Cap 02_Teoria das Filas_01

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CCE1018 -Simulação da Produção e Teoria de Filas
Unidade 2: Teoria das Filas
Fontes:
 
1)Teoria das Filas e da Simulação, volume 2, Darci Prado, 5ª edição, Falconi;
2)Pesquisa Operacional, curso introdutório, Daniel Augusto Moreira;
3) Introdução à Modelagem e Simulação de Sistemas, Paulo José de Freitas Filho, 2ª Edição, Visual Books.
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Unidade 2: Teoria de Filas
O que é?
 Teoria das filas é um método analítico que aborda o assunto por meio de fórmulas matemáticas, surgindo nos princípios do século XX (1908) na Dinamarca, através do Matemático A. K. Erlang*, considerado o pai dessa Teoria, quando trabalhava em uma Companhia Telefônica de Copenhague procurando determinar a quantidade necessária de telefonistas e de linhas com o propósito de minimizar o tempo de espera (na fila) por uma chamada.
* Livro(1917):Solutions of Some Problems in te Theory of Probabilities of Significance in Automatic Telephone Exchanges.
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Unidade 2: Teoria de Filas
 Teoria de filas consiste na modelagem analítica de processos ou sistemas que resultam em espera e tem como objetivo determinar e avaliar quantidades, denominadas medidas de desempenho, que expressam a produtividade/ operacionalidade desses processo. Entre essas medidas, podem-se citar: número de elementos na fila, tempo de espera pelo atendimento e tempo ocioso dos prestadores do serviço.
 
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Unidade 2: Teoria de Filas
 
 
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Unidade 2: Teoria de Filas
Potencialidade da Teoria de Filas
Identificação do modelo que se adequa ao sistema sob análise;
Determinam-se as medidas de desempenho;
Analisam-se essas medidas por dois pontos de vista muitas vezes conflitantes: o do usuário e o da gerência.
 
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Unidade 2: Teoria de Filas
Potencialidade da Teoria de Filas
Do ponto de vista do usuário, as medidas essenciais indicativas do desempenho do sistema são: (i) o tamanho médio da fila; (ii) os tempos médios de espera na fila; e (iii) tempo de permanência no sistema. 
Do ponto de vista da gerência, as medidas de interesse são as que traduzem o volume de serviço realizado e dentre essas tem-se: (i) tempo médio de serviço; (ii) tempo médio ocioso dos servidores. 
Áreas destinadas às filas são adequadas? 
Prioridades para certos tipos de clientes? 
Quantos postos de atendimentos? 
 
 
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Análise
Um número de postos de atendimento em excesso produz custos gerenciais elevados, que se repassados aos usuários podem inviabilizar o serviço, mesmo com a vantagem de se aguardar pouco tempo por ele. 
Poucos postos de atendimento, entretanto, provocam a insatisfação do usuário, que se tiver outra opção, geralmente, abandona o sistema por não suportar um tempo de espera excessivo. Por isso, faz-se necessária a construção de uma função de custo total que de alguma forma englobe os dois pontos de vista. Por exemplo:
 Custo Total= a.Cu + b.Cg
(Cu: espera pelo serviço ou atendimento).
(Cg: construção, manutenção, operação do sistema). 
 
 
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CT = a Cu + b Cg
Dimensionado segundo valor mínimo dessa função Ct
Fonte: Fogliatti et al. (2007)
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Um Balanço
O melhor atendimento leva quase sempre a custos maiores, que surgem por causa de um treinamento melhor para as pessoas, pelo uso maior da tecnologia da informação, pela multiplicação de postos de trabalho ou ainda pela compra de máquinas e equipamentos mais sofisticados e, eventualmente, de melhor qualidade. 
Vale a pena incorrer nesses custos? Talvez sim, se estiver ocorrendo uma grande perda de clientes por causa do não atendimento e da presença das filas.
 
 
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Por que então estudar?
 
As filas são estudadas porque em toda fila, embora nem sempre se perceba, existe embutido um problema econômico e esse problema econômico surge porque em qualquer fila existem dois custos envolvidos: o custo da Fila e o custo do Serviço. 
A teoria de filas pode ser usada para avaliar o desempenho operacional de sistemas em funcionamento ou para dimensionar eficientemente novos sistemas.
 
 
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Exemplo:
 Processo de atracação de navios em um porto. (legislação internacional )
 Custo Serviço é o custo de construir e manter em funcionamento os berços de atracação. (Serviço, Custo).
 Custo Fila é o custo que a administração do porto tem pelo pagamento das indenizações aos navios que esperam na fila. (serviço, Custo)
 
 
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II. Por que estudar?
 
 O estudo dessas quantidade é importante na tomada de decisão quanto à modificação ou manutenção da operação do sistema no seu estado atual; facilita também o dimensionamento racional da infraestrutura, de recursos humanos e financeiros, de equipamentos e instalações, visando um melhor desempenho global. 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas
III. Por que estudar?
 
 Assim, nosso interesse como Engenheiros é, na maioria das vezes, dimensionar eficientemente:
 A quantidade correta de equipamentos e de pessoas;
 O melhor layout e fluxo dentro do sistema que está sendo analisado.
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Objetivo:
 
 Em aplicações, o estudo dos modelos de filas tem como objetivo a melhoria de desempenho do sistema, entendida, entre outros aspectos, como: melhor utilização dos recursos de serviço disponíveis, menor tempo de espera e mais rapidez no atendimento.
 Que o sistema tenha um funcionamento eficiente (solução otimizada e/ou a mais adequada). Por fim, um determinado estudo pode:
 Procurar a melhor qualidade do serviço prestado, a qualquer custo; ou
 Menor custo dentro de uma faixa aceitável de qualidade para o serviço prestado.
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Então, vamos ao estudo?
 
 Ponto de partida: a correta escolha da qualidade esperada do atendimento, assim como os recursos disponíveis e as limitações de funcionamento.
 Sendo uma modelagem, então, é feita de modo que não exista nenhum gargalo (ponto de estrangulamento no fluxo que implica numa perda inaceitável para o sistema como todo).
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 Conceitos: Sistema ou processo adequadamente dimensionado significa que está balanceado (balanced system), ou seja, sem gargalos.
 
 Entretanto é importante frisar que um sistema balanceado não é obrigatoriamente um sistema otimizado: garante-se, apenas, a prestação de uma certa qualidade de atendimento, mas não o atendimento ótimo.
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Por derradeiro:
 Esses estudos são chamados de Modelagem de Sistemas (Teoria das Filas e Simulação) e tem por objetivo obter o melhor dimensionamento e tendo como premissas: conhecer o cenário, as características e as necessidades de todos os envolvidos.
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Unidade 2: Teoria das Filas
Assim,
 Um sistema com fila é qualquer processo onde usuários oriundos de uma determinada população chegam para receber um serviço pelo qual esperam, se for necessário, saindo do sistema assim que o serviço é completado.
 
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O que são filas?
 Experiências diárias (filas em bancos, supermercados, cinemas, navios aguardando sua vez para entrar em portos,...)
 
 E em ambientes de produção:
 Caminhões em uma mineração  esperando, junto a uma carregadeira, a vez de serem carregados com minério;
 Produtos e peças  podem estar aguardando processamento.
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Filas não são simpáticas
 Não é agradável entrar em uma fila e esperar pelo serviço (o ideal seria chegar ao local e ser imediatamente atendido).
 E quando a espera é longa? Ficamos aborrecidos/irritados.
 E a famosa Lei de Murphy¹? Pela qual passamos a comparar o desempenho da nossa fila com outras. 
 “¹ a fila que anda é a outra, mas não adianta trocar de fila, pois afila que anda é a outra”. *vídeo*
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Consequências: 
 Não compramos mais em determinado supermercado; trocamos de agência bancária,... .
 Filas são dispendiosas;
 Altos custos, por exemplo, fila em determinado equipamento fabril pode ocasionar um aumento nos tempos do ciclo de produção, logo teremos atrasos no atendimento aos clientes.
 Pela ótica do cliente, o ideal seria dimensionar sistemas para a inexistência de filas.
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Representação simbólica e estática de uma situação dinâmica.
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Representação simbólica e estática de uma situação dinâmica.
Representação simbólica e estática de uma situação dinâmica.
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 Características:
Clientes: provenientes de uma população (finita ou infinita);
Qdo população grande (infinita para efeitos práticos), a chegada de um novo cliente a uma fila não afeta a taxa de chegada de clientes subsequentes, assim as chegadas são independentes. Ex: (i) funcionamento do metrô; (ii) carros chegando a uma oficina mecânica para reparo. ( >30 )
Qdo população pequena, o efeito existe e pode ser considerável.Ex: (i) Em uma mineração, na qual uma carregadeira carrega minério em caminhões que chegam. Se existem 3 caminhões e,se ocorrer que todos eles estejam na fila da carregadeira, então não chegará mais nenhum outro caminhão à carregadeira.(ii) população constituída por poços de petróleo a serem explorados.
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 Características e Variáveis:
 O processo de chegadas dos usuários é especificado pelo comportamento do fluxo de chegadas dos mesmos ao sistema. Se são conhecidos o número de chegadas e os instantes de tempo em que elas acontecem, esse processos é denominado determinístico; caso contrário, tem-se um comportamento aleatório constituindo um processo estocástico caracterizando uma distribuição de probabilidade.
 Quando se estudam filas o ritmo de chegada é uma importante variável. Para quantificar esta variável se usa a letra grega λ (lambda) para significar ritmo médio de chegada e se usa IC para intervalo médio entre chegadas. 
Por exemplo: λ = 20 clientes por minuto. IC = 3 segundos. ( IC = 1/ λ). 
Registra-se caso o valor de IC seja zero, significa que dois clientes chegaram juntos.
 
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Unidade 2: Teoria das Filas
 Registra-se que um tipo raro de processo de chegada é o regular, ou seja, aquele em que não existe nenhuma variação entre os valores para os intervalos entre chegadas. Nesta situação, se dissermos que o intervalo entre chegadas é de 10 segundos, teremos que rigorosamente a cada 10 segundos chega um novo cliente. Essa situação ocorre apenas em processos altamente automatizados.
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Unidade 2: Teoria das Filas
Características e Variáveis:
 O processo de atendimento é especificado pelo comportamento do fluxo de usuários atendidos e a sua caracterização é análoga à do processo de chegadas.
 Tal processo é também quantificado por uma importante variável. Assim, o ritmo médio de atendimento é identificado pela letra μ (mi) e se usa TA para tempo ou duração média do serviço ou atendimento. Assim, exemplificando: TA= 1/μ
μ = 6 clientes por minuto;
TA = 10 segundos (por cliente).
Ressalta-se que o valor desta taxa é considerado como se o servidor estivesse ocupado 100% do seu tempo. 
Taxa (número de clientes/unidade de tempo) 
TA ≠ μ
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Unidade 2: Teoria das Filas
Características e Variáveis:
 Os canais ou postos de serviço (em paralelo) são os locais (físicos ou não) onde são atendidos os usuários. O número de postos de um sistema pode ser finito ou infinito. Por exemplo: (i) Guichês de um posto de pedágio (Finito); (ii) Qualquer atendimento do tipo self-service, onde o cliente e servidor são a mesma pessoa e onde o serviço está sempre disponível (Infinito).
 Já a capacidade do sistema é o número máximo de usuários que o mesmo comporta (incluindo fila e atendimento) e pode ser finita ou infinita. Por exemplo:
 Finita: Posto de vistoria de carros que admite um número máximo de carros aguardando pelo serviço; (os demais são rejeitados).
 Infinita: Um porto onde navios chegam para descarregamento aguardando, se necessário, no mar.
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Unidade 2: Teoria de Filas
Disciplinas de Atendimento
 É o critério estabelecido pela gerência do sistema, segundo o qual os usuários que se encontram na fila são atendidos quando um posto fica disponível de atendimento. Dentre as disciplinas mais utilizadas, podem-se citar:
FIFO (First-In-First-Out) ou FCFS (first come, first served): primeiro cliente a chegar à fila será o primeiro a ser atendido. 
LIFO (Last-In-First-Out) ou LCFS (last come, first served): o último cliente a chegar à fila é o primeiro a ser atendido. Ex: Retirada de compras do carrinho no supermercado para passagem no caixa.
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Unidade 2: Teoria de Filas
Disciplinas de Atendimento
SIRO (Service-In-Random-Order): Ordem aleatória. Ex: Contemplação de consórcios e a seleção de ganhadores em concursos populares. 
SPT (Shortest-Processing-Time first): o cliente a ser atendido em primeiro lugar será aquele cujo tempo de atendimento é menor. 
PR (Priority Rules): o atendimento faz-se de acordo com as regras (leis) de prioridades pré-estabelecidas. Ex: Internação hospitalar ou cirurgias.
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Unidade 2: Teoria das Filas
Características e Variáveis:
A razão ρ (rho) é chamada de “Fator de Utilização do Servidor”, o qual representa a fração média do tempo em que o servidor está ocupado. Este fator é a base de cálculo da probabilidade de haver um número K de clientes no sistema, o qual definirá o tamanho da fila e o tempo médio que os clientes permanecem nela e no sistema ( ρ = λ / c.μ ). 
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Unidade 2: Teoria das Filas
Características e Variáveis:
Processo de chegada e de atendimento: 
Não basta apenas fornecer os valores médios: é necessário também mostrar como os valores se distribuem em torno da média. Assim, para caracterizar um processo de chegada devemos lançar mão de uma distribuição de frequência, como: a distribuição normal, a de Poisson, a exponencial, etc. 
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Unidade 2: Teoria das Filas
Processo de atendimento:
Tamanho médio da fila: Característica da fila que mais consideramos ao nos defrontarmos com a opção de escolher uma fila. Ex: Supermercado. O ideal é fila zero, ou seja, cliente chega e é atendido. 
Tamanho máximo da fila: quando e onde os clientes devem esperar, alguma área de espera deve existir (cadeiras de uma barbearia, banco, ... ). Sistemas dimensionados para um certa quantidade máxima de clientes. 
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Unidade 2: Teoria das Filas
Processo de atendimento:
Tempo médio de espera na fila: causa irritação; ideal é que não exista tempo de espera, mas esta nem sempre é a melhor situação do ponto de vista econômico. 
 Se entrarmos numa fila com 10 pessoas à nossa frente, o tempo de espera será igual ao somatório dos tempos de atendimento de cada um dos clientes à nossa frente ou, possivelmente, será igual a 10 vezes a duração média de atendimento.
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Unidade 2: Teoria das Filas
Variáveis Randômicas/Aleatória: 
Assim, para as principais variáveis existe um valor médio (Determinístico) e/ou uma distribuição de probabilidade (função), que mostra as chances de ocorrências dos valores.
Então, vejamos: 
1) Duração média do atendimento é de 10 segundos, não estamos dizendo que todo atendimento é de 10 segundos. 
2) Tamanho médio de uma fila é de 5 clientes, não estamos dizendo que o tamanho da fila é sempre de 5 clientes.
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Unidade 2: Teoria das Filas
É nula a probabilidade de atender um cliente em menos de 5 segundos.
A probabilidade de atender um cliente em 10 segundos é de 18%.
A probabilidade de atender um cliente em 25 segundos é 0,5%.
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Unidade 2: Teoria das Filas
Exercício Exemplificativo
Clientes chegam a um posto de serviço a um ritmo de 24 chegadas por hora (ou 1 cliente a cada 2,5 minutos) e são atendidos por um servidor capaz de atender 30 clientes por hora (ou 2,0 minutospara cada cliente). Pergunta-se haverá filas? 
λ = 24 clientes por hora ( ou IC = 2,5 minutos)
μ = 30 clientes por hora ( ou TA = 2 minutos/cliente)
 Capacidade de atendimento (μ) é superior ao ritmo de chegada (λ).
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Unidade 2: Teoria das Filas
Exercício Exemplificativo
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Unidade 2: Teoria das Filas
No período de meia hora, verificou-se que chegaram ao sistema 12 pessoas. Os intervalos entre chegadas, a partir do instante zero, foram (valores em minutos):
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Unidade 2: Teoria das Filas
O valor zero (linha intervalo) para o sexto cliente significa que ele chegou junto com o quinto (5º) cliente.
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Unidade 2: Teoria das Filas
A linha “Momento” significa o instante da chegada do novo cliente, obtido a partir de acumulações da linha “Intervalo” acrescido de 1, para significar o início do próximo intervalo de tempo. Assim, o primeiro cliente chegou no início do 3° minuto, o segundo cliente chegou no início do 6º minuto, etc.
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Unidade 2: Teoria das Filas
Assim, o valor médio dos intervalos abaixo é de 2,5 minutos e, portanto, o sistema funcionou com um ritmo médio de 24 chegadas por hora. Ou seja:
 λ = 24 clientes por hora.
 IC = 2,5 minutos. 
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Unidade 2: Teoria das Filas
Atendimento: Por outro lado, os dados anotados para cada atendimento são os seguintes ( valores em minutos):
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Unidade 2: Teoria das Filas
O valor médio dos dados abaixo é 2,0 minutos e, portanto, podemos dizer que o servidor tem uma capacidade de atender 30 clientes por hora. Ou seja:
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μ = 30 clientes por hora
TA = 2 minutos.
Unidade 2: Teoria das Filas
Finalmente, o sistema funcionou conforme figura abaixo:
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Unidade 2: Teoria das Filas
Os tempos de fila foram:
Total de clientes atendidos: 12.
Tempo média na fila(TMF)= (3+4+3+1+3+2)/12 pessoas =1,33.
Número médio na fila (NMF)=(3+4+3+1+3+2)/35’ =0,46.
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Unidade 2: Teoria das Filas
Uma constatação curiosa!! 
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Unidade 2: Teoria das Filas
Resumindo, portanto: a fila não se forma tão-somente por um problema de capacidade de atendimento (µ), mas também devido à variabilidade tanto no intervalo entre chegadas (IC) de clientes como no tempo de atendimento (TA) desses clientes.
Registra-se que λ e µ são valores médios e, portanto, determinísticos, obtidos a partir da observação ou de estimativas do comportamento de duas variáveis aleatórias(TA e IC).
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Unidade 2: Teoria das Filas
Uma abordagem amadora
Imagine agora que o mesmo problema fosse proposto ao leitor da seguinte forma: 
Clientes chegam a um posto de serviço a um ritmo de 24 chegadas por hora (ou 1 cliente a cada 2,5 minutos) e são atendidos por um servidor capaz de atender 30 clientes por hora (ou 2,0 minutos para cada cliente). Pergunta-se, haverá fila?
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Unidade 2: Teoria das Filas
De posse apenas desses dados, a nossa tendência é inferir que o sistema se comportara conforme figura abaixo, na qual tanto o processo de chegada como o de atendimento são regulares e, portanto, não haverá formação de filas. 
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Unidade 2: Teoria das Filas
Processos como esse são raros na vida real. Assim, a existência de filas ocorre em decorrência do fato de que os processos não são regulares e a aleatoriedade ocasiona tanto filas quanto longos períodos de inatividade para o servidor.
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Unidade 2: Teoria das Filas
Diagnóstico interessante entre as figuras 2.3 (slide 45) e 2.4 (slide 50) :
Caso o processo fosse regular, todos os clientes teriam sido atendidos em 32 minutos (figura 2.4).
Devido ao fato de o processo ser randômico, houve filas e o tempo total foi de 35 minutos.
Resposta: Esse foi o preço pago pela aleatoriedade do processo.
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Unidade 2: Teoria das Filas
Vamos observar melhor o preço pago pela aleatoriedade do processo:
O prazo total foi acrescido em 3 minutos (35’-32’);
O prazo médio de atendimento individual (2 minutos) foi acrescido pelo tempo médio de fila de 1,33 minuto. Ou seja, na média um cliente gasta 3,33 minutos dentro do banco (sistema).
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Unidade 2: Teoria das Filas
 Por fim, quando efetuamos dimensionamento de sistemas, procuramos minimizar tais efeitos pela modificação de fluxos, pela colocação de mais atendentes, pela utilização de melhores atendentes, etc. Certamente, dentro de uma ótica de prestar o atendimento adequado dentro de uma faixa de custos adequada.
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Unidade 2: Teoria das Filas
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Unidade 2: Teoria das Filas
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Sistemas Estáveis 
A abordagem matemática das filas pela teoria de filas exige estabilidade no fluxo de chegada e no processo de atendimento, ou seja, os valores de λ e μ devem se manter constante no tempo. Do contrário, devemos nos valer da simulação por computador.
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Unidade 2: Teoria das Filas
Funcionamento de um banco;
Fluxo de chegada de clientes varia durante o horário bancário. Ou seja, não existe estabilidade para o ritmo de chegada no período das 10 às 16h;
 Filas x Simulação ( λ e μ não constantes no tempo);
 λ e µ constantes no tempo, então, filas.
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Unidade 2: Teoria de Filas
Ou seja, não existe estabilidade para o ritmo de chegada no período das 10:00 às 16:00h, portanto não podemos analisar seu funcionamento pela teoria das filas, a menos que usemos alguns artifícios, por exemplo, retalhar o período global em períodos parciais.
 Infelizmente, isso torna ainda mais complexa a abordagem pela teoria das filas. Conforme dissemos, para esses casos a simulação por computador é a ferramenta adequada.
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Unidade 2: Teoria de Filas
Outra exigência para que o processo seja estável é que os atendentes sejam capazes de atender o fluxo de chegada. No caso de “uma fila e um atendente” isso significa dizer que μ > λ ( a capacidade de atendimento é maior que o ritmo de chegada). Caso isso não ocorra, o tamanho da fila aumentará infinitamente.
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Unidade 2: Teoria de Filas
Resumindo:
Sistemas Estáveis:
Fluxo médio de entrada (λ) constante;
Ritmo médio de atendimento (μ) constante;
 μ > λ (uma fila e um atendente) .
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Unidade 2: Teoria de Filas
Em processos randômicos estáveis, μ e λ representam valores médios e, para entender a razão da ocorrência de filas, quando μ > λ é necessário ter em mente que sempre é possível a ocorrência de fatos “ruins”, por exemplo:
Em determinado instante podem chegar mais clientes que a capacidade de atendimento daquele momento, gerando filas temporárias. 
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Unidade 2: Teoria de Filas
Em processos randômicos estáveis, μ e λ representam valores médios e, para entender a razão da ocorrência de filas, quando μ > λ é necessário ter em mente que sempre é possível a ocorrência de fatos “ruins”, por exemplo:
ii. O atendimento de determinado cliente pode ser muito mais moroso que a média, obrigando os clientes que chegam posteriormente a ficar em fila. 
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Unidade 2: Teoria de Filas
Por fim, em sistema estáveis, todas as características randômicas das filas se mantêm estáveis o tempo todo, significando que oscilam em torno de um valor médio. Isso se aplica a tamanho médio da fila, tempo médio da fila, tempo médio de espera, tempo médio de atendimento, etc. 
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Unidade 2: Teoria de Filas
DIMENSIONANDO FILAS
Conforme afirmamos anteriormente, estudamos filas para dimensionar sistemas com o objetivo de prestar um melhor atendimento aos clientes ou para obter uma redução de custos do funcionamento do sistema. Assim, as considerações a seguir valem para qualquer situação: sistemas estáveis ou não. 
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Unidade 2: Teoria de Filas
A escolha inicial: A qualidade do atendimento
Essa escolha geralmente está ligada à capacidade de atendimento a ser implantada e que deverá atender os clientes que chegam. As opções são: 
Atendimento para a média de chegada;
Atendimento para o pico de chegada;
Atendimento para momentos especiais.
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Unidade 2: Teoria de Filas
Obtenção de dados: o tamanho da amostra
Para estudar um sistema, é necessário ter algunsdados para, de posse deles, deduzir os outros necessários ao dimensionamento. Para efetuar um correto dimensionamento, é necessário que os dados sejam confiáveis. Para isso, a escolha de um correto tamanho de amostra é fundamental. A não observância desse item pode confundir, porque produz diferentes valores para uma mesma variável.
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Unidade 2: Teoria de Filas
Obtenção de dados: o tamanho da amostra
Por exemplo, em um sistema estável podemos ter um tempo médio de espera na fila de 5 minutos. Para chegar a essa conclusão, foi necessário observar o funcionamento do sistema durante um longo período, no qual inúmeros clientes foram atendidos. Se observarmos apenas o atendimento de uns poucos clientes, poderemos encontrar um valor bastante diferente para o tempo médio de espera na fila.
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Unidade 2: Teoria de Filas
Tipos de filas e quantidade(s) de servidor(es).
Quando desejamos dimensionar um sistema, podemos escolher diversas opções para o atendimento:
Uma única fila e um único servidor;
Uma única fila e diversos servidores;
Diversas filas e os correspondentes servidores;
Filas especiais;
Alteração dinâmica no sistema de atendimento. 
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Unidade 2: Teoria de Filas
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Unidade 2: Teoria de Filas
A escolha entre as opções anteriores vai depender das características do sistema em estudo, pois o que pode ser ótimo em uma situação pode ser péssimo em outra ou, então, inadequado.
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Unidade 2: Teoria de Filas
Em situações em que a distribuição do tempo de atendimento pode variar dentro de uma larga faixa de valores, não se recomenda o uso de diversas filas, e sim uma fila única.
 
É o caso de bancos, correios, etc., em que sempre pode ocorrer que alguns clientes apresentem uma carga de serviço muito grande, portanto o tempo de atendimento para eles será exageradamente maior que a média. Sendo assim, uma fila única com diversos atendentes é a melhor solução.
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Unidade 2: Teoria de Filas
Em outas situações, é conveniente modificar dinamicamente a quantidade de atendentes conforme aumente ou diminua o fluxo de chegada de clientes. Bancos têm usado esse expediente, tornando disponíveis atendentes extras nos horários de pico. (verdade para o usuário?)
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Unidade 2: Teoria de Filas
Às vezes a fila única é impraticável, como no caso de supermercados. Aqui a existência de “caixas expressos”, para clientes com poucos itens de compra, representa uma maneira de prestar um bom serviço, além de conquistar clientes que, do contrário, não se sujeitariam a filas morosas para adquirir poucos itens. ( solteiros, famílias cada vez menores, recessão econômica, etc.)
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Unidade 2: Teoria das Filas
Vamos continuar com as considerações conceituais, agora com enfoque matemático, no qual apresentaremos as chamadas variáveis randômicas fundamentais.
λ = Ritmo médio de chegada;
µ = Ritmo média de atendimento;
c = Capacidade de atendimento ou quantidade de atendentes.
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Unidade 2: Teoria das Filas
Variáveis Randômicas Fundamentais
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Unidade 2: Teoria das Filas
Variáveis Randômicas Fundamentais
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Variáveis referentes ao sistema:
TS = Tempo médio de permanência no sistema;
NS = Número médio de clientes no sistema;
Variáveis referentes ao processo de chegada:
λ = Ritmo médio de chegada;
IC = Intervalo médio entre chegadas;
Por definição: IC = 1/ λ.
Unidade 2: Teoria das Filas
Variáveis Randômicas Fundamentais
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Variáveis referentes à fila:
TF = Tempo médio de permanência na fila;
NF = Número médio de clientes na fila;
Variáveis referentes ao processo de atendimento:
TA = Tempo médio de atendimento ou de serviço;
c = Capacidade de atendimento ou quantidade de atendentes;
NA= Número médio de clientes que estão sendo atendidos;
Unidade 2: Teoria das Filas
Variáveis Randômicas Fundamentais
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Variáveis referentes ao processo de atendimento (cont.):
µ = Ritmo médio de atendimento de cada atendente;
Por definição: TA= 1/µ.
Unidade 2: Teoria das Filas
Variáveis Randômicas Fundamentais
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Relações Básicas:
NS= NF + NA;
TS= TF + TA;
Pode-se demonstrar também que:
NA= λ/µ= TA/IC
Logo,
NS= NF+ NA = NF+(λ/µ) ou = NF + (TA/IC)
Unidade 2: Teoria das Filas
Variáveis Randômicas Fundamentais
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Taxa de utilização dos atendentes (conceito):
Para o caso de uma fila/um atendente, chamamos de taxa de utilização do atendente a expressão:
ρ = λ / μ , na qual λ = ritmo médio de chegada e μ = ritmo médio de atendimento. (c=1)
Já para o caso de uma fila/vários atendentes, a expressão se torna:
ρ = λ / c.μ, em que c é o número de atendentes.
Unidade 2: Teoria das Filas
Variáveis Randômicas Fundamentais
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Taxa de utilização dos atendentes (conceito):
Assim, ρ representa a fração média do tempo em que cada servidor está ocupado.
Ex: Sistema com 1 atendente, λ = 4 clientes/hora, µ = 10 clientes/hora, dizemos, então, que a taxa de utilização é 0,40 e podemos afirmar que o atendente fica 40% do tempo ocupado e consequentemente 60% do tempo livre.
Unidade 2: Teoria das Filas
Variáveis Randômicas Fundamentais
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Taxa de utilização dos atendentes (conceito):
Visto que estudaremos apenas sistemas estáveis (os atendentes sempre serão capazes de atender o fluxo de chegada, ou seja, µ > λ (sistemas estáveis), logo,sempre teremos ρ < 1.
E quando ρ = 1?
 R: O atendente trabalhará 100% do tempo! (Máquina?)
Unidade 2: Teoria das Filas
Variáveis Randômicas Fundamentais
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Intensidade de tráfego ou número mínimo de atendentes (i):
Chamaremos de intensidade de tráfego a expressão, usada na indústria telefônica:
 i = l λ / μ l = l TA / IC l , medido em “erlangs”. Em que i é o próximo valor inteiro que se obtém, ou seja, o valor absoluto.
Na prática i representa o número mínimo de atendentes necessários para atender um dado fluxo de tráfego.
Unidade 2: Teoria das Filas
Variáveis Randômicas Fundamentais
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Intensidade de tráfego ou número mínimo de atendentes , i = l λ / μ l = l TA / IC l ;
Por exemplo, se λ = 10 clientes/hora e TA= 3 minutos, qual seria o valor de i ? (0,5, logo 1 atendente é suficiente). 
Agora, se o fluxo aumentar λ = 50 clientes/hora e TA= 3 minutos, então, i? (2,5, logo 3 atendentes). 
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Fórmulas de Little
 J.D.C.Little demonstrou que, para um sistema estável (μ > λ) de filas, temos:
 NF = λ x TF
 NS = λ x TS
Fórmulas importantíssimas, pois fazem referências a quatro das mais importantes variáveis randômicas de um sistema de filas: NS, NF, TS e TF.
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Fórmulas de Little (cont.)
 NF = λ x TF
 NS = λ x TS
É importante salientar que as fórmulas acima independem da quantidade de servidores e do modelo de fila, pois são fórmulas básicas.
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 O aluno pode observar que existe uma semelhança entre as fórmulas de Little e a fórmula sobre velocidade da física clássica:
Little: λ = NF/ TF;
Física: velocidade = espaço / tempo;
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Exercício: ( NF=5,2 clientes, NS= 6 clientes e NA=0,8 cliente.)
Em uma fábrica observou-se o funcionamento de uma dado setor, em que λ = 20 clientes por hora, µ = 25 clientes por hora e TS = 0,3 hora. Pede-se o tamanho médio da fila (NF), o número médio de clientes no sistema (NS) e o número médio de clientes que estão sendo atendidos (NA)?
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Por little, λ= 0,5 chegada por minuto.
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2. Em uma mineração cada caminhão efetua um ciclo em que é carregado de minério por uma das carregadeiras, desloca-se para o britador (sistema em estudo) onde efetua o descarregamento e retorna às carregadeiras. Verificou-se que o tempo médio (TS) dos caminhões junto ao britador é de 12 minutos e que, em média, existem 6 caminhões (NS) nesse setor. Quala taxa de chegada de caminhões?
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Ciclo
Chamamos de ciclo o tempo gasto para que um caminhão, partindo de um ponto de referência qualquer, percorra todo o sistema e volte ao mesmo ponto. Consequentemente, esse também é o tempo necessário para que todos os caminhões passem pelo mesmo ponto.
Duração do ciclo = (quantidade de caminhões)/ λ
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 3. No mesmo sistema do exercício 2 (mineração/britador), existindo um total de 30 caminhões em serviço, qual a duração do ciclo, sabendo que λ= 0,5 chegada por minuto?
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4. No mesmo sistema do exercício 3 (mineração/britador), qual o tempo fora do sistema (TFS)? Observa-se que o sistema em estudo é o britador. Dado do exercício 2, TS = 12 minutos.
TFS + TS = Ciclo 
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Um caminhão está fora do sistema quando não ocupa o espaço citado.
 Assim:
Um ciclo corresponde à soma do tempo dentro do sistema (TS=12) mais o tempo fora do sistema (TFS). Logo:
TFS + TS = Ciclo 
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**Substituir NS por NF na 1º fórmulas de Little
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Postulados Básicos (μ > λ, estabilidade)
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Lista de Exercício - Exercício 1
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 Exercício 2
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 Exercício 3
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 Exercício 4
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