Resolvido_04 de Maio

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(λ ; μ )
λ = 6 chegadas/hora
TA= 3 minutos ... 1h = 60 minutos ... [ ] TA = 3/60 hora
 x = 3 minutos
μ = 1/TA = 1÷3/60 = 60/3 = 20 chegadas/hora
a) Pn= ( 1- λ/ μ) (λ/ μ)ᶰ = n=zero= P0 =( 1-6/20).(1) = 14/20 =0,7 ou 70%;
b) NF = λ² / μ( μ – λ) = 6² /20(20-6) = 36/20(14) =0,128 pessoa;
c) NS = λ/(μ – λ) = 6/(20-6) = 6/14 = 0,428 pessoa;
NS=NF+NA
d) NA= NS – NF = 0,428 – 0,128 = 0,3 pessoa;
e) TF= λ/μ (μ – λ) = 6/ 20(20-6) = 6/20(14)= 0,021 hora;
f) λ´=? ... TF = 3 minutos ... μ = 20 clientes/hora
1h --- 60 minutos TF[=] hora ... TF = 3/60 h
X --- 3 minutos
TF= λ/μ (μ – λ)
3/60 = λ/20(20 – λ) ... λ= 10 clientes/hora
3.20(20-λ)= 60.λ
60(20-λ)= 60.λ
(20-λ)=λ
20=λ+λ 
20 = 2λ ... λ= 10 clientes/hora
g) 1- P0(letra “a”) = 1-0,70 = 0,30 ou 30%
1) λ = 3 clientes / hora λ < μ estabilidade
 TA = 16 minutos ... TA =0,26 h
 1 h --- 60 minutos TA[=] horas ... 16/60 h
 X ---- 16 minutos 
μ = 1/TA ... 1/16/60 = 60/16 clientes/hora ( 3,75 clientes/hora)
 TS= 1/(μ – λ) = 1/(3,75 – 3) = TS=1,33 hora;
 (Recepção) TF= λ/μ (μ – λ) = 3/3,75(3,75-3) = 1,07 horas
 ou
 TS= TF+TA
 TF = TS – TA = 1,33 – 0,26 = 1,07 horas
2) λ = 25 pessoas/hora. λ < μ estabilidade
TA = 2 minutos. 
Pausa: 
 1h = 60’ TA= 2/60 = 1/30 hora
 TA’—2’
μ = 1/TA = 1/ 1/30= 1*30/1= 30 pessoas/hora
NF= λ² / μ( μ – λ) ... 25² /30(30-25) = 625/30*5 = 4,16 pessoas;
 TF = λ/μ (μ – λ) = 25/30(30-25) =25/30*5 = 0,166 h ou aproximadamente 10minutos
P(0)?
 P(0)= ( 1- λ/ μ)* (λ/ μ)° = ( 1- 25/30) (25/30)° = 30-25/30*(1) = 5/30= 1/6 ou16,67%
3) λ = 04 clientes/hora. λ < μ estabilidade
μ = 06 clientes/hora.
a) P(0) = ( 1- λ/ μ)* (λ/ μ)° 
P(0) = ( 1-4/6) * (4/6)° = 6-4/6* (1) = 2/6 = 1/3= 33,33%
b) P(1)= ( 1- λ/ μ)* (λ/ μ)¹ 
P(1)= ( 1-4/6) * (4/6)¹ = 6-4/6 * ( 4/6) = 2/6 * 4/6 = 1/3*2/3 = 2/9 =22,23%
c) P(3) = ( 1- λ/ μ)* (λ/ μ)³
P(3) = ( 1-4/6) * (4/6)³ = 6-4/6 * (4/6)³ = 2/6*4/6*4/6*4/6= 1/3*2/3*2/3*2/3= 8/81 = 9,88%
d) P(4) = ( 1- λ/ μ)* (λ/ μ)4 
P(4) = ( 1-4/6)*(4/6)4 
P(4) = ( 2/6)*(4/6)4 
P(4) = ( 2/6)*(4/6)4 
 P(4) = 6,58% 
4) Uma fábrica tem um depósito de ferramentas no qual os operários vão receber as ferramentas especiais para a realização de determinada tarefa. Verificou-se que o ritmo de chegada (λ = 1 operário por minuto) e o ritmo de atendimento (μ= 1,2 atendimentos por minuto) seguem o modelo marcoviano M/M/1. A fábrica paga R$ 9,00/hora atendente e R$ 18,00 ao operário. Pede-se:
O custo horário do sistema?
CHs = Ch atendente + Ch operário
CHs= 9,00 *1(atendente) + NS*18 = 9,00 + 5*18 = 99,00
Pausa: calcular o NS = λ/μ-λ = 1/1,2-1= 1/0,2= 5 operários
000...00000 Ø
 NF NA 
 NS=NF+NA
 P(0) = ( 1- λ/ μ)* (λ/ μ)° 
 P(0) = (1 – 1/1,2)*(1/1,2)0 =1,2-1/1,2*1 = 0,2/1,2 = 0,166 ou 16,66%
FABRICAÇÃO (λ, μ) = (10,15)
NF= λ² / μ( μ – λ) = (102)/15(15-10) = 100/15(5) = 1,33 
INSPEÇÃO (λ, μ) = (10,30)
NF= λ² / μ( μ – λ) = (102)/30(30-10) = 100/30(20) = 0,16
REPARO (λ, μ) = (2,20)
NF= λ² / μ( μ – λ) = (22)/20(20-2) = 4/20(18) = 0,01
LISTA DE EXERCÍCIOS ( λ, μ, ρ)
1) Em uma praça de pedágio chegam 1200 automóveis a cada hora. Pode-se dizer que a taxa média de chegada em minutos é de:
 λ = 1200 automóveis/hora
 Considerando que 1 hora = 60 minutos
 λ [automóveis/minutos] = 1200 automóveis/ 60 minutos = 
 λ = 20 automóveis/minutos.
M/M/1
3) Uma copiadora num escritório recebe cerca de 50 papéis por hora, satisfazendo uma distribuição aproximada de Poisson(M). O atendimento é feito numa razão de 80 por hora. Calcule a ocupação do sistema.
ρ = λ/c.μ 
λ =50 pápeis/hora
μ = 80 atendimento(papéis)/ hora
c= 1 copiadora
 ρ = λ/c.μ = 50/1*80 = 5/8 = 62,5%
4) Dos vetores abaixo qual é vetor de probabilidade? 
a = (1/3, 0 ,- 1/6 ,1/2, 1/3) 
 
 b = (1/3, 0 ,1/6, 1/2, 1/3) Σ =1,3 > 100%
 c = (1/3, 0, 0, 1/6, 1/2) Σ =1,0 = 100%
 d = (0 0 0 0 0) 0%
 e = (1 1 1 1 1) Σ = 100%
5) Durante um período de observação de 1 hora,  40.000 pacotes foram encaminhados por um terminal que tem a capacidade de atender 200 pacotes por segundo. Qual a utilização do terminal?
ρ = λ/c.μ 
λ 40.000 pacotes/1 hora Terminal (μ =200 pacotes/segundo)
c= 1 terminal
Considerando que 1 hora tem 3600 segundos.
λ = 40.000 pacotes/ 3600 segundos = 400/36
ρ = λ/c.μ = 400/36 ÷ 1*200 = 400/36*200= 2/36= 1/18= 0,0555 = 5,56 %
6) Uma recepcionista num escritório recebe cerca de 50 ligações por hora, satisfazendo uma distribuição aproximada de Poisson. O atendimento é feito numa razão de 80 por hora. Calcule o tempo médio de atendimento?
Condição de estabilidade λ < μ !!!
λ = 50 ligações /hora 
 recepcionista (uma, c=1)
 μ= 80 atendimentos/ hora
μ = 1/TA
TA = 1/ μ = 1/80 =0,0125 hora ou 0,75 minuto ou 45 segundos.
11) Um caixa único de um Banco atende em média 5 clientes a cada 30 minutos. Sabe-se que entram no banco para atendimento no caixa, 8 clientes por hora. Qual o número médio de clientes no sistema (NS)?
NS= λ/μ – λ = 2/15 ÷(1/6-2/15) = 2/15 ÷( 5-4 /30) = 2/15 ÷1/30 = 2/15 *30 = 2*30/15= 4 clientes
λ = 8 clientes/ hora = 8 clientes/ 60 minutos = ÷4 = 2/15 cliente/minuto 
μ = 5 clientes/30 minutos = ÷ 5 = 1/6 cliente/minuto
Estabilidade? Condição de estabilidade λ < μ !!!
 2/15 < 1/6 , verdade?
12)Pessoas chegam a uma bilheteria de um cinema a um ritmo de 15 por hora. O tempo médio de atendimento da bilheteria é de 3 minutos. Qual o tempo médio de espera na fila? (TF)
TF= λ/μ (μ – λ) = 15÷ 20(20-15) = 15÷ 20(5) = 3/20 hora ou 9 minutos.
 λ = 15 pessoas/hora
 TA = 3 minutos = 1/ μ = 1/20 ... μ = 20 atendimentos/hora
 1 h ---- 60 minutos
 TA --- 3 minutos
TA[h] = 3/60= 1/20 h
13) Um posto bancário emprega um caixa. Chegam, em média, 20 clientes por hora. O atendimento demora, em média, 2 minutos. Qual o número médio de clientes no banco (NS)?
NS= λ/(μ – λ) = 20/(30-20) = 20/10 = 2 clientes
λ = 20 clientes/ hora
TA= 2 minutos = 1/ μ = 1/30 = μ = 30 atendimentos/hora
 1 h ---- 60 minutos
 TA --- 2 minutos
TA= 2/60= 1/30 h
14)Um caixa único de um Banco atende em média 5 clientes a cada 30 minutos. Sabe-se que entram no banco para atendimento no caixa, 8 clientes por hora. Qual o tempo médio gasto no sistema por cliente? (TS)
TS= 1/(μ – λ) = 1÷( 1/6 – 2/15) = 1÷(5-4/30) = 1÷ 1/30= 30 minutos
μ = 5 clientes/ 30 minutos = 1/6 cliente/ minuto
λ = 8 clientes/ hora = 8 clientes/60 minutos = ÷4 = 2/15 cliente/minuto
15)Durante um período de 1 hora, um servidor de nomes de um sistema distribuído recebeu 10.800 consultas. O tempo médio de resposta observado para cada consulta foi de 1/4 s. Qual o número médio de consultas no servidor (NS)?
NS= λ/(μ – λ) = 3÷(4-3) = 3÷(1) = 3 consultas
λ = 10.800 consultas/ hora
1 hora = 3600 segundos
λ = 10.800 consultas/ 3600 segundos = 108/36 = 3 consultas/segundo
 TA = ¼ segundo = 1/ μ = 1/4 = μ = 4 consultas/segundo
 16) Pessoas chegam a uma bilheteria de um cinema a um ritmo de 15 por hora. O tempo médio de atendimento da bilheteria é de 3 minutos. Qual o tamanho da fila? (NF)
NF= λ² / μ( μ – λ) = 152 ÷20(20-15) =15*15 ÷ 20(5) = 3*3 /4*1= 9/4 pessoas
λ = 15 pessoas/hora 
TA = 3 minutos =1/ μ = 1/20 = μ = 20 pessoas/hora
1 h ---- 60 minutos μ diferente de TA!!!
TA --- 3 minutos
TA = 3/60 = 1/20 h
17)Num posto de saúde temos uma atendente. Chegam, em média, 20 pacientes por hora. O atendimento demora, em média, 2 minutos. Quanto tempo cada paciente pode estimar que vai esperar na fila? ( TF)?
TF= λ/μ (μ – λ) = 20÷ 30(30-20) = 20÷30(10) = 20/300=2/30= 1/15hora ou 4 minutos
λ = 20 pacientes/hora
TA = 2 minutos = 1/ μ = 1/30 = μ = 30 pacientes/hora
1 h ---- 60 minutos μ diferente de TA!!!
TA --- 2 minutos
TA = 2/60 = 1/30 h
18)Um caixa único de um Banco atende em média 5 clientes a cada 30 minutos. Sabe-se que entram no banco para atendimento no caixa, 8 clientes por hora. Qual a probabilidade de ter 2 clientes no sistema(P2) ?
Pn= (1- λ/ μ)*(λ/ μ)n ... P2= (1- λ/ μ)*(λ/ μ)2 
P2= (1- 2/15/1/6)*( 2/15/1/6)2 = 
 (1- 2/15/1/6)*( 2/15/1/6)2 = (1- 2/15*6/1) (12/15)2
= (15-12/15)( 12*12/15*15)= 3/15*(122/152)
P2= 3/15* 144/225= 0,128 ou 12,8%
λ = 8 clientes/ hora = 8 clientes/ 60 minutos = 2/15 clientes/minuto
μ = 5 clientes/30 minutos = 1/6 cliente/minuto
Acompanhe as orientações:
 
1 - DATA DA PROVA: A prova (AV1) ocorrerá no dia 11 de maio/20. As provas ocorrerão no dia e no horário da aula, de acordo com o calendário de provas apresentado no SIA;
2 - As provas serão realizadas no ambiente TEAMS sala de cada equipe das disciplinas;
3 - O aluno deve verificar se está como membro nas equipes das disciplinas em que está  matriculado, pois o aluno deve acessar a sala de aula pela equipe no TEAMS no dia da aula e da data  de cada prova estabelecida. NÃO SERÁ ENVIADO LINK;
4- Permanência mínima na sala de aula durante a prova: O aluno deve permanecer na sala de aula virtual, no dia da prova, por no mínimo 30 minutos a partir do início da prova;
5 – No horário da aula, o Professor postará a prova pelo TEAMS.  Cada aluno é responsável por baixar a sua prova, responder as questões, salvar o arquivo com seu nome e sobrenome e enviar para o professor. Exemplo de como deve ser o nome do ARQUIVO: MariaPereiraAV1;
6 - O aluno deve postar a Prova com as respostas no SAVA. O professor indicará o local em cada disciplina.
7 - Caso o aluno não entre na aula no dia da prova, com seu próprio login, para realizá-la, será considerado falta e o aluno estará automaticamente de AV3. Não serão recebidas provas em que o aluno não se faça presente na aula de prova;
M/M/1
19) Carlos é aluno da Universidade Estácio e presta alguns serviços para complementar sua renda. Ele recebe solicitação de serviço a cada cinco dias (λ) em média, com o tempo entre solicitações segue uma distribuição exponencial. O tempo para concluir um trabalho também segue uma distribuição exponencial com média de 4 dias (TA). Qual é a probabilidade do Carlos ficar sem serviço?
P(0)=??
Pn= (1- λ/ μ)*(λ/ μ)n ... P(0)= (1- λ/ μ)*(λ/ μ)0 
P(0)= (1- 1/5÷1/4)*( 1/5÷1/4)0 = 1/5= 20%
(λ, μ)
λ = 1 solicitação/5 dias = 1/5 solicitação/dia ou 0,2 solicitação/dia
TA= 4 dias
μ= 1/TA = 1/4 solicitação/dia
NF= λ² / μ( μ – λ)
	
	λ
	μ
	NF
	Fabricação
	20
	30
	=202/30(30-20)=1,33
	Inspeção
	20
	40
	=202/40(40-20)=0,50
	Reparo
	8
	15
	=82/15(15-8)=0,61
λreparo = 40%* λinspeção (Postulado!!!)
Parte 2
1) O número médio de carros que chegam a um posto de informações é igual a 10 carros/hora. Assumir que o tempo médio de atendimento por carro seja de 4 minutos, e ambas as distribuições de intervalos entre chegadas e tempo de serviço sejam exponenciais. 
 (λ, μ)
λ = 10 carros/hora
μ diferente TA
TA = 4 minutos 
μ =1/TA = 1÷1/15 = μ = 15 carros/hora
1 h ---- 60 minutos μ diferente de TA!!!
TA --- 4 minutos
TA = 4/60 = 1/15 h
Responder as seguintes questões: 
a - Qual a probabilidade do posto de informações estar livre? 1/3
 Pn= (1- λ/ μ)*(λ/ μ)n ... P(0)= (1- λ/ μ)*(λ/ μ)0 =(1- 10/15)*(10/15)0=
 Aplicando mmc na primeira parte
 P(0)= 15-10/15*(1)= 5/15=1/3
b - Qual a quantidade média de carros esperando na fila? 4/3
 NF= λ²/μ(μ – λ) = 102/15(15-10) = 100/15*5 =4/3 carros
c - Qual o tempo médio que um carro gasta no sistema?1/5 h ou 12’ 
 TS= 1/(μ – λ) = 1/(15-10) = 1/5 h = 12 minutos
d - Quantos carros serão atendidos em média por hora?
μ = 15 carros/hora 
2) Supondo-se que a chegada de um navio ao berço portuário siga a distribuição de Poisson, com uma taxa de 6 navios por dia. A duração média de atendimento dos navios é de 3 horas, seguindo-se a distribuição exponencial. Calcule os seguintes valores: 
λ = 6 navios/dia
 μ > λ estabilidade!!
TA= 3 horas 
μ =1/TA = 1÷1/8 = μ = 8 navios/dia
1 dia ---- 24 horas μ diferente de TA!!!
TA --- 3 horas
TA = 3/24 = 1/8 dia
a – Qual a probabilidade de um navio chegar ao porto e não esperar para atracar? Po=25%
Pn= (1- λ/ μ)*(λ/ μ)n ... P(0)= (1- λ/ μ)*(λ/ μ)0
P(0)= (1- 6/8)*(6/8)0 ... mmc.. P(0) = (8-6/8)*(1)= 2/8= ¼ ou 25%
b – Qual é a quantidade média de navios na fila do porto? 
NF= λ²/μ(μ – λ) = 62/8(8-6) = 36/8(2)= 18/8= 9/4= 2,25 navios
c – Qual é a quantidade média de navios no sistema portuário? 
NS= λ/(μ – λ) = 6/(8-6) = 6/2= 3 navios
d – Qual é a quantidade média de navios utilizando o porto? NA= NS-NF=3-2,25= 0,75 navio
e - Qual é o tempo médio de um navio na fila? TF= 0,375 dia ou 9 horas
 TF= λ/μ (μ – λ) = 6/8(8-6)= 6/8(2) = 3/8 = 0,375 dia
· Little (λ =NF/TF) ... sei pela letra b que o NF = 2,25 navios, logo pela fórmula de Little :
 TF= NF/ λ = 2,25/6 = 0,375 dia ou 9 horas
f – Qual deve ser a taxa de chegada de um navio para que o tempo médio na fila seja de 3 horas? λ = 4 navios/dia, TF= 3h ou 1/3 dia
λ’ = ?? TF = 3 horas 
 μ = 8 navios/dia ... 8 navios/24 h= 1/3 navio/h
TF= λ’/μ (μ – λ’) = 3h ... 
 = λ’/1/3(1/3 – λ’) = 3h
= λ’ = 3*1/3(1/3 - λ’) ... λ’ = 1/3 - λ’ ... 2 λ’ = 1/3 ... 
λ’= 1/3÷2 = 1/6 navio/hora ou 1/6 ÷1/24 = 24/6 = 4 navios/dia
1 dia – 24 horas
Xx ---- 1 hora
g – Qual é a probabilidade do berço portuário estar em uso? (1- Po)
 
Pela letra a sabe-se que P0 =1/4 
 Puso= 1- P0 = 1- ¼ = 4-1/4= ¾
Obs: O gabarito informado está errado!!!!
3) Uma distribuidora de combustíveis utiliza caminhões para transportar o seu produto. Sabendo-se que esta empresa só tem um ponto de abastecimento dos caminhões, que os ritmos de chegada e de atendimento seguem as distribuições do modelo Markoviano (M/M/1), que a taxa de chegada dos caminhões é de 4 unidades por hora, que a taxa de atendimento é de 5 unidades por hora, que os custos horários do funcionário que abastece o veículo é de 5,00 unidades monetárias e do motorista é de 12,00 unidades monetárias, calcule o custo horário do sistema (CHS) e a probabilidade do funcionário que abastece ficar sem nenhum caminhão para abastecer. chs=53,00 e Po=20%
λ = 4 caminhões/hora 
 μ = 5 caminhões/hora .................... μ > λ, ok!
· Custo unitário funcionário = R$ 5,00/hora
· Custo unitário do motorista = R$ 12,00/hora
CHoraSistema = Ch funcionário + Ct motoristas
 = 1*5,00 + NS*R$12,00
NS= λ/(μ – λ) = 4/(5-4)= 4/1 = 4 caminhões
CHoraSistema = Ch funcionário + Ct motoristas
 = 1*5,00 + 4*R$12,00
CHS= 5,00 + 4*R$12,00 = 5,00+ 48,00 = R$ 53,00
 CHS = R$ 53,00
a probabilidade do funcionário que abastece ficar sem nenhum caminhão para abastecer.
Pn= (1- λ/ μ)*(λ/ μ)n ... P(0)= (1- λ/ μ)*(λ/ μ)0
P(0)= (1- 4/5)*(4/5)0 ... mmc.. P(0) = (5-4/5)*(1)= 1/5 ou 20%