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Geometria Analítica – Exercícios Complementares - Gabarito 
 
1. O que é Geometria Analítica? 
Resposta: Um ramo da matemática destinado à resolução de problemas geométricos por meio da álgebra. 
 
2. Atualmente, onde a Geometria Analítica pode ser utilizada? 
Resposta: A geometria é um ramo da matemática que está presente no nosso cotidiano de uma forma tão natural 
que muitas vezes não percebemos essa proximidade. Mas basta pararmos um pouco e olharmos ou tocarmos 
objetos que estão ao nosso redor. A superfície da mesa equivale a uma parte de um plano. Os cantos das paredes 
são segmentos de retas. A borda de um copo tradicional é uma circunferência, uma moeda é um círculo. Armários, 
pratos, garrafas, antenas parabólicas, portas, janelas, casas, prédios... a quantidade de elementos geométricos 
existentes é extremamente grande. Mas a geometria não está presente apenas em objetos reais. No mundo virtual 
essa presença é muito evidente também. A tela de um computador, celular ou tablet tem um formato retangular. 
Cada ponto dessa tela está localizado em uma determinada coordenada do tipo (x, y) que define qual é a distância 
na horizontal e na vertical desses pontos em relação ao canto superior esquerdo da tela. Muitos elementos que 
aparecem na tela de um desses dispositivos são entidades geométricas. Os aparelhos de televisão também possuem 
um formato retangular e os conteúdos transmitidos também são baseados em geometria. E, nesses últimos anos, a 
computação gráfica que também é baseada em geometria está tomando cada vez mais proporções enormes. 
 
3. O que são grandezas escalares? 
Resposta: São grandezas descritas apenas por valores numéricos, tais como comprimento e temperatura. 
 
4. O que são grandezas vetoriais? 
Resposta: São grandezas que além de um valor numérico, precisam de uma direção e de um sentido para estarem 
definidas corretamente. Por exemplo, campo magnético, velocidade e força são grandezas vetoriais. 
 
5. Represente graficamente os vetores 
a) u=(4, 2) 
b) v=(2, -5) 
c) w=(-4, 6) 
d) z=(-2, -5) 
Resposta: 
 
 
6. Considere o vetor v=(7, 5). Qual é o módulo de v? 
Resposta: 8,602 
 
7. Calcule o módulo do vetor v=(2, 7, -5). 
Resposta: 8,83 
 
8. Determine a inclinação do vetor v=(10, 4). 
Resposta: 21,801° 
 
9. Uma rampa de acesso tem uma altura de 2 metros e o comprimento da base dessa rampa é igual a 12 metros. Qual 
é o comprimento da rampa e a sua inclinação? 
Resposta: Comprimento: 12,17 metros; Inclinação: 9,46° 
 
10. Uma aeronave, ao decolar, tem velocidade horizontal igual a 120 km/h e velocidade vertical igual a 80 km/h. Qual 
é a velocidade escalar da aeronave e qual o respectivo ângulo de subida? 
Resposta: Velocidade escalar: 144,22 km/h; Ângulo de subida: 33,69° 
 
11. Uma embarcação atravessa, a uma velocidade de 30 km/h, um rio bastante largo e extenso. Essa embarcação está 
submetida a uma correnteza de 15 km/h perpendicular à sua trajetória. Nessas circunstâncias, qual é a velocidade 
escalar V dessa embarcação? 
Resposta: 33,54 km/h 
 
12. Uma empresa possui um painel solar que está apoiado em uma viga de 3 metros de altura e apoiado também no 
solo. Sabe-se que a distância entre o ponto onde o painel está apoiado no solo e a viga é de 7 metros. Qual é a 
inclinação desse painel? 
Resposta: 23,19859° 
 
13. Qual é a distância entre o ponto A(3, 1, 6) e o ponto B(1, 6, 0) que corresponde ao comprimento da diagonal do 
cubo a seguir? 
 
Resposta: d=8,06 
 
14. O AutoCAD é um poderoso software que permite a construção e o estudo de elementos geométricos 
bidimensionais e tridimensionais. A sua versão completa pode ser utilizada para fins educacionais gratuitamente por 
três anos. A linha abaixo feita no AutoCAD tem 85 unidades de comprimento e forma um ângulo de 30° com a 
horizontal. 
 
Sabendo que a componente horizontal é o cateto adjacente ao ângulo que a reta forma com a horizontal e a 
componente vertical é o cateto oposto a esse ângulo, quais são as medidas das respectivas componentes horizontais 
e verticais dessa linha? 
Resposta: x=73,61 e y=42,5 
 
15. Localize, por meio de coordenadas polares, um objeto que em um sistema cartesiano está localizado no ponto de 
coordenadas P(120, 200). 
Resposta: P(233,24; 59,04°) 
 
16. Qual é o vetor resultante da multiplicação do escalar 3 pelo vetor v=(4, -3, 6)? 
Resposta: 3v=(12, -9, 18) 
 
17. O vetor w=(1, 7, 12, 4, 2) contém os preços, em dólares, de algumas mercadorias. Sabendo que 
cada dólar equivale a 5 reais, obtenha o vetor que contém os preços em reais dessas mercadorias. 
Resposta: 5w=(5, 35, 60, 20, 10) 
 
18. Considerando os vetores u=(2, 3) e v=(-5, 7), calcule 
a) u+v 
b) 5u+2v 
c) –u+v 
d) u-v 
e) -2u+3v 
Resposta: 
a) u+v=(-3, 10) 
b) 5u+2v=(0, 29) 
c) –u+v=(-7, 4) 
d) u-v=(7, -4) 
e) -2u+3v=(-19, 15) 
 
19. Calcule u.v quando 
a) u=(-2, 4) e v=(6, 1) 
b) u=(3, 5) e v=(2, -3) 
c) u=(4, 1, 2) e v=(1, 0, -2) 
d) u=(2, 3, 5, 1) e v=(0, 2, 1, -6) 
Resposta: 
a) u.v=-8 
b) u.v=-9 
c) u.v=0 
d) u.v=5 
 
20. Um estudante obteve nota 100 na prova objetiva, nota 90 na prova discursiva e nota 92 em uma atividade prática. 
Sabendo que os pesos dessas avaliações correspondem, respectivamente, a 40%, 40% e 20%, utilize o vetor u para 
armazenar as notas, o vetor v para armazenar os pesos de cada avaliação produto escalar u.v para calcular a respectiva 
média ponderada. 
Resposta: u.v=94,4 
 
21. Dados u=(1, 4, 2) e v=(7, 1, 3), calcule uXv. 
Resposta: uXv=(10, 11, -27) 
 
22. Considerando os vetores u=(4, 1, 2) e v=(1, 0, -2), calcule uXv. 
Resposta: uXv=(-2, 10, -1) 
 
23. Sabendo que u=(1, 3, -4) e v=(7, 2, 5), calcule 
a) u.v 
b) uXv 
Resposta: 
a) u.v=-7 
b) uXv=(23, -33, -19) 
 
24. Qual é o ângulo formado pelos vetores u=(3, -7) e v=(4, 2)? 
Resposta: 93,37° 
 
25. Calcule o ângulo formado pelos vetores u=(2, 1, 3) e v=(4, 4, 1). 
Resposta: 45,74° 
 
26. Escreva a equação vetorial e as equações paramétricas da reta r que passa por A(1, 2) e tem direção de v=(4, 1). 
Faça a representação gráfica. 
Resposta: 
Equação vetorial: 
r:(1, 2)+t(4, 1), tR 
Equações paramétricas: 
x=1+4t 
y=2+t 
tR 
 
 
27. Qual é a equação vetorial da reta t que passa pelos pontos A(3, 7) e B(5, 11). 
Resposta: r:(3, 7)+t(2, 4), tR 
 
28. Quais são as equações paramétricas da reta r que passa por A(3, 7) e B(5, 11)? 
Resposta: 
x=3+2t 
y=7+4t 
tR 
 
29. Escreva a equação vetorial e as equações paramétricas da reta r que passa por A(2, 6) e B(-3, 1). 
Resposta: 
Equação vetorial: 
r:(2, 6)+t(-5, -5), tR 
 
Equações paramétricas: 
x=2-5t 
y=6-5t 
tR 
 
31. Determine a equação vetorial e as equações paramétricas da reta r que passa pelos pontos A(-3, 2, 1) e B(4, 7, -4). 
Resposta: 
Equação vetorial: 
r:(-3, 2, 1)+t(7, 5, -5), tR 
 
Equações paramétricas: 
x=-3+7t 
y=2+5t 
z=1-5t 
tR 
 
31. Um desenvolvedor de games precisa da equação da reta para poder fazer a trajetória, representada em vermelho, 
da aeronave que tem uma inclinação de 80° em relação à horizontal e está, inicialmente, no ponto A de coordenadas 
(500, 200), conforme a figura a seguir. 
 
Escreva a equação vetorial, as equações paramétricas, as equações simétricas e a equação reduzida da reta que 
descreve a trajetória da aeronave. Considere tan(80°)=5,67. 
Resposta: 
Equação vetorial: 
r:(500, 200)+t(100, 567), tR 
 
Equações paramétricas: 
x=500+100t 
y=200+567t 
tR 
 
Equações simétricas: 
567
200
100
500 

 yx
 
 
Equação reduzida: 
y=5,67x-2635 
 
32. Escreva a equação vetorial da reta r que passa por A(2, 11, -2) e é ortogonal às retas s:(3, 1, 1)+t(4, 2, 2) e w:(5, 7, 
2)+t(-2, 1, 6). 
Resposta: 
Vetores diretores das retas s e w: 
u1=(4, 2, 2) 
u2=(-2, 1, 6) 
 
Vetor diretor da reta r: 
v=u1Xu2 
v=(10, -28, 8) 
 
Equação vetorial: 
r:(2, 11, -2)+t(10, -28, 8), tR 
 
33. Dados A(1, 5) e B(4, 3), escreva a equação reduzida da reta que passapor A e B. 
Resposta: y=-0,67x+5,67 
 
34. Qual é a equação reduzida da reta que passa por A(0, 0) e B(5, 2)? 
Resposta: y=0,4x 
 
35. Escreva a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(-2, 3) e B(4, 6). 
Resposta: y=0,5x+4 
 
36. Uma loja de artigos esportivos vendeu em um mês 420 bolas de basquete e teve um lucro de R$ 5.200,00. No mês 
seguinte vendeu 500 bolas e lucrou R$ 7.300,00. Qual é a equação da reta que relaciona a quantidade vendida com o 
lucro mensal? Qual é o lucro para a venda de 550 bolas de basquete? 
Resposta: y=26,25x-5825; Lucro para a venda de 550 bolas: R$ 8.612,50 
 
37. Qual é o ângulo formado pelas retas r1 e r2 de equações 





ty
tx
r
52
31
:1 e 





ty
tx
r
25
63
:2 ? 
 
Resposta: 40,6° 
 
38. Determine o ângulo entre as retas r1 e r2 de equações 








tz
ty
tx
r
32
41
23
:1 e 








tz
ty
tx
r
4
52
31
:2 
 
Resposta: 43,79° 
 
39. Triângulos são elementos primitivos fundamentais para muitas aplicações da computação gráfica e 
as respectivas coordenadas baricêntricas constituem um importante elemento do triângulo, o baricentro. 
Obtenha as coordenadas do baricentro G de um triângulo com vértices nos pontos A(3, 3), B(5, 10) e C(7, 2). 
Resposta: G(5, 5) 
 
40. Considere as retas g e h definidas pelas equações vetoriais 
g=(1, 9, 6)+t.(3, -2, 4) e h=(0, 3, -5)+t.(-6, 4, -8). 
Mostre que g e h são paralelas. 
Resposta: 0°, logo g e h são paralelas 
 
 
41. Escreva a equação geral do plano que passa pelo ponto A(5, 3, -4) e tem vetor normal n=(-6, 3, 11). 
Resposta: -6x+3y+11z+65=0 
 
42. Qual é a equação geral do plano  que passa pelos pontos A(4, -5, 2), B(0, 3, 2) e C(6, 6, 9). 
Resposta: 56x+28y-60z+36=0 
 
43. Escreva a equação vetorial e as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A(3, 6, -6) e é paralelo aos 
vetores u=(15, 10, 11) e v=(5, 7, 10). 
Resposta: 
Equação Vetorial: 
(3, 6 -6)+t1(15, 10, 11)+t2(5, 7, 10) 
Equações Paramétricas: 
x=3+15t1+5t2 
y=6+10t1+7t2 
z=-6+11t1+10t2 
 
44. Calcule o ângulo  formado pelos planos :4x-2y+3z-1=0 e :2x+y-6z+17=0. 
Resposta: 69,63°