunto. Kamii (1990, 
p.58) recomenda a adoção do jogo de baralho “Bata-
lha” em vez de cadernos de exercícios. As crianças não 
aprendem conceitos numéricos utilizando desenhos ou 
meramente pela manipulação de objetos. Os conceitos 
numéricos são construídos pela abstração reflexiva à 
medida que atuam, mentalmente, sobre os objetos. Ne-
cessário se faz lembrar que quando a criança distribuiu 
os guardanapos sobre os pratos, o importante não era 
a manipulação dos objetos, mas o raciocínio que utili-
zava enquanto tentava resolver o problema posto pela 
mãe. O professor precisa saber a diferença entre co-
locar um guardanapo sobre cada prato e decidir o que 
fazer quando se depara com o pensar sobre o número 
de guardanapos em relação ao de pratos.
5. Conclui Kamii, afirmando que um bom educador 
tem as características:
- está centrado na criança (preocupa-se com a dinâmica 
psicológica da criança e pensa no contexto socioafeti-
vo no qual cada um vive; é observador, está atento aos 
236
diferentes níveis de progresso da criança); - tem boas 
relações com as crianças (ajuda as crianças a utilizar as 
situações de dificuldades interpessoais para desenvolver 
a sua capacidade de resolver, sozinho, conflitos); - orga-
niza uma aula que (anda) progride sozinha.
UNIDADE 3
1. O número era importante para o controle de quantida-
de de animais, dos bens e para a confecção de calendário.
2. Pessoal.
3. Pessoal.
4. Pessoal.
5. Número: ideia de quantidade. Numeral: representa-
ção da ideia de quantidade (palavra, símbolos)
UNIDADE 4
1. Egocentrismo. Consiste na incapacidade de se co-
locar no ponto de vista de outrem. Na Teoria Episte-
mológica Genética de Piaget, “egocentrismo” não seca-
237
racteriza como um termo pejorativo, mas consiste em 
um modo peculiar do pensamento. De modo geral, as 
crianças pequenas, entre 4 a 5 anos de idade, não são 
capazes de aceitar o ponto de vista de outra pessoa no 
momento em que este difere do delas. Centralização. 
Normalmente, a criança consegue perceber apenas um 
dos aspectos de um objeto ou acontecimento; ela não 
relaciona entre si os diferentes aspectos ou dimensões 
de uma situação. Ela não leva em conta, simultanea-
mente, as duas dimensões do objeto.
2. Paralelo ao estágio do desenvolvimento intelectual 
denominado de sensório-motor há como equivalência 
a anomia, enquanto estágio de desenvolvimento mo-
ral. Na mesma direção, encontra-se a inteligência pré-
-operatória que equivale à heteronomia, culminando ao 
desenvolvimento intelectual operatório, que estabelece 
correspondência direta à autonomia no estágio de de-
senvolvimento moral. Heteronomia: é a fase do desen-
volvimento moral que se caracteriza pelo surgimento 
do respeito às regras ditadas por aqueles que têm au-
toridade na relação com a criança. Enquanto heterô-
nomas, as crianças dependem das decisões dos adultos 
sobre como devem ou não se conduzir. Para elas, o 
julgamento de uma conduta como “certa” ou “errada” 
está subordinado ao que acreditam que o adulto julga-
ria melhor ou pior. Pela falta da lógica das relações de 
pensamento, não conseguem raciocinar em função das 
causas – intenções boas ou más de uma conduta e sim 
seus efeitos aparentes. A heteronomia é sinônimo de 
moral da obediência. A essência da autonomia consiste 
na possibilidade de tornar as crianças aptas a tomar de-
cisões por si mesmas. No âmbito intelectual, autonomia 
significa também autogoverno, assim como heterono-
mia significa ser governado por outrem. 
3. Em decorrência, cabe à escola encorajar as crianças 
a pensar de maneira autônoma, uma vez que as crian-
ças que são desencorajadas assim de pensar autono-
mamente construirão menos conhecimentos do que 
aquelas que são mentalmente ativas e autoconfiantes. 
Piaget recomenda a autonomia como finalidade da 
educação, haja vista os benefícios que poderão advir 
para os alunos.
4. Para favorecer a autonomia, a escola precisa: Respei-
tar e aproveitar as relações de cooperação que nascem 
espontaneamente das relações entre os alunos. Neste 
contexto, os professores deverão estimular tais relações, 
encorajando-as a resolverem problemas por si mesmas 
e a desenvolverem a autonomia; promover a interação 
social nas salas de aula e em todo e qualquer ambiente, 
encorajando o questionamento e o exame de qualquer 
problema que possa ser levantado pelo aluno; envol-
238
ver os alunos nas discussões de problemas morais. No 
momento que ouvem os argumentos de seus colegas 
podem vivenciar a desequilibração cognitiva, podendo 
fazer com que reorganize os seus conceitos. Sabe-se 
que o conflito cognitivo torna-se necessário à reestru-
turação do raciocínio, contribuindo para o desenvolvi-
mento mental; promover o respeito mútuo ativo entre 
os alunos. Os professores autoritários deverão ceder 
lugar para os professores predominantemente cola-
boradores. Considerando que as crianças constroem o 
conhecimento e o julgamento moral a partir de suas 
ações no meio ambiente, é salutar lembrar que cabe ao 
professor estimular tais ações.
5. O limite a ser imposto, é “... um tipo bem específico 
de limite que a criança precisa construir e aprender a 
defender: