6_2_Gaia

Prévia do material em texto

6.2. Gaia
Integrazioa:
Jatorrizko funtzioen kalkulua
Gogora ditzagun gai honen lehen zatian eman diren definizio batzuk.
Definizioa. Izan bedi f : D ⇢ R ! R. F f -ren jatorrizko funtzioa D multzoan dela
diogu baldin eta F 0(x) = f(x) bada x 2 D guztietarako.
Definizioa. f funtzioaren integral mugagabea f -ren jatorrizko funtzioek osatutzen
duten multzoa da eta
R
f edo
R
f(x)dx ikurren bidez adierazten da.
Z
f(x) dx = {F : D ⇢ R ! R : F 0(x) = f(x), 8x 2 D}.
F f -ren jatorrizko funtzio bat baldin bada, orduan F+k ere f -ren jatorrizko funtzioa
da, k 2 R edozein izanik, eta F eta G f -ren bi jatorrizko funtzio badira, orduan
existitzen da k 2 R non G = F + k den. Hau kontuan izanda, F baldin bada f -ren
jatorrizko funtzio bat, f -ren integral mugagabea honako modu honetan laburtuko
dugu Z
f(x) dx = F (x) + k.
Gogora dezagun ere integral mugatuen eta jatorrizko funtzioen arteko erlazioa.
Teorema 6.2.1 (Barrowen erregela). Izan bitez f funtzioa [a, b] tartean jarraitua
eta G funtzioa non G0(x) = f(x) den x 2 [a, b] guztietarako. Orduan
Z
b
a
f(x) dx = G(b)�G(a).
Beraz, Barrowen erregelaren bidez integral mugatuak ebaluatzeko modu sinple bat
dugu baina aplikatu ahal izateko, jatorrizko funtzioak topatzen jakin behar dugu.
Gai honen bigarren zati honen helburua jatorrizko funtzioen kalkulurako metodoak
topatzea izango da.
147
148 6.2. Integrazio-metodoak
6.2.1 Oinarrizko integral mugagabeak
Deribatuz, erraz ikusten da hurrengo berdintzak betetzen direla:
Z
x
↵
dx =
x
↵+1
↵+ 1
+ k,↵ 6= �1
Z
dx
x
= ln |x|+ k
Z
sinx dx = � cosx+ k
Z
cosx dx = sinx+ k
Z
dx
cos2 x
= tanx+ k
Z
dx
sin2 x
= � cotan x+ k
Z
e
x
dx = ex + k
Z
a
x
dx =
a
x
ln a
+ k
Z
dx
1 + x2
= arctanx+ k
Z
dx
a
2 + x2
=
1
a
arctan
x
a
+ k
Z
dxp
1� x2
= arcsinx+ k
Z
dxp
a
2 � x2
= arcsin
x
a
+ k
6.2.2 Oinarrizko integrazio-metodoak
Lehenengo eta behin aipatuko ditugu integral mugagabeen eragiketa algebraikoekiko
propietateak.
Teorema 6.2.2 (Integral mugagabeen oinarrizko propietateak). Izan bitez f, g alda-
gai errealeko funtzioak eta a 2 R.
(i)
Z
(f(x) + g(x)) dx =
Z
f(x) dx+
Z
g(x) dx.
(ii)
Z
af(x) dx = a
Z
f(x) dx.
Froga. Integral mugagabeen arteko berdintzak multzoen arteko berdintzak dira. De-
ribatuak berdinak direla frogatu behar dugu.
(i) Frogatu nahi dugu batura baten integrala integralen batura dela.
✓Z
(f(x) + g(x)) dx
◆0
= f(x) + g(x) =
✓Z
f(x) dx
◆0
+
✓Z
g(x) dx
◆0
=
✓Z
f(x) dx+
Z
g(x) dx
◆0
(ii) Orain, konstanteak integraletik atera daitezkela frogatu nahi dugu.
✓Z
af(x) dx
◆0
= af(x) = a
✓Z
f(x) dx
◆0
=
✓
a
Z
f(x) dx
◆0
6.2.2. Oinarrizko integrazio-metodoak 149
Oharra. Deribatuekin gertatzen den bezala, integralen kasuan ez da betetzen bider-
kadura baten integral mugagabea integral mugagabeen biderkadura denik, hau da,
orokorrean Z
f(x)g(x) dx 6=
Z
f(x) dx
Z
g)x) dx.
Jarraian ondorengo ataletan erabiliko diren oinarrizko bi integrazio-metodo emango
ditugu. Oinarrizko integral mugagabeak, aurreko teoreman aipatutako propietateak
eta hurrengo bi teoremetan ikusiko ditugun integrazio-metodoak izango dira gure
tresnak jatorrizkoak bilatzeko. Hala ere, ez da posible izango funtzio guztien jator-
rizkoak aurkitzea metodo hauen bidez.
Teorema 6.2.3 (Aldagai-aldaketazko integrazioa). Izan bitez f funtzio jarraitua, g
eta bere deribatua funtzio jarraituak eta demagun g-ren alderantzizko funtzioa exis-
titzen dela. Orduan Z
f(x) dx =
Z
f(g(t))g0(t) dt.
Froga. Ezkerreko gaia deribatzen badugu,
✓Z
f(x) dx
◆0
= f(x).
Beste aldetik, x = g(t) hartzen badugu, g-ren alderantzizko funtzioa existitzen denez,
t = g�1(x), eta alderantzizko funtzioaren deribatuaren adierazpena kontutan hartuz
dt
dx
=
1
g
0(g�1(x))
=
1
g
0(t)
.
Bigarren gaia deribatuko dugu orain, katearen erregela erabiliz
d
dx
✓Z
f(g(t))g0(t)dt
◆
=
d
dt
✓Z
f(g(t))g0(t)dt
◆
dt
dx
= f(g(t))g0(t)
1
g
0(t)
= f(g(t)) = f(x).
Beraz, teorema frogaturik geratzen da.
Oharra. Kasu batzuetan komenigarria da aldagai-aldaketa t = '(x) moduan adier-
aztea eta ez x = g(t) moduan. Horrela egiten badugu, kontutan hartu behar da
dt = '0(x)dx dela.
Adibideak.
Z p
sinx cosx dx =
2
3
(sinx)3/2 + k.
Z
x
1 + x2
dx =
1
2
ln
��1 + x2
��+ k.
150 6.2. Integrazio-metodoak
Teorema 6.2.4 (Zatikako integrazioa). Izan bitez f eta g funtzioak, haien deribat-
uak jarraituak izanik. Orduan
Z
f(x)g0(x) dx = f(x)g(x)�
Z
f
0(x)g(x) dx.
Froga. Bi funtzioren arteko biderkaduraren deribatua honela kalkulatzen da,
(f(x)g(x))0 = f 0(x)g(x) + f(x)g0(x) =) f(x)g0(x) = (f(x)g(x))0 � f 0(x)g(x).
Integratzen badugu berdintza hau lortzen da teoremaren emaitza.
Oharra. Normalean zatikako integrazioaren formula era honetan idazten da:
Z
u dv = uv �
Z
v du.
Integrazio metodo hau mota hauetako integraletan erabili ohi da:
Z
x
k sin ax dx;
Z
x
k cos ax dx;
Z
x
k
e
ax
dx;
Z
x
k lnx dx;
Z
x
k arcsin ax dx...
Adibideak.
Z
xe
x
dx = ex(x� 1) + k.
Z
e
x sinx dx =
e
x
2
(sinx� cosx) + k.
6.2.3 Funtzio arrazionalen integrazioa
Atal honetan polinomioen arteko zatidurak nola integratu ikusiko dugu. Ez da beti
posible izango funtzio arrazional baten jatorrizkoa topatzea. Jarraian azalduko den
metodoan eskatuko dugu izendatzailearen faktore sinpleetako deskonposizioan lhen
eta bigarren mailako polinomioen berreturak ager daitezela soilik .
Funtzio arrazional sinpleen integrazioa
Lehenengo eta behin, aztertuko dugu nola integratu funtzio arrazional sinpleenak.
Lau motatako funtzio arrazionalak aztertuko ditugu:
(I)
A
x� a , non a,A 2 R diren. Hauen integral mugagabea berehalakoa da:
Z
A
x� adx = A
Z
1
x� adx = A ln |x� a|+ k.
6.2.3. Funtzio arrazionalen integrazioa 151
(II)
A
(x� a)n , a,A 2 R eta n � 2 zenbaki arrunta izanik. Hau ere berehalakoa da.
Z
A
(x� a)ndx = A
Z
(x�a)�ndx = A(x� a)
�n+1
�n+ 1 +k =
A
(1� n)(x� a)n�1+k.
(III)
Ax+B
x
2 + px+ q
, A, B, p eta q zenbaki errealak eta x2 + px + q polinomioaren
erroak konplexuak izanik, hau da, p2 � 4q < 0.
Lehenik eta behin, konstanteak berrantolatzen dira izendatzailearen deribatua
zenbakitzailean ager dadin. Gero, karratu perfektu bat osatzen da izendatza-
ilean. Honela,
Z
Ax+B
x
2 + px+ q
dx =
Z A
2 (2x+ p) +
⇣
B � Ap2
⌘
x
2 + px+ q
dx
=
A
2
Z
2x+ p
x
2 + px+ q
dx+
✓
B � Ap
2
◆Z
dx
x
2 + px+ q
=
A
2
ln |x2 + px+ q|+
✓
B � Ap
2
◆Z
dx
�
x+ p2
�2
+
⇣
q � p24
⌘
=
A
2
ln |x2 + px+ q|+ 2B �App
4q � p2
arctan
2x+ pp
4q � p2
+ k.
Adibideak.
Z
3x� 1
x
2 + 2x+ 3
dx =
3
2
ln
��
x
2 + 2x+ 3
��� 2
p
2 arctan
x+ 1p
2
+ k.
Z
x+ 1
x
2 + x+ 1
dx =
1
2
ln
��
x
2 + x+ 1
��+ 1p
3
arctan
2x+ 1p
3
+ k.
(IV)
Ax+B
(x2 + px+ q)n
, A, B, p eta q zenbaki errealak, n � 2 zenbaki arrunta eta
x
2 + px+ q polinomioaren erroak konplexuak izanik.
Lehen bezala, zenbakitzailean izendatzailearen deribatua agerarazten da
Z
Ax+B
(x2 + px+ q)n
dx =
Z A
2 (2x+ p) +
⇣
B � Ap2
⌘
(x2 + px+ q)n
dx
=
A
2
Z
2x+ p
(x2 + px+ q)n
dx+
✓
B � Ap
2
◆Z
dx
(x2 + px+ q)n
.
Lehenengo integralean x2 + px+ q = t aldaketa eginez,
Z
2x+ p
(x2 + px+ q)n
dx =
Z
dt
t
n
=
t
�n+1
�n+ 1 + k =
1
(1� n)(x2 + px+ q)n�1 + k.
152 6.2. Integrazio-metodoak
Izenda dezagun bigarren integrala I
n
-ren bidez. Orduan, karratu perfektua
osatuz,
I
n
=
Z
dx
(x2 + px+ q)n
=
Z
dxh�
x+ p2
�2
+
⇣
q � p24
⌘i
n
=
Z
dt
(t2 +m2)n
=
1
m
2
Z
t
2 +m2 � t2
(t2 +m2)n
dt =
1
m
2
Z
dt
(t2 +m2)n�1
� 1
m
2
Z
t
2
(t2 +m2)n
dt,
non t = x+
p
2
eta m =
r
q � p
2
4
diren. Azken integralean zatikako integrazioa
aplikatuko dugu, u = t eta dv =
tdt
(t2 +m2)n
hartuz. Horrela,
Z
t
2
(t2 +m2)n
dt = � 1
2(n� 1)
✓
t
(t2 +m2)n�1
�
Z
dt
(t2 +m2)n�1
◆
.
Beraz,
I
n
=
1
m
2
Z
dt
(t2 +m2)n�1
+
1
m
2
1
2(n� 1)
✓
t
(t2 +m2)n�1
�
Z
dt
(t2 +m2)n�1
◆
=
t
2m2(n� 1)(t2 +m2)n�1 +
2n� 3
2m2(n� 1)In�1.
Hau da, I
n
integrala I
n�1 integralaren funtzio bezala adierazi dugu. Prozedura
hau n� 1 aldiz aplikatzen badugu, hurrengo integral ezagunera helduko gara:
I1 =
Z
dt
t
2 +m2=
1
m
arctan
t
m
+ k.
Orain m eta t-ren balioak ordezkatzen baditugu, IV. integralaren emaitza
lortuko dugu.
Adibideak.
Z
3x� 1
(x2 + 2x+ 3)2
dx = � 2x+ 5
2(x2 + 2x+ 3)
� 1p
2
arctan
x+ 1p
2
+ k.
Z
x+ 1
(x2 + x+ 1)2
dx =
2
3
p
3
arctan
2x+ 1p
3
+
x� 1
3(x2 + x+ 1)
+ k.
Funtzio arrazional orokorren integrazioa
Atal honetan
Q(x)
P (x)
moduko funtzio arrazionalak aztertuko ditugu, Q eta P poli-
nomioak izanik, erro komunik ez dutenak.
Izendatzailearen maila zenbakitzailearena baino txikiagoa bada, hau da, frakzioa
inpropioa bada, frakzio hau polinomio bat eta frakzio propio baten batura bezala
adieraz dezakegu, hots,
Q(x)
P (x)
= M(x) +
R(x)
P (x)
.
6.2.3. Funtzio arrazionalen integrazioa 153
Polinomioak integratzen ikusi dugunez, orain ikasi behar dugu frakzio propioak in-
tegratzen. Horretarako frakzio sinpleetan deskonposatuko ditugu.
Izan bitez R eta P erro komunik ez duten polinomioak, degR < degP eta demagun
P -ren faktore sinpleetako deskonposizioan (x � a)n eta (x2 + px + q)m moduko
faktoreak agertzen direla soilik, non a, p, q 2 R, n,m 2 N diren, eta x2 + px +
q moduko polinomioek erro errealik ez dutela. Orduan
R(x)
P (x)
frakzio sinpleetako
batura bezala deskonposa daiteke.
(i) (x�a)n P -ren faktore sinpleetako deskonposizioan agertzen bada, orduan R/P -
ren frakzio sinpleetako deskonposizioan n batugai agertuko dira, izendatzaileak
(x� a)k modukoak izanik, k = 1, . . . , n eta zenbakitzaileak, konstanteak,
A1
x� a +
A2
(x� a)2 + · · ·+
A
n
(x� a)n .
(ii) (x2+px+q)m agertzen bada P -ren faktore sinpleetako deskonposizioan agertzen
bada,, p2 � 4q < 0 izanik, orduan R/P -ren frakzio sinpleetako deskonpo-
sizioan m batugai agertuko dira, izendatzaileak (x2+px+q)k modukoak izanik,
k = 1, . . . ,m eta zenbakitzaileak lehen mailako polinomioak, honela
P1x+Q1
x
2 + px+ q
+
P2x+Q2
(x2 + px+ q)2
+ · · ·+ Pmx+Qm
(x2 + px+ q)m
.
A1, A2, . . . , An, P1, Q1, P2, Q2, . . . , Pm, Qm finkatu behar diren konstanteak dira. Hor-
retarako, izendatzaile komunera eramaten dira bigarren atalaren frakzioak; honela,
lehenengo eta bigarren atalen izendatzaileak berdinak dira. Beraz, zenbakitzaileak
ere berdinak izango dira eta hortik ateratzen dira konstanteen balioak, x-en berret-
zaile berbera dituzten gaien koefizienteak berdinduz edo eta balioak emanez x alda-
gaiari.
Adibideak.
1
(x� 1)2(x2 + x+ 1) =
1
3
✓
� 1
x� 1 +
1
(x� 1)2 +
x+ 1
x
2 + x+ 1
◆
.
1
(x+ 1)(x2 + x+ 1)2
=
1
x+ 1
� x
x
2 + x+ 1
� x
(x2 + x+ 1)2
.
Aurreko guztia kontuan izanda, P eta Q polinomioak badira,
Z
Q(x)
P (x)
dx integral ar-
razionala kalkulatzeko,
Q(x)
P (x)
frakzioa inpropioa bada, orduan
Q(x)
P (x)
= M(x)+
R(x)
P (x)
moduan idatziko dugu eta gero R/P frakzio propioa frakzio sinpleetan deskon-
posatuko dugu. M polinomioa eta frakzio sinpleak integratuko ditugu aurretik
azaldu dugun bezala.
154 6.2. Integrazio-metodoak
Adibideak.
Z
x
2 + 2
(x+ 1)3(x� 2) dx =
2
9
ln
����
x� 2
x+ 1
�����
2x� 1
6(x+ 1)2
+ k.
Z
x
(x2 + 1)(x� 1) dx =
1
4
ln
(x� 1)2
x
2 + 1
+
1
2
arctanx+ k.
Z
x
4 + 4x3 + 11x2 + 12x+ 8
(x2 + 2x+ 3)(x+ 1)
dx =
x
2
2
+x+2 ln |x+1|+1
2
ln
��
x
2 + 2x+ 3
��
�
p
2 arctan
x+ 1p
2
+ k.
6.2.4 Funtzio irrazionalen integrazioa
Funtzio irrazional baten integrala oinarrizko funtzioen bidez adieraztea ez da beti
posible izango. Atal honetan funtzio irrazional batzuk aztertuko ditugu. Aldagai-
aldaketa egokiak erabiliz, funtzio arrazionalen integral bihurtuko ditugu. Atal hone-
tan, R-k parentesien artean agertzen diren aldagaien funtzio arrazionala adierazten
du.
Funtzio irrazional bilinealen integrazioa
Izan bitez a, b, c, d 2 R, r1, s1, . . . , rn, sn zenbaki osoak eta R(x0, x1, xn) n+ 1 alda-
gaiko funtzio arrazionala.
Z
R
 
x,
✓
ax+ b
cx+ d
◆ r1
s1
, . . . ,
✓
ax+ b
cx+ d
◆ rn
s
n
!
dx motako in-
tegralak, integral arrazional bilinealak direla esan ohi da. Ikusiko dugu aldagai-
aldaketa apropos baten bidez, integral hauek integral arrazional batera eraman
daitezkela.
Lehenengo eta behin, kasu partikular batekin hasiko gara: a = d = 1 eta b = c = 0,
hau da,
Z
R(x, xr1/s1 , . . . , xrn/sn)dx moduko integralekin. Izan bedi k zenbakia
s1, . . . , sn zenbakien multiplo komunik txikiena. Orduan existituko dira ↵1, . . . ,↵n
zenbaki osoak non k = ↵
j
s
j
, j = 1, . . . , n eta
x = tk =) dx = ktk�1
aldaketa eginez,
r
j
s
j
k = r
j
↵
j
zenbaki osoa izango da, j = 1, . . . , n, hau da, berretzaile
frakzionario guztiak, berretzaile oso bihurtzen dira eta t-ren funtzio arrazional bat
da integrakizun berria.
Adibideak.
Z
x
1/2
r
x
3/4 + 1 dx =
4
3
⇣
x
3/4 � ln
���x3/4 + 1
���
⌘
+ k
Z p
x� 2
p
x
3 + 1
4
p
x
dx =
4
5
x
4
p
x� 8
9
x
2 4p
x+
4
3
4
p
x
3 + k
6.2.4. Funtzio irrazionalen integrazioa 155
Orokorrean, lehen bezala k baldin bada s1, . . . , sn zenbakien multiplo komunik txikiena,
ax+ b
cx+ d
= tk =) x = dt
k � b
a� ctk
aldagai-aldaketaren bidez,
Z
R
 
x,
✓
ax+ b
cx+ d
◆ r1
s1
, . . . ,
✓
ax+ b
cx+ d
◆ rn
s
n
!
dx integralean
berretzaile frakzionario guztiak desagertzen dira eta x eta dx t-ren funtzio arrazion-
alak dira.
Adibideak.
Z p
x+ 4
x
dx = 2
✓p
x+ 4 + ln
����
x+ 8� 4
p
x+ 4
x
����
◆
+ k
Z
dx
(2� x)
p
1� x
= �2 arctan
p
1� x+ k
Funtzio irrazional koadratikoen integrazioa
Z
R(x,
p
ax
2 + bx+ c) dx motako integralak kalkulatu nahi ditugu atal honetan
non, lehen bezala, R-k funtzio arrazional bat adierazten duen. Eulerren aldaketen
bidez, funtzio arrazionalen integraletara eramaten dira integral irrazional hauek.
Proposizioa 6.2.5 (Eulerren aldaketak). Izan bitez a, b, c 2 R eta R funtzio ar-
razionala.
Z
R(x,
p
ax
2 + bx+ c) dx motako integralak integral arrazionaletara era-
man daitezke honako kasu hauetan:
(i) a > 0 denean, aldaketa honen bidez:
p
ax
2 + bx+ c = ±
p
ax+ t (Eulerren lehen aldaketa).
(ii) c > 0 denean,
p
ax
2 + bx+ c = xt±
p
c (Eulerren bigarren aldaketa).
(iii) ax2 + bx+ c polinomioak erro errealak dituenean. Izan bitez ↵,�R non ax2 +
bx+ c = a(x� ↵)(x� �). Aldagai-aldaketa hau egiten da kasu honetan:
p
ax
2 + bx+ c = (x� ↵)t (Eulerren hirugarren aldaketa).
Froga. (i) a > 0 bada,
p
ax
2 + bx+ c =
p
ax+ t =) ax2 + bx+ c = ax2 + 2
p
axt+ t2
=) x = t
2 � c
b� 2
p
at
.
156 6.2. Integrazio-metodoak
Deribatuz
dx =
2t(b� 2
p
at)� (t2 � c)(�2
p
a)
(b� 2
p
at)2
dt =
2tb� 2
p
at
2 � 2
p
ac
(b� 2
p
at)2
dt.
Beraz, x, dx eta
p
ax
2 + bx+ c adierazpenak t-ren funtzio arrazional bezala
adieraz daitezke eta emandako integrala t-ren funtzio arrazional baten integral
bihurtzen da.
p
ax
2 + bx+ c = �
p
ax + t aldagai-aldaketa eginez, antzeko adierazpenak
lortzen dira.
(ii) c > 0 bada,
p
ax
2 + bx+ c = xt+
p
c =) ax2 + bx+ c = x2t2 + 2xt
p
c+ c
=) x = 2
p
ct� b
a� t2 .
Orain ere, x, dx eta
p
ax
2 + bx+ c adierazpenak t-ren funtzio arrazionalak
bezala idatz daitezkenez, t-ren funtzio arrazional baten integrala lortzen da.
Hemen ere,
p
ax
2 + bx+ c = xt�
p
c erabili dezakegu.
(iii) ↵ eta � zenbaki errealak ax2 + bx + c polinomioaren erro errealak badira,
ax
2 + bx+ c = a(x� ↵)(x� �) dela kontuan hartuz, ondokoa dugu:
p
ax
2 + bx+ c = (x� ↵)t =) a(x� ↵)(x� �) = (x� ↵)2t2
=) x = a� � ↵t
2
a� t2 .
Horrela, emandako integrala berriro t-ren funtzio arrazional baten integral bi-
hurtzen da.
Adibideak.
Z
dxp
x
2 + 3x� 4
= ln
����
p
x+ 4 +
p
x� 1p
x+ 4�
p
x� 1
����+ k
Z
dxp
x
2 + c
= ln
���x+
p
x
2 + c
���+ k
Integral binomikoak
Izan bitez a, b 2 R eta m,n, p zenbaki arrazionalak.
Z
x
m(a + bxn)p dx motako
integralak binomikoak deitzen dira. Aurreko funtzio irrazionaletan bezala, aldagai-
aldaketa egokien bidez, integral hauek integral arrazionaletara eraman daitezke, m,
n eta p zenbakiek baldntza batzuk betetzen badituzte.
Teorema 6.2.6. Izan bitez a, b zenbaki errealak eta m,n, p zenbaki arrazionalak.Z
x
m(a + bxn)p dx integral binomikoa funtzio arrazional baten integralera eraman
daiteke hiru kasuetan:
6.2.4. Funtzio irrazionalen integrazioa 157
(i) p zenbakia osoa denean,(ii)
m+ 1
n
zenbakia osoa denean,
(iii) p+
m+ 1
n
zenbakia osoa denean.
Froga. Egin dezagun emandako integralean honako aldaketa hau:
x = z1/n =) dx = 1
n
z
1
n
�1
dz.
Beraz, integralean ordezkatuz,
Z
x
m(a+ bxn)p dx =
1
n
Z
z
m+1
n
�1(a+ bz)p dz =
1
n
Z
z
q(a+ bz)pdz,
non q =
m+ 1
n
� 1 den.
(i) Izan bedi p zenbaki osoa. q zenbakia arrazionala denez, izenda dezagun r/s.
Kasu honetan aurreko integrala ondoko erakoa da:
Z
R(zr/s, z)dz,
eta integral hau, aurrean ikusi dugunaren arabera, z = ts aldaketa eginez, t-ren
funtzio arrazional baten integral bihurtzen da.
(ii) Izan bedi
m+ 1
n
zenbaki osoa. Orduan,
m+ 1
n
� 1 ere osoa da. p zenbakia
arrazionala denez
�
⌫
frakzioaren bidez izendatuko dugu. Kasu honetan, aurreko
integrala hurrengo motakoa da:
Z
R
✓
z
q
, (a+ bz)
�
⌫
◆
dz
eta integral hau berriro aztertu dugu, a + bz = t⌫ aldaketaren bidez ebazten
delarik.
(iii) Izan bedi
m+ 1
n
+p zenbaki osoa. Orduan,
m+ 1
n
�1+p ere osoa da. Aurreko
integrala hurrengo eran berridatz daiteke:
Z
z
q(a+ bz)pdz =
Z
z
q+p
✓
a+ bz
z
◆
p
dz,
non p+ q zenbakia osoa den eta p arrazionala, beraz,
�
⌫
modukoa. Lehen ikusi
dugun arabera,
a+ bz
z
= t⌫ aldaketaren bidez ebazten da.
158 6.2. Integrazio-metodoak
Adibideak.
Z
dx
3
p
x
2(1 +
3
p
x
2)
= 3 arctan 3
p
x+ k.
Z
x
3
p
1� x2
dx = �
p
1� x2 + (
p
1� x2)3
3
+ k.
Z
dx
x
2
p
(1 + x2)3
= � xp
1 + x2
�
p
x
2 + 1
x
+ k.
6.2.5 Funtzio trigonometrikoen integrazioa
Atal honetan funtzio trigonometrikoen integrazioa aztertuko dugu. Aurrekoetan
bezala, ez da beti posible izango funtzio trigonometriko batn integral mugagabea
aurkitzea, baina ikusiko dugu batzuetan aldagai-aldaketa egokien bidez integral ar-
razionaletara pasa daitezkela, edo formula trigonometriko batzuen bidez integrak-
izunak berridatzi daitezkela jatorrizkoa topatzeko.
Aldaketa trigonometriko unibertsala
Izan bedi R parentesien artean agertzen diren aldagaien funtzio arrazionala den.
Z
R(sinx, cosx) dx
integral trigonometrikoa kalkulatzeko, honako aldaketa hau egiten badugu,
tan
x
2
= t
t aldagaiaren funtzio arrazional baten integral bihurtzen da. Adieraz ditzagun sinx
eta cosx funtzioak tan
x
2
adierazpenaren funtzioan, hau da, t aldagaiaren funtzioan:
sinx =
2 sin
x
2
cos
x
2
1
=
2 sin
x
2
cos
x
2
sin2
x
2
+ cos2
x
2
=
2 tan
x
2
1 + tan2
x
2
=
2t
1 + t2
,
cosx =
cos2
x
2
� sin2 x
2
1
=
cos2
x
2
� sin2 x
2
cos2
x
2
+ sin2
x
2
=
1� tan2 x
2
1 + tan2
x
2
=
1� t2
r
1 + t2.
Gainera, x = 2arctan t denez, dx =
2dt
1 + t2
da. Horrela,
Z
R(sinx, cosx)dx =
Z
R
✓
2t
1 + t2
,
1� t2
1 + t2
◆
2 dt
1 + t2
.
t = tan
x
2
aldaketaren bidez, R(sinx, cosx) motako edozein funtzio integra daiteke;
beraz, aldaketa honek aldaketa trigonometriko unibertsala izena du.
6.2.5. Funtzio trigonometrikoen integrazioa 159
Adibideak.
Z
dx
sinx
= ln
���tan
x
2
���+ k.
Z
dx
3 + 5 cosx
= ln
������
tan
x
2
+ 2
tan
x
2
� 2
������
+ k.
Beste aldaketa batzuk
Batzuetan, t = tan
x
2
aldaketak zailegiak diren funtzio arrazionaletara eramaten
duenez, aldaketa unibertsalaz gain, beste aldaketa batzuk ezagutzea komeni da.
(I)
Z
R(sinx) cosx dx integraletan sinx = t aldaketa egiten bada,
Z
R(t) dt in-
tegrala lortzen da, beraz, hemen R aurreko ataletan agertu zaigun edozein
funtzio izan daiteke, arrazionala zein irrazionala.
(II)
Z
R(cosx) sinx dx integraletan cosx = t aldaketa egiten da, �
Z
R(t) dt
lortzeko.
Adibideak.
Z
sin 2xp
1 + sin4 x
dx = ln
���sin2 x+
p
sin4 x+ 1
���+ k.
Z
cos3 x
sin4 x
dx =
3 sin2 x� 1
3 sin3 x
+ k.
Z
sin3 x
2 + cosx
dx =
cos2 x
2
� 2 cosx+ 3 ln | cosx+ 2|+ k.
(III)
Z
R(tanx) dx integraletan tanx = t aldaketa egiten da. Orduan x = arctan t
eta dx =
dt
1 + t2
.
(IV) Integrakizunak R(sin2 x, cos2 x) forma badu, hau da sinx eta cosx funtzioen
berredura guztiak bikoitiak badira, tanx = t aldaketa egiten da, zeren eta
sin2 x eta cos2 x funtzioak tanx funtzioan ipini baitaitezke, jarraian agertzen
den bezala:
cos2 x =
1
1 + tan2 x
=
1
1 + t2
,
sin2 x =
tan2 x
1 + tan2 x
=
t
2
1 + t2
,
x = arctan t =) dx = dt
1 + t2
.
160 6.2. Integrazio-metodoak
Adibideak.
Z
3 tan2 x+ 1
2 tanx
dx =
1
2
ln
����
tanx
cos2 x
����+ k.
Z
sin2 x
cos6 x
dx =
tan5 x
5
+
tan3 x
3
+ k.
Z
dx
2� sin2 x
=
1p
2
arctan
tanxp
2
+ k.
Formula trigonometrikoak
Batzuetan, integrakizuna berridatzi daiteke formula trigonometrikoak erabiliz. Aipatuko
ditugu bi kasu partikular.
(I)
Z
sinm x cosn x dx integralak, m eta n zenbakiak positibo edo nuluak eta
bikoitiak izanik. Kasu honetan, hurrengo formula trigonometrikoak erabili
ahal ditugu:
sin2 x =
1� cos 2x
2
eta cos2 x =
1 + cos 2x
2
.
Adibidea.
Z
sin4 x dx =
12x+ sin 4x� 8 sin 2x
16
+ k.
(II) Kontsidera ditzagun, azkenik, hurrengo era hauetako integralak:
Z
cosmx cosnx dx,
Z
sinmx cosnx dx,
Z
sinmx sinnx dx
nonm,n 2 R, m 6= n diren. Integral hauek erraz ebazten dira, ondoko formula
trigonometrikoak kontutan hartuz:
cosmx cosnx =
1
2
(cos(m+ n)x+ cos(m� n)x)
sinmx cosnx =
1
2
(sin(m+ n)x+ sin(m� n)x)
sinmx sinnx =
1
2
(� cos(m+ n)x+ cos(m� n)x)
Adibidea.
Z
sin 5x sin 3x dx =
4 sin 2x� sin 8x
16
+ k.