atividade 2º ano ensino médio

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Simetria na Primeira Volta do Círculo Trigonométrico
Arcos simétricos são aqueles que possuem mesma abscissa ou mesma ordenada (do sistema de coordenadas) ou são diametralmente opostos. Assim, qualquer arco do círculo trigonométrico possui um simétrico nos outros quadrantes. Esses 4 arcos simétricos serão representados pelos vértices de um retângulo ou de um quadrado e, seus valores, são determinados a partir dos arcos de 0, 180°, 360° e seus arcos côngruos. Vamos verificar como se determina os arcos simétricos a partir de um arco do primeiro quadrante, na primeira determinação positiva. Os conceitos utilizados para a determinação desses arcos poderão ser utilizados para a determinação de outros simétricos, em qualquer quadrante e em qualquer volta.
Considere um arco de medida α (alfa), em graus, no primeiro quadrante. Esse arco, possui simétricos no 2°, 3° e 4° quadrantes. O simétrico no 2° quadrante tem mesma ordenada que o arco α (alfa), o do 3° quadrante é diametralmente oposto e o simétrico no 4° quadrante tem mesma abscissa.
 
Note que, a medida dos arcos (em verde) dos 3 simétricos de α (alfa), em relação aos arcos de 180° e 360°, também é α (alfa). Assim, podemos verificar que o simétrico de α (alfa) no 2° quadrante mede (180° - α), que o simétrico de α (alfa) no 3° quadrante mede (180° + α) e que o simétrico de α (alfa) no 4° quadrante mede (360° - α).
Agora, vamos determinar as medidas dos simétricos dos arcos de 30°, 45° e 60°.
Simétricos de 30°:
Assim, os arcos de 30°, 150°, 210° e 330° são simétricos.
Simétricos de 45°:
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Assim, os arcos de 45°, 135°, 225° e 315° são simétricos.
Simétricos de 60°:
Assim, os arcos de 60°, 120°, 240° e 300° são simétricos.
Agora, considere um arco de medida β (beta), em radiano, no primeiro quadrante. Esse arco, possui simétricos no 2°, 3° e 4° quadrantes. O simétrico no 2° quadrante tem mesma ordenada que o arco β (beta), o do 3° quadrante é diametralmente oposto e o simétrico no 4° quadrante tem mesma abscissa.
Note que, a medida dos arcos (em verde) dos 3 simétricos de β (beta), em relação aos arcos de 180° e 360°, é β (beta). Assim, podemos verificar que o simétrico de β (beta) no 2° quadrante mede (π - β ), que o simétrico de β (beta) no 3° quadrante mede (π + β ) e que o simétrico de α (alfa) no 4° quadrante mede (2π - β ).
 
Agora, vamos determinar os simétricos de radiano.
Simétricos de π/6 radiano:
Assim, os arcos de  radianos são simétricos.
Simétricos de π/4 radiano:
 
Assim, os arcos de  radianos são simétricos.
 
Simétricos de π/3 radiano:
 
Assim, os arcos de  radianos são simétricos.
Seno e Cosseno de um Arco
Considere um arco de medida α (alfa) no círculo trigonométrico. A partir desse arco, é possível construir um triângulo retângulo com catetos medindo x e y, e hipotenusa de medida igual a 1, pois o raio do círculo trigonométrico é unitário: 
 
Utilizando as relações trigonométricas nos triângulos retângulo, podemos verificar que:
Assim, podemos definir a abscissa de α (alfa) como cosα e a ordenada de α (alfa) como senα:
 
 
Observação: lembre-se que os valores dos eixos cartesianos que estão acima e à direita da origem são positivos ...
 
... e os valores que estão abaixo e à esquerda da origem são negativos.
 
Assim, se o ângulo α (alfa) está no 1° quadrante, tem-se que senα > 0 (positivo) e cosα > 0 (positivo).
Utilizando os mesmos conceitos de coordenadas, podemos verificar que:
➦ se o ângulo α (alfa) estiver no 2° quadrante, tem-se que senα > 0 (positivo) e cosα < 0 (negativo).
 ➦ se o ângulo α (alfa) estiver no 3° quadrante, tem-se que senα < 0 (negativo) e cosα < 0 (negativo).
 ➦ se o ângulo α (alfa) estiver no 4° quadrante, tem-se que senα < 0 (negativo) e cosα > 0 (positivo).
Resumindo:
➦o seno dos arcos é positivo nos quadrantes 1 e 2 e, negativo, nos quadrantes 3 e 4.
 ➦o cosseno dos arcos é positivo nos quadrantes 1 e 4 e, negativo, nos quadrantes 2 e 3.
 
Para os arcos de 0, 90°, 180°, 270°, 360° e seus côngruos, os valores dos senos e cossenos serão:
 
 
 Tangente de um Arco
 Para representar a tangente de um arco de medida α (alfa) precisamos construir um terceiro eixo que passa pela origem dos arcos e é paralelo ao eixo dos senos. A origem dos arcos também será a origem desse novo eixo. Assim, os valores que estão acima dessa origem serão positivos e os valores que estão abaixo, negativos.
 
Considere um segmento de reta cujas extremidades coincidem com o centro do círculo trigonométrico e o arco. Para representar o valor da tangente dos arcos devemos prolongar esse segmento de reta, até cruzar com o eixo das tangentes. Assim, podemos verificar que o valor da tangente de um arco do 1° quadrante será positivo (tgα > 0)
Para os arcos do 2° quadrante, os valores das tangentes serão negativos (tgα < 0).
Para os arcos do 3° quadrante, os valores das tangentes serão positivos (tgα > 0).
Para os arcos do 4° quadrante, os valores das tangentes serão negativos (tgα < 0).
Assim, podemos verificar a seguinte tabela de valores:
 
 
Aplicação
Agora, vamos reunir todos esses conceitos e resolver um problema prático. Qual deve ser o valor do seno, do cosseno e da tangente de 240°?
➀ vamos fazer as representações desses valores:
Note que:
✏ sen240° < 0;
✏ cos240° < 0;
✏ tg240° > 0;
 
➁ Agora, devemos verificar qual é o simétrico de 240° no primeiro quadrante. Acima verificamos que o simétrico de 240°, no 1° quadrante, é o arco de 60°.
 
➂ Como os arcos de 240° e 60° são simétricos, podemos comparar os valores dos senos, cossenos e das tangentes. Assim, podemos concluir que:
✩ sen240° = - sen60°
✩ cos240° = - cos60°
✩ tg240° = tg60°
Portanto:
 
Segue vídeos com o conteúdo para esclarecer dúvidas, os vídeos são muito importantes, e nesse material tem um vídeo só com exercícios, façam no caderno de vocês para memorização. 😊
https://www.youtube.com/watch?v=th2Mi82serM&list=PLsrbhTsHM4vjlNdbyJBZgxeKh6K70ajcp&index=4
https://www.youtube.com/watch?v=o0mC7VwnZnI&list=PLsrbhTsHM4vjlNdbyJBZgxeKh6K70ajcp&index=5