exercicios exemplos engenharia de qualidade

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PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
Prof. Ademir Oliveira Santos, Me.
Unidade 2 – Processos de renovação e 
processos estocásticos.
Dada a importância da análise de processos estocásticos, nós continuaremos
nossa abordagem probabilística com o estudo dos processos de renovação, as
probabilidades de transição e os processos de Bernoulli e de Poisson.
Esses conceitos serão muito úteis na sua vida profissional, pois envolvem
diretamente a confiabilidade de sistemas, sistemas reparáveis e não
reparáveis, tempo de falhas, entre outros.
O processo de Poisson, por exemplo, pode ser empregado na modelagem de
clientes que chegam em uma fila ou na retirada de mercadorias de um
estoque.
Logo, inicialmente, vamos ver o teorema da renovação, bem como suas
propriedades e aplicações.
Assim, suponha que você está trabalhando no departamento de manutenção e
garantia de uma empresa de componentes eletrônicos e é responsável pela
análise da reposição das peças que apresentaram falha e que devem ser
substituídas. A vida útil dos componentes deve ser maior do que a garantia
fornecida pelo fabricante, para que o número de reposições esteja dentro de
um valor aceitável pela política de qualidade da empresa.
A empresa quer ampliar o prazo de garantia dos seus produtos, sendo que
atualmente é atendido apenas o prazo legal. Essa medida trará mais confiança
e visibilidade para a marca perante os concorrentes e, nesse contexto, você foi
questionado sobre a adequação do tempo de garantia. Como você poderia
auxiliar a empresa com essa questão?
Após a definição do tempo de garantia, que foi definido como sendo um
instante de tempo máximo, os gerentes questionaram sobre qual a
probabilidade de ocorrência de componentes que falharam no período de
garantia (até o final do período). De que maneira você poderia demonstrar
isso?
Quando um componente em garantia com defeito é substituído, um novo
prazo é concedido ao cliente, no caso do novo produto apresentar falha.
Conforme solicitado pelos gerentes, qual é a probabilidade do novo produto
apresentar falha e por meio de qual processo você poderia fazer essa
estimativa?
Confiabilidade
A cada dia, dependemos mais de máquinas, que, mesmo sofisticadas, também
apresentam falhas ou mesmo quebram, deixando de operar.
São computadores que “conversam” com outros computadores,
equipamentos compostos de milhares de componentes interagindo entre si,
que, por sua vez, estão interligados a outros equipamentos, e assim por
diante.
Em muitos casos, nossa segurança, e por que não dizer nossas vidas, estão na
dependência de um simples componente que, às vezes, pode custar menos de
R$ 10,00.
Confiabilidade
É necessário que tais equipamentos exerçam a função para a qual foram
projetados, e, na medida do possível, não apresentem falhas, ou, como
preferimos, sejam confiáveis, pelo menos durante certo período de tempo
previamente especificado.
A procura de formas de projetos, construção e operação de sistemas que não
apresentem falhas, ou que as tenham de forma previsível, levou-nos a
desenvolver os conceitos de confiabilidade.
Confiabilidade
Confiabilidade é a probabilidade de que um sistema (equipamento,
componente, peça, software, pessoa) dê como resposta aquilo que
dele se espera, durante certo período de tempo e sob certas
condições.
Quando entramos em nosso carro e damos a partida, esperamos que ele
pegue; quanto mais vezes isso ocorrer, em relação ao número de tentativas,
mais confiável ele sera ́ (referimo-nos somente à partida).
Assim, se em mil vezes que damos a partida em nosso carro ele pega 995,
dizemos que sua confiabilidade é de 0,995, ou 99,5%.
Confiabilidade
É fácil perceber que existe uma estreita relação entre qualidade e
confiabilidade.
Aliás, esta é uma das várias dimensões daquela, e sua procura tem levado a
produtos de qualidade cada vez maior.
A fabricação de produtos críticos, isto é, aqueles que direta ou indiretamente
possam colocar em risco a segurança de pessoas e instalações, é cada vez mais
rigorosa, sempre procurando aumentar sua confiabilidade.
Confiabilidade
Outro conceito também utilizado e intimamente ligado ao de confiabilidade é
o de razão de falha 𝑭𝑹 , isto é, a probabilidade de que um sistema
(equipamento, componente, peça ou pessoa) não dê como resposta o que
dele se espera.
Seria, em nosso exemplo, o carro não pegar.
Sua razão de falha seria de 5 falhas em 1.000 tentativas, ou seja, 5/1.000 =
0,50%.
Confiabilidade
Outro conceito também utilizado e intimamente ligado ao de confiabilidade é
o de razão de falha 𝑭𝑹 , isto é, a probabilidade de que um sistema
(equipamento, componente, peça ou pessoa) não dê como resposta o que
dele se espera.
Do acima exposto, decorre a seguinte relação lógica:
𝑹𝒕 + 𝑭𝑹𝒕 = 𝟏
em que:
𝑹𝒕 = confiabilidade do sistema no intervalo de tempo 𝒕;
𝑭𝑹𝒕 = razão de falha do sistema no mesmo intervalo 𝒕.
Confiabilidade
em que:
𝑻𝑻𝑫 = tempo total disponível;
𝑻𝑵𝑶 = tempo não operacional;
𝑭 = número de falhas no tempo total disponível.
Razão de falha é usualmente definida de duas maneiras:
𝐅𝐑 % =
𝐍ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐝𝐞 𝐟𝐚𝐥𝐡𝐚𝐬 𝐨𝐜𝐨𝐫𝐫𝐢𝐝𝐚𝐬
𝐍ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐝𝐞 𝐭𝐞𝐧𝐭𝐚𝐭𝐢𝐯𝐚𝐬 𝐞𝐟𝐞𝐭𝐮𝐚𝐝𝐚𝐬
𝐅𝐑 𝐧 =
𝐍ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐝𝐞 𝐟𝐚𝐥𝐡𝐚𝐬 𝐨𝐜𝐨𝐫𝐫𝐢𝐝𝐚𝐬
𝐍ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐝𝐞 𝐡𝐨𝐫𝐚𝐬 𝐝𝐞 𝐨𝐩𝐞𝐫𝐚çã𝐨
=
𝐅
𝐓𝐓𝐃 − 𝐓𝐍𝐎
Exemplo 1. A fábrica de móveis Alvorada tem, entre seus equipamentos de uso diário,
uma serra circular, considerada um equipamento crítico em seu processo produtivo.
Quando ela quebra ou apresenta defeitos, gasta-se, em média, um dia para o reparo.
Em um dado ano, a fábrica operou 255 dias, e a serra (em condições normais, ligada
duas vezes por dia — às 7h00 e às 13h00) apresentou defeitos cinco vezes. Determine a
confiabilidade e a razão de falhas da serra no ano.
Solução:
Número de tentativas de ligar a máquina = 𝟐𝟓𝟓 × 𝟐 = 𝟓𝟏𝟎.
(Hipótese: se a serra apresentar defeito no período da manhã, so ́ sera ́ ligada
novamente no período da tarde do dia seguinte.)
𝐅𝐑 % =
𝟓
𝟓𝟏𝟎
= 𝟎, 𝟎𝟎𝟗𝟖 ou 0,98% 𝐑 = 𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟎𝟗𝟖 = 𝟎, 𝟗𝟗𝟎𝟐 ou 99,02%
Cálculo da Razão de falhas: Cálculo da Confiabilidade:
Exemplo 1. A fábrica de móveis Alvorada tem, entre seus equipamentos de uso diário,
uma serra circular, considerada um equipamento crítico em seu processo produtivo.
Quando ela quebra ou apresenta defeitos, gasta-se, em média, um dia para o reparo.
Em um dado ano, a fábrica operou 255 dias, e a serra (em condições normais, ligada
duas vezes por dia — às 7h00 e às 13h00) apresentou defeitos cinco vezes. Determine a
confiabilidade e a razão de falhas da serra no ano.
Solução:
Se a empresa trabalha 8 horas/dia, teremos:
𝑻𝑻𝑫 = 𝟐𝟓𝟓 × 𝟖 = 𝟐. 𝟎𝟒𝟎 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔
𝑻𝑵𝑶 = 𝟓 × 𝟖 = 𝟒𝟎 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔
𝐅𝐑 𝒏 =
𝟓 𝒇𝒂𝒍𝒉𝒂𝒔
𝟐. 𝟎𝟒𝟎 − 𝟒𝟎
= 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟓 falhas/hora=
𝟓
𝟐. 𝟎𝟎𝟎
Tempo médio entre falhas
Outro parâmetro muito usual nos estudos de confiabilidade é o 𝐓𝐌𝐄𝐅, ou tempo
médio entre falhas.
Quando a razão de falhas é constante, o 𝐓𝐌𝐄𝐅 é dado pela seguinte expressão:
𝐓𝐌𝐄𝐅 =
𝟏
𝐅𝐑𝐧
No exemplo anterior, o 𝐓𝐌𝐄𝐅 é:
𝐓𝐌𝐄𝐅 =
𝟏
𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟓
= 𝟒𝟎𝟎 horas ou 50 dias
Exemplo 2. Um torno CNC altamente confiável opera em dois turnos de 8 horas/dia,
durante 250 dias por ano. Nos manuais que acompanharam sua documentação, consta
uma afirmação de que a confiabilidade, levantada em estudos efetuados em
equipamentos semelhantes, é de 0,9994. Qual é o 𝐓𝐌𝐄𝐅 do equipamento?
Solução:
𝐓𝐌𝐄𝐅 =
𝟏
𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟔
= 𝟏, 𝟔𝟔𝟕
= 𝟏 − 𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟒𝑭𝑹% = 𝟏 − 𝑹 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟔
Isso significa que o torno apresenta defeito, em média, após ser ligado, 1.667 vezes. Se,
por hipótese, ele for ligado 4 vezes por dia útil, apresentará, em média, um defeito a
cada 417 dias, ou 1 ano e 8 meses.
O 𝐓𝐌𝐄𝐅 é também dado por: 𝐓𝐌𝐄𝐅 =𝐓𝐓𝐃 − 𝐓𝐍𝐎
𝐅
Lei das falhas
 Basicamente, as falhas de um equipamento ou componente podem decorrer do
uso ou ser aleatórias.
 Todos os componentes se deterioram com o uso; por exemplo, rolamentos,
mancais e engrenagens.
 É de se esperar que, após certo tempo de uso, mesmo nas condições
especificadas, as falhas comecem a surgir.
 Falhas aleatórias são derivadas do acaso, como um pneu furado, a quebra de um
componente mecânico ou eletrônico.
 A Figura a seguir apresenta um típico gráfico do número de falhas ocorridas em
função do tempo.
Falhas em função do tempo
Lei das falhas
Observamos três fases distintas no gráfico da Figura.
A primeira é a função de falha decorrente da partida ou início de operação. É
comum ouvirmos que um automóvel novo, quando tem de apresentar defeitos, sera ́
logo de início, isto é, nos primeiros dias de uso. Esta, a primeira fase, é em geral
descrita pela distribuição de Weilbull, com 𝐛 < 𝟏.
A segunda é caracterizada por baixo número de falhas; é a fase mais útil do
equipamento. A distribuição exponencial, desde que haja um aumento da 𝐅𝐑 ao
longo do tempo, pode ser usada para descrevê-la.
A terceira e última fase é aquela em que as falhas ocorrem basicamente em razão do
desgaste, decorrente do uso continuado. É descrita pela distribuição normal.
Lei das falhas
Como em certas condições as falhas ocorrem aleatoriamente, a distribuição
exponencial é a mais utilizada para descrever o processo, embora haja modelos que
empregam as distribuições normal, Weilbull, gama, bem como outras distribuições
discretas.
Assim, a confiabilidade de um componente é dada em função de seu 𝐓𝐌𝐄𝐅 pela
expressão:
𝑹 = 𝒆−
𝒕
𝑻𝑴𝑬𝑭
em que:
𝐑 = confiabilidade ou probabilidade de não apresentar falha até o instante 𝒕.
Exemplo 3. Uma furadeira radial tem 𝐓𝐌𝐄𝐅 de 1.500 horas. Qual é sua confiabilidade
em um período de 1.000 horas de operação? E em 2.000 horas?
Solução:
= 𝟎, 𝟓𝟏𝟑𝟒 𝒐𝒖 𝟓𝟏, 𝟑𝟒%𝑹 = 𝒆−
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟓𝟎𝟎 = 𝒆−𝟎,𝟔𝟔𝟕
= 𝟎, 𝟐𝟔𝟑𝟔 𝒐𝒖 𝟐𝟔, 𝟑𝟔%𝑹 = 𝒆−
𝟐𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟓𝟎𝟎 = 𝒆−𝟏,𝟑𝟑𝟑
Processo de renovação
 Com certeza, você já deve ter se deparado com a seguinte situação: você
estava na sua casa e uma lâmpada, ou a resistência do chuveiro, queimou.
 Nesses casos, é comum que façamos um reparo para que o nosso
equipamento possa retornar à sua condição de operação, após a ocorrência de
uma falha.
 De modo genérico, quando estudamos os processos de renovação, dizemos
que, no caso de uma falha, ocorre a substituição do item com falha por um
equivalente, sendo que o nosso sistema retornará para a condição operacional
que tinha quando estava novo.
Processo de renovação
 A esse modo denominamos “reparação perfeita”, uma vez que o sistema
voltou ao estado de novo.
 Então, caso você substitua a lâmpada, ou a resistência do chuveiro, o seu
sistema, que se refere, respectivamente, ao lustre e ao chuveiro, retornaria
para uma condição operacional tão boa quanto a de um sistema novo,
executando todas as funções para as quais foi designado.
 Isso também ocorre em equipamentos e sistemas industriais, e a essa classe
de sistemas daremos o nome de Sistemas Reparáveis.
Processo de renovação
 Perceba que a lâmpada, por exemplo, é um componente não reparável;
contudo, o lustre é um sistema reparável, isto é, que pode ser reparado e
voltar ao seu pleno estado de funcionamento.
 Vale ressaltar que é mais comum a ocorrência de reparação perfeita em
sistemas não reparáveis, de modo que quando o sistema apresenta falha ele é,
então, substituído por um sistema novo.
Processo de renovação
 Conceitualmente, o que define os tempos para ocorrência de falhas em
sistemas não reparáveis é a distribuição de probabilidade de uma única
variável aleatória.
 Assim, entende-se que esses sistemas apresentam uma única falha no tempo,
de modo que, quando ele falha, deve ser descartado ou substituído por um
novo.
 Diferentemente, em sistemas reparáveis, temos que as falhas ocorrem em
diversos pontos no tempo, tratando-se de um sistema que, ao falhar, é
colocado em operação novamente através de procedimento que não seja sua
plena substituição.
Processo de renovação
 No tocante à confiabilidade, a classe de processo estocástico mais utilizada na
modelagem de sistemas reparáveis é o Processo de Renovação.
 Os processos de renovação são uma classe de processos estocásticos
caracterizados por tempos entre as falhas i.i.d (do inglês independente and
identically distributed).
 Isso quer dizer que o tempo de ocorrência entre as falhas é independente e
identicamente distribuídos.
 Portanto, os sistemas que se comportam como processos de renovação não têm
memória, uma vez o histórico das intervenções e o tempo de funcionamento
antes do reparo não influenciam na ocorrência de novas intervenções.
Pesquise mais!!!
Que tal verificarmos um exemplo de aplicação de modelagem de sistemas reparáveis utilizando
os Processos de Renovação?
Na dissertação “Um modelo integrado de inferência bayesiana e processos markovianos para
análise de sistemas reparáveis sujeitos a reparo imperfeito via processo de renovação
generalizado”, de Sérgio Parente Vieira da Rocha, é feita uma modelagem numa válvula de
controle de pressão situada em estações de redução de pressão de gás natural, sendo sujeita a
manutenções.
Leia da página 61 até a 66 para se familiarizar com outras aplicações!
ROCHA, S. P. V. da. Um modelo integrado de inferência bayesiana e processos markovianos
para análise de sistemas reparáveis sujeitos a reparo imperfeito via processo de renovação
generalizado. 2006. 105 f. Dissertação (Mestrado) – Programa de Pós-Graduação em
Engenharia de Produção. Universidade Federal de Pernambuco, Recife, 2006.
Disponível em: <https://repositorio.ufpe.br/bitstream/123456789/5751/1/arquivo7328_1.pdf>.
Acesso em: 3 set. 2019.
https://repositorio.ufpe.br/bitstream/123456789/5751/1/arquivo7328_1.pdf