MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

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000
.
3
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...
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(
2
2
1
1
d
n
n
i
t
N
t
N
t
N
Desconto
´
´
+
+
´
+
´
=
Disciplina: Matemática Comercial e Financeira 
Autor: João Luiz Oliveira Gomes
Unidade de Educação a Distância
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Autor: João Luiz Oliveira Gomes
Belo Horizonte / 2012
ESTRUTURA FORMAL DA UNIDADE DE EDUCAÇÃO A DISTÃNCIA
REITOR
LUÍS CARLOS DE SOUZA VIEIRA
PRÓ-REITOR ACADÊMICO
SUDÁRIO PAPA FILHO
COORDENAÇÃO GERAL
AÉCIO ANTÔNIO DE OLIVEIRA
COORDENAÇÃO TECNOLÓGICA
EDUARDO JOSÉ ALVES DIAS
COORDENAÇÃO DE CURSOS GERENCIAIS E ADMINISTRAÇÃO 
HELBERT JOSÉ DE GOES
COORDENAÇÃO DE CURSOS LICENCIATURA/ LETRAS 
LAILA MARIA HAMDAN ALVIM
COORDENAÇÃO DE CURSOS LICENCIATURA/PEDAGOGIA 
LENISE MARIA RIBEIRO ORTEGA
INSTRUCIONAL DESIGNER
DÉBORA CRISTINA CORDEIRO CAMPOS LEAL
KELLY DE SOUZA RESENDE
PATRICIA MARIA COMBAT BARBOSA
EQUIPE DE WEB DESIGNER
CARLOS ROBERTO DOS SANTOS JÚNIOR
GABRIELA SANTOS DA PENHA
LUCIANA REGINA VIEIRA
ORIENTAÇÃO PEDAGÓGICA
FERNANDA MACEDO DE SOUZA ZOLIO
RIANE RAPHAELLA GONÇALVES GERVASIO
AUXILIAR PEDAGÓGICO
ARETHA MARÇAL DE MACÊDO SILVA
MARÍLIA RODRIGUES BARBOSA
REVISORA DE TEXTO
MARIA DE LOURDES SOARES MONTEIRO RAMALHO
SECRETARIA
LUANA DOS SANTOS ROSSI 
MARIA LUIZA AYRES
MONITORIA
ELZA MARIA GOMES
AUXILIAR ADMINISTRATIVO
THAYMON VASCONCELOS SOARES
MARIANA TAVARES DIAS RIOGA
AUXILIAR DE TUTORIA
FLÁVIA CRISTINA DE MORAIS
MIRIA NERES PEREIRA
RENATA DA COSTA CARDOSO
Sumário
5Unidade 1: Introdução à Matemática Financeira
21Unidade 2: Juros compostos
38Unidade 3: Taxa de Juros
54Unidade 4: Desconto
71Unidade 5: Rendas Uniformes
91Unidade 6: Sistemas de Amortização
Ícones
	Comentários
	=
1
N
	Reflexão
	=
1
t
	Dica
	=
d
i
	Lembrete
	Período de Capitalização
4
Taxa Efetiva Anual
36,05%
Taxa Nominal
32,00%
Unidade 1: Introdução à Matemática Financeira
Taxa Nominal
9,00%
Período de Capitalização
2
Taxa Efetiva Anual
9,20%
1. Nosso Tema
Olá, seja bem-vindo à disciplina virtual de Matemática Comercial e Financeira. 
De acordo com os nossos objetivos de aprendizagem, propostos para esta disciplina, ao final de seus estudos, você deverá ser capaz de:
· Conhecer as principais ferramentas de cálculos financeiros;
· Interpretar os resultados de uma operação financeira;
· Empregar meios para aperfeiçoar a gestão dos recursos financeiros a partir do raciocínio lógico, com capacidade de abstração e habilidade de cálculo.
Nesta disciplina de Matemática Comercial e Financeira, você terá as seguintes habilidades e competências desenvolvidas durante os estudos:
· Compreender a abrangência e os limites dos cálculos financeiros para o exercício da atividade tecnológica;
· Identificar, com segurança, as necessidades de investimento financeiro para atendimento aos requisitos da atividade tecnológica;
· Aplicar raciocínio lógico e crítico na solução de problemas;
· Perceber as implicações sociais, tecnológicas e econômicas do posicionamento empresarial sobre a sociedade.
Espero que, ao longo desta unidade, você possa adquirir conhecimentos que lhe serão úteis durante a realização do curso. 
Vamos começar?
2. 120,00%
Período de Capitalização
6
Taxa Efetiva Anual
198,60%
Taxa Nominal
Para Refletir
Durante muitos anos, percebi que o meu papel como professor é o de propor desafios e questões interessantes, explorando os recursos que o computador pode oferecer aos alunos.
Dessa forma, questiono: Você está preparado para iniciar os estudos da Matemática Comercial e Financeira nessa modalidade de ensino? Espero que sim e bons estudos! 
Você sabia que qualquer valor monetário que uma pessoa (física ou jurídica) empresta para outra, durante certo tempo, para pagamento futuro, gera a perda do poder aquisitivo do dinheiro devido a fatores econômicos? Por exemplo: a inflação, a desvalorização da moeda, a queda da bolsa de valores e até mesmo as turbulências no mercado internacional.
Além disso, corre-se o risco do não pagamento parcial ou total desse empréstimo. Surge, então, o conceito de juro. Ele pode ser definido como o custo do empréstimo, como se fosse o aluguel que se paga pelo uso do dinheiro.
Vamos descobrir como calculamos Juros Simples e onde eles são empregados?
3. 10,00%
12
10,47%
Taxa Nominal
Período de Capitalização
Taxa Efetiva Anual
Conteúdo Didático
3.1. Iniciação à Disciplina 
Agora que você já conheceu a proposta da disciplina, vamos iniciar nossos estudos buscando aprender um pouco mais da Matemática Comercial e Financeira. 
A Matemática Financeira investiga relações entre finanças, circulação e gestão do dinheiro e de outros recursos líquidos. A remuneração de uma operação financeira é afetada pelo prazo, pela inflação e pelo risco associado à operação. Ou seja, o conceito fundamental na operação financeira é o valor do dinheiro ao longo do tempo. Os investimentos realizados no mercado financeiro têm o objetivo de crescimento do valor investido. Já os títulos com vencimentos futuros são descontados antes de seu vencimento com o intuito de decrescimento dessas dividas.
Para compreender as particularidades da matemática financeira, iniciaremos nosso estudo analisando a capitalização.
bimestre
bimestre
Prazo
8
Valor da Aplicação
R$ 856,31
Valor do Eletrodoméstico
1.200,00
 
 
Taxa de Juros
4,31%
Lembre-se de que apreender os objetivos de aprendizagem é fundamental no entendimento da disciplina.
3.2. Capitalização
Quando tomamos emprestada certa quantia, por exemplo $1.000.000, com a finalidade de devolver $1.250.000 ao final do mês, houve um acréscimo de $250.000.
Quais são as razões para esse acréscimo? Poderia ser:
a) recomposição do poder aquisitivo; 
b) lucro; 
c) risco; 
d) seguro; 
e) motivação psicológica.
O acréscimo ocorrido é uma remuneração para o cedente do capital e um custo para o tomador do capital. Esse acréscimo é denominado de juros. Veja, a seguir, os conceitos de capital e juros, segundo VIEIRA SOBRINHO (1997). 
Capital: é qualquer quantia disponível em qualquer data para ser aplicada em uma operação financeira por um tempo determinado. 
Juros: Remuneração do capital durante um período determinado de tempo. Pode ser também um custo do capital tomado emprestado.
Suponha que uma pessoa deseja comprar uma geladeira e não disponha de dinheiro suficiente para pagamento à vista. Nessas condições, ela pode efetuar a compra a prazo ou tentar um empréstimo em um banco. Em qualquer um dos casos, a pessoa geralmente paga uma quantia – além do preço da geladeira – a título de juros. 
Há outras situações em que aparecem juros. Por exemplo: se uma pessoa dispõe de uma importância em dinheiro, ela pode aplicá-la em uma caderneta de poupança ou em algum outro investimento. Ao fim de certo período, ela receberá do banco a importância aplicada acrescida de um valor referente aos juros da aplicação. No seu material on-line, você também encontrará exemplo de juros, consulte-o.
Normalmente, quando se realiza alguma aplicação desse tipo, fica estabelecida uma taxa de juros por um período (mês, dia ou ano), na qual incide sobre o valor da transação, chamado de capital. 
Os juros comerciais serão calculados, levando em consideração o calendário comercial (360 dias), enquanto os juros exatos serão calculados levando em consideração o calendário civil (365 ou 366 dias). Veja os exemplos: 
Exemplo 1:
Quando tomamos emprestada a quantia de $1.000.000 com a finalidade de devolver $1.250.000 ao final do mês, houve um acréscimo de $250.000. Qual foi a taxa cobrada?
Para isso, basta dividir o valor acrescido pelo valor emprestado. Ou seja,
25
,
0
100
25
000
.
000
.
1
000
.
250
=
=
, ou 25% (vinte e cinco por cento). 
O valor de 0,25 é a taxa unitária de juros e o valor de 25% a taxa percentual.
Outra forma de executar o cálculo é dividir o valor devolvido pela quantia emprestada, e retirar uma unidade do resultado. Veja:
25
,
0
1
25
,
1
1
100
125
1
000
.
000
.1
000
.
250
.
1
=
-
=
-
=
-
, ou 25%.
trimestre
trimestre
Principal
28.000,00
 
 
Taxa de Juros
9,00%
Prazo
8
Montante
R$ 55.791,75
A taxa de juros sempre se refere a uma unidade de tempo. Por exemplo:
1200% ao ano ( 1200% a. a.
600% ao semestre ( 600% a. s.
28% ao mês ( 28% a. m.
A taxa percentual é a componente usada, mas, no desenvolvimento da fórmula, usa-se a taxa unitária.
1200% a. a. ( 
12
100
1200
=
 a. a.
600% a. s. ( 
6
100
600
=
 a. s.
28% a. m. ( 
28
,
0
100
28
=
 a. m.
Os resultados das divisões não podem ter o símbolo de %, uma vez que é a taxa representada na forma unitária. A unidade de tempo da taxa deve vir tanto no formato percentual, quanto no unitário.
O regime de capitalização é a adição de juros ao capital. Existem dois regimes de capitalização: simples e composto (sistema de juros simples e sistema de juros composto). 
O sistema será de capitalização simples quando os juros, pelo período de capitalização, forem constantes, ou seja, será calculado sobre o capital inicial. Já no sistema de capitalização composto, os juros serão somados ao capital que o produziu e passam os dois, capital e juros, a renderem juros no período seguinte. É o chamado “juros sobre juros” ou juros compostos.
3.3. Capitalização simples 
Você sabe o que é juro simples? É o juro calculado sobre o capital inicial. Ele é definido pela fórmula: 
n
i
C
J
´
´
=
, onde:
Juros
J
:
;
Capital
C
:
;
taxa
i
:
 
unitária
;
período
n
:
Se os juros correspondentes cobrados são calculados a uma taxa fixa por período, durante certo número de períodos, significa que a cada um dos períodos serão sempre calculados sobre a quantia inicial, e só serão incorporados a ela ao final do último período. Nesse regime, há pagamento de juros constantes por períodos iguais. A maioria dos investimentos financeiros não obedece ao princípio de juros simples. A exceção do mecanismo de desconto simples.
No exemplo 1, temos: 
000
.
250
1
25
,
0
000
.
000
.
1
=
´
´
=
J
.
O montante simples é o valor do capital em data futura. Montante é a soma dos juros ao capital inicial durante um período de aplicação. Ou seja, 
C
J
M
+
=
. Como o juro é dado por: 
n
i
C
J
´
´
=
, substituindo no montante 
M
 temos: 
C
n
i
C
M
+
´
´
=
. Colocando o capital 
C
 em evidência, temos: 
(
)
n
i
C
M
´
+
=
1
O montante 
M
 do exemplo 1 é dado por 
(
)
000
.
250
.
1
1
25
,
0
1
000
.
000
.
1
=
´
+
=
M
.
ano
meses
Capital
1.500,00
 
 
Montante
R$ 3.247,12
Taxa de Juros
24,00%
Prazo
39
Lembre-se de que, para a realização dos exercícios, é necessário fazer as conversões das taxas de juros utilizadas, ou períodos, para as mesmas unidades de referências. Uma taxa de 24% ao ano equivale a 0,0667% ao dia, considerando o calendário comercial; e a 0,0657%, considerando o calendário civil. Ela equivale também a 2% ao mês. 
No final desta unidade, você encontra uma tabela para auxiliá-lo na conversão de prazos. Essa tabela nada mais é do que um resumo dos resultados obtidos a partir de regras de três simples realizadas nos prazos, adequando-os para a mesma unidade de tempo da taxa. Esse procedimento também pode ser adotado para as taxas, adequando-as para a mesma unidade de tempo do período. Isso é possível, pois a Capitalização Simples tem característica linear. 
A maioria das atividades programadas para esta disciplina será feita utilizando a planilha de cálculo do programa Microsoft Office Excel. Em geral, o primeiro exercício de cada série estará feito para servir de exemplo. É importante saber utilizar a planilha do Microsoft Office Excel, em suas funções básicas e funções financeiras. É preciso e necessário preencher as células com os valores corretos, segundo o enunciado, e mandar executar os cálculos com os valores digitados nas células correspondentes, como feito no exercício que servirá de exemplo. Em caso de dúvidas, não hesite em entrar em contato comigo, seu tutor, via ferramentas disponíveis no ambiente virtual de aprendizagem para esclarecê-las.
Agora, veja alguns exemplos resolvidos passo-a-passo, utilizando a planilha do Microsoft Office Excel: 
Vamos voltar no exemplo 1, resolvê-lo detalhadamente e fazê-lo na planilha do Excel? 
Quando tomamos emprestada a quantia de $1.000.000 com a finalidade de devolver $1.250.000 ao final do mês. a) Qual o juro acrescido? b) Qual foi a taxa cobrada? 
Resolução: Foram dados
C = $ 1.000,00
M = $ 1.250,00
n = 1 mês
i = ?
J = ?
a) como o montante é dado por 
C
J
M
+
=
, o juro acrescido é dado por 
C
M
J
-
=
.
Então, 
250
1000
1250
=
-
=
J
. Ou seja, $250,00.
b) e como o juro é dado por 
n
i
C
J
´
´
=
, a taxa cobrada é dada por: 
n
C
J
i
´
=
Então, 
25
,
0
100
25
1
1000
250
=
=
´
=
´
=
n
C
J
i
, ou seja, 25% (vinte e cinco por cento).
Utilizando a planilha Microsoft Office Excel você deverá preencher as células praticamente da mesma maneira apresentada na fórmula. 
Veja: 
	Capital - C
	R$ 1.000,00
	 
	valor futuro - M
	R$ 1.250,00
	 
	Período - n
	1
	mês
	Juros - J
	R$ 250,00
	 
	Taxa - i
	25,00%
	ao mês
Selecione a célula onde você quer obter a resposta e comece digitando o símbolo igual (=). Quando uma célula do Excel começa com o símbolo “=”, ela processará uma conta e apresentará o resultado, caso a fórmula esteja correta. Quando você mudar de célula, pressionando a tecla “ENTER” ou pressionando a setinha para qualquer lado, aparecerá a resposta da operação solicitada.
Preencha as células da planilha com os valores dados no enunciado do problema, como mostrado acima. Para obter as soluções pedidas, digite: =250/(1000*1), executando a fórmula:
25
,
0
100
25
1
1000
250
=
=
´
=
´
=
n
C
J
i
. 
O Excel executa as operações que estão dentro dos parênteses primeiro, à medida que eles vão aparecendo, e depois as outras operações.
Quando você mudar de célula, através da setinha para qualquer lado, ou através do executar (enter do teclado), aparecerá a resposta 0,25. Se você formatar a célula da resposta para “percentual” aparecerá como resposta o valor de 25%.
Apertando o botão do mouse sobre a célula da resposta obtida, você poderá observar, na barra de fórmulas, todo o procedimento utilizado no cálculo.
Se você utilizar a linha 1 e a coluna B da planilha, a sua fórmula ficará =250/(1000*1). Ou ainda =B4/(B1*B3).
A planilha será útil pelos motivos:
a) os dados estarão bem organizados na planilha, o que fará com que você não desvie do caminho tão facilmente.
b) a resposta dada no Microsoft Office Excel não será simplesmente uma resposta. Apertando o botão do mouse sobre ela, você poderá observar, na barra de fórmulas, todo o procedimento utilizado no cálculo.
c) as células já estarão formatadas para receber as categorias específicas dos enunciados dos exercícios.
Vejamos agora outro exemplo: 
Exemplo 2:
Um capital de R$ 70.000,00 é aplicado à taxa de juros simples de 24% ao ano, durante 180 dias. Pede-se determinar o valor dos juros comerciais acumulados nesse período. 
Resolução: Foram dados
C = R$ 70.000,00
i = 24% a. a.
n = 180 dias
J = ?
Como visto, a fórmula para o cálculo dos juros simples é definida levando-se em consideração o capital aplicado, a taxa de juros envolvida e o prazo da aplicação: 
n
i
C
J
´
´
=
.
Substituindo os valores das variáveis temos: 
00
,
400
.
8
5
,
0
24
,
0
000
.
70
=
´
´
=
J
Observe que a taxa é unitária e o prazo foi ajustado para a unidade de medida da taxa de juros. Ou seja, 180 dias correspondem a 0,5 ano.
Veja o exemplo 2, utilizando a planilha do Microsoft Office Excel:
Um capital de R$70.000,00 é aplicado à taxa de juros simples de 24% ao ano, durante 180 dias. Pede-se determinar o valor dos juros comerciais acumulados nesse período. 
	Capital – C
	R$ 70.000,00 
	 
	Taxa – i
	24,00%
	a. a.
	Prazo – n
	180dias
	Juros – J
	R$ 8.400,00
	 
Faça você mesmo o exemplo, utilizando a planilha do Microsoft Office Excel. Selecione a célula em que você quer obter a resposta e comece digitando o símbolo igual (=). 
Neste exemplo, digite: =70000*(24/100)*(180/360). Lembre: o Excel executa as operações que estão dentro do parêntese primeiro, à medida que eles vão aparecendo, e depois as outras operações.
Quando você mudar de célula aparecerá, a resposta 8400. 
Apertando o botão do mouse sobre a célula da resposta obtida, você poderá observar, na barra de fórmulas, todo o procedimento utilizado no cálculo.
Nesse caso, vai aparecer: 
(180/360)
*
(24/100)
*
70000
=
, que é o Juro calculado.
Você também pode selecionar as células onde foram digitados os valores do enunciado do problema para fazer a fórmula para a resposta do exercício. Se você começou esse problema na primeira linha e na primeira coluna da planilha do Excel você poderá observar, na barra de fórmulas, a expressão:
(A3/360)
*
(A2/100)
*
1
A
=
Exemplo 3:
O gerente de um banco outorgou um empréstimo de R$2.100,00 pelo prazo de 48 dias. No momento de assinar o contrato, o devedor se comprometeu a devolver R$2.350,00. Calcule: a) o juro, b) a taxa unitária de juro e, c) a taxa percentual de juro dessa operação.
Resolução: Foram dados
C = R$2.100,00
n = 48 dias
M = R$2.350,00
J = ?
i = ?
a) O juro da operação é M – C. Então, J = R$2.350,00 - R$2.100,00 = R$250,00;
b) A taxa unitária de juro é 
119
,
0
2100
250
=
=
i
 aos 48 dias;
c) A taxa percentual de juro é 
%
90
,
11
100
119
,
0
=
=
x
i
 aos 48 dias.
Agora, utilizando a planilha do Microsoft Office Excel. Selecione a célula em que você quer obter a resposta e comece digitando o símbolo igual (=). 
Preencha as células da planilha com os valores dados no enunciado do problema, como mostrado a seguir.
	Capital – C
	R$ 2.100,00
	 
	valor futuro – M
	R$ 2.350,00
	 
	Período – n
	48
	dias
	Juros – J
	R$ 250,00
	 
	Taxa - i – unitária
	0,119
	aos 48 dias
	Taxa - i – percentual
	11,90%
	aos 48 dias
Para obter o juro de R$250,00, digite: =2350-2100. Para obter a taxa unitária de 0,119, digite: =250/2100. E para obter a taxa percentual de 11,90%, digite: =(250/2100)*100.
Apertando o botão do mouse sobre cada uma das células das respostas obtidas, você poderá observar, na barra de fórmulas, todos os procedimentos utilizados nos cálculos.
Exemplo 4:
O gerente da instituição garantiu que aplicando R$5.000,00 pelo prazo de 60 dias nominais
 você resgatará R$5.112,50 no final da operação. Calcule: a) o juro, b) a taxa unitária de juro e, c) a taxa percentual de juro dessa aplicação.
Resolução: Foram dados
C = R$5.000,00
n = 60 dias
M = R$5.112,50
J = ?
i = ?
a) O juro da operação é M – C. Então, J = R$5.112,50 - R$5.000,00 = R$112,50;
b) A taxa unitária de juro é 
0225
,
0
5000
50
,
112
=
=
i
 aos 60 dias;
c) A taxa percentual de juro é 
%
25
,
2
100
0225
,
0
=
=
x
i
 aos 60 dias.
Agora utilizando a planilha do Microsoft Office Excel. Selecione a célula em que você quer obter a resposta e comece digitando o símbolo igual (=). 
Preencha as células da planilha com os valores dados no enunciado do problema, como mostrado a seguir.
	Capital - C
	R$ 5.000,00
	 
	valor futuro - M
	R$ 5.112,50
	 
	Período - n
	60
	dias
	Juros - J
	R$ 112,50
	 
	Taxa - i - unitária
	0,0225
	aos 60 dias
	Taxa - i - percentual
	2,25%
	aos 60 dias
Para obter o juro de R$112,50, digite: =5112,50-5000. Para obter a taxa unitária de 0,0225, digite: =112,5/5000. E para obter a taxa percentual de 2,25%, digite: =(112,5/5000)*100.
Apertando o botão do mouse sobre cada uma das células das respostas obtidas, você poderá observar, na barra de fórmulas, todos os procedimentos utilizados nos cálculos.
Exemplo 5:
Um capital de R$25.000,00, aplicado durante 7 meses, rende juros de R$7.875,00. Determine a taxa.
	Capital – C
	R$ 25.000,00
	 
	Período – n
	7
	meses
	Juros – J
	R$ 7.875,00
	 
	Taxa – i
	4,50%
	ao mês
Resposta: Se você utilizou as células (da coluna B) da planilha para fazer o lançamento dos valores, quando você selecionar a célula da resposta com o mouse, a sua resposta será: 
(
)
2
*
1
/
3
B
B
B
=
.
Exemplo 6:
Sabendo-se que os juros de R$6.000,00 foram obtidos com a aplicação de R$7.500,00, à taxa de 8% ao trimestre, calcule o prazo.
	Taxa
	8
	ao trimestre
	Capital
	R$ 7.500,00 
	 
	Juros
	R$ 6.000,00 
	 
	Prazo = período
	10
	trimestres
Resposta: Se você utilizou as células (da coluna B) da planilha para fazer o lançamento dos valores a sua resposta, quando você selecionar a célula da resposta com o mouse será: 
(
)
(
)
100
/
1
*
2
/
3
B
B
B
=
.
Veja que é importante utilizar a fórmula correta nos cálculos matemáticos financeiros. Muitas vezes, é preciso também fazer uma transformação de prazos. Lembre-se de que as unidades de tempo apresentadas nos enunciados necessitam de uma referência comum. Veja, a seguir, uma listagem de fórmulas e uma listagem com a operação a fazer para transformar um prazo dado em prazo procurado.
Fórmulas:
Período
x
Taxa
x
Capital
Simples
Juros
 
 
 
 
 
=
Período
x
Taxa
Juros
Capital
 
 
=
Período
x
Capital
Juros
juros
de
Taxa
 
 
 
 
=
Taxa
x
Capital
Juros
Período
 
 
=
Transformações de Prazo
	Tempo Dado em
	com a OPERAÇÃO
	Obtém o tempo em
	Dia
	Dividir por 30
	Mês
	Dia
	Dividir por 60
	Bimestre
	Dia
	Dividir por 90
	Trimestre
	Dia
	Dividir por 120
	Quadrimestre
	Dia
	Dividir por 180
	Semestre
	Dia
	Dividir por 360
	Ano
	Mês
	Dividir por 2
	Bimestre
	Mês
	Dividir por 3
	Trimestre
	Mês
	Dividir por 4
	Quadrimestre
	Mês
	Dividir por 6
	Semestre
	Mês
	Dividir por 12
	Ano
	Bimestre
	Dividir por 1,5
	Trimestre
	Bimestre
	Dividir por 2
	Quadrimestre
	Bimestre
	Dividir por 3
	Semestre
	Bimestre
	Dividir por 6
	Ano
	Trimestre
	Dividir por 1,3
	Quadrimestre
	Trimestre
	Dividir por 2
	Semestre
	Trimestre
	Dividir por 4
	Ano
	Quadrimestre
	Dividir por 1,5
	Semestre
	Quadrimestre
	Dividir por 3
	Ano
	Semestre
	Dividir por 2
	Ano
4. anos
Capital
1.750,64
 
 
Montante
5.000,00
 
 
Taxa Nominal Mensal
2,50%
Prazo
4
Teoria na Prática 
Agora que você já conheceu um pouco mais sobre juros, montante simples e capitalização simples, estude os exercícios resolvidos abaixo e desenvolva a atividade proposta disponível na Web. Todos os exercícios abaixo são desenvolvidos utilizando a planilha do Microsoft Office Excel. 
Exemplo 1:
Determine os juros obtidos com aplicação de R$250.000,00 a 300% a. a. durante 6 meses.
	Capital – C
	R$ 250.000,00 
	 
	Taxa – i
	300%
	a. a.
	Período – n
	6
	meses
	Juros – J
	R$ 375.000,00
	 
Resposta: Faça o exemplo utilizando a planilha do Microsoft Office Excel e aperte o botão do mouse sobre a célula da resposta final que você encontrará a equação utilizada nos cálculos. Nesse caso, ela é: 
(
)
(
)
12
/
6
*
100
/
300
*
250000
=
. Se você utilizou as células (da coluna B) da planilha para fazer o lançamento dos valores, quando você selecionar a célula da resposta com o mouse, a sua resposta será: 
(
)
(
)
12
/
3
*
100
/
2
*
1
B
B
B
=
. O juro é de R$375.000,00.
Exemplo 2:
Calcular os juros de R$500.000,00 à 360% a. a., durante um trimestre 
	Capital – C
	R$ 500.000,00 
	 
	Taxa – i
	360%
	a. a.
	Período - n
	3
	meses
	Juros – J
	R$ 450.000,00
	 
Resposta: Se você utilizou as células (da coluna B) da planilha para fazer o lançamento dos valores a sua resposta, quando você selecionar a célula da resposta com o mouse será: 
(
)
(
)
12
/
3
*
100
/
2
*
1
B
B
B
=
.
Exemplo 3:
Qual é o capital que, aplicado a 25% a. m. durante um quadrimestre, rende juros de R$380.000,00?
	Taxa – i
	25%
	a. m.
	Período – n
	4
	meses
	Juros – J
	R$ 380.000,00
	 
	Capital – C
	R$ 380.000,00 
	 
Resposta: Se você utilizou as células (da colunaB) da planilha para fazer o lançamento dos valores, quando você selecionar a célula da resposta com o mouse, a sua resposta será: 
(
)
(
)
2
*
100
/
1
/
3
B
B
B
=
.
Procure utilizar a ferramenta Correio para trocar experiências, informações ou dúvidas com seus colegas e comigo. Isto é importante, pois formamos uma comunidade de aprendizagem.
5. (
)
200
.
10
$
02
,
0
1
000
.
10
$
1
=
+
´
=
M
Recapitulando 
Esta unidade apresentou conhecimentos sobre juros simples, montante simples e capitalização simples, através das fórmulas:
Período
x
Taxa
x
Capital
Simples
Juros
 
 
 
 
 
=
Período
x
Taxa
Juros
Capital
 
 
=
Período
x
Capital
Juros
juros
de
Taxa
 
 
 
 
=
Taxa
x
Capital
Juros
Período
 
 
=
Você teve a oportunidade de conhecer métodos para cálculo dos juros simples e do montante simples, utilizando as funções financeiras do Microsoft Office Excel.
Além disso, você vivenciou problemas do dia-a-dia, analisando a sua prática, situando-se no processo de ensino-aprendizagem na busca do conhecimento específico. 
6. Amplie seus Conhecimentos
Nesta unidade, estudamos a capitalização simples. No próximo capitulo, discutiremos o Regime de Capitalização Composto.
Você sabia que grande parte das negociações financeiras no Mercado Nacional é realizada sob o regime de capitalização composto?
Por que o Mercado Nacional utiliza, quase que em sua totalidade, a Capitalização Composta em detrimento da Simples.
Acesse o endereço abaixo e você terá mais informações para analisar a questão acima:
· Para saber mais sobre Investimentos: www.estadao.com.br/investimentos
· Revista Forbes Brasil: www.forbesbrasil.com.br
7. Referências
ASSAF, N. Matemática Financeira. 4. ed. São Paulo: Atlas, 1998.
CRESPO, A.A. Matemática Comercial e Financeira Fácil. 12. ed. São Paulo: Saraiva, 1997.
HAZZANI, S. Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2001.
KUHNEN, O.L.; BAUER, U.R. Matemática Financeira Aplicada e Análise de Investimentos. São Paulo: Atlas, 1994. 
MATHIAS, W.F. Matemática Financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1996.
PUCCINI, A.L. Matemática financeira Objetiva e Aplicada. São Paulo: Saraiva, 1999.
VERAS, L.L. Matemática Aplicada à Economia. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1996.
VIEIRA SOBRINHO, J.D. Matemática Comercial e Financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas, 1997.
Unidade 2: Juros compostos 
1. Nosso Tema
Na Capitalização Composta, o capital cresce mais a juros compostos do que a juros simples. Esses são os juros cobrados no dia-a-dia das empresas e de todas as pessoas que realizam operações financeiras. Você vai acompanhar como eles são calculados nos empréstimos bancários, no comércio de modo geral, compreendendo o seu funcionamento em aplicações financeiras como a poupança e vários outros fundos de investimento. 
O capital aplicado ou emprestado cresce mais rapidamente nesse regime, comparado com o de juros simples, porque os juros do período presente são incorporados ao capital, passando a render no período seguinte, juntamente com o capital aplicado. 
Para facilitar o nosso trabalho na disciplina, você irá conhecer mais algumas aplicações das Funções Financeiras do Microsoft Office Excel, disponíveis nessa modalidade de cálculo. 
Você está preparado para mais uma unidade e disposto a aprender? Então, vamos lá!
2. Um cliente realizou uma compra no valor de R$850,00 se comprometendo a pagar, no prazo de 45 dias, a importância
de R$895,00. Qual a taxa efetiva mensal de juros compostos está sendo cobrada no financiamento?
mês
Taxa de juros 3,50%
Valor da compra R$ 850
Prazo 1,5
Valor pago R$ 895,00
Para Refletir
O regime de juros simples e juros compostos formam o grupo capitalização discreta. 
Segundo o Dicionário de Língua Portuguesa Houaiss, (a primeira edição foi lançada em 2001, no Rio de Janeiro, pelo Instituto Antônio Houaiss de Lexicografia), juros composto é definido como o juro calculado sobre um montante principal acrescido de seus próprios juros.
Você vai perceber a diferença de um investimento colocado à capitalização com juros simples, em um determinado período, e esse mesmo capital investido a juros compostos, no mesmo período.
Como exemplo da aplicação de juros compostos, lembre-se da caderneta de poupança. Como exemplo da aplicação de juros compostos, lembre-se da Caderneta de Poupança. A Caderneta aplicada uma taxa de correção, mensalmente, à soma do juro produzido pelo capital e o capital aplicado anteriormente, formando um novo montante a ser submetido à aplicação no próximo mês. (entendeu?).
Vamos descobrir como calculamos juros compostos e onde eles são empregados?
3. 10,00%
12
10,47%
Taxa Nominal
Período de Capitalização
Taxa Efetiva Anual
Conteúdo Didático
3.1. Juros compostos
Juros compostos, acumulados ou capitalizados são os juros produzidos no 1º período que, somados ao capital que o produziu, passam a produzir juntos, juros no 1º período seguinte. 
O dicionário Houaiss (2001) registra juros compostos como juro calculado sobre um montante principal acrescido de seus próprios juros. Portanto, no regime de juros compostos, os juros gerados são capitalizados na mesma data e geram juro no período seguinte até completar o prazo da operação.
Do investimento de $10.000 realizado com o prazo de 12 meses, considerando o regime de capitalização simples, você receberá mensalmente juros de $200 calculados com a taxa de juro de 2% ao mês, ocorrendo o pagamento do primeiro juro no final do primeiro mês depois da data do investimento. Agora, os juros mensais gerados $200 são reinvestidos até completar o prazo de 12 meses do investimento, supondo que se conseguiu investir mensalmente $200 com a mesma taxa de juros de 2% ao mês. 
Na tabela abaixo, as duas últimas colunas mostram o efeito de investir os juros mensais até completar o prazo do investimento.
	Mês
	Juro mensal
	Sem reinvestir os juros
	Reinvestindo os juros
	
	
	Juros acumulados
	Montante
	Juros acumulados
	Montante
	1
	$200,00
	$200,00
	$10.200,00
	$200,00
	$10.200,00
	2
	$200,00
	$400,00
	$10.400,00
	$404,00
	$1.404,00
	3
	$200,00
	$600,00
	$10.600,00
	$621,08
	$10.621,08
	4
	$200,00
	$800,00
	$10.800,00
	$824,32
	$10.824,32
	5
	$200,00
	$1.000,00
	$11.000,00
	$1.040,81
	$11.040,81
	6
	$200,00
	$1.200,00
	$11.200,00
	$1.261,62
	$11.261,62
	7
	$200,00
	$1.400,00
	$11.400,00
	$1.486,86
	$11.486,86
	8
	$200,00
	$1.600,00
	$11.600,00
	$1.716,59
	$11.716,59
	9
	$200,00
	$1.800,00
	$11.800,00
	$1.950,93
	$11.950,93
	10
	$200,00
	$2.000,00
	$12.000,00
	$2.189,94
	$12.189,94
	11
	$200,00
	$2.200,00
	$12.200,00
	$2.433,74
	$12.433,74
	12
	$200,00
	$2.400,00
	$12.400,00
	$2.682,42
	$12.682,42
Para cada mês, a quinta coluna da tabela registra o valor dos juros mensais acumulados nessa data, e a última coluna registra o montante (futuro) considerando que a operação terminasse nessa data. Ao completar os 12 meses do investimento de $10.000, verifica-se que o montante reinvestindo os juros mensais, $12.682,42, é maior que o montante correspondente sem investir os juros, $12.400.
Vamos a um exemplo? 
Foram investidos $10.000 durante três meses com a taxa de juro de 2% ao mês e pagamento mensal de juros. Calcule o valor resgatado, considerando o regime de juros compostos.
Solução:
Na data zero, foi investido $10.000 com a taxa de juro de 2% ao mês e pagamento mensal dos juros. No final do primeiro mês, é recebido o juro J1 = $200 que, na mesma data, é investido junto com o capital inicial, totalizando $10.200 pelo prazo de um mês à taxa mensal de juro de 2%. No final do segundo mês, é recebido o juro J2 = $200 do investimento inicial de $10.000 mais o juro $200 do primeiro mês remunerado com a taxa mensal de juro de 2%, que resulta no valor $204, totalizando $10.404. Os montantes M1 e M2 no final do primeiro e do segundo mês são:
120,00%
Período de Capitalização
6
Taxa Efetiva Anual
198,60%
Taxa Nominal
(
)
404
.
10
$
02
,
0
1
200
.
10
$
2
=
+
´
=
M
No final do terceiro mês, são recebidos osJ3 = $200 do investimento inicial de 10.000 mais os juros $404 acumulados até o final do segundo mês remunerados com a taxa de juro de 2%, o que resulta no valor $412,08. No final do terceiro mês, temos:
(
)
08
,
612
.
10
$
02
,
0
1
404
.
10
$
3
=
+
´
=
M
O procedimento mostra que os dois primeiros juros mensais foram reinvestidos, ou capitalizados, e o terceiro juro mensal foi capitalizado no final, ao completar o prazo do investimento de três meses.
Neste momento, talvez seja necessário um retorno à unidade 1 para relembrar os conceitos de N, M e C. 
É fácil verificar, através de operações simples, que:
Para 
1
=
n
 e sendo 
(
)
n
i
C
M
´
+
=
1
, 
(
)
i
C
M
+
=
1
1
1
.
Para 
2
=
n
, 
(
)
i
C
M
+
´
=
1
2
2
. Então, 
(
)
(
)
(
)
i
i
C
i
M
M
+
´
+
=
+
´
=
1
1
1
1
1
2
.
Então, para calcularmos o montante no regime de capitalização composta, utilizamos a fórmula: 
(
)
n
n
i
C
M
+
=
1
Como o juro é dado por montante menos o capital, 
C
M
J
-
=
, o juro pode ser calculado por: 
(
)
[
]
1
1
-
+
=
n
i
C
J
Observe outros exemplos para compreender o assunto!
Exemplo 1:
Voltando ao exemplo acima, foram investidos $10.000 durante três meses com a taxa de juro de 2% ao mês e pagamento mensal de juros. 
a) calcule o valor resgatado (utilizando a fórmula), considerando o regime de juros compostos. 
b) calcule os juros pagos. 
Solução:
a) Sendo 
(
)
n
n
i
C
M
+
=
1
, temos: 
(
)
(
)
(
)
08
,
612
.
10
$
061208
,
1
000
.
10
02
,
1
000
.
10
02
,
0
1
000
.
10
3
3
3
=
=
=
+
=
M
b) sendo 
(
)
[
]
1
1
-
+
=
n
i
C
J
, temos; 
(
)
[
]
(
)
08
,
612
$
1
061208
.
1
000
.
10
1
02
,
0
1
000
.
10
3
R
J
=
-
=
-
+
=
. Que também poderíamos utilizar 
C
M
J
-
=
, ficando 
08
,
612
000
.
10
08
,
621
.
10
=
-
=
J
.
Exemplo 2:
Qual o montante de R$800.000,00 a 240% a. a. em 3 anos?
Solução: 
(
)
(
)
(
)
00
,
200
.
443
.
31
$
304
,
39
000
.
800
4
,
3
000
.
800
4
,
2
1
000
.
800
3
3
R
M
=
=
=
+
=
Exemplo 3: Qual o montante de R$3.000,00 a 6 anos e 3 meses, com juros 5% a. a.?
Solução: 
(
)
63
,
069
.
4
$
05
,
0
1
000
.
3
25
,
6
R
M
=
+
=
Exemplo 4: Se R$1.000,00 são investidos por 8 anos e meio a 7% a. a. compostos trimestralmente. Qual é o montante? Nesse caso, 
00
,
000
.
1
=
C
; 
0175
,
0
=
i
 (7% ÷ 4) e 
34
=
n
meses.
Solução: 
(
)
72
,
803
.
1
$
0175
,
0
1
000
.
1
34
R
M
=
+
=
Exemplo 5: Qual o montante de R$500.000,00 em 3 anos, com juros 240% a. a. compostos trimestralmente?
Solução: 
(
)
36
,
488
.
737
.
140
$
60
,
0
1
000
.
500
12
R
M
=
+
=
Vamos agora aprender a utilizar o Microsoft Office Excel, ferramenta que o auxiliará na resolução dos problemas.
3.2. Utilizando o Microsoft Office Excel na resolução dos problemas
O Microsoft Office Excel possui uma categoria de funções Financeira, disponíveis para a Matemática Financeira, auxiliando na resolução de problemas, envolvendo os conceitos utilizados no mercado financeiro. Para utilizar essas funções, você deve abrir a planilha do Microsoft Office Excel e selecionar com o cursor do mouse a opção Inserir Função no menu de comandos, ou utilizar o assistente de função 
fx
. 
Caso o seu computador não apresente todas as funções a serem utilizadas, selecione com o cursor mouse a opção Ferramentas, e depois Suplementos, e ative a opção Ferramentas de análise. Em seguida, selecione OK.
Para a capitalização simples (juros simples e montante simples), o Microsoft Office Excel não possui funções construídas disponíveis para a utilização.
O que acha de resolvermos os exemplos apresentados anteriormente utilizando o Microsoft Office Excel? 
Vamos lá, assim será mais fácil compreender sua utilização!
Resolvendo o Exemplo 1: Foram investidos $10.000 durante três meses com a taxa de juro de 2% ao mês e pagamento mensal de juros. Calcule o valor resgatado, considerando o regime de juros compostos.
Para resolver os problemas envolvendo o regime de capitalização composta, serão utilizadas as funções:
	VP – para o cálculo do valor presente
	retorna o valor presente de um investimento: quantia total atual (capital) de uma série de pagamentos futuros.
	VF – para o cálculo do valor futuro
	retorna o valor futuro de um investimento (montante) com base em pagamentos constantes e periódicos e uma taxa de juros constantes.
	TAXA – para o cálculo da taxa de juros compostos
	retorna a taxa de juros por período de um empréstimo ou investimento.
	NPER – para o cálculo do prazo da operação financeira
	retorna o número de períodos de um investimento com base em pagamentos constantes periódicos e uma taxa de juros constante.
Solução:
Digite os dados na planilha do Microsoft Office Excel, como mostrado abaixo. 
Exemplo 1:
	Foram investidos $10.000 durante três meses com a taxa de juro de 2% ao mês e pagamento mensal de juros. Calcule o valor resgatado, considerando o regime de juros compostos.
	Capital
	R$ 10.000,00
	 
	Taxa
	2,00%
	a. mês
	Prazo
	3
	meses
	Montante
	
	 
Posicione o cursor para a célula que vai receber o resultado, digite o sinal de igual (=) e selecione com o mouse o assistente de função 
fx
.
Na janela Inserir Função, selecione VF em Selecione uma função: Neste momento vai aparecer a tela abaixo, em branco, para você preencher os valores do enunciado do problema. Nesse caso, os Argumentos da função deverão ser preenchidos como no exemplo a seguir. Depois, marque a opção OK.
Vale ressaltar que o capital e o montante (ou VP, VF ou PGTO, não ao mesmo tempo) deverão estar com sinais opostos para indicar que um deles é a entrada e o outro é a saída de Caixa. O Microsoft Office Excel efetua os cálculos conforme o Fluxo de Caixa. As unidades de medida de tempo da taxa de juros e do prazo deverão ser iguais. Uma opção melhor, e que deve ser seguida em todos os exercícios é preencher os Argumentos da função com os valores matriciais correspondentes das células. Dessa forma, nesse exemplo, a Taxa assume o valor F69 (coluna F e linha 69); Nper com F70 (coluna F e linha 70) e Vp com –F68 (coluna F e linha 68). Observe que, do lado direito da janela, após o igual, aparecem os valores numéricos correspondentes a cada célula.
Na solução do exemplo 1, irá aparecer o resultado de R$10.612,08, como é mostrado na figura abaixo.
	Capital
	R$ 10.000,00
	 
	Taxa
	2,00%
	a. mês
	Prazo
	3
	meses
	Montante
	R$ 10.616,78 
	 
Resolvendo o Exemplo 2: Qual o montante de R$800.000,00 a 240% a. a. em 3 anos?
Solução:
Digite os dados na planilha do Microsoft Office Excel, como mostrado abaixo. 
Exemplo 2:
	Qual o montante de R$800.000,00 a 240% a. a. em 3 anos?
	
	Capital
	R$ 800.000,00
	 
	Taxa
	240,00%
	a. a.
	Prazo
	3
	anos
	Montante
	
	 
Posicione o cursor para a célula que vai receber o resultado, digite o sinal de igual (=) e selecione com o mouse o assistente de função 
fx
, como resolvido no exemplo acima.
Nesse caso, os Argumentos da função deverão ser preenchidos como no exemplo a seguir.
Na solução do exemplo 2, irá aparecer o resultado de R$31.443.200,00, como é mostrado na planilha abaixo.
	Capital
	R$ 800.000,00
	 
	Taxa
	240,00%
	a. a.
	Prazo
	3
	anos
	Montante
	R$ 31.443.200,00 
	 
Resolvendo o Exemplo 3: Qual o montante de R$3.000,00 a 6 anos e 3 meses, com juros 5% a. a.?
Solução:
Digite os dados na planilha do Microsoft Office Excel, como mostrado abaixo. 
Exemplo 3:
	Qual o montante de R$3.000,00 a 6 anos e 3 meses, com juros 5% a. a.?
	Capital
	R$ 3.000,00
	 
	Taxa
	5,00%
	a. a.
	Prazo
	6,25
	anos
	Montante
	R$ 4.069,62 
	 
Resolvendo o Exemplo 4: Se R$1.000,00 são investidos por 8 anos e meio a 7% a. a. compostos trimestralmente, qual é o montante?
Solução:
Digite os dados na planilha do Microsoft Office Excel, como mostrado abaixo. 
Exemplo 4:Neste exemplo, lembre-se das conversões necessárias para a taxa e o prazo.
Temos:
00
,
000
.
1
=
C
0175
,
0
=
i
 
(
)
4
%
7
¸
 
34
=
n
meses.
	Se R$1.000,00 são investidos por 8 anos e meio a 7% a. a. compostos trimestralmente, qual é o montante?
	Capital
	R$ 1.000,00
	 
	Taxa
	1,75%
	a. t.
	Prazo
	34
	trimestres
	Montante
	R$ 1.810,68 
	 
Resolvendo o Exemplo 5: Qual o montante de R$500.000,00 em 3 anos, com juros 240% a. a. compostos trimestralmente?
Solução:
Digite os dados na planilha do Microsoft Office Excel, como mostrado abaixo. 
Exemplo 5:
	Qual o montante de R$500.000,00 em 3 anos, com juros 240% a. a. compostos trimestralmente?
	Capital
	R$ 500.000,00
	 
	Taxa
	60%
	a.t
	Prazo
	12
	trimestres
	Montante
	R$ 140.737.488,36 
	 
Exemplo 6:
De uma aplicação de $10.000 foram resgatados $10.689,12. Calcule o prazo dessa aplicação sabendo que foi realizada com a taxa de juro de 1,68% ao mês no regime de juros composto.
	Capital
	R$ 10.000,00
	 
	Montante
	R$ 10.689,12
	 
	Taxa
	1,68%
	a. m.
	Prazo
	4,00
	meses
Resposta: Faça o exemplo utilizando a planilha do Microsoft Office Excel e aperte o botão do mouse no assistente de função 
fx
 sobre a célula da resposta final que você encontrará a equação utilizada nos cálculos. 
Você deve preencher os Argumentos da função como mostrado no exemplo a seguir.
Veja na aba superior da planilha o assistente 
fx
 apontando o valor de NPER (Número de Períodos): =NPER(0,0168;;10000;-10689,12).
Nos exemplos no regime de juros compostos, a geração de juros durante o prazo da operação foi realizada com taxa de juros constante. 
Vamos ver agora o mesmo tema, porém com taxa variável de juro, mantendo as premissas de ambiente de certeza e ausência de oportunidades de arbitragem. É um procedimento mais abrangente que inclui o da taxa de juro constante.
Exemplo 7:
Foram investidos R$10.000,00 num fundo de investimento durante três meses com as taxas de rentabilidade mensais de 2%, 2,4% e 1,8%. Calcule a taxa total de rentabilidade no prazo do investimento, considerando o regime de juros compostos.
Solução:
Nesse caso, juros compostos com a taxa variável de juro, utilizaremos a fórmula:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
n
j
i
i
i
i
i
C
M
+
´
×
×
×
´
+
´
×
×
×
´
+
´
+
´
+
´
=
1
1
1
1
1
3
2
1
.
Essa equivalência pode ser representada com o símbolo produtório, substituindo o produto dos 
n
 fatores:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
n
j
n
j
j
i
i
i
i
i
+
´
×
×
×
´
+
´
×
×
×
´
+
´
+
=
+
Õ
=
1
1
1
1
1
2
1
1
 
(
)
Õ
=
+
´
=
Þ
n
j
j
i
C
M
1
1
.
Então, o valor do resgate será:
(
)
(
)
(
)
81
,
632
.
10
$
018
,
0
1
024
,
0
1
02
,
0
1
000
.
10
R
M
=
+
´
+
´
+
´
=
.
Note que as premissas contidas numa operação financeira no regime de juros compostos com 
n
 taxas variáveis de juro e conseqüentes 
n
 gerações de juros são:
· As taxas de juros entre si e seus respectivos períodos também podem ser diferentes, com a condição de que os períodos das taxas de juros sejam iguais aos respectivos prazos de geração dos juros.
· O capital cresce somente pela geração de juros. Durante o prazo da operação, não há nenhuma entrada nem saída de capital, havendo somente geração de juros que são capitalizados no momento de sua geração.
Exemplo 8:
Calcule o resgate do investimento de R$70.000,00 pelo prazo de quatro meses com taxas de juros mensais de 1,25%, 1,80%, 0,78% e 2,15% no regime de juros compostos.
Solução:
(
)
(
)
(
)
(
)
Þ
+
´
+
´
+
´
+
´
=
4
3
2
1
1
1
1
1
i
i
i
i
C
M
EMBED Equation.3(
)
(
)
(
)
(
)
Þ
+
´
+
´
+
´
+
´
=
Þ
0215
,
0
1
0078
,
0
1
018
,
0
1
0125
,
0
1
000
.
70
M
EMBED Equation.387
,
276
.
74
=
M
Os exemplos 7 e 8 não são resolvidos através da planilha do Microsoft Office Excel.
Até aqui você estudou alguns conceitos fundamentais e aplicáveis à matemática financeira e conheceu métodos para o cálculo dos juros e do montante compostos, utilizando as funções financeiras do Microsoft Office Excel. 
Nas unidades seguintes, aprenderá um pouco mais sobre essa disciplina fascinante, mas não prossiga seus estudos caso alguma dúvida permaneça. 
Entre em contato com seu tutor. Ele aguarda você!
4. Taxa Nominal
9,00%
Período de Capitalização
2
Taxa Efetiva Anual
9,20%
Teoria na Prática 
Agora que você já conheceu um pouco mais sobre juros compostos, estude o exercício resolvido abaixo. Ele foi desenvolvido utilizando a planilha do Microsoft Office Excel.
Exemplo 1:
Se desejo obter R$10.000,00 em um ano, qual a quantia inicial que preciso depositar, com rentabilidade de 0,5% ao mês?
	Montante
	R$ 10.000,00
	 
	Taxa
	0,50%
	a. m.
	Prazo
	12
	meses
	Capital
	R$ 9.419,05 
	 
Resposta: Faça o exemplo utilizando a planilha do Microsoft Office Excel e aperte o botão do mouse no assistente de função 
fx
 sobre a célula da resposta final que você encontrará a equação utilizada nos cálculos. 
Você deve preencher os Argumentos da função, como mostrado abaixo.
Veja na aba superior da planilha o assistente 
fx
 apontando o valor de VP (Valor Presente): =VP(0,005;12;;-10000).
5. Período de Capitalização
4
Taxa Efetiva Anual
36,05%
Taxa Nominal
32,00%
Recapitulando 
Esta unidade apresentou conhecimentos sobre juros compostos.
No juro composto, você pôde observar que um montante qualquer, em um período específico, aplicado à taxa de juros determinada, compostos ao dia, ao mês, trimestralmente, ou em outro período, rende mais que um capital aplicado a juros simples, no mesmo período.
Além disso, você vivenciou problemas do dia-a-dia, analisando a sua prática, situando-se no processo de ensino-aprendizagem na busca do conhecimento específico. 
Teve, ainda, a oportunidade de conhecer os métodos para cálculo dos juros compostos, e de utilizar novas funções financeiras do Microsoft Office Excel, como:
· VP – para o cálculo do valor presente;
· VF – para o cálculo do valor futuro;
· TAXA – para o cálculo da taxa de juros compostos;
· NPER – para o cálculo do prazo da operação financeira.
6. anos
Capital
1.750,64
 
 
Montante
5.000,00
 
 
Taxa Nominal Mensal
2,50%
Prazo
4
Amplie seus Conhecimentos
Para ampliar os seus conhecimentos, leia o capítulo 2: “Capitalização Composta”, no livro Matemática Comercial e Financeira, do autor José Dutra Vieira Sobrinho e descubra mais sobre o tema.
Você sabia que o Regime de Capitalização Simples é regido por uma Função Linear e que o regime de Capitalização Composta é regido por uma Função Exponencial quando representados graficamente?
No material disponibilizado na Web, você poderá visualizar o gráfico para melhorar o entendimento.
Você observará no gráfico que o Regime de Capitalização Simples é mais vantajoso quando consideramos prazos menores do que um período.
7. ano
meses
Capital
1.500,00
 
 
Montante
R$ 3.247,12
Taxa de Juros
24,00%
Prazo
39
Referências
ASSAF, N. Matemática Financeira. 4. ed. São Paulo: Atlas, 1998.
CRESPO, A.A. Matemática Comercial e Financeira Fácil. 12. ed. São Paulo: Saraiva, 1997.
HAZZANI, S. Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2001.
KUHNEN, O.L.; BAUER, U.R. Matemática Financeira Aplicada e Análise de Investimentos. São Paulo: Atlas, 1994. 
MATHIAS, W.F. Matemática Financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1996.
PUCCINI, A.L. Matemática financeira Objetiva e Aplicada. São Paulo: Saraiva, 1999.
VERAS, L.L. Matemática Aplicada à Economia. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1996.
VIEIRA SOBRINHO, J.D. Matemática Comercial e Financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas, 1997. 
Unidade 3: Taxa de Juros
trimestre
trimestre
Principal
28.000,00
 
 
Taxa de Juros
9,00%
Prazo
8
Montante
R$ 55.791,75
1. Nosso Tema
Constantemente, deparamos-nos com diversos conceitosde taxas de juros utilizados pelo mercado financeiro e pelo comércio de forma geral e é muito importante o entendimento destes para facilitar o fechamento de negócios e, também, para se conhecer a real situação do que está sendo proposto.
Um exemplo prático dessa situação é quando decidimos aplicar determinada quantia em dinheiro na caderneta de poupança. A taxa de juros apresentada pela instituição financeira, normalmente é anual, porém, sabemos que a capitalização (atualização) é mensal; Então, como fazer para saber qual o ganho efetivo ao final de determinado período de tempo? Qual procedimento deve ser adotado para realização desse cálculo? Como diferenciar os diversos tipos de taxas? O procedimento utilizado para o cálculo das taxas se difere quando alteramos o regime de capitalização (simples ou composto)?
São essas perguntas a que procuraremos responder no decorrer da unidade. Ressaltamos que, apesar do mercado financeiro brasileiro utilizar diversos tipos de taxas, serão enfatizadas as taxas nominais, efetivas, proporcionais e equivalentes.
bimestre
bimestre
Prazo
8
Valor da Aplicação
R$ 856,31
Valor do Eletrodoméstico
1.200,00
 
 
Taxa de Juros
4,31%
2. Nosso Tema
Esta unidade tem como objetivo prepará-lo para compreender, de forma mais clara, conceitos importantes relacionados às taxas de juros utilizadas pelo mercado financeiro. 
Para que você possa se preparar para essa nova etapa, sugerimos-lhe que reflita sobre as questões mencionadas no item anterior (Nosso Tema), para que, ao final do estudo desta unidade, você seja capaz de formar seus próprios conceitos diante dos temas aqui trabalhados.
No tópico seguinte, serão apresentadas algumas informações que irão auxiliá-lo nessas e outras questões que, porventura, surjam durante a leitura da unidade. 
3. Conversão de Taxa
2,50%
PeríodoJurosAmortizaçãoPagamentoSaldo Devedor
0 50.000,00 
1
2
3
4
5
Total
Resposta
PrincipalTaxa de Juros
Planilha Financeira - Sistema Americano de Amortização - SAA
R$ 50.000,00
Conteúdo Didático 
3.1. Taxa de juros efetiva e nominal
As taxas efetivas são os custos ou as remunerações efetivas em uma operação financeira que toma como base o capital que foi recebido ou desembolsado na data da contratação dos recursos. 
A maioria das operações financeiras existentes no mercado e no comércio utiliza esse conceito na apuração dos juros.
Uma taxa de juros é dita efetiva quando o período de capitalização coincidir com o período da taxa de juros. Assim, uma taxa de juros de 12% ao ano, com capitalização anual, ou uma taxa de juros de 1,4% ao mês, com capitalização mensal, são ditas efetivas. 
Conversão de Taxa
2,50%
PeríodoJurosAmortizaçãoPagamentoSaldo Devedor
01.250,00 50.000,00 
1
2
3
4
5
Total
Resposta
PrincipalTaxa de Juros
Planilha Financeira - Sistema Americano de Amortização - SAA
R$ 50.000,00
O termo capitalização indica a periodicidade dos juros, portanto, para uma capitalização anual, os juros serão apurados anualmente e, para uma capitalização mensal os juros serão apurados mensalmente.
Veja o exemplo: Um cliente realizou uma compra no valor de R$ 850,00 se comprometendo a pagar, no prazo de 45 dias, a importância de R$ 895,00. Qual a taxa efetiva mensal de juros compostos está sendo cobrada no financiamento?
O valor de 3,50% de taxa efetiva foi calculado utilizando a função TAXA através do assistente 
fx
.
Vale ressaltar que o capital e o montante (ou VP, VF ou PGTO, não ao mesmo tempo) deverão estar com sinais opostos para indicar que um deles é entrada e o outro é saída de Caixa. O Microsoft Office Excel efetua os cálculos conforme o Fluxo de Caixa.
Veja a resolução do problema utilizando o Excel.
3.1.1. Transformação de unidades entre taxas efetivas
Para transformar uma taxa efetiva de juros compostos de uma unidade para outra, utiliza-se a seguinte expressão matemática:
100
1
100
 
.
1
´
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
T
Q
Efetiva
T
TEQ
Onde:
Conversão de Taxa
2,50%
PeríodoJurosAmortizaçãoPagamentoSaldo Devedor
0 50.000,00 
11.250,00 1.250,00 
2
3
4
5
Total
Resposta
PrincipalTaxa de Juros
Planilha Financeira - Sistema Americano de Amortização - SAA
R$ 50.000,00
Conversão de Taxa
2,50%
PeríodoJurosAmortizaçãoPagamentoSaldo Devedor
0 50.000,00 
11.250,00 1.250,00 50.000,00 
21.250,00 1.250,00 50.000,00 
31.250,00 1.250,00 50.000,00 
41.250,00 1.250,00 50.000,00 
51.250,00 50.000,00 51.250,00 
Total6.250,00 50.000,00 56.250,00 
Resposta
PrincipalTaxa de Juros
Planilha Financeira - Sistema Americano de Amortização - SAA
R$ 50.000,00
 Conversão de Taxa
2,20% a. m.29,84% a. a. 
PeríodoJurosAmortizaçãoPagamentoSaldo Devedor
0 85.000,00 
11.870,00 1.870,00 85.000,00 
21.870,00 1.870,00 85.000,00 
31.870,00 1.870,00 85.000,00 
41.870,00 1.870,00 85.000,00 
51.870,00 1.870,00 85.000,00 
61.870,00 1.870,00 85.000,00 
71.870,00 1.870,00 85.000,00 
81.870,00 1.870,00 85.000,00 
91.870,00 1.870,00 85.000,00 
101.870,00 85.000,00 86.870,00 
Total18.700,00 85.000,00 103.700,00 
Resposta
PrincipalTaxa de Juros
Planilha Financeira - Sistema Americano de Amortização - SAA
R$ 85.000,00
Conversão de Taxa
1,50% a. m.29,84% a. a. 
PeríodoJurosAmortizaçãoPagamentoSaldo Devedor
0 R$ 100.000,00
11.500,00 1.500,00 100.000,00 
21.500,00 1.500,00 100.000,00 
31.500,00 1.500,00 100.000,00 
41.500,00 1.500,00 100.000,00 
51.500,00 1.500,00 100.000,00 
61.500,00 1.500,00 100.000,00 
71.500,00 1.500,00 100.000,00 
81.500,00 1.500,00 100.000,00 
91.500,00 1.500,00 100.000,00 
101.500,00 1.500,00 100.000,00 
111.500,00 1.500,00 100.000,00 
121.500,00 100.000,00 101.500,00 
Total18.000,00 100.000,00 118.000,00 
Resposta
PrincipalTaxa de Juros
Planilha Financeira - Sistema Americano de Amortização - SAA
R$ 100.000,00
Conversão de Taxa
2,00%
PeríodoJurosAmortizaçãoPagamentoSaldo Devedor
0 12.000,00 
1R$ 240,00R$ 2.000,00R$ 2.240,0010.000,00 
2R$ 200,00R$ 2.000,00R$ 2.200,008.000,00 
3R$ 160,00R$ 2.000,00R$ 2.160,006.000,00 
4R$ 120,00R$ 2.000,00R$ 2.120,004.000,005R$ 80,00R$ 2.000,00R$ 2.080,002.000,00 
6R$ 40,00R$ 2.000,00R$ 2.040,00- 
TotalR$ 840,00R$ 12.000,0012.840,00 
Resposta
PrincipalTaxa de Juros
Planilha Financeira Sistema de Amortizações Constantes - SAC
12.000,00 
Conversão de Taxa
5,02%a. m.80% a. a. 
PeríodoJurosAmortizaçãoPagamentoSaldo Devedor
0 15.000,00 
1R$ 753,03R$ 3.000,00R$ 3.753,0312.000,00 
2R$ 602,42R$ 3.000,00R$ 3.602,429.000,00 
3R$ 451,82R$ 3.000,00R$ 3.451,826.000,00 
4R$ 301,21R$ 3.000,00R$ 3.301,213.000,00 
5R$ 150,61R$ 3.000,00R$ 3.150,61- 
TotalR$ 2.259,08R$ 15.000,0017.259,08 
Resposta
PrincipalTaxa de Juros
Planilha Financeira Sistema de Amortizações Constantes - SAC
15.000,00 
Conversão de Taxa
16,00%a. s.
PeríodoJurosAmortizaçãoPagamentoSaldo Devedor
0 50.000,00 
1R$ 8.000,00 58.000,00 
2R$ 9.280,00 67.280,00 
3R$ 10.764,80 78.044,80 
4R$ 12.487,17 90.531,97 
5R$ 14.485,11R$ 15.088,66R$ 29.573,7875.443,31 
6R$ 12.070,93R$ 15.088,66R$ 27.159,5960.354,65 
7R$ 9.656,74R$ 15.088,66R$ 24.745,4045.265,98 
8R$ 7.242,56R$ 15.088,66R$ 22.331,2230.177,32 
9R$ 4.828,37R$ 15.088,66R$ 19.917,0315.088,66 
10R$ 2.414,19R$ 15.088,66R$ 17.502,85- 
TotalR$ 50.697,90R$ 90.531,97141.229,87 
Resposta
PrincipalTaxa de Juros
Planilha Financeira Sistema de Amortizações Constantes - SAC
50.000,00 
Essa expressão é utilizada para transformar taxas, no regime de capitalização composto, que não estejam na mesma unidade de tempo; essas taxas recebem o nome de: taxas equivalentes.
Por exemplo: a taxa de 42% a.a. é equivalente à taxa de 2,97% a.m.
100
1
100
42
1
360
30
´
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
TEQ
Já 18% a.s. é equivalente à taxa de 2,8% a.m. 0,04% ao dia é equivalente a 1,21% ao mês.
Quando necessitamos transformar taxas para a mesma unidade de tempo, utilizando o regime de capitalização simples, fazemo-lo a partir de uma regra de três, uma vez que tal grandeza é proporcional.
3.1.2. Taxas Nominais
Taxa nominal ou taxa aparente é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização, ou seja, a taxa é expressa em períodos diferentes do período de capitalização. Esse conceito também é muito utilizado no mercado financeiro. Por exemplo: 6,0% a.a. com capitalização mensal e 2,3% a.m. com capitalização diária.
3.1.3. Equivalências de taxas
Duas, ou mais, taxas compostas são ditas equivalentes, quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo intervalo de tempo e produzirem o mesmo montante. Assim, as taxas de 1,5% ao mês e 4,5678375% ao trimestre são ditas equivalentes, pois produzem o mesmo montante, quando aplicadas sobre o mesmo capital, pelo mesmo período de tempo. 
Quando essas taxas de juros são taxas anuais (conduzem ao mesmo montante composto no fim de um ano) as suas equivalências se fazem através das taxas de juros nominais e efetivas. Por exemplo: 
No fim de um ano, o montante composto de R$100,00 a 4%, composto trimestralmente é 
(
)
06
,
104
$
01
,
0
1
100
4
R
=
+
. Já a 4,06%, composto anualmente é 
(
)
06
,
104
$
0406
,
1
100
R
=
.
Dessa forma, 4% composto trimestralmente e 4,06% composto anualmente são taxas equivalentes. Quando o juro é composto mais freqüentemente que uma vez por ano, a taxa anual dada chama-se taxa anual nominal ou taxa nominal (
n
i
). A taxa de juro realmente obtida em um ano denomina-se taxa anual efetiva ou taxa efetiva (
i
). No exemplo acima, 4% é uma taxa nominal ao passo que 4,06% é uma taxa efetiva. 
Esse conceito é utilizado na transformação de taxas nominais de juros em taxas efetivas de juros e vice-versa.
Agora, observe os exemplos.
Exemplo 1: Calcular a taxa efetiva 
i
 equivalente à taxa nominal de 5% compostos mensalmente.
Solução: 
Em um ano, a taxa efetiva 
i
 será 
i
+
1
 e a 5% compostos mensalmente será 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
12
12
05
,
0
1
Como queremos a sua equivalência, temos: 
i
+
1
 = 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
12
12
05
,
0
1
Sendo assim, 
%
116
,
5
05116190
,
0
1
05116190
,
1
1
12
05
,
0
1
12
=
=
-
=
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
i
.
Exemplo 2: Calcular a taxa nominal 
n
i
 composta trimestralmente equivalente a 5% efetivos.
Solução: 
Em um ano, a taxa nominal 
n
i
 composta trimestralmente será 
4
4
1
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
n
i
 e a 5% efetivos 
05
,
1
.
 Igualando, temos: 
4
4
1
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
n
i
 = 
05
,
1
.
Sendo assim, 
(
)
(
)
%
909
,
4
049088
,
0
1
05
,
1
4
 
 
05
,
1
4
1
4
1
4
1
=
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-
=
Þ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
n
n
i
i
.
Exemplo 3: O empréstimo de R$1.000,00 foi acertado por um prazo de 100 dias com taxa de juro de 20% aos 100 dias. Calcule a taxa efetiva de juro, considerando que o pagamento do juro é realizado no final da operação junto com a devolução do empréstimo.
Solução: 
Verifique que o tomador do empréstimo receberá R$1.000,00, e, ao completar o prazo de 100 dias, devolverá o capital recebido R$1.000,00 mais o juro de R$200,00, calculado com a taxa nominal de 
%
20
=
n
i
 aos 100 dias, totalizando R$1.200,00. A taxa efetiva de juro 
i
 pode ser calculada considerando o resultado dos capitais 
C
M
 (montante e capital) da operação se com a taxa efetiva 
da operação: 
20
,
0
1
100
1200
 
 
1
=
-
=
Þ
=
+
i
C
M
i
. 
O resultado mostra que a taxa nominal 
n
i
 coincide com a taxa efetiva 
i
, pois o pagamento do juro ocorre junto com a devolução do empréstimo no final da operação.
Conversão de Taxa
8,00%
PeríodoJurosAmortizaçãoPagamentoSaldo Devedor
0 60.000,00 
14.800,00 4.800,00 60.000,00 
24.800,00 4.800,00 60.000,00 
34.800,00 R$ 5.640,89R$ 10.440,8954.359,11 
44.348,73 R$ 6.092,16R$ 10.440,8948.266,96 
53.861,36 R$ 6.579,53R$ 10.440,8941.687,43 
63.334,99 R$ 7.105,89R$ 10.440,8934.581,54 
72.766,52 R$ 7.674,36R$ 10.440,8926.907,17 
82.152,57 R$ 8.288,31R$ 10.440,8918.618,86 
91.489,51 R$ 8.951,38R$ 10.440,899.667,49 
10773,40 R$ 9.667,49R$ 10.440,890,00 
Total33.127,09 R$ 60.000,0093.127,09 
Resposta
PrincipalTaxa de Juros
Planilha Financeira Sistema de Amortização Francês - SAF
60.000,00 
Até aqui tudo bem? Lembre-se de que, em caso de dúvidas, estou à disposição. Não deixe de esclarecê-las antes de prosseguir. 
Exemplo 4: A rentabilidade real da caderneta de poupança é 6% ao ano com capitalização mensal (o prazo mensal é determinado pela data de aniversário entre dois meses seguidos descartando os dias 29, 30 e 31 de cada mês). Calcule: a taxa real com período anual.
Solução: 
Como a capitalização da taxa real de 6% ao ano é mensal, primeiro calculamos a taxa de juro proporcional 0,5% ao mês, resultado da divisão da taxa anual, 6%, por 12 meses, ou seja, um ano. A taxa proporcional 0,5% ao mês é a taxa efetiva de juro com período mensal.
(
)
06167
,
0
1
005
,
0
1
1
12
06
,
0
1
12
12
=
-
+
=
-
÷
ø
ö
çè
æ
+
=
i
. Então, a taxa efetiva anual é 
%
17
,
6
.
Nesse exemplo, verifica-se que a taxa 0,50% é a taxa proporcional com período mensal da taxa nominal de 6% ao ano e, ao mesmo tempo, a taxa de 0,50% ao mês é uma taxa efetiva mensal. Portanto, a taxa efetiva de 6,17% ao ano é equivalente à taxa efetiva de 0,50% ao mês no regime de juros compostos. Dessa maneira, a taxa nominal de 6% ao ano com capitalizações mensais é equivalente à taxa efetiva de 6,17% ao ano.
Veja outros exemplos de transformação de taxas nominais de juros em taxas efetivas de juros e vice-versa, utilizando o Microsoft Office Excel .
Exemplo 5: A que taxa nominal mensal de juros compostos deve ser colocado o capital de R$1.750,64 para obtermos o montante de R$ 5.000,00, em quatro anos, capitalizados anualmente?
Neste exercício foi utilizada a função TAXA. 
A sintaxe é: =TAXA(4;;-1.750,64;5.000)/12. Ou seja: Número de períodos, valor presente (negativo) e valor futuro. Tudo dividido por 12, pois queremos a taxa nominal mensal.
Exemplo 6: Calcular o montante produzido pelo capital de R$ 1.500,00, colocado a juros compostos de 24% ao ano, com capitalização mensal, durante três anos e três meses. 
Neste exercício foi utilizada a função VF (Valor Futuro). 
A sintaxe é: =VF(24%/12;39;;-1500). Ou seja: 24% dividido por 12 (capitalização mensal), número de períodos, valor presente (negativo).
Exemplo 7: Determine o montante acumulado no final de dois anos, ao se aplicar um principal de R$ 28.000,00 com uma taxa de juros compostos de 36% ao ano, com capitalização trimestral.
(
)
200
.
10
$
02
,
0
1
000
.
10
$
1
=
+
´
=
M
Neste exercício foi utilizada também a função VF. 
A sintaxe é: =VF(36%/4;8;;-28000). Ou seja: 36% dividido por 4 (capitalização trimestral), número de períodos, valor presente (negativo).
Exemplo 8:. Um cliente pretende comprar um eletrodoméstico daqui a oito bimestres, cujo valor deverá situar-se em torno de R$ 1.200,00. Para dispor dessa importância na época desejada, quanto deverá aplicar hoje, à taxa de juros de 25,85% ao ano, com capitalização bimestral?
Neste exercício foi utilizada a função VP (Valor Presente). 
A sintaxe é: =VP(4,31%/6;8;;-1200). Ou seja: 4,31 = =25,85% divididos por 6 (capitalização bimestral), número de períodos, valor futuro (negativo).
3.2. Transformando uma taxa efetiva em taxa nominal, ou vice-versa, utilizando o Microsoft Office Excel 
Para transformar uma taxa efetiva em uma taxa nominal, você pode utilizar a função NOMINAL do Microsoft Office Excel. Para transformar uma taxa nominal em uma taxa efetiva utilize a função EFETIVA Excel. Em resumo:
NOMINAL: retorna a taxa de juros nominal anual.
EFETIVA: retorna a taxa de juros efetiva anual.
Para exemplificar, vamos resolver os exemplos 1 e 2 anteriores, utilizando o Microsoft Office Excel.
Exemplo 1: Calcular a taxa efetiva 
i
 equivalente à taxa nominal de 5% compostos mensalmente.
Solução do exemplo 1:
Digite os dados na planilha do Microsoft Office Excel, conforme mostrado abaixo. 
Calcular a taxa efetiva equivalente à taxa nominal de 5% compostos mensalmente.
a. m.
mesesPeríodos de capitalização 12
Taxa Nominal 5,00%
Taxa Efetiva 5,116%
i
O preenchimento dos dados da janela Argumentos da função com os valores matriciais correspondentes das células fica como mostrado a seguir:
Exemplo 2: Calcular a taxa nominal 
n
i
 composta trimestralmente equivalente a 5% efetivos.
Solução: 
Calcular a taxa nominal composta trimestralmente equivalente a 5% efetivos.
a. m.
Períodos de capitalização 4
Taxa Nominal 4,909%
Taxa Efetiva 5,00%
n
i
Veja outros exemplos de transformações de taxa efetiva em taxa nominal, ou vice-versa, utilizando o Microsoft Office Excel .
Exemplo 1: Uma poupança paga juros de 10 % ao ano, com capitalização mensal. Qual a taxa efetiva anual para essa poupança?
Neste exercício foi utilizada a função EFETIVA. 
A sintaxe é: =EFETIVA (10,00%;12)
Exemplo 2: Qual a taxa efetiva anual corresponde a uma taxa nominal de 120 % ao ano, com capitalização bimestral?
Neste exercício foi utilizada também a função EFETIVA. 
A sintaxe é: =EFETIVA (120,00%;6)
Exemplo 3: Determinar a taxa efetiva anual que seja equivalente a taxa de 9 % ao ano, com capitalização semestral.
Neste exercício ainda foi utilizada a função EFETIVA. 
A sintaxe é: =EFETIVA (9,00%;2). Note, neste caso, que a taxa é anual e a capitalização semestral. Por isso o período de capitalização na planilha Excel foi igual a 2.
Exemplo 4: Um empréstimo é feito a taxa de 32 % ao ano, com capitalização trimestral. Determine o custo efetivo anual para esse empréstimo.
Neste exercício também utilizamos a função EFETIVA. 
A sintaxe é: = EFETIVA (32,00%;4). Veja, neste caso, que a taxa é anual e a capitalização trimestral. O período de capitalização na planilha Excel foi igual a 4.
Vale lembrar que, para transformar uma taxa efetiva em outra taxa efetiva, deve-se utilizar o conceito de transformação de unidades entre taxas efetivas, através da fórmula. Para transformar uma taxa nominal em uma taxa efetiva, ou vice-versa, deve-se utilizar o conceito transformando uma taxa efetiva em taxa nominal, ou o contrário, e esta é feita através do Microsoft Office Excel.
Para que vocês compreendam a importância de se estudar as taxas de juros utilizadas pelo comércio Brasileiro, transcrevemos, na íntegra, o texto retirado do site: http://www.olavodecarvalho.org/convidados/0170.htm , de José Nivaldo Cordeiro, de 03 de junho de 2002, sobre a taxa de juros. Boa Leitura!
“ O site do Professor Ricardo Bergamini (www.angelfire.com/sc3/ricardobergamini) é daqueles imperdíveis para quem estuda a economia brasileira. Ele tem sistematicamente acompanhado a conjuntura econômica e os grandes números dos dois Governos FHC, colocando no site as suas preciosas conclusões. É, claro, um economista crítico com relação ao governo e também não poderia ser diferente: quem enxerga os números sabe que as coisas não andam bem no Brasil.
Um dos pontos de destaque da sua análise é a determinação da taxa de juros do mercado. Para ele, é inútil tentar reduzir a taxa de juros na ponta do tomador privado apenas pela redução da taxa básica. Esta última só interessa para o próprio governo, na medida em que, para cada ponto percentual de redução da mesma, a taxa de mercado sofre contração de apenas 0,04%, segundo seus cálculos.
A fato objetivo é que, pelo mecanismo do depósito compulsório, o governo se apropria de grande parte do dinheiro disponível para crédito, de sorte que pouco sobra para o mercado privado. A taxa básica média para o governo está em torno de 18% a.a., enquanto que a taxa média para o mercado é de 59,42%a.a., sem considerar os impostos, taxas e demais custos do serviço bancário. As lideranças empresariais melhor fariam se lutassem para reduzir essa intervenção indevida no mercado de crédito, que coloca pesada cunha para os tomadores finais. A taxa básica pouco importa para as empresas. Por impedir o desenvolvimento de um sistema de crédito sadio, praticando o
quase monopólio da dívida, o que vemos é a economia minguar. Na verdade, os brasileiros (pessoas físicas e jurídicas) se dividem em dois grupos. De um lado, os que são superavitários e sócios do governo na massa tributária. Vivem felizes, cobrando elevados juros do devedor monopolista. Do outro, os que, por qualquer motivo, são obrigados a tomar recursos emprestados, ao custo de mercado. Esses vivem asfixiados financeiramente e freqüentemente apresentam problemas de solvência. Em outras palavras, quebram ou vêem seu nome sujo na praça, sendo automaticamente excluídos do sistema de crédito. A culpa é única e exclusiva do Estado, que impede o desenvolvimento econômico através de um dos seus mecanismos naturais, que é o crédito.
Se o leitor tiver em conta que os brasileiros já pagam uma brutal carga tributária, que cresce sistematicamente a cada ano, irá perceber o verdadeiro horror econômico em que estamos metidos: o governo brasileiro simplesmenteimpede que a prosperidade aconteça. Quem está desempregado e sem crédito no mercado sabe quem é o autor das suas desgraças. Aqueles que, por algum motivo, vêem os seus sonhos de crescimento fracassarem, sabe quem os seqüestrou. Da mesma forma, o desempenho frustrante da balança comercial só tem um responsável: o governo e sua voracidade fiscal e creditícia. O mercado internacional não paga o sobrecusto governamental embutido nos preços dos produtos. Então, caro leitor, dá para imaginar o grande engano que é apoiar plataformas políticas que pugnam precisamente por aumentar a intervenção governamental no processo econômico. É suicídio.” (JOSÉ NIVALDO CORDEIRO, 2002) 
4. Teoria na Prática
Agora que você já conheceu um pouco mais sobre Taxa de Juros, estude o exercício resolvido abaixo e desenvolva a atividade proposta disponível na Web.
Apliquei R$10.000,00 à taxa nominal de 16,5%a.a., capitalizados mensalmente, por 6 meses. Do 7º mês ao 12º mês, a capitalização mensal passou a ser efetuada à taxa de 15%a.a. Calcular o valor de resgate da aplicação no final de um ano. Considerar o ano comercial e o regime de capitalização composto.
Resolução:
Como a capitalização da taxa real de 16,5% ao ano é mensal, primeiro calculamos a taxa de juro proporcional 1,375% ao mês, resultado da divisão da taxa anual, 16,5%, por 12 meses, ou seja, um ano. A taxa proporcional 1,375% ao mês é a taxa efetiva de juro com período mensal. Posteriormente, devemos calcular o montante obtido ao final dos 6 meses iniciais.
	Capital
	R$ 10.000,00
	 
	Taxa
	1,375%
	a. mês
	Prazo
	6
	meses
	Montante
	R$ 10.853,88
	 
Este montante deverá ser reaplicado pelos seis meses restantes, porém à taxa de juros de 1,25% ao mês, resultado da divisão da taxa anual, 15% por 12 meses. Obtendo, por fim, o valor de resgate ao final de um ano.
	Capital
	R$ 10.853,88
	 
	Taxa
	1,25%
	a. mês
	Prazo
	6
	meses
	Montante
	R$ 11.693,78
	 
5. Recapitulando
Os juros são considerados como o aluguel pago/recebido pelo empréstimo de determinada quantia em dinheiro. Essa quantia monetária a ser paga ou recebida pela utilização do capital, que denominamos de juros, será determinada de acordo com a taxa de juros estipulada na negociação.
A taxa de juros é a razão entre os juros pagos ou recebidos no fim de um determinado período de tempo e o capital inicialmente emprestado, como já vimos na unidade 1 – Regime de Capitalização Simples.
O Mercado Brasileiro utiliza de diversas taxas de juros, tais como a SELIC e a TJLP e é possível observar que as taxas são sempre acompanhadas das respectivas unidades de tempo, ou seja, a.a., a.m. e ainda pelos períodos de capitalização (atualização), quais sejam, a.a. capitalizados mensalmente, a.m. capitalizados diariamente; são essas caracterizações que determinam alguns tipos de taxas existentes no mercado financeiro e que foram abordados na unidade em questão, são elas: as taxas de juros nominais, efetivas, proporcionais e equivalentes.
۩ Taxa de juros Efetiva: é aquela em que a unidade de tempo coincide com o período de capitalização – Exemplo: 1,5%a.m. com capitalização mensal;
۩ Taxa de juros Nominal: é aquela em que a unidade de tempo não coincide com o período de capitalização – Exemplo: 5%a.a. capitalizados mensalmente;
۩ Taxa de juros Proporcional e taxa de juros equivalente: é aquela em que, quando aplicada a um mesmo capital, durante o mesmo intervalo de tempo, produz o mesmo montante. A taxa de juros proporcional é utilizada no regime de capitalização simples e é obtida a partir de regra de três, já a taxa de juros equivalente é utilizada no regime de capitalização composto e é obtida a partir da fórmula:
100
1
100
 
.
1
´
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
T
Q
Efetiva
T
TEQ
Esses conhecimentos poderão auxiliá-los no entendimento de diversas negociações que realizamos no nosso dia-a-dia; então, fique atento e sempre analise os prós e os contras do que está sendo proposto. 
6. Amplie seus Conhecimentos
Você sabia que, sempre que realizamos a “soma” de taxas, tais como os indicadores de mercado (inflação e índices diversos), nós devemos multiplicar os respectivos fatores das taxas em questão e ao final subtrairmos uma unidade?
Vocês devem estar se perguntando: como assim fatores? Fator, nada mais é do que somarmos uma unidade à taxa de juros em que estamos trabalhando, lembrando sempre de utilizá-la na forma decimal ou unitária, ou seja, dividida por 100.
Esse procedimento é muito utilizado para, por exemplo, apresentar o valor acumulado da inflação em determinado período de tempo.
Já quando desejarmos “subtrair” taxas utilizamos o mesmo procedimento, porém em vez de multiplicá-las, devemos dividi-las. 
Para melhor entendimento, acompanhe os exemplos abaixo:
Exemplo 1: Nos meses de janeiro, fevereiro e março de 1994 foram apresentados os respectivos índices inflacionários: 41,32%; 40,57% e 43,08%. Determine a inflação acumulada do período.
Resolução: Primeiro, devemos determinar os fatores, ou seja, dividir os índices por 100 e somar uma unidade ao resultado, posteriormente multiplicamos esses fatores e ao resultado subtraímos um e, por fim, multiplicamos por 100 para obtermos o resultado na forma percentual.
[
]
{
}
=
´
-
´
´
=
´
þ
ý
ü
î
í
ì
-
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
´
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
´
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
100
1
)
4308
,
1
(
)
4057
,
1
(
)
4132
,
1
(
100
1
1
100
08
,
43
1
100
57
,
40
1
100
32
,
41
 
%
23
,
184
=
Exemplo 2: Comprei um título por R$1.000,00 e o vendi com um ganho aparente de 16%. Considerando que a inflação no período foi de 1,5%, o ganho real obtido foi:
Resolução: Neste exemplo, devemos “subtrair” o valor da inflação do período, para determinar o ganho real. Então, temos:
%
29
,
14
100
1
1
100
5
,
1
1
100
16
=
´
þ
ý
ü
î
í
ì
-
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
¸
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
Portanto, desconsiderando a inflação do período o ganho real na venda do título foi de 14,29%.
7. Referências
ASSAF, N. Matemática Financeira. 4. ed. São Paulo: Atlas, 1998.
CRESPO, A. A. Matemática Comercial e Financeira Fácil. 12. ed. São Paulo: Saraiva, 1997.
HAZZANI, S. Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2001.
KUHNEN, O. L.; BAUER, U.R. Matemática Financeira Aplicada e Análise de Investimentos. São Paulo: Atlas, 1994. 
MATHIAS, W. F. Matemática Financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1996.
VERAS, L. L. Matemática Aplicada à Economia. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1996.
PUCCINI, A. L. Matemática financeira Objetiva e Aplicada. São Paulo: Saraiva, 1999
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática Comercial e Financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas, 1997.
Unidade 4: Desconto
1. Nosso Tema
Nesta unidade, abordaremos o assunto: Desconto. Certamente, você já deve ter presenciado diversas negociações comerciais que oferecem descontos em pagamentos à vista. No entanto, o desconto não se restringe a essa conceituação. No mercado financeiro é comum empresas realizarem o desconto de títulos de curto prazo
, transformando um pagamento futuro em capital de giro. 
Assim como os juros, o desconto também poderá ser regido pelo regime de capitalização simples ou composto, porém, como os descontos de títulos e duplicatas são realizados quase que em sua totalidade no curto prazo, o mercado opera normalmente no regime de capitalização simples.
O desconto é muito semelhante aos juros estudados nas unidades anteriores, em que a moeda é o “ator” principal, uma vez que o mercado está realizando a “troca” de uma promessa de pagamento por moeda corrente; pela antecipação desse dinheiro será aplicada sobre o valor do título a taxa de desconto praticada pela instituição financeira. É importante ressaltar que os juros por esse serviço são sempre cobrados antecipadamente, dessa forma, você recebe o valor líquido, ou seja, já deduzido o desconto do valor nominal do título. 
Deteremo-nos ao estudo do desconto comercial simples, também chamado de desconto bancário.Vamos conhecer melhor como essa negociação é praticada no mercado financeiro?
2. Para Refletir
No segundo parágrafo da seção anterior (Nosso Tema), é clara a afirmação de que o mercado utiliza nas operações de desconto, quase que em sua totalidade, o regime de capitalização simples. 
Leia com atenção os tópicos seguintes. Eles oferecem muitas informações, de forma prática. Apresentam conceitos e exemplos que poderão auxiliá-lo na reflexão acima. 
Esperamos que, a partir do estudo desta unidade, você seja capaz de explicar o porquê da predominância do regime de capitalização simples nas operações de desconto. 
Não fique com dúvidas. Sempre que achar necessário, entre em contato com seu tutor. Ele é o articulador do processo de aprendizagem. 
3. Conteúdo Didático 
O desconto participa de muitas operações comerciais e bancárias. Na compra de bens do tipo TV, geladeira, roupas etc., o cliente tem mais de uma alternativa de pagamento. Por exemplo: em três parcelas iguais sem acréscimo ou à vista com 5% de desconto. Na negociação com o fabricante de bens do tipo TV, geladeira, roupas etc., o lojista conhece o preço unitário de venda do bem a ser adquirido para a revenda. Na forma de pagamento dos bens comprados, o lojista analisará a melhor alternativa entre pagar numa data futura ou pagar no ato da compra com desconto.
No mesmo ciclo comercial, o fabricante de bens costuma manter uma ‘carteira’ de contas a receber, com suas respectivas duplicatas. A venda a prazo, num único pagamento diferido ou em parcelas, exige da empresa uma disponibilidade de capital (capital de giro da empresa) para honrar os compromissos decorrentes da manufatura dos produtos vendidos. O planejamento inadequado das necessidades de capital, bem como o atraso no recebimento dos clientes, pode aumentar a necessidade de dinheiro da empresa. A empresa poderá antecipar esses recebimentos futuros diretamente com os clientes propondo o pagamento antecipado das duplicatas, oferecendo uma determinada taxa de desconto. 
Porém, o mercado financeiro opera, também, com os descontos relacionados à antecipação de pagamentos futuros, viabilizados por instituições financeiras. Nesse caso, o banco proporá uma determinada taxa de desconto sobre o valor das duplicatas e este valor irá variar de acordo com o tempo pelo qual se está antecipando o pagamento, bem como pelo regime de capitalização oferecido, pois os descontos, assim como os juros, podem ser regidos por ambos os regimes: simples ou composto. 
Em geral, o mercado opera utilizando-se dos descontos simples, também chamados de Desconto Bancário ou Comercial, motivo pelo qual nos deteremos somente a essa modalidade de desconto. 
Você saberia explicar o porquê do mercado operar quase que em sua totalidade com o Desconto Simples? Reveja o tópico “Amplie seus conhecimentos” da unidade 2 e tente compreender o porquê.
3.1. Taxa de desconto
Por que uma pessoa, seja física ou jurídica, anteciparia o pagamento de certa quantia devida em vez de pagá-la numa data futura como tinha sido acertado? Você saberia responder a essa questão?
Bem, uma pessoa anteciparia esse pagamento se ele atendesse seu objetivo de maximizar sua riqueza, concorda? Por exemplo, recebendo um desconto que crie valor para a pessoa. Seja uma transação comercial com vencimento VF (Valor Futuro) numa data futura que também pode ser liquidada hoje pagando VP (Valor Presente), valor obtido com a taxa de desconto 
d
i
 sobre VF. Então:
(
)
d
i
VF
VP
-
´
=
1
Um problema freqüente no nosso dia-a-dia é escolher a melhor entre duas alternativas de pagamento de compra: pagar à vista com desconto ou com cheque pré-datado para uma determinada data futura.
Vamos aos exemplos:
Exemplo 1: O pagamento da compra de mercadorias no valor de R$10.000,00 pode ser realizado com cheque pré-datado para 30 dias, ou à vista com desconto de 3%. Escolha a melhor alternativa considerando que o comprador tem dinheiro para pagar à vista e está aplicado à taxa de juro de 1,25% aos 30 dias.
Solução: Analisemos os pagamentos das duas alternativas
a) Pagamento no ato da compra, com desconto de 3%: 
(
)
00
,
700
.
9
03
,
0
1
10000
=
-
´
=
VP
.
b) Pagamento com cheque pré-datado: Como o dinheiro do comprador está aplicado à taxa de 1,25% aos 30 dias, o valor de seu capital hoje para saldar o montante, também daqui a 30 dias será: 
(
)
n
i
M
C
´
+
=
1
 
(
)
54
,
876
.
9
0125
,
0
1
10000
=
+
=
Þ
C
. 
Comparando as duas alternativas de pagamento, o comprador deve escolher pagar à vista, pois é a alternativa com menor desembolso – R$9.700,00 – na data da compra, em vez de R$9.876,54 que deverá aplicar para obter os R$10.000,00. Sua economia nesse caso será de R$176,54.
Caso o comprador, mesmo dispondo da quantia para pagamento à vista, escolhesse a alternativa de pagar com cheque pré-datado, ele estaria destruindo parte de seu patrimônio, pois os R$9.700,00 aplicados durante os 30 dias com taxa de juro de 1,25% aos 30 dias gerariam o futuro de R$9.821,25, menos que os R$10.000,00 necessários para pagar o cheque pré-datado. Na data de pagamento do cheque pré-datado, o comprador deveria retirar de seu patrimônio R$178,75 para completar o pagamento. 
É importante ressaltar que, considerando a taxa de juro de 1,25% aos 30 dias, a perda de valor igual a R$178,54, medida 30 dias depois da data da compra, é equivalente ao valor de R$176,54 na data da compra.
Exemplo 2: Na compra de um eletrodoméstico no valor de R$600,00, o vendedor da loja oferece duas alternativas de pagamento: com cartão de crédito ou à vista com 3% de desconto. Calcule o valor do pagamento à vista, pois o vencimento do cartão de crédito ocorrerá daqui a dez dias.
Solução: 
Sendo 
(
)
d
i
VF
VP
-
´
=
1
, temos: 
(
)
582
03
,
0
1
600
=
-
´
=
VP
. 
O comprador pagará à vista R$582,00.
Nesse caso, a compra do eletrodoméstico é realizada à vista, pois o vencimento do cartão de crédito ocorrerá a dez dias e o comprador considera que o desconto de 3% é atrativo. 
Exemplo 3: Procurando equilibrar o fluxo de caixa da empresa, o gerente financeiro vendeu uma duplicata no valor de R$1.035,00 com vencimento daqui a 29 dias. Calcule a taxa de desconto considerando que o banco pagou R$1.000,00 pela compra dessa duplicata.
Solução: 
Da fórmula 
(
)
d
i
VF
VP
-
´
=
1
, isolando a taxa temos: 
VF
VP
i
d
-
=
1
. 
Então: 
%
38
,
3
0338
,
0
1035
1000
1
=
=
-
=
d
i
Os exemplos acima mostram que os capitais utilizados nas operações com taxa de desconto 
d
i
 também formam uma operação financeira com os mesmos capitais e uma única capitalização com taxa de juro 
i
 que podemos calcular. Significa, então, que, na mesma operação, há uma equivalência entre a taxa de desconto e a taxa de juro. 
No exemplo 3, a taxa de desconto de 3% é equivalente à taxa de juro 
i
 = 3,093% aos 30 dias. Como 
1
-
=
C
M
i
; então: 
03093
,
0
1
9700
10000
=
-
=
i
.
Observe que a taxa de desconto 
d
i
, como a taxa de juro 
i
, depende do juro da operação 
C
M
-
. Enquanto a taxa de juro é uma medida do juro por unidade do presente 
C
, a taxa de desconto é uma medida do juro por unidade de futuro 
M
. Portanto, a taxa de desconto será sempre menor do que a taxa de juro, ambas as taxas referidas ao mesmo período.
3.1.1. Desconto Comercial 
Desconto comercial, também conhecido por desconto bancário ou “por fora”, corresponde ao desconto calculado sobre o valor nominal (VF) de um título; o mesmo pode ser entendido como sendo o juro simples calculado sobre o valor nominal do título.
Como vimos na unidade 1, os juros são calculados pela fórmula 
n
i
C
J
´
´
=
, chamando de “
D
” o desconto comercial e de 
VF
o valor nominal, temos: 
n
i
VF
D
d
´
´
=
Onde,
=
D
Desconto
=
VF
Valor Nominal do Título
=
d
i
Taxa de desconto
=
n
Prazo de antecipação
É fácil verificar que o valor efetivamente recebido será 
D
VF
VP
-
=
, onde 
VP
é o valorlíquido (valor presente) recebido na data do seu resgate, também chamado de Valor Atual. Como o desconto é dado por: 
n
i
VF
D
d
´
´
=
, substituindo na fórmula do valor atual 
VP
 temos: 
)
(
n
i
VF
VF
VP
d
´
´
-
=
. Colocando o valor nominal 
VF
 em evidência: 
)
1
(
n
i
VF
VP
d
´
-
=
Lembre-se de que, assim como nos juros simples, para a realização dos exercícios, é necessário fazer as conversões das taxas de juros utilizadas, ou períodos, para as mesmas unidades de referências. Para tanto, basta fazer uma regra de três simples seja no período ou na taxa de desconto.
Exemplo 1: Um título de crédito no valor de R$1.000,00, com vencimento para 72 dias, é descontado à taxa de 120% a.a. de desconto comercial simples. Determine o valor de resgate do título.
Solução: 
Como o período está em dias e a taxa está ao ano, devemos convertê-las para a mesma unidade de tempo. Converteremos, então, o período fazendo a divisão de 
360
72
e substituiremos na fórmula de valor atual.
00
,
760
$
360
72
2
,
1
1
000
.
1
)
1
(
R
VP
VP
n
i
VF
VP
d
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
´
-
=
´
-
=
Logo, com a antecipação desse título, a empresa resgatará a quantia de R$760,00.
Exemplo 2: Uma nota promissória de R$2.200,00, foi resgatada 3 meses antes de seu vencimento por R$2.035,00. Sabendo que foi aplicado o desconto comercial simples, qual é a taxa de desconto da operação?
Solução: 
Para determinarmos a taxa de desconto na operação, utilizaremos a mesma fórmula do exemplo anterior e isolaremos a variável que desejamos determinar, no caso 
d
i
 :
%
5
,
2
025
,
0
075
,
0
3
925
,
0
1
3
3
1
200
.
2
035
.
2
)
3
1
(
200
.
2
035
.
2
)
1
(
=
=
=
-
=
-
=
´
-
=
´
-
=
d
d
d
d
d
d
i
i
i
i
i
n
i
VF
VP
Logo, a taxa de desconto da operação é de 2,5% a.m.
3.2. Equivalência de taxa de desconto e taxa efetiva 
Seja a operação com o futuro 
M
 na data 
n
 e o capital equivalente 
C
 na data zero relacionados com a taxa de desconto 
d
i
. Ao mesmo tempo, nessa operação de prazo 
n
 os capitais 
M
 e 
C
 estão relacionados com a taxa efetiva de juro 
i
 com período 
m
.
A equivalência dos capitais dessa operação com a taxa efetiva 
i
 com período 
m
 é 
(
)
m
n
i
C
M
+
´
=
1
. Além disso, a equivalência dos capitais dessa operação com taxa de desconto 
d
i
 é 
(
)
d
i
M
C
-
´
=
1
. Como se trata da mesma operação, pois os capitais 
M
 e 
C
 são os mesmos – seja com a taxa efetiva 
i
 com período 
m
 ou com a taxa de desconto 
d
i
, substituindo a segunda equivalência na primeira: 
(
)
(
)
m
n
d
i
i
M
M
+
´
-
´
=
1
1
. Simplificando: 
(
)
d
m
n
i
i
-
=
+
1
1
1
.
Observe que o primeiro membro é igual a 
q
i
-
1
, sendo 
q
i
 a taxa efetiva equivalente no prazo da operação 
n
 da taxa de juro 
i
 com período 
m
. Nessas condições, 
d
i
 é uma taxa efetiva de desconto.
Acompanhe os exemplos!
Exemplo 1: O pagamento da compra de diversas roupas de criança pode ser realizado à vista com desconto ou com cheque pré-datado para 30 dias no valor da mercadoria. Calcule a taxa de desconto mínima que o comprador deveria aceitar para comprar à vista, considerando que tem dinheiro para realizar o pagamento à vista e está aplicado com uma taxa de juro de 2,15% aos 30 dias.
Solução: 
Da equivalência entre a taxa de desconto e a taxa de juro 
(
)
d
m
n
i
i
-
=
+
1
1
1
 se deduz 
d
i
: 
(
)
m
n
d
i
i
+
-
=
1
1
1
. Como o prazo da operação 
n
 é igual ao período de juro 
m
, ambos iguais a 30 dias, então, a equivalência anterior passa a ser 
(
)
i
i
d
+
-
=
1
1
1
, que simplificando: 
(
)
i
i
i
d
+
=
1
. Então: 
(
)
%
10
,
2
021047
,
0
0215
,
0
1
0215
,
0
=
=
+
=
d
i
. A taxa de desconto mínima que o comprador deveria aceitar para compra à vista é 2,10%, para 30 dias.
O resultado de 
(
)
i
i
+
-
1
1
 se denomina fator de desconto, que, nesse exemplo, é igual a 0,978952. Ou seja, na compra de R$1.000,00, o pagamento à vista será de R$978,95.
Exemplo 2: Na operação de 25 dias foi aplicada à taxa de desconto de 4,80%. Calcule a taxa de juro equivalente com período de 25 dias.
Solução: Da equivalência entre a taxa de desconto e a taxa de juro 
(
)
d
m
n
i
i
-
=
+
1
1
1
 se deduz 
i
: 
1
1
1
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
n
m
d
i
i
. Como o prazo da operação 
n
 é igual ao período de juro 
m
, ambos iguais a 25 dias, a equivalência anterior passa a ser 
(
)
d
d
i
i
i
-
=
1
. Então: 
(
)
%
04
,
5
05042
,
0
048
,
0
1
048
,
0
=
=
-
=
i
.
A taxa de juro equivalente é 5,04%, aos 25 dias.
3.3. Equivalência de dois capitais
Devido à variação do valor do dinheiro no tempo, receber hoje uma certa quantia em dinheiro é melhor do que receber essa mesma quantia numa data futura. Mas, se para você for indiferente, por exemplo, receber R$100,00 hoje ou R$120,00 daqui a nove meses, então essas duas quantias são equivalentes, com uma taxa de juro de 20% aos nove meses. Conseqüentemente, dois capitais são iguais se eles tiverem o mesmo valor absoluto e ocorrerem na mesma data. Nesse caso, pode-se realizar a soma algébrica dos dois capitais. A soma algébrica desses dois capitais 
M
 e 
C
, na data final, é igual a zero e forma a equação de valor equivalente 
(
)
0
1
=
+
´
+
m
n
i
C
M
Exemplo 1: Foram aplicados R$1.000,00 no dia de hoje pelo prazo de 60 dias, com a taxa de juro de 2% aos 30 dias. Calcule o resgate.
Solução:
Da equivalente 
(
)
0
1
=
+
´
+
m
n
i
C
M
, temos: 
(
)
(
)
Þ
=
+
´
-
+
0
02
,
0
1
000
.
1
30
60
M
 
0
40
,
040
.
1
=
-
M
 
40
,
040
.
1
+
=
Þ
M
. 
O resgate será de R$1.040,40. Note que, nesse caso, pode-se realizar a soma algébrica dos dois capitais com seu verdadeiro sinal, entrada com sinal positivo e saída com sinal negativo.
Exemplo 2: O financiamento foi liquidado 92 dias depois de ser recebido o pagamento de R$12.435,00. Calcule o valor recebido pelo tomador do financiamento considerando que foi realizado com taxa de juro de 3,50% aos 31 dias.
Solução: 
(
)
Þ
=
+
´
+
0
035
,
0
1
435
.
12
31
92
C
 
11
,
228
.
11
-
=
C
. 
Do ponto de vista do tomador do empréstimo, obtém-se o valor financiado 
11
,
228
.
11
$
R
C
-
=
 com seu verdadeiro sinal.
Nos exemplos acima, os capitais 
M
 e 
C
 foram informados com seus verdadeiros sinais, e os resultados foram obtidos com seu verdadeiro sinal. Freqüentemente, uma ou mais obrigações ou direitos são trocados por outra ou mais obrigações ou direitos equivalentes com diferentes valores e datas de ocorrência. Essa troca pode ocorrer por acerto entre as partes de uma transação financeira.
Exemplo 3: O cliente avisou ao fornecedor que necessita prorrogar o pagamento da duplicata no valor de R$67.500,00, que vence daqui a 36 dias. Como nos últimos dois anos o cliente tem sido bom pagador, o fornecedor concordou em prorrogar a dívida por mais 28 dias a contar da data de vencimento da duplicata considerando a taxa de juro de 3,2% aos 30 dias. Calcule quanto o cliente deverá pagar na nova data.
Solução:
(
)
87
,
513
.
69
032
,
0
1
500
.
67
30
28
=
+
´
=
M
.
Exemplo 4: Para adequar o fluxo de caixa da empresa, o gerente financeiro está pensando em solicitar ao seu fornecedor a substituição de três duplicatas futuras vencendo em 32, 60 e 97 dias a contar de hoje com os respectivos valores de R$12.000,00, R$17.450,00 e R$15.320,00 por uma única duplicata com data de vencimento daqui a 85 dias, considerando a taxa de juro de 2,85% aos 30 dias. Calcule o valor dessa nova duplicata.
Solução: O valor da nova duplicata daqui a 85 dias é a soma dos valores equivalentes das três duplicatas na data 85. Dessa forma, temos:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Þ
+
´
+
+
´
+
+
´
=
-
-
-
30
97
85
30
60
85
30
32
85
0285,
0
1
320
.
15
0285
,
0
1
450
.
17
0285
,
0
1
000
.
12
M
75870
,
148
.
15
46388
,
863
.
17
78625
,
610
.
12
+
+
=
Þ
M
 
01
,
623
.
45
$
R
M
=
Þ
. 
Observe que as duas primeiras parcelas da expressão do exemplo acima calculam o futuro das respectivas quantias, e a terceira parcela calcula o presente, pois o expoente é negativo (
30
/
12
-
).
Se o período da taxa de juro for a unidade de tempo das capitalizações, ou 
1
=
m
, a fórmula 
(
)
0
1
=
+
´
+
m
n
i
C
M
, converte nas da equivalência 
(
)
n
i
C
M
+
´
=
1
 da operação financeira com dois capitais e taxa de juro 
i
 com período igual ao prazo de geração dos juros.
Conseguiu compreender os assuntos abordados até o momento? Conte sempre com meu apoio, Estarei à disposição para discutir suas dúvidas, basta utilizar as ferramentas do ambiente virtual de aprendizagem (Ajuda/Correio/Fórum).
Vamos, então, dar continuidade aos estudos? Na unidade seguinte, nosso foco de estudos será as Operações com Séries Uniformes.
Para complementar seus estudos sobre Desconto de Duplicatas, segue um texto retirado do site: http://www.algosobre.com.br/matematica-financeira/descontos-simples.html, o qual abrange os conceitos de desconto bancário e duplicatas, além de exercícios resolvidos, os quais auxiliam na compreensão dos conceitos.
Desconto bancário 
Nos bancos, as operações de desconto comercial são realizadas de forma a contemplar as despesas administrativas (um percentual cobrado sobre o valor nominal do título) e o IOF - imposto sobre operações financeiras. 
É óbvio que o desconto concedido pelo banco, para o resgate de um título antes do vencimento, através dessa técnica, faz com que o valor descontado seja maior, resultando num resgate de menor valor para o proprietário do título. 
Exemplo:
Um título de $100.000,00 é descontado em um banco, seis meses antes do vencimento, à taxa de desconto comercial de 5% a.m. O banco cobra uma taxa de 2% sobre o valor nominal do título como despesas administrativas e 1,5% a.a. de IOF. Calcule o valor líquido a ser recebido pelo proprietário do título e a taxa de juros efetiva da operação. 
Solução:
Desconto comercial: Dc = 100000 . 0,,05 . 6 = 30000
Despesas administrativas: da = 100000 . 0,02 = 2000
IOF = 100000 . (0,015/360) . 180 = 750
Desconto total = 30000 + 2000 + 750 = 32750
Daí, o valor líquido do título será: 100000 - 32750 = 67250
Logo, V = $67250,00
A taxa efetiva de juros da operação será: i = [(100000/67250) - 1].100 = 8,12% a. m. 
Observe que a taxa de juros efetiva da operação é muito superior à taxa de desconto, o que é amplamente favorável ao banco. 
Duplicatas 
Recorrendo a um dicionário, encontramos a seguinte definição de duplicata:
Título de crédito formal, nominativo, emitido por negociante com a mesma data, valor global e vencimento da fatura, e representativo e comprobatório de crédito preexistente (venda de mercadoria a prazo), destinado a aceite e pagamento por parte do comprador, circulável por meio de endosso, e sujeito à disciplina do direito cambiário. 
Obs:
a) A duplicata deve ser emitida em impressos padronizados aprovados por Resolução do Banco Central.
b) Uma só duplicata não pode corresponder a mais de uma fatura. 
Considere que uma empresa disponha de faturas a receber e que, para gerar capital de giro, ela dirija-se a um banco para trocá-las por dinheiro vivo, antecipando as receitas. Entende-se como duplicatas, essas faturas a receber negociadas a uma determinada taxa de descontos com as instituições bancárias. 
Exemplo:
Uma empresa oferece uma duplicata de $50000,00 com vencimento para 90 dias, a um determinado banco. Supondo que a taxa de desconto acertada seja de 4% a. m. e que o banco, além do IOF de 1,5% a.a. , cobra 2% relativo às despesas administrativas, determine o valor líquido a ser resgatado pela empresa e o valor da taxa efetiva da operação. 
SOLUÇÃO:
Desconto comercial = Dc = 50000 . 0,04 . 3 = 6000
Despesas administrativas = Da = 0,02 . 50000 = 1000
IOF = 50000(0,015/360).90] = 187,50 
Teremos, então:
Valor líquido = V = 50000 - (6000 + 1000 + 187,50) = 42812,50
Taxa efetiva de juros = i = [(50000/42812,50) - 1].100 = 16,79 % a.t. = 5,60 % a.m.
Resp: V = $42812,50 e i = 5,60 % a.m. 
4. Teoria na Prática
Agora que você já conheceu um pouco mais sobre os Descontos, estude o exercício resolvido abaixo e desenvolva a atividade proposta disponível na Web. 
Exemplos
:
01) Sua empresa está com o caixa baixo. Precisando de um capital de giro maior para financiar suas atividades, você decide se dirigir ao seu banco, com o intuito de descontar alguns títulos resultantes de algumas operações mercantis anteriores. Sua carteira de títulos passíveis de desconto é constituída de: R$142.000,00 vencíveis em 30 dias, R$185.000,00 vencíveis em 60 dias e R$173.000,00 com vencimento num prazo de 90 dias, todos a contar a partir da datada operação. Assuma que a taxa de desconto simples de duplicatas usada pelo seu banco é de 48% ao ano. Sendo assim, qual será o valor creditado na conta corrente da sua empresa em função dessa operação?
Resolução:
Para determinar o valor a ser creditado na conta corrente da empresa, devemos calcular o valor líquido recebido por cada título descontado, conforme tabela abaixo:
	Desconto de Títulos
	Valor Nominal
(VF)
	Tempo Antecipação (n)
	Taxa de Desconto (
d
i
)
	Valor líquido
(VP)
	R$142.000,00
	30 dias ou 1 mês
	48% a.a ou 4%a.m
	
00
,
320
.
136
$
)
1
04
,
0
1
(
000
.
142
R
VP
VP
=
´
-
=
	R$185.000,00
	60 dias ou 2 meses
	48% a.a ou 4%a.m
	
00
,
200
.
170
$
)
2
04
,
0
1
(
000
.
185
R
VP
VP
=
´
-
=
	R$173.000,00
	90 dias ou 3 meses
	48% a.a ou 4%a.m
	
00
,
240
.
152
$
)
3
04
,
0
1
(
000
.
173
R
VP
VP
=
´
-
=
	TOTAL LÍQUIDO RECEBIDO
	
00
,
760
.
458
$
R
02) Você tem em seu poder uma única promissória com valor de face igual a R$2.800,00, e vencimento previsto para daqui a 3 meses. Suponha que você tem uma dívida que deve ser paga integralmente hoje no valor de R$1.800,00. Chegando ao banco, você toma conhecimento de que a taxa de desconto simples é de 15%a.m. Nesse caso, sabendo que esta é a única opção para quitar o débito, você descontaria a promissória? Por quê?
Resolução:
Utilizando a fórmula de desconto bancário, 
)
1
(
n
i
VF
VP
d
´
-
=
, temos:
00
,
540
.
1
)
3
15
,
0
1
(
800
.
2
=
´
-
=
VP
VP
Logo, o valor líquido recebido pelo resgate do título será de R$1.540,00, como a dívida é de R$1.800,00 e o valor recebido é menor que o necessário para quitá-la o melhor é não descontar a promissória.
03) Se a taxa de desconto comercial é de 4%a.m., qual a taxa mensal equivalente cobrada na operação?
Resolução:
Como vimos no item 2.2.3. da equivalência entre a taxa de desconto e a taxa de juro 
(
)
d
m
n
i
i
-
=
+
1
1
1
 se deduz 
i
: 
1
1
1
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
n
m
d
i
i
. Como o prazo da operação 
n
 é igual ao período de juro 
m
, a equivalência anterior passa a ser 
(
)
d
d
i
i
i
-
=
1
. Então: 
(
)
%
1667
,
4
0417
,
0
04
,
0
1
04
,
0
=
=
-
=
i
.
04) Uma promissória de valor nominal de R$2.000,00, vencível em 60 dias, vai ser substituída por 90 dias a contar da data de vencimento da duplicata considerando a taxa de juro de 2% aos 30 dias. Calcule o valor na nova promissória.
Resolução:
(
)
41
,
122
.
2
02
,
0
1
000
.
2
30
90
=
+
´
=
M
.
Logo, o valor da nova promissória será de R$2.122,41.
5. Recapitulando
Esta unidade transcorreu sobre Desconto. Para melhor compreensão do assunto foram abordados os subitens: 
· Taxa de Desconto → é a taxa cobrada pela instituição financeira para liquidar um título com vencimento futuro (VF). O valor presente (líquido recebido) é obtido a partir da fórmula: 
(
)
d
i
VF
VP
-
´
=
1
· Desconto Comercial → pode ser entendido como sendo o juro simples calculado sobre o valor nominal dotítulo, o mesmo é obtido a partir da fórmula: 
(
)
n
i
VF
VP
d
´
-
´
=
1
· Equivalência de taxa de Desconto → a equivalência de taxa de desconto pode ser obtida pela fórmula: 
(
)
d
m
n
i
i
-
=
+
1
1
1
. 
· Equivalência de dois capitais → dois capitais são iguais se ambos tiverem o mesmo valor absoluto e ocorrerem na mesma data. Nesse caso, pode-se realizar a soma algébrica dos capitais, ou seja, 
(
)
0
1
=
+
´
+
m
n
i
C
M
.
6. Amplie seus Conhecimentos
Você sabia que as instituições financeiras, nas operações de desconto que envolve vários títulos
, utilizam de um documento chamado de borderô? Esse borderô nada mais é do que uma tabela, a qual se relaciona os títulos a serem descontados, com as seguintes informações: numeração da duplicada, nome do sacado, praça (cidade), vencimento e o valor nominal de cada título.
Um método muito utilizado para calcular o valor líquido recebido nesses casos é o chamado método hamburguês que consiste em:
Para melhor entendimento, veja a resolução do exemplo abaixo:
Uma empresa oferece a seguinte relação de duplicatas para serem descontadas em um banco comercial:
	BORDERÔ DE DESCONTO
	CEDENTE: Supermercados Aredes
	DATA: 31/05/2005
	Nº
	SACADO
	PRAÇA
	VENCIMENTO
	VALOR (R$)
	123456
	Mineração X
	Belo Horizonte
	15/08/2005
	6.354,00
	789012
	Supermercado Y
	Rio de Janeiro
	08/12/2005
	1.635,00
	345678
	Joaquim Paiva
	Belo Horizonte
	04/11/2005
	975,00
	901234
	Madeireira WZ
	Santa Luzia
	24/07/2005
	2.646,00
	567890
	WCO
	Contagem
	15/11/2005
	5.765,00
Que valor deverá ser creditado na conta da empresa, considerando o mês comercial e sabendo que a taxa de desconto será de 2% ao mês?
[
]
000
.
3
)
(
...
)
(
)
(
2
2
1
1
d
n
n
i
t
N
t
N
t
N
Desconto
´
´
+
+
´
+
´
=
= 
[
]
000
.
3
2
)
164
765
.
5
(
)
53
646
.
2
(
)
153
975
(
)
187
635
.
1
(
)
74
354
.
6
(
´
´
+
´
+
´
+
´
+
´
=
Desconto
= 
[
]
54
,
340
.
1
000
.
3
2
)
460
.
945
(
)
238
.
140
(
)
175
.
149
(
)
745
.
305
(
)
196
.
470
(
=
´
+
+
+
+
=
Desconto
Subtraindo o valor do desconto do total do borderô que é de R$17.375,00, a empresa receberá líquido o valor de R$16.034,46.
7. Referências
ASSAF, N. Matemática Financeira. 4. ed. São Paulo: Atlas, 1998.
CRESPO, A.A. Matemática Comercial e Financeira Fácil. 12. ed. São Paulo: Saraiva, 1997.
HAZZANI, S. Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2001.
KUHNEN, O.L.; BAUER, U.R. Matemática Financeira Aplicada e Análise de Investimentos. São 
MATHIAS, W.F. Matemática Financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1996.
PUCCINI, A.L. Matemática financeira Objetiva e Aplicada. São Paulo: Saraiva, 1999.
VERAS, L.L. Matemática Aplicada à Economia. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1996.
VIEIRA SOBRINHO, J.D. Matemática Comercial e Financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas, 1997.
Paulo: Atlas, 1994. 
Unidade 5: Rendas Uniformes
1. Nosso Tema
Nos capítulos anteriores, abordamos o conceito de pagamentos e/ou acumulação de capital efetuados de uma só vez e numa determinada data futura. Podemos considerar, nessa situação, que o dinheiro estava “parado” durante um determinado período, pois você não estava realizando nenhuma operação financeira durante esse espaço de tempo, uma vez que ou o capital estava rendendo juros a serem resgatados ao final do período, ou, então, após a aquisição de uma quantia monetária, ela seria quitada ao final do prazo acordado.
Porém, na prática, o que observamos é que muitas vezes o comprador não possui recursos financeiros suficientes para efetivar suas compras à vista, recorrendo a financiamentos ou empréstimos que viabilizam a aquisição de determinado bem. Essa dívida adquirida, normalmente é quitada a partir de prestações; compondo, assim, uma série de pagamentos.
Pensando por outro lado, as séries de pagamento poderão ser utilizadas também para a formação de um montante. Um exemplo que descreve bem essa situação é a Caderneta de Poupança em que o investidor deposita uma determinada quantia periodicamente, formando, assim, um valor (montante) a ser resgatado em data futura.
Mas, o que significa “Série de Pagamentos”?
Grosso modo, uma Série de Pagamento, também conhecida como anuidades, é uma seqüência finita ou infinita de pagamentos ou depósitos realizados em datas previamente estipuladas. Ela objetiva a quitação de empréstimos parcelados (amortização) ou a formação de um montante (capitalização). Esse tema será abordado de forma mais abrangente nesta unidade.
2. Para Refletir
No caso de aquisição de um bem, quando o comprador não possui os recursos financeiros para a sua compra à vista ele recorre a um empréstimo e daí surge a série de pagamentos até a quitação do recurso financiado.
Nesta unidade, serão apresentadas as informações que irão auxiliá-lo nessas questões e em outras que porventura surjam durante a leitura da unidade.
Esperamos, a partir do estudo desta unidade, que você seja capaz de traçar um paralelo entre o conteúdo já estudado e o conteúdo atual, identificando diferenças significativas entre ambos, como, por exemplo: a formação da série de pagamentos, a carência como adiamento do início da série e o financiamento com entrada.
Vamos descobrir como calculamos uma série de pagamentos?
3. Conteúdo Didático
3.1. Operações com Séries Uniformes
Da mesma forma que foi estabelecida uma relação de equivalência entre dois capitais de uma mesma operação financeira, também se pode estabelecer uma relação de equivalência entre um único capital e uma série de capitais. Essas relações de troca são utilizadas freqüentemente no desconto de duplicatas, no financiamento de vendas do comércio com pagamento em prestações, na aplicação em fundos de poupança, investimentos parcelados etc. Uma série de capitais, de modo geral, corresponde a qualquer seqüência de entradas ou saídas de caixa que tenham como objetivos a Amortização ou a Capitalização.
A Amortização trata da equivalência entre os capitais da série e seu presente 
C
 na data zero, como é o caso do financiamento contraído na data zero. A Capitalização trata da equivalência entre os capitais da série e seu futuro 
M
 na data 
n
, como é o caso da formação de um fundo na data 
n
.
As séries podem ser classificadas quanto a alguns parâmetros:
	
	TIPO
	DESCRIÇÃO
	Nº TERMOS
	FINITAS
	Existe um número limitado de prestações
	
	INFINITAS
	Não existe última prestação (perpetuidade)
	NATUREZA
	UNIFORMES
	Todos os pagamentos têm o mesmo valor (renda fixa)
	
	NÃO UNIFORMES
	Termos diferentes, também chamados de renda variável
	PERÍODO
	PERIÓDICAS
	Quando os períodos são iguais (termos constantes)
	
	NÃO PERIÓDICAS
	Quando os períodos são diferentes
	VENCIMENTO
	POSTECIPADAS
	1º pagamento efetuado no final do período
	
	ANTECIPADAS
	1º pagamento efetuado no início do período
	OCORRÊNCIA 1º TERMO
	NORMAL
	Quando o 1º termo ocorrer no 1º período
	
	DIFERIDA
	Quando o 1º termo só ocorrer após algum período, ou seja, quando houver carência
Figura 1 – Séries de capitais uniformes
A data em que for situado o início da série uniforme é apenas convencional, pois, como será visto nos exemplos a seguir, qualquer série uniforme pode ser considerada como antecipada ou Vencimento / O importante é compreender a relação e a posição dos capitais equivalentes 
M
 e 
C
 em relação à posição da série uniforme no diagrama de capitais. Mantendo 
M
 ou 
C
 inalterados, observe que a série antecipada pode ser obtida da série postecipada, deslocando todos os capitais um período na direção da data zero, procedimento denominado descapitalização. Nesse caso, o capital deslocado para a data anterior será igual ao seu valor original dividido pelo fator 
(
)
i
+
1
, considerando que o período da taxa de juro coincide com o período deslocado. 
Da mesma maneira, a série postecipada também pode ser obtida da série antecipada deslocando todos os capitais dessa série um período na direção da data 
n
, procedimento denominadocapitalização. Nesse caso, o capital deslocado para a data posterior será igual ao valor original multiplicado pelo fator 
(
)
i
+
1
, considerando que o período da taxa de juro é o mesmo que o período deslocado. Essas duas conclusões mostram que é possível obter resultados equivalentes das séries antecipadas a partir dos resultados das séries postecipadas, e vice-versa.
Agora, para compreender melhor o assunto, observe os exemplos:
Exemplo 1: O dono da pequena empresa está negociando com o banco a antecipação do pagamento de três cheques pré-datados cujos valores e datas de pagamento estão registrados no diagrama do fluxo de capitais seguinte, sendo as datas contadas como dias corridos a partir da data de negociação e recebimento, considerada como data zero. Sabendo que a taxa de juro utilizada pelo banco é 3,5% aos 30 dias, calcule quanto o dono da empresa receberá na data zero.
Solução: A série é formada por três capitais com valores diferentes e ocorrem, também, em datas diferentes sem nenhuma periodicidade. Estabelecendo a equação do valor equivalente na data zero, com o montante 
M
 sendo substituído pelas antecipações 
1
A
, 
2
A
 e 
3
A
, temos: 
(
)
(
)
(
)
m
t
m
t
m
t
i
A
i
A
i
A
C
3
 
2
 
1
 
1
1
1
3
2
1
-
-
-
+
´
+
+
´
+
+
´
=
. 
Onde:
1
A
, 
2
A
e 
3
A
→ valor das antecipações;
1
t
, 
2
t
 e 
3
t
→ Período de antecipação de cada cheque;
m
→ unidade de tempo da taxa.
Com a substituição dos valores, fica:
(
)
(
)
(
)
8405
,
895
.
2
035
,
0
1
190
.
1
035
,
0
1
850
035
,
0
1
000
.
1
30
60
 
30
35
 
30
28
 
=
+
´
+
+
´
+
+
´
=
-
-
-
C
Pela antecipação do pagamento dos três cheques pré-datados, o dono da empresa espera receber R$2.895,64 na data zero. Ou seja, considerando a taxa de juro de 3,5% aos 30 dias, esse valor presente 
C
 na data zero é equivalente aos três cheques pré-datados, e vice-versa.
Veja que os capitais são diferentes e ocorrem em datas sem nenhuma periodicidade entre si. A série de capital deste e do próximo exemplo são chamadas de séries de capital variável. Note ainda que os expoentes negativos mostrados acima são obtidos através de manipulações algébricas simples.
Exemplo 2: Um fundo será formado com as quatro aplicações mensais registradas no seguinte diagrama de capitais. Calcule o futuro dessa série de capitais, considerando a taxa de juro de 1,5% ao mês.
Solução: A série é formada por quatro capitais com valores diferentes que ocorrem em datas diferentes, porém, com periodicidade constante, mensal. Estabelecendo a equação do valor equivalente no final do quarto mês, com o capital 
C
 sendo substituído pelas quatro aplicações 
1
A
, 
2
A
, 
3
A
 e 
4
A
 temos: 
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
3
4
 
1
1
1
1
4
3
2
1
i
A
i
A
i
A
i
A
M
+
´
+
+
´
+
+
´
+
+
´
=
. 
Com a substituição dos valores, fica: 
009
,
554
.
1
015
,
1
450
015
,
1
350
015
,
1
400
015
,
1
300
1
2
3
4
 
=
´
+
´
+
´
+
´
=
M
Considerando a taxa de juro de 1,5% ao mês, o futuro 
M
 de R$1.554.01 no final do quarto mês é equivalente às quantias das quatro aplicações mensais, e vice-versa.
Vamos ao terceiro e ao último exemplo.
Exemplo 3: A compra de um sistema de som, incluindo alguns acessórios, será financiada em três prestações mensais seguidas e iguais a R$ 310,20, vencendo a primeira delas um mês depois da data da compra. Calcule o valor à vista considerando a taxa de financiamento da loja de 2,8% ao mês.
Solução: A série de pagamentos é formada por três capitais com valores iguais que ocorrem em datas diferentes, porém, com periodicidade constante, mensal. A equação de valor equivalente na data zero é: 
(
)
(
)
(
)
1
3
 
1
2
 
1
1
 
1
1
1
-
-
-
+
´
+
+
´
+
+
´
=
i
A
i
A
i
A
C
EMBED Equation.3(
)
(
)
(
)
(
)
3
 
2
 
1
 
1
1
1
-
-
-
+
+
+
+
+
´
=
i
i
i
A
.
Substituindo os valores, temos: 
(
)
(
)
(
)
(
)
3
 
2
 
1
 
028
,
0
1
028
,
0
1
028
,
0
1
20
,
310
-
-
-
+
+
+
+
+
´
=
C
. 
(
)
82
,
880
9205
,
0
9463
,
0
9728
,
0
20
,
310
=
+
+
´
=
C
.
O valor financiado é R$880,82, obtido como o resultado da soma dos presentes dos três capitais à taxa de financiamento de 2,8% ao mês.
Agora, vamos resolver os exemplos acima, utilizando o Microsoft Office Excel.
Exemplo 1: O dono da pequena empresa está negociando com o banco a antecipação do pagamento de três cheques pré-datados cujos valores e datas de pagamento estão registrados no diagrama do fluxo de capitais seguinte, sendo as datas contadas como dias corridos a partir da data de negociação e recebimento, considerada como data zero. Sabendo que a taxa de juro utilizada pelo banco é 3,5% aos 30 dias, calcule quanto o dono da empresa receberá na data zero.
Solução: Para esse exemplo, a planilha do Microsoft Office Excel será preenchida conforme abaixo, onde, para cada cheque antecipado, temos que atualizar o seu valor presente e, ao final, fazermos a soma dos presentes dos três cheques. Para o cálculo de cada valor presente, usaremos a função valor presente (VP) do Microsoft Office Excel.
dias
ao mês
dias
dias
Resposta:
Cheque 1 R$ 1.000,00
Prazo do cheque 1 28
Taxa de juro 3,5%
Presente do cheque 1 R$ 968,40
Cheque 2
R$ 850,00
Prazo do cheque 2 35
Presente do cheque 2 R$ 816,56
Cheque 3 R$ 1.190,00
Prazo do cheque 3 60
Presente do cheque 3R$ 1.110,88
Valor dos 3 cheques na data zeroR$ 2.895,84
Para selecionar a função VP, coloque o cursor na célula onde será feito o cálculo do valor atualizado do primeiro cheque e selecione Inserir ( Função ( Financeira ( VP.
Para o primeiro cheque, a ficha de argumentação da função será preenchida conforme abaixo.
Vale ressaltar que a função financeira do Excel efetua cálculos conforme o Fluxo de Caixa, ou seja, considerando as entradas e saídas de dinheiro. Portanto, ao lançarmos valores monetários (VP, VF ou PGTO, não ao mesmo tempo), devemos considerar um deles com o sinal negativo. No exemplo acima, consideramos o valor futuro (VF) como negativo, o que significa que foi recebido um valor inicial (VP) de R$968,40 e, ao final do período contratado, pagou-se a quantia de R$1.000,00. 
Para o segundo cheque, a ficha de argumentação da função será preenchida desta forma:
E para o terceiro cheque:
Dessa forma, pela antecipação do pagamento dos três cheques pré-datados, o dono da empresa vai receber R$2.895,84, soma das três antecipações na data zero. Ou seja, R$968,40 do primeiro cheque, mais R$816,56 do segundo e R$1.110,88 do terceiro cheque. 
A soma também pode ser feita no Microsoft Office Excel. Basta colocar o cursor na célula onde será feita a soma dos valores parciais, digitar o sinal de igual (=) e selecionar a primeira célula que será somada, apertar o sinal de mais (+). Depois, a próxima célula a ser somada, apertar o sinal mais (+), até o final das somas das parcelas.
A imagem abaixo mostra a soma das três parcelas antecipadas dos cheques pré-datados.
Exemplo 2: Um fundo será formado com as quatro aplicações mensais registradas no seguinte diagrama de capitais. Calcule o futuro dessa série de capitais, considerando a taxa de juro de 1,5% ao mês.
Solução: Para esse exemplo, a planilha do Microsoft Office Excel será preenchida conforme abaixo, onde, para cada aplicação mensal, temos que atualizar o seu valor futuro e, ao final, fazermos a soma dos futuros das quatro aplicações. Para o cálculo de cada valor futuro, usaremos a função valor futuro (VF) do Microsoft Office Excel.
meses
ao mês
meses
meses
meses
Resposta:
Futuro da aplicação 1
Futuro da aplicação 2
Futuro da aplicação 3
Futuro da aplicação 4
Futuro das quatro aplicaçõesR$ 1.554,01
R$ 318,41
R$ 418,27
R$ 360,58
R$ 456,75
Aplicação 4
R$ 450,00
Prazo da aplicação 4 1
Aplicação 2
R$ 400,00
Prazo da aplicação 2 3
Aplicação 3 R$ 350,00Prazo da aplicação 3 2
Prazo da aplicação 1 4
Taxa de juro 1,5%
Aplicação 1 R$ 300,00
Para selecionar a função VF, coloque o cursor do mouse na célula onde será feito o cálculo do valor atualizado da primeira aplicação e selecione Inserir ( Função ( Financeira ( VF.
Para a primeira aplicação, a ficha de argumentação da função será preenchida conforme abaixo:
Para a segunda, terceira e quarta aplicação, a ficha de argumentação da função será preenchida obtendo-se os valores de R$418,27, R$360,58 e R$456,75, respectivamente.
O resultado do futuro será R$1.554,01, soma dos valores parciais encontrados. 
Reiteramos que o valor presente (VP) do exemplo acima foi negativado, pois teve uma saída de dinheiro no valor de R$300,00 (aplicação financeira) e, ao final do prazo contratado, resgatou-se R$318,41. O mesmo procedimento deverá ser utilizado para os demais valores aplicados.
Exemplo 3: A compra de um sistema de som, incluindo alguns acessórios, será financiada em três prestações mensais seguidas e iguais a R$310,20, vencendo a primeira delas um mês depois da data da compra. Calcule o quanto foi financiado com a taxa de financiamento da loja de 2,8% ao mês.
Antes da resolução do exemplo supracitado, cabe um esclarecimento quanto aos pagamentos parcelados. Esses pagamentos serão estudados de forma mais detalhada na unidade 4 (Sistemas de Amortização). Tais sistemas são definidos a partir de características próprias seguindo a tabela de classificação das Séries. Nos exemplos a seguir, consideraremos operações financeiras de natureza uniforme (prestações constantes) e periódica.
Solução: Para esse exemplo, a planilha do Microsoft Office Excel será preenchida conforme abaixo, onde, queremos descobrir o valor financiado, ou seja, o valor presente (VP). Para o cálculo do valor presente, usaremos a função valor presente (VP) do Microsoft Office Excel.
meses
ao mês
Resposta:
Taxa de juro 2,8%
Valor financiado R$ 880,82
Valor da prestação R$ 310,20
Número de prestações 3
O preenchimento da ficha de argumentação da função está a seguir.
Nesse exemplo, lançamos no Excel o valor das prestações pagas com sinal negativo, pois, considerando o Fluxo de Caixa, temos uma saída de dinheiro. Já o valor presente (VP) encontrado é o valor à vista do sistema de som. 
3.2. Adiando o início dos capitais da série – Carência
Para motivar a antecipação das compras feitas por ocasião, tais como décimo terceiro, gratificações, participação nos resultados da empresa, datas comemorativas, etc., os comerciantes costumam financiar as compras com planos do tipo “compre agora e pague daqui a três meses”. Esses planos de pagamento caracterizam as Séries de Pagamento com prazo de carência, que poderá ser observado no exemplo a seguir.
Exemplo: Os lojistas do novo shopping consideram que atrairão mais clientes com um plano de financiamento do tipo compre agora e pague em três vezes, vencendo a primeira daqui a três meses. Calcule o valor das três prestações mensais iguais e seguidas que pagarão o financiamento de R$1.000,00, considerando a taxa de juro de 4% ao mês.
Solução: Para calcular as três prestações como pertencentes a uma série uniforme com capitais postecipados, primeiro é preciso conhecer o valor equivalente de R$1.000,00 no final do segundo mês, pois o presente da série postecipada ocorre em um período antes do primeiro pagamento. O fluxo de capitais desse financiamento é apresentado abaixo.
Portanto, o futuro na data 2 do valor financiado R$1.000,00 na data zero com a taxa de juro de 4% ao mês é 
(
)
60
,
081
.
1
04
,
0
1
000
.
1
2
=
+
´
=
C
. Agora, para calcular as três prestações mensais temos:
(
)
7529
,
389
04
,
0
1
1
04
,
0
60
,
081
.
1
3
=
+
-
´
=
-
A
. 
O valor de cada prestação será R$389,75.
Para que você realmente aprenda a utilizar as funções do Excel, não podemos deixar de resolver o exemplo acima utilizando o Microsoft Office Excel:
Exemplo: Os lojistas do novo shopping consideram que atrairão mais clientes com um plano de financiamento do tipo compre agora e pague em três vezes, vencendo a primeira daqui a três meses. Calcule o valor das três prestações mensais iguais e seguidas que pagarão o financiamento de R$1.000,00, considerando a taxa de juro de 4% ao mês.
Solução: Você poderá verificar na planilha abaixo do Microsoft Office Excel que estamos utilizando uma linha para indicar o prazo de carência para o primeiro pagamento. É necessário atualizar o valor do financiamento (VF) para depois calcular o valor das prestações (PGTO).
meses
ao mês
mês
Resposta:
Valor financiado R$ 1.000,00
Valor da prestação R$ 389,75
Taxa de juro 4,0%
Prazo de carência 2
Valor atualizado
R$ 1.081,60
Número de prestações 3
As fichas de argumentação das funções, preenchidas estão a seguir.
Conforme citado anteriormente, inicialmente, tivemos que atualizar o valor financiado de acordo com o prazo de carência de dois meses obtendo R$1.081,60. É importante ressaltar que, nas duas fichas de argumentação preenchidas, o capital e o montante (ou VP, VF ou PGTO, não ao mesmo tempo) deverão estar com sinais opostos para indicar que um deles é a entrada e o outro é saída de Caixa, pois o Microsoft Office Excel efetua os cálculos conforme o Fluxo de Caixa.
Você também pode notar que o campo Tipo que aparece na ficha de argumentação pode assumir os valores zero ou um. Tipo é um valor lógico. Quando for um, ele assume que o pagamento é no início do período, o que caracteriza pagamentos antecipados. Quando o seu valor lógico for zero, ou não especificado, ele assume que o pagamento é ao final do período, que caracteriza pagamentos postecipados.
3.3. Financiamento com entrada
Outro tipo de operação freqüente é a prazo com uma entrada no ato da compra. Se a entrada for igual às prestações, ocorre a amortização com capitais antecipados. Caso contrário, o valor pago de entrada deverá ser abatido do valor à vista e somente o valor residual será utilizado como base de cálculo para determinar o valor das prestações.
Exemplo: No próximo final de semana prolongado, um casal decidiu descansar, passear e fazer compras em Bueno Aires. A empresa de turismo oferece um pacote completo para duas pessoas pelo valor total de R$3.200,00 incluindo a passagem aérea de ida e volta, traslado aeroporto/hotel/aeroporto, três noites de hospedagem em hotel quatro estrelas, café da manhã e um tour pela cidade. Essa viagem pode ser financiada com 20% de entrada mais seis prestações mensais iguais e seguidas, vencendo a primeira um mês depois da data da compra do pacote turístico. Calcule o valor das prestações, considerando a taxa de juro de 2,8% ao mês.
Solução: O fluxo de capitais do financiamento de R$3.200,00 com 20% de entrada mais seis prestações mensais iguais e seguidas, vencendo a primeira um mês depois da data da compra pode ser representado no DFC a seguir.
Na data de assinatura do contrato, data zero, o casal está recebendo um serviço pelo valor de R$3.200,00 e na mesma data está pagando R$640,00. Dessa maneira, eles estão financiando R$2.560,00 em seis prestações mensais iguais e seguidas, vencendo a primeira um mês depois da data da compra. Pelo DFC, temos:
A equação de valor equivalente do presente 
C
 e os 
n
 capitais postecipados 
A
 na data zero e no regime de juros compostos é: 
(
)
(
)
(
)
n
i
A
i
A
i
A
C
-
-
-
+
´
+
+
+
´
+
+
´
=
1
...
1
1
2
1
. Como os capitais 
A
 são iguais e representando com 
S
 a soma das 
n
 parcelas 
A
 dentro do parêntese, temos: 
(
)
(
)
(
)
(
)
S
A
i
i
i
A
C
n
´
=
+
+
+
+
+
+
´
=
-
-
-
1
...
1
1
2
1
. 
Sendo 
q
q
a
a
S
n
-
´
-
=
1
1
 formam uma progressão geométrica, onde:
(
)
1
1
1
-
+
=
i
a
, 
(
)
n
n
i
a
-
+
=
1
 e 
(
)
1
1
-
+
i
 a razão da PG. Substituindo em 
S
, 
temos: 
(
)
i
i
S
n
-
+
-
=
1
1
 e 
(
)
i
i
A
C
n
-
+
-
´
=
1
1
.
Isolando o 
A
, temos: 
(
)
n
i
i
CA
-
+
-
´
=
1
1
. Substituindo os valores do 
enunciado, temos:
(
)
4418
,
469
028
,
0
1
1
028
,
0
2560
6
=
+
-
´
=
-
A
. Então, o valor de cada prestação será R$469,44.
Agora, vamos resolver este mesmo exemplo utilizando o Microsoft Office Excel:
Exemplo: No próximo final de semana prolongado um casal decidiu descansar, passear e fazer compras em Bueno Aires. A empresa de turismo oferece um pacote completo para duas pessoas pelo valor total de R$3.200,00 incluindo a passagem aérea de ida e volta, traslado aeroporto/hotel/aeroporto, três noites de hospedagem em hotel quatro estrelas, café da manhã e um tour pela cidade. Essa viagem pode ser financiada com 20% de entrada mais seis prestações mensais iguais e seguidas, vencendo a primeira um mês depois da data da compra do pacote turístico. Calcule o valor das prestações considerando a taxa de juro de 2,8% ao mês.
Solução: Pelo diagrama de fluxo de capitais abaixo, as seis prestações mensais, iguais e seguidas, 
podem ser representadas na planilha do Microsoft Office Excel conforme modelo a seguir.
Resposta:
Número de prestações 6
Valor da prestação R$ 469,44
Taxa de juro 2,80%
Valor financiadoR$ 2.560,00
Para o cálculo de cada prestação, utilizamos a função valor do pagamento (PGTO) do Microsoft Office Excel. Para selecionar a função PGTO, coloque o cursor do mouse na célula onde será feito o cálculo do valor de cada prestação e selecione Inserir ( Função ( Financeira ( PGTO.
4. Teoria na Prática
Exemplo
:
A “Transportadora Tudo Ltda.” pretende adquirir um ônibus com características exclusivas, cujo preço à vista foi estipulado em R$20.000,00. O fabricante apresentou também os seguintes planos de financiamento:
a) 30% de entrada e 18 prestações mensais de R$1.293,00;
b) 18 prestações mensais de R$1.711,00, sem entrada;
c) um pagamento único de R$36.769,00, no prazo de 9 meses.
Com base nos dados e sabendo-se que a “Transportadora Tudo” dispõe da totalidade dos recursos para adquirir o ônibus à vista e que existe a possibilidade de adquirir um CDB de 18 meses à taxa de 10%a.m., qual deve ser a alternativa escolhida pela empresa?
Resolução:
Para verificar qual a alternativa a ser escolhida pela empresa, devemos determinar a taxa de juros cobrada em cada plano de financiamento:
	Plano de Financiamento - A
	Valor Financiado 
	R$14.000,00
	R$20.000 – 30% 
	Valor da Prestação
	(R$1.293,00)
	a. mês
	Prazo
	18
	meses
	Taxa de Juros 
	6%
	a.m. 
	Plano de Financiamento - B
	Valor Financiado
	R$ 20.000,00
	Sem entrada 
	Valor da Prestação
	(R$1.711,00)
	a. mês
	Prazo
	18
	meses
	Taxa de Juros
	5%
	 a.m.
	Plano de Financiamento - C
	Valor Financiado
	R$ 20.000,00
	Valor inicial 
	Valor Pago (Montante)
	(R$36.769,00)
	Valor Futuro
	Prazo
	9
	meses
	Taxa de Juros
	7%
	a.m. 
Como podemos aplicar o dinheiro a uma taxa de 10%a.m. e como todas as alternativas embutem juros menores do que a remuneração que possa obter aplicando o dinheiro, é mais vantajoso aplicar o capital no CDB e optar pelo financiamento do ônibus considerando o plano que oferece menor taxa de juros, que, no caso, é o plano “B”.
5. Recapitulando
Esta unidade apresentou conhecimentos sobre Série de Pagamento ou Anuidades.
Você teve a oportunidade de ampliar seus conhecimentos da Matemática Comercial e Financeira que envolve situações do dia-a-dia e que certamente você já presenciou em algum momento de sua vida, tais como:
· Desconto de Títulos com valores e períodos variáveis ou não;
· Pagamentos parcelados com período de carência;
· Financiamentos com e sem entrada.
Acredito que você será capaz de analisar melhores alternativas de financiamentos, associando-as aos assuntos já discutidos nas unidades iniciais. 
É importante ficar atento aos planos de financiamento ofertados cotidianamente e optarmos sempre pela melhor alternativa.
6. Amplie seus Conhecimentos
Você sabia que todos os folhetos de propaganda que apresentam planos de financiamento trazem ao final a relação das taxas mensal e anual de todos os planos ofertados? Esse procedimento é para auxiliar o cliente da situação real da compra, pois é comum que ele faça o cálculo linear da taxa mensal apresentada, chegando, assim, a uma análise incorreta da sua opção de compra. 
Então, como fazer para determinar taxas de juros em unidades de tempo diferentes, considerando as Séries de Pagamento?
Como o mercado atua no regime de capitalização composta, não podemos simplesmente fazer uma regra de três na taxa para determinarmos uma equivalente, então, o procedimento adotado para transformar uma taxa efetiva de juros compostos de uma unidade para outra é utilizando-se da seguinte expressão matemática:
100
1
100
 
.
1
´
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
T
Q
Efetiva
T
TEQ
, onde:
TEQ é a taxa equivalente;
T. Efetiva é a taxa efetiva;
Q é o prazo que se deseja a nova taxa;
T é o prazo que se encontra a taxa efetiva.
Por exemplo: a taxa de 42% a.a. é equivalente à taxa de 2,97% a.m.
100
1
100
42
1
360
30
´
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
TEQ
Já 18% a.s. é equivalente à taxa de 2,8% a.m. 0,04% ao dia é equivalente a 1,21% ao mês.
Esse cálculo poderá ser realizado como auxílio do Microsoft Excel.
7. Referências
ASSAF, N. Matemática Financeira. 4. ed. São Paulo: Atlas, 1998.
CRESPO, A.A. Matemática Comercial e Financeira Fácil. 12. ed. São Paulo: Saraiva, 1997.
HAZZANI, S. Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2001.
KUHNEN, O.L.; BAUER, U.R. Matemática Financeira Aplicada e Análise de Investimentos. São Paulo: Atlas, 1994. 
MATHIAS, W.F. Matemática Financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1996.
PUCCINI, A.L. Matemática financeira Objetiva e Aplicada. São Paulo: Saraiva, 1999.
VERAS, L.L. Matemática Aplicada à Economia. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1996.
VIEIRA SOBRINHO, J.D. Matemática Comercial e Financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas, 1997.
Unidade 6: Sistemas de Amortização
1. Nosso Tema
Na unidade 5, abordamos as características das Séries de Pagamento ou Anuidades que viabilizam acúmulo de capital e/ou pagamentos realizados de forma parcelada. Nesta unidade, abordaremos o conteúdo: Sistemas de Amortização. Tais Sistemas foram definidos e caracterizados a partir da classificação das séries de pagamento. 
Mas, em que consistem os Sistemas de Amortização? Amortizar é você saldar uma dívida por um determinado período de tempo de forma parcelada e de acordo com o sistema definido em contrato.
As instituições financeiras, bem como o comércio em geral, utilizam-se desses sistemas de amortização disponíveis para movimentar o mercado, uma vez que sabemos ser inviável para a população a aquisição de bens à vista, principalmente, em relação à aquisição de veículos e imóveis.
Atualmente, os sistemas de amortização mais utilizados no mercado são: Sistema Price (Francês), Sistema Americano e Sistema SAC. O primeiro é largamente utilizado em todos os setores financeiros e de capitais, através, por exemplo, do chamado Crédito Direto ao Consumidor (CDC); enquanto o último é mais utilizado pelo Sistema Financeiro de Habitação, principalmente nas operações de financiamento para aquisição de casa própria.
Nas páginas a seguir, abordaremos cada sistema de forma detalhada, associada à resolução de problemas.
2. Para Refletir
Como poderá ser observado nas páginas a seguir, os planos de amortização são largamente utilizados por todas as classes, principalmente, classes média e baixa; a partir do financiamento de eletrodomésticos, eletro-eletrônicos, veículos e imóveis. Mas, não são somente as pessoas físicas que fazem uso desse sistema. Ele, também, é muito utilizado por empresas, no financiamento de equipamentos e maquinários. Nesses casos, muitas vezes é necessário um estudo do que é mais vantajoso para a empresa, se é pagar à vista ou aplicar o dinheiro e financiar o bem.
Esperamos que, a partir do estudo desta unidade, você seja capaz de identificar cada Plano de Amortização apresentado, bem comoanalisar situações e optar pelo melhor plano oferecido. 
Estude o conteúdo abordado no tópico seguinte associando-o às demais unidades estudadas durante o semestre, pois ele irá auxiliá-lo na construção do conhecimento dos sistemas de amortização, em especial, e da matemática financeira de forma geral.
3. Conteúdo Didático
Podemos utilizar o financiamento, por exemplo, na compra de uma casa, de um carro, de eletrodomésticos, roupas etc. Antes de assinar o contrato, o tomador do financiamento conhece a quantidade e o valor das prestações, porém nem sempre toma conhecimento da taxa de juro e do tipo de financiamento. Em geral, não consegue quantificar que parte do valor financiado corresponde ao juro e que parte, ao capital devolvido ou amortizado. 
Os financiamentos são definidos numa planilha com a periodicidade dos pagamentos, registrando o juro, a amortização, que é a devolução parcial do valor financiado, e o saldo devedor na data de pagamento da cada parcela, ou prestação, recebendo o nome de Plano de Financiamento. As parcelas ou prestações dos diversos tipos de financiamentos formam uma série de capital uniforme ou de capital variável.
Na preparação de um plano de financiamento, é preciso atender a duas regras que orientam e facilitam a construção da planilha do plano.
Primeira: Cada prestação do plano se refere a um determinado período de tempo, por exemplo, um mês, um trimestre etc. O valor de cada prestação PR do plano é o resultado da soma da amortização AM mais o juro J do período a que se refere a prestação: PR=AM+J.
Segunda: Numa determinada taxa de juro, o juro de cada prestação é sempre calculado sobre o saldo devedor do financiamento no início do período a que se refere a prestação. Por exemplo, o juro da primeira prestação é calculado sobre o valor financiado na data zero do plano. O juro da segunda prestação é calculado sobre o saldo devedor no início do segundo período, cujo valor é o resultado da diferença do valor financiado menos o valor amortizado na primeira prestação. E assim sucessivamente até a última prestação. Esses financiamentos recebem classificações baseadas nos modos como são devolvidos o Principal (nome dado ao valor financiado) e como são pagos os juros. 
Para se construir o plano de financiamento, deve-se adicionar alguma condição que o estruture, como as dos seguintes planos tradicionais:
Juro constante: Esse plano de financiamento é denominado Sistema Americano, exceto a última, as prestações estão formadas somente pelo juro do período, sendo o valor financiado devolvido no final, junto com o último pagamento de juro.
Amortização constante: Esse é o plano de financiamento de sistema de amortização constante ou SAC.
Prestação constante: Esse plano de financiamento é denominado sistema de prestação constante ou SPC, sistema Francês ou Tabela Price.
O Sistema Americano de Amortização prevê pagamentos periódicos dos juros e amortização do principal no último período. Este sistema é muito utilizado por ativos financeiros, como os BONDS, que são títulos de dívida pública ou corporativa, ou DEBÊNTURES. Este sistema é muito utilizado na captação de recursos no exterior.
O Sistema de Amortizações Constantes ou SAC tem como característica principal o fato de as amortizações serem constantes. Outras características serão vistas mais adiante. Este sistema também é muito utilizado no mercado financeiro. 
O Sistema de Amortização Francês, ou Tabela PRICE, prevê os pagamentos periódicos de juros e amortização. Neste sistema os pagamentos são iguais e as amortizações são crescentes. Trata-se do sistema mais utilizado pelo Sistema Financeiro da Habitação. 
Vamos agora conhecer alguns termos usuais:
Vamos conhecer melhor os sistemas existentes? Então, continue seus estudos e, sempre que houver dúvidas, entre em contato com seu tutor!
3.1. Sistema Americano de Amortização
O Sistema Americano de Amortização prevê que o principal seja devolvido apenas no final do contrato e que os juros sejam pagos periodicamente. Os juros são calculados aplicando a taxa de juros sobre o saldo devedor do período anterior. 
A expressão matemática utilizada é: 
taxa
Sd
J
´
=
0
, onde:
J
 ( Valor dos juros;
0
Sd
 ( Saldo devedor do período anterior;
Taxa
 ( Taxa de juro da operação.
Acompanhe o exemplo:
Exemplo 1: Utilizando o Microsoft Office Excel, elaborar uma planilha de amortização para um empréstimo no valor de R$50.000,00, que será liquidado pelo Sistema Americano de Amortização para pagamento em cinco meses à taxa de juros compostos de 2,5% ao mês. 
Solução: a planilha deverá ser criada no formato abaixo, colocando o valor do principal, da taxa de juro e do saldo devedor no período zero (data do empréstimo ou financiamento).
Depois, deverá ser calculado o valor dos juros. Nesse caso, 
250
.
1
025
,
0
000
.
50
=
´
=
J
. Esse valor deverá compor a coluna Juros da segunda linha da tabela. 
Vale lembrar que, na planilha, logo após você selecionar a taxa para fazer as contas, deverá apertar a tecla F4 para fixar a taxa. Nesse caso, o Microsoft Office Excel buscará o valor da taxa sempre na mesma célula. Caso você não fixe a taxa de juros, o Microsoft Office Excel irá buscar de forma incorreta a taxa na linha abaixo quando for calcular o juro do segundo período. E assim sucessivamente.
As linhas da coluna amortização não serão preenchidas até o penúltimo período, conforme característica do sistema. Depois será calculado o pagamento: o pagamento será o valor dos juros calculado para o período, conforme característica do sistema. Para isso posicione o cursor do mouse na célula onde será feito o cálculo do pagamento e digite o sinal de igual. Selecione a célula onde se encontra o valor do juro calculado para este período e aperte a tecla enter para que o cálculo seja processado.
Verifique que o saldo devedor permanece o mesmo, pois não houve amortização, conforme característica do sistema. Portanto, posicionado o cursor do mouse na célula onde será feito o cálculo do saldo devedor, digite o sinal de igual e selecione a célula do saldo devedor da linha anterior. Agora que a primeira linha está pronta, você deverá selecionar esta linha e depois posicionar o cursor do mouse no canto inferior direito para arrastar até o último período.
Veja que o valor da amortização será o próprio saldo devedor anterior, pois sendo o último período, toda a dívida deve ser amortizada. A soma da amortização com os juros do período atualiza o valor do pagamento a ser feito.
O saldo devedor atual é o resultado do saldo devedor anterior menos a amortização feita no período, ou seja, zero.
Observe outro exemplo.
Exemplo 2: Utilizando o Microsoft Office Excel, construa uma planilha de amortização para um financiamento no valor de R$ 85.000,00 que será liquidado pelo Sistema Americano de Amortização para pagamento em dez meses, com taxa de juros compostos de 29,84% ao ano.
Solução: a planilha deverá ser criada no formato abaixo, colocando o valor do Principal (nome dado ao valor financiado), da taxa de juro e do saldo devedor no período zero (data do empréstimo ou financiamento). 
Note que a taxa anual efetiva de juros deverá ser transformada para uma taxa mensal efetiva de juros. Como as séries de pagamento são calculadas, sempre, no Regime de Juros Compostos, ao nos depararmos com situações em que taxa e período não estejam na mesma unidade de tempo, não podemos mexer no período, pois estaremos alterando a estrutura da série. Nesse caso, precisamos, necessariamente, encontrar a taxa equivalente à unidade de tempo dada no problema.
Para transformar uma taxa efetiva de juros compostos de uma unidade para outra, utiliza-se a seguinte expressão matemática, já vista na unidade 2:
100
1
100
 
.
1
´
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
T
Q
Efetiva
T
TEQ
, onde:
TEQ é a taxa equivalente;
T. Efetiva é a taxa efetiva;
Q é o prazo que se deseja a nova taxa;
T é o prazo que se encontra a taxa efetiva.
Nesse caso, a taxa de 29,84% a. a.é equivalente à taxa de 2,20% a. m., resultado obtido com:
20
,
2
100
1
100
84
,
29
1
360
30
=
´
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
TEQ
.
Exemplo 3: Utilizando o Microsoft Office Excel, construa uma planilha de amortização para um financiamento de R$ 100.000,00 com taxa de juros nominal de 18% ao ano, com capitalização mensal, a ser pago em prestações mensais, durante um ano pelo Sistema Americano de Amortização.
Solução: A taxa de juro nominal deve ser transformada para a taxa efetiva equivalente. Nesse caso a taxa efetiva correspondente é 1,5%, obtido da divisão 
12
18
. 
3.2. Sistema de Amortizações Constantes
O Sistema de Amortizações Constantes tem como característica principal o fato de as amortizações serem constantes. 
Para se obter o valor das amortizações, divide-se o valor do saldo devedor do período anterior pelo número de amortizações. O valor dos juros é obtido aplicando a taxa de juros sobre o saldo devedor do período anterior. A prestação é calculada pela soma do valor da amortização com o valor dos juros do período. O saldo devedor atual será obtido fazendo a diferença entre o saldo devedor anterior e a amortização.
Conheça as expressões matemáticas utilizadas nos cálculos:
Cálculo das Amortizações
Nper
Sd
A
0
=
, onde:
A
 ( Valor da amortização;
0
Sd
 ( Saldo devedor do período anterior;
Nper
 ( Número de períodos de amortização.
Cálculo do Saldo Devedor Atual
A
Sd
SD
A
-
=
0
, onde:
A
SD
 ( Saldo devedor do período atual;
0
Sd
 ( Saldo devedor do período anterior;
A
 ( Valor da amortização.
O procedimento utilizado nos cálculos para o Sistema de Amortizações Constantes é o mesmo daquele utilizado no Sistema Americano de Amortização. Ou seja, no período zero (data do empréstimo) preenche-se apenas o saldo devedor. A primeira linha corresponde ao primeiro período e o primeiro cálculo será o valor da amortização. Depois, o cálculo do valor dos juros. Depois o cálculo do valor do pagamento. O pagamento será amortização mais juros (
J
A
+
). Por último, será calculado o valor do saldo devedor atual. 
Lembre-se de que todo cálculo que utilizar a taxa de juros deve-se observar se a taxa de juros está fixa apertando a tecla F4. Após preencher a primeira linha da planilha (1o período), você deverá selecionar essa linha e arrastar até o último período. Isso simplifica a resolução do problema. No cálculo do valor da amortização o saldo devedor deverá ser fixado (tecla F4) para que seja constante em todos os períodos. Se isso não for feito, o Microsoft Office Excel irá calcular o valor das amortizações utilizando o saldo devedor anterior. Como o saldo devedor vai variando com o passar do tempo, os valores das amortizações também irão variar, contrariando a característica do sistema.
Veja alguns exemplos. Eles têm o objetivo de auxiliá-lo na compreensão do assunto, mas, caso alguma dúvida permaneça, não hesite em entrar em contato comigo via ferramenta ajuda ou correio.
Exemplo 1: Um empréstimo no valor de R$12.000,00 deve ser liquidado em seis pagamentos mensais pelo sistema SAC. A taxa de juros compostos é de 2% ao mês. Utilizando Microsoft Office Excel, construa a planilha de amortização para o empréstimo.
Solução: Utilizando o procedimento descrito acima, obtemos a seguinte tabela: 
O sistema SAC tem algumas características como: as amortizações são constantes; os juros decrescentes e os pagamentos decrescentes.
Exemplo 2: Uma loja está anunciando a venda de um produto por R$15.000,00 para pagamento à vista, ou então, em cinco parcelas mensais, vencendo a primeira trinta dias após a compra. Se a loja cobra juros compostos de 80 % ao ano, utilize o Microsoft Office Excel e construa a planilha de amortização.
Solução: Observe que a taxa de juros deverá ser transformada para a unidade dos pagamentos utilizando a expressão 
100
1
100
 
.
1
´
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
T
Q
Efetiva
T
TEQ
.
Nesse caso a taxa mensal será 
%
02
,
5
100
1
100
80
1
360
30
=
´
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
TEQ
. A planilha será: 
O sistema SAC, assim como outros, admite prazos de carência antes do início das amortizações. Isso é, não haverá amortização durante a carência. Para um sistema com carência, existem duas possibilidades: pagar os juros durante a carência ou incorporar os juros ao saldo devedor. Um sistema que tem carência apenas de amortização, pagam-se os juros durante a carência, enquanto em um sistema que tenha carência de pagamentos (
J
A
+
), os juros são incorporados ao saldo devedor.
Exemplo 3: Um empréstimo no valor de R$50.000,00 deve ser pago em seis parcelas semestrais, após quatro semestres de carência, à taxa de juros compostos de 16% ao semestre. Utilize o Microsoft Office Excel e construa a planilha de amortização.
Solução: Note que os juros serão incorporados ao saldo devedor porque a carência é de pagamentos.
Veja que o fundo colorido nos primeiros quatro períodos separa a carência das amortizações. Esse procedimento será utilizado sempre que houver carência.
3.3. Sistema de Amortização Francês 
O Sistema de Amortização Francês, também conhecido como Tabela Price, é um sistema muito utilizado no mercado financeiro, principalmente pelo Sistema Financeiro da Habitação. Este sistema prevê pagamentos iguais e amortizações crescentes. Assim como o sistema SAC, o sistema de amortização francês admite prazos de carência, podendo o cliente optar por pagar os juros ou incorporá-los ao saldo devedor, durante o período de carência.
O cálculo das prestações é feito utilizando os conceitos de séries uniformes postecipadas. Os juros são calculados aplicando a taxa de juro sobre o saldo devedor do período anterior, assim como no sistema SAC. O valor da amortização é obtido pela diferença entre o valor do pagamento e o valor dos juros do período. O saldo devedor atual é obtido subtraindo do saldo devedor anterior o valor da amortização. 
Cálculo das Prestações:
(
)
(
)
xTaxa
Taxa
VP
Pgto
Nper
-
+
-
=
1
1
, onde:
Pgto
 ( é o valor dos pagamentos;
VP
 ( é o valor presente (valor financiado ou emprestado);
Taxa
 ( é a taxa de juro da operação;
Nper
 ( é o número de períodos de pagamentos.
Vale lembrar também que a função financeira 
Pgto
 do Microsoft Office Excel realiza o cálculo do valor dos pagamentos e que o tipo da operação a ser informado na ficha dos argumentos para o cálculo do pagamento é o tipo 0 (zero), para série postecipada.
Cálculo das Amortizações
J
Pgto
A
-
=
, onde:
A
 ( Valor da amortização;
Pgto
 ( valor do pagamento;
J
 ( valor do juro do período
Nper
 ( Número de períodos de amortização.
Cálculo do Saldo Devedor Atual
A
Sd
SD
A
-
=
0
, onde:
A
SD
 ( Saldo devedor do período atual;
0
Sd
 ( Saldo devedor do período anterior;
A
 ( Valor da amortização.
Exemplo 1: Um empréstimo no valor de R$80.000,00 deve ser devolvido pelo Sistema de Amortização Francês, em cinco prestações bimestrais, iguais e sucessivas, à taxa de juros compostos de 5% ao bimestre. Utilize o Microsoft Office Excel e construa a planilha de amortização.
Solução: Para o cálculo do valor dos pagamentos pode ser utilizada a 
Pgto
. Caso você selecione a célula onde foi feito o cálculo e depois a 
fx
, você poderá obter mais detalhes da planilha de cálculo do Microsoft Office Excel. A planilha ficará da seguinte forma:
Conversão de Taxa
5,00%
PeríodoJurosAmortizaçãoPagamentoSaldo Devedor
0 80.000,00 
14.000,00 R$ 14.477,98R$ 18.477,9865.522,02 
23.276,10 R$ 15.201,88R$ 18.477,9850.320,13 
32.516,01 R$ 15.961,98R$ 18.477,9834.358,16 
41.717,91 R$ 16.760,08R$ 18.477,9817.598,08 
5879,90 R$ 17.598,08R$ 18.477,98- 
Total12.389,92 R$ 80.000,00R$ 92.389,92Resposta
PrincipalTaxa de Juros
Planilha Financeira Sistema de Amortização Francês - SAF
80.000,00 
Lembre-se de que no cálculo do valor dos pagamentos o saldo devedor deverá ser fixado (tecla F4) para que eles sejam iguais. No cálculo dos juros, a taxa de juro também deve ser fixada para que o Microsoft Office Excel busque o valor da taxa sempre na mesma célula.
Exemplo 2: Um banco libera para um cliente um crédito no valor de R$60.000,00 para ser devolvido pelo Sistema de Amortização Francês, em 8 prestações trimestrais, iguais e sucessivas, após dois trimestres de carência para as amortizações. Sendo a taxa de juros compostos de 8 % ao trimestre, utilize o Microsoft Office Excel e construa a planilha de amortização.
Solução: Lembre-se de que, durante a carência, os juros deverão ser pagos fazendo o saldo devedor permanecer inalterado durante a carência de amortização.
Lembre: estarei à disposição para discutir suas dúvidas, via ferramentas do ambiente virtual de aprendizagem (Ajuda/Correio/Fórum). A dúvida é o primeiro passo rumo à construção do saber, portanto não deixe nenhum questionamento para trás. Entre em contato com seus colegas e seu tutor!
 
4. Teoria na Prática
Agora que você já conheceu um pouco mais sobre os Sistemas de Amortização, estude o exercício resolvido abaixo e desenvolva a atividade proposta disponível na Web.
Exemplo
:
Um empréstimo de R$26.000,00 seria pago em 15 prestações mensais pelo Sistema Price de Amortização calculadas à taxa de juros de 3% a.m. com capitalização mensal. Imediatamente, após o pagamento da 2ª prestação, o devedor deu um reforço de R$4.800,00 e re-financiou o saldo devedor em 13 prestações também mensais via SAC (Sistema de Amortização Constante) à taxa de juros de 2,5% a.m. com capitalização mensal. Construa a planilha de amortização de todo processo. A nova negociação foi mais vantajosa para o tomador do empréstimo?
Resolução: Devemos determinar o valor da prestação inicialmente assumida pelo comprador via Sistema Price. 
(
)
(
)
xTaxa
Taxa
VP
Pgto
Nper
-
+
-
=
1
1
 
(
)
(
)
93
,
177
.
2
03
,
0
03
,
0
1
1
000
.
26
15
=
+
-
=
-
x
Pgto
Agora, vamos elaborar a planilha de amortização da situação atual.
Após o pagamento das duas primeiras parcelas, verificamos que o saldo devedor é de R$23.162,20. Abatendo o reforço de R$4.800,00, chegamos ao valor atual da dívida de R$18.362,20. Então, partiremos desse valor para determinar a nova planilha de amortização via SAC.
Para elaboração da planilha, devemos conhecer o valor das amortizações:
Nper
Sd
A
0
=
EMBED Equation.348
,
412
.
1
13
20
,
362
.
18
=
Þ
=
Þ
A
A
Certamente, essa nova negociação foi mais vantajosa, uma vez que a taxa de juros cobrada na operação foi menor (2,5%a.m.) que a cobrada inicialmente (3,0%a.m).
Observem, que no SAF, as prestações são constantes e os juros decrescem, aumentando, assim, o valor amortizado. Já no SAC, o valor amortizado é constante, decrescendo prestação e juro simultaneamente.
Esta unidade “encerra” o ciclo da Matemática Financeira para este período. Após conhecer muitas ferramentas de análise financeira você se encontra apto a analisar projetos financeiros em transações financeiras e comerciais.
Espera-se que essa abordagem possa lhe credenciar na análise de problemas financeiros, possibilitando tomadas de decisão acertadas dentro de um mercado tão concorrido e competitivo, como o mercado financeiro.
No cenário atual, as decisões gerenciais são de extrema importância, visto que as transformações no mercado financeiro são constantes e as operações necessitam de profissionais cada vez mais qualificados nas tomadas de decisão.
Conte sempre com meu apoio e lembre-se de que seus colegas também estão à disposição para trocar informações.
Um forte abraço!
5. Recapitulando
Esta unidade apresentou conhecimentos sobre os Sistemas de Amortização, mais precisamente os sistemas:
· Sistema Americano de Amortização: Os juros são pagos durante o período contratado e somente no último pagamento que é realizado a amortização da dívida concomitantemente com a última parcela de juros. As parcelas de juros são calculadas aplicando a taxa sobre o valor do saldo devedor. Como o saldo devedor não se altera, temos pagamentos constantes durante todo o período. 
· Sistema de Amortização Constante (SAC): Neste sistema, como o próprio nome sugere, temos as amortizações constantes, ou seja, abatemos sempre o mesmo valor durante todo o período negociado. Portanto, o cálculo das prestações será composto pelo valor amortizado acrescido dos juros. Da mesma forma, os juros são calculados aplicando a taxa da negociação sobre o saldo devedor. Uma vez que o saldo devedor diminui a cada prestação paga, temos uma diminuição no valor dos juros e, conseqüentemente, no valor das parcelas no decorrer do tempo.
· Sistema Francês de Amortização (PRICE ou SAF): Este é um sistema largamente utilizado no comércio e no financiamento da casa própria. A sua principal característica é o valor constante das prestações que é composta pelo valor amortizado acrescido dos juros. Como os juros vão diminuindo à medida que o saldo devedor é amortizado, a amortização aumenta até que no final do prazo contratado a dívida é zerada.
Você teve a oportunidade de ampliar seus conhecimentos da Matemática Comercial e Financeira a partir do uso das planilhas do Excel, que é uma importante ferramenta para o estudo desta disciplina. 
6. Amplie seus Conhecimentos
Você sabia que os financiamentos, realizados a longo prazo, através de qualquer sistema de amortização, não podem ser realizados direto pela loja que está vendendo o produto? Isso porque os financiamentos não fazem parte do ramo de atividade do comércio e sim das instituições financeiras, motivo pelo qual as lojas realizam suas parcelas através de uma “financeira” e o custo dela é embutido na taxa de juro e repassado para o cliente.
7. Referências
ASSAF, N. Matemática Financeira. 4. ed. São Paulo: Atlas, 1998.
CRESPO, A.A. Matemática Comercial e Financeira Fácil. 12. ed. São Paulo: Saraiva, 1997.
HAZZANI, S. Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2001.
KUHNEN, O.L.; BAUER, U.R. Matemática Financeira Aplicada e Análise de Investimentos. São Paulo: Atlas, 1994. 
MATHIAS, W.F. Matemática Financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1996.
PUCCINI, A.L. Matemática financeira Objetiva e Aplicada. São Paulo: Saraiva, 1999.
VERAS, L.L. Matemática Aplicada à Economia. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1996.
VIEIRA SOBRINHO, J.D. Matemática Comercial e Financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas, 1997.
C = ?
R$1.000,00
0
60 dias
35
28
n
M
C
A
A
i = 1,5% ao mês
0
3
2
1
4
R$400,00
R$300,00
M = ?
R$1.190,00
R$850,00
i = 3,5% aos 30 dias
R$1.190,00
R$850,00
i = 3,5% aos 30 dias
C = ?
R$1.000,00
0
60 dias
35
28
R$450,00
R$350,00
i = 1,5% ao mês
0
3
2
1
4
R$400,00
R$300,00
M = ?
A
5
4
i = 4% ao mês
C = R$1.000
0
3
2
1
R$450,00
R$350,00
3
2
1
A
A
A
A
A
A
6
5
4
i = 2,8% ao mês
C = R$2.560
0
3
2
1
A
A
A
A
A
A
R$640
6
5
4
i = 2,8% ao mês
C = R$3.200
0
3
2
1
C = 1.081,60
A
A
0
i = 2,8% ao mês
C = R$2.560
6
5
4
A
A
A
A
A
Empréstimo ( É um recurso financeiro que não necessita ser justificado quanto à sua finalidade. Como exemplo, pode-se citar o cheque especial ou o Crédito Direto ao Consumidor (CDC). 
Financiamento ( É um recurso financeiro que precisa ser justificado quanto à sua finalidade. Por exemplo, as compras parceladas feitas no comércio. 
Em nossoestudo, iremos construir planilhas financeiras informando o saldo devedor, a amortização, os juros e as prestações.
Saldo Devedor ( É o valor nominal da dívida.
Juros ( É o custo da dívida a cada período do financiamento.
Amortização ( É o processo pelo qual uma dívida é liquidada por meio de parcelas de modo que, ao final do prazo estipulado, essa dívida seja liquidada.
Prestação ( É a soma da amortização do principal e os juros correspondentes a cada período.
Carência ( Carência é o prazo de tolerância durante o qual a dívida não é amortizada. Neste período, os juros podem ser ou não pagos.
A
A
A
A
0
n-1
3
2
1
Série uniforme com capitais postecipados
Série uniforme com capitais antecipados
M
A
A
A
A
A
0
n
n-1
3
2
1
C
� EMBED Equation.3 ���
Onde, 
� EMBED Equation.3 ���Valor nominal do 1º título especificado
� EMBED Equation.3 ��� Tempo de antecipação, em dias, do 1º título especificado, e assim sucessivamente.
� EMBED Equation.3 ���Taxa mensal de desconto, utilizada na forma percentual.
Portanto, o valor de resgate da aplicação ao final de um ano será de R$11.693,78.
� EMBED Excel.Sheet.8 ���
� EMBED Excel.Sheet.8 ���
� EMBED Excel.Sheet.8 ���
� EMBED Excel.Sheet.8 ���
� EMBED Excel.Sheet.8 ���
� EMBED Excel.Sheet.8 ���
� EMBED Excel.Sheet.8 ���
� EMBED Excel.Sheet.8 ���
TEQ
T. Efetiva
Q
T
Taxa Equivalente
Taxa Efetiva
Prazo que se deseja a nova taxa 
Prazo que se encontra a taxa efetiva 
� EMBED Equation.3 ���
�
� O prazo nominal de 60 dias significa que a duração da operação será de 60 dias se o dia do resgate for um dia útil. Se o dia do resgate for um domingo, a operação terá 61 dias, e se for um sábado 62 dias, sem considerar os possíveis feriados contíguos à data de resgate. Esses prazos reduzem a taxa efetiva da operação.
� O mercado considera como curto prazo negociações inferiores a um ano.
� Marcos Heringer _ Fundação Getúlio Vargas/RJ
� Todos os títulos constantes no borderô devem estar sujeitos à mesma taxa de desconto.
� Pró-Concurso_Rossetto p.89
� Batistela _ PUCRS p.8 (http://www.pucrs.br/famat/claudia/mat_financ/amortizacaoalunos.pdf)
Unidade de Educação a Distância | Newton Paiva
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_1251806462.xls
Plan1
		Transformação de Taxas
		1		Uma poupança paga juros de 6 % ao ano, com capitalização mensal. Qual a taxa efetiva anual para essa poupança?
						Taxa Nominal				10.00%
						Período de Capitalização				12
						Taxa Efetiva Anual				10.47%
		2		Qual a taxa efetiva anual corresponde a uma taxa nominal de 120 % ao ano, com capitalização bimestral?
						Taxa Nominal				120.00%
						Período de Capitalização				6
						Taxa Efetiva Anual				198.60%
		3		Determinar a taxa efetiva anual que seja equivalente a taxa de 9 % ao ano, com capitalização semestral.
						Taxa Nominal				9.00%
						Período de Capitalização				2
						Taxa Efetiva Anual				9.20%
		4		Um empréstimo é feito a taxa de 32 % ao ano, com capitalização trimestral. Determine o custo efetivo anual para esse
				empréstimo.
						Taxas Proporcionais
						Taxa Nominal
						Período de Capitalização
						Taxa Efetiva Anual
						Resposta:		36.05%		ao ano
		5		Qual a taxa mensal de juros compostos é equivalente à taxa de 25 % ao ano?
						Taxas Equivalentes
						Taxa Efetiva
						Prazo que quero
						Prazo que tenho
						Taxa Equivalente
						Resposta:		1.88%		ao mês
		6		Demonstrar se a taxa de juros compostos de 11,8387 % ao trimestre é equivalente à taxa de juros de 20,4999% para
				cinco meses.
						Taxas Equivalentes
						Taxa Efetiva
						Prazo que quero
						Prazo que tenho
						Taxa Equivalente
						Resposta:		20.50%		para cinco meses				são equivalentes
		7		Calcular a taxa mensal de juros compostos equivalente a taxa anual de juros compostos de 12,68 %.
						Taxas Equivalentes
						Taxa Efetiva
						Prazo que quero
						Prazo que tenho
						Taxa Equivalente
						Resposta:		1.00%		ao mês
		8		Qual taxa diária de juros compostos é equivalente à taxa anual de juros compostos de 64,8 %?
						Taxas Equivalentes
						Taxa Efetiva
						Prazo que quero
						Prazo que tenho
						Taxa Equivalente
						Resposta:		0.14%		ao dia
		9		Determinar a taxa mensal de juros compostos que é proporcional à taxa de 12 % ao ano, com capitalização mensal.
						Taxas Proporcionais
						Taxa Nominal
						Período de Capitalização
						Taxa Efetiva Mensal
						Resposta:		1.00%		ao mês
		10		Qual taxa nominal anual, com capitalização mensal é proporcional à taxa de juros compostos de 14 % ao bimestre?
						Taxas Proporcionais
						Taxa Efetiva
						Período de Capitalização
						Taxa Nominal Anual
						Resposta:		84.00%		ao ano
Plan2
		
Plan3
		
_1251807850.xls
Plan1
		Taxas de Juros
		1		A que taxa nominal mensal de juros compostos deve ser colocado o capital de R$1.750,64 para obtermos o montante
				de R$ 5.000,00, em quatro anos, capitalizados anualmente?
						Capital						1,750.64
						Montante						5,000.00
						Prazo						4				anos
						Taxa Nominal Mensal						2.50%
						Resposta:		2.50%				ao mês com capitalização anual
		2		Calcular o montante produzido pelo capital de R$ 1.500,00, colocado a juros compostos de 24% ao ano, com capita
				lização mensal, durante três anos e três meses.
						Capital						1,500.00
						Taxa de Juros						24.00%				ano
						Prazo						39				meses
						Montante						$3,247.12
						Resposta:		$3,247.12
		3		Determine o montante acumulado no final de dois anos, ao se aplicar um principal de R$ 28.000,00 com uma taxa de
				juros compostos de 36% ao ano, com capitalização trimestral.
						Principal						28,000.00
						Taxa de Juros						9.00%				trimestre
						Prazo						8				trimestre
						Montante						$55,791.75
						Resposta:		$55,791.75
		4		Um cliente pretende comprar um eletrodoméstico daqui a oito bimestres, cujo valor deverá situar-se em torno de
				R$ 1.200,00. Para dispor dessa importânica na época desejada, quanto deverá aplicar hoje, à taxa de juros de
				25,85% ao ano, com capitalização bimestral?
						Valor do Eletrodoméstico						1,200.00
						Taxa de Juros						4.31%				bimestre
						Prazo						8				bimestre
						Valor da Aplicação						$856.31
						Resposta:		$856.31
		5		Quanto devo aplicar hoje, à taxa de juros de 15% ao ano, com capitalização anual para obter R$ 10.000,00 no final
				de 19 meses?
						Valor Obtido						10,000.00
						Taxa de Juros						15.00%				ano
						Prazo						1.58				ano
						Valor da Aplicação						$8,014.84Resposta:		$8,014.84
		6		A aplicação de certo capital, aplicado à taxa de juros de 21% ao semestre, com capitalização mensal, produziu um
				montante de R$ 1.825,00 ao final de um ano. Qual o capital aplicado?
						Montante						1,825.00
						Taxa de Juros						3.50%				mês
						Prazo						12				mese
						Valor da Aplicação						$1,207.75
						Resposta:		$1,207.75
		7		Durante quantos dias se deve manter depositada a importância de R$ 3.100,00 para que aplicada à taxa de juros de
				1,5% ao mês, com capitalização anual, produza o montante de R$ 3.800,00?
						Valor da Aplicação						3,100.00
						Taxa de Juros						18.00%				ano
						Montante						3,800.00
						Prazo da Aplicação						443				dias
						Resposta:		443				dias
		8		Um capital de R$ 12.500,00 aplicado à taxa de juros de 2,4% ao mês, com capitalização diária rendeu R$ 2.172,78.
				Calcular o número de dias da aplicação.
						Capital						12,500.00
						Taxa de Juros						0.08%				dia
						Rendimento						2,172.78
						Prazo da Aplicação						200				dias
						Resposta:		200				dias
		9		Quantos dias devem se passar para que o montante de um capital de R$ 5.000,00 aplicado à taxa de juros de 20 %
				ao ano, com capitalização mensal seja igual a R$ 6.000,00?
						Capital						6,000.00
						Taxa de Juros						1.67%				mês
						Montante						5,000.00
						Prazo da Aplicação						331				dias
						Resposta:		331				dias
		10		Uma casa é vendida à vista por R$ 250.000,00. Se o comprador se propuser a pagar R$ 300.000,00 daqui a um ano
				qual a taxa efetiva mensal estará pagando?
						Valor à vista						250,000.00
						Valor à Prazo						300,000.00
						Prazo						12
						Taxa Efetiva Mensal						1.53%				ao mês
						Resposta:		1.53%				ao mês
Plan2
		
Plan3
		
_1251808052.xls
Plan1
		Taxas de Juros
		1		A que taxa nominal mensal de juros compostos deve ser colocado o capital de R$1.750,64 para obtermos o montante
				de R$ 5.000,00, em quatro anos, capitalizados anualmente?
						Capital						1,750.64
						Montante						5,000.00
						Prazo						4				anos
						Taxa Nominal Mensal						2.50%
						Resposta:		2.50%				ao mês com capitalização anual
		2		Calcular o montante produzido pelo capital de R$ 1.500,00, colocado a juros compostos de 24% ao ano, com capita
				lização mensal, durante três anos e três meses.
						Capital						1,500.00
						Taxa de Juros						24.00%				ano
						Prazo						39				meses
						Montante						$3,247.12
						Resposta:		$3,247.12
		3		Determine o montante acumulado no final de dois anos, ao se aplicar um principal de R$ 28.000,00 com uma taxa de
				juros compostos de 36% ao ano, com capitalização trimestral.
						Principal						28,000.00
						Taxa de Juros						9.00%				trimestre
						Prazo						8				trimestre
						Montante						$55,791.75
						Resposta:		$55,791.75
		4		Um cliente pretende comprar um eletrodoméstico daqui a oito bimestres, cujo valor deverá situar-se em torno de
				R$ 1.200,00. Para dispor dessa importânica na época desejada, quanto deverá aplicar hoje, à taxa de juros de
				25,85% ao ano, com capitalização bimestral?
						Valor do Eletrodoméstico						1,200.00
						Taxa de Juros						4.31%				bimestre
						Prazo						8				bimestre
						Valor da Aplicação						$856.31
						Resposta:		$856.31
		5		Quanto devo aplicar hoje, à taxa de juros de 15% ao ano, com capitalização anual para obter R$ 10.000,00 no final
				de 19 meses?
						Valor Obtido						10,000.00
						Taxa de Juros						15.00%				ano
						Prazo						1.58				ano
						Valor da Aplicação						$8,014.84
						Resposta:		$8,014.84
		6		A aplicação de certo capital, aplicado à taxa de juros de 21% ao semestre, com capitalização mensal, produziu um
				montante de R$ 1.825,00 ao final de um ano. Qual o capital aplicado?
						Montante						1,825.00
						Taxa de Juros						3.50%				mês
						Prazo						12				mese
						Valor da Aplicação						$1,207.75
						Resposta:		$1,207.75
		7		Durante quantos dias se deve manter depositada a importância de R$ 3.100,00 para que aplicada à taxa de juros de
				1,5% ao mês, com capitalização anual, produza o montante de R$ 3.800,00?
						Valor da Aplicação						3,100.00
						Taxa de Juros						18.00%				ano
						Montante						3,800.00
						Prazo da Aplicação						443				dias
						Resposta:		443				dias
		8		Um capital de R$ 12.500,00 aplicado à taxa de juros de 2,4% ao mês, com capitalização diária rendeu R$ 2.172,78.
				Calcular o número de dias da aplicação.
						Capital						12,500.00
						Taxa de Juros						0.08%				dia
						Rendimento						2,172.78
						Prazo da Aplicação						200				dias
						Resposta:		200				dias
		9		Quantos dias devem se passar para que o montante de um capital de R$ 5.000,00 aplicado à taxa de juros de 20 %
				ao ano, com capitalização mensal seja igual a R$ 6.000,00?
						Capital						6,000.00
						Taxa de Juros						1.67%				mês
						Montante						5,000.00
						Prazo da Aplicação						331				dias
						Resposta:		331				dias
		10		Uma casa é vendida à vista por R$ 250.000,00. Se o comprador se propuser a pagar R$ 300.000,00 daqui a um ano
				qual a taxa efetiva mensal estará pagando?
						Valor à vista						250,000.00
						Valor à Prazo						300,000.00
						Prazo						12
						Taxa Efetiva Mensal						1.53%				ao mês
						Resposta:		1.53%				ao mês
Plan2
		
Plan3
		
_1251806889.xls
Plan1
		Taxas de Juros
		1		A que taxa nominal mensal de juros compostos deve ser colocado o capital de R$1.750,64 para obtermos o montante
				de R$ 5.000,00, em quatro anos, capitalizados anualmente?
						Capital						1,750.64
						Montante						5,000.00
						Prazo						4				anos
						Taxa Nominal Mensal						2.50%
						Resposta:		2.50%				ao mês com capitalização anual
		2		Calcular o montante produzido pelo capital de R$ 1.500,00, colocado a juros compostos de 24% ao ano, com capita
				lização mensal, durante três anos e três meses.
						Capital						1,500.00
						Taxa de Juros						24.00%				ano
						Prazo						39				meses
						Montante						$3,247.12
						Resposta:		$3,247.12
		3		Determine o montante acumulado no final de dois anos, ao se aplicar um principal de R$ 28.000,00 com uma taxa de
				juros compostos de 36% ao ano, com capitalização trimestral.
						Principal						28,000.00
						Taxa de Juros						9.00%				trimestre
						Prazo						8				trimestre
						Montante						$55,791.75
						Resposta:		$55,791.75
		4		Um cliente pretende comprar um eletrodoméstico daqui a oito bimestres, cujo valor deverá situar-se em torno de
				R$ 1.200,00. Para dispor dessa importânica na época desejada, quanto deverá aplicar hoje, à taxa de juros de
				25,85% ao ano, com capitalização bimestral?
						Valor do Eletrodoméstico						1,200.00
						Taxa de Juros						4.31%				bimestre
						Prazo						8				bimestre
						Valor da Aplicação						$856.31
						Resposta:		$856.31
		5		Quanto devo aplicar hoje, à taxa de juros de 15% ao ano, com capitalização anual para obter R$ 10.000,00 no final
				de 19 meses?
						Valor Obtido						10,000.00
						Taxa de Juros						15.00%				ano
						Prazo						1.58				ano
						Valor da Aplicação						$8,014.84
						Resposta:		$8,014.84
		6		A aplicação de certo capital, aplicado à taxa de juros de 21% ao semestre, com capitalização mensal, produziu um
				montante de R$ 1.825,00 ao final de um ano. Qual o capital aplicado?
						Montante						1,825.00
						Taxa de Juros						3.50%				mês
						Prazo						12				mese
						Valor da Aplicação						$1,207.75
						Resposta:		$1,207.75
		7		Durante quantos dias se deve manter depositada a importância de R$ 3.100,00 para que aplicada à taxa de juros de
				1,5% ao mês, com capitalização anual, produza o montante de R$ 3.800,00?
						Valor da Aplicação						3,100.00
						Taxa de Juros						18.00%				ano
						Montante3,800.00
						Prazo da Aplicação						443				dias
						Resposta:		443				dias
		8		Um capital de R$ 12.500,00 aplicado à taxa de juros de 2,4% ao mês, com capitalização diária rendeu R$ 2.172,78.
				Calcular o número de dias da aplicação.
						Capital						12,500.00
						Taxa de Juros						0.08%				dia
						Rendimento						2,172.78
						Prazo da Aplicação						200				dias
						Resposta:		200				dias
		9		Quantos dias devem se passar para que o montante de um capital de R$ 5.000,00 aplicado à taxa de juros de 20 %
				ao ano, com capitalização mensal seja igual a R$ 6.000,00?
						Capital						6,000.00
						Taxa de Juros						1.67%				mês
						Montante						5,000.00
						Prazo da Aplicação						331				dias
						Resposta:		331				dias
		10		Uma casa é vendida à vista por R$ 250.000,00. Se o comprador se propuser a pagar R$ 300.000,00 daqui a um ano
				qual a taxa efetiva mensal estará pagando?
						Valor à vista						250,000.00
						Valor à Prazo						300,000.00
						Prazo						12
						Taxa Efetiva Mensal						1.53%				ao mês
						Resposta:		1.53%				ao mês
Plan2
		
Plan3
		
_1251807491.xls
Plan1
		Taxas de Juros
		1		A que taxa nominal mensal de juros compostos deve ser colocado o capital de R$1.750,64 para obtermos o montante
				de R$ 5.000,00, em quatro anos, capitalizados anualmente?
						Capital						1,750.64
						Montante						5,000.00
						Prazo						4				anos
						Taxa Nominal Mensal						2.50%
						Resposta:		2.50%				ao mês com capitalização anual
		2		Calcular o montante produzido pelo capital de R$ 1.500,00, colocado a juros compostos de 24% ao ano, com capita
				lização mensal, durante três anos e três meses.
						Capital						1,500.00
						Taxa de Juros						24.00%				ano
						Prazo						39				meses
						Montante						$3,247.12
						Resposta:		$3,247.12
		3		Determine o montante acumulado no final de dois anos, ao se aplicar um principal de R$ 28.000,00 com uma taxa de
				juros compostos de 36% ao ano, com capitalização trimestral.
						Principal						28,000.00
						Taxa de Juros						9.00%				trimestre
						Prazo						8				trimestre
						Montante						$55,791.75
						Resposta:		$55,791.75
		4		Um cliente pretende comprar um eletrodoméstico daqui a oito bimestres, cujo valor deverá situar-se em torno de
				R$ 1.200,00. Para dispor dessa importânica na época desejada, quanto deverá aplicar hoje, à taxa de juros de
				25,85% ao ano, com capitalização bimestral?
						Valor do Eletrodoméstico						1,200.00
						Taxa de Juros						4.31%				bimestre
						Prazo						8				bimestre
						Valor da Aplicação						$856.31
						Resposta:		$856.31
		5		Quanto devo aplicar hoje, à taxa de juros de 15% ao ano, com capitalização anual para obter R$ 10.000,00 no final
				de 19 meses?
						Valor Obtido						10,000.00
						Taxa de Juros						15.00%				ano
						Prazo						1.58				ano
						Valor da Aplicação						$8,014.84
						Resposta:		$8,014.84
		6		A aplicação de certo capital, aplicado à taxa de juros de 21% ao semestre, com capitalização mensal, produziu um
				montante de R$ 1.825,00 ao final de um ano. Qual o capital aplicado?
						Montante						1,825.00
						Taxa de Juros						3.50%				mês
						Prazo						12				mese
						Valor da Aplicação						$1,207.75
						Resposta:		$1,207.75
		7		Durante quantos dias se deve manter depositada a importância de R$ 3.100,00 para que aplicada à taxa de juros de
				1,5% ao mês, com capitalização anual, produza o montante de R$ 3.800,00?
						Valor da Aplicação						3,100.00
						Taxa de Juros						18.00%				ano
						Montante						3,800.00
						Prazo da Aplicação						443				dias
						Resposta:		443				dias
		8		Um capital de R$ 12.500,00 aplicado à taxa de juros de 2,4% ao mês, com capitalização diária rendeu R$ 2.172,78.
				Calcular o número de dias da aplicação.
						Capital						12,500.00
						Taxa de Juros						0.08%				dia
						Rendimento						2,172.78
						Prazo da Aplicação						200				dias
						Resposta:		200				dias
		9		Quantos dias devem se passar para que o montante de um capital de R$ 5.000,00 aplicado à taxa de juros de 20 %
				ao ano, com capitalização mensal seja igual a R$ 6.000,00?
						Capital						6,000.00
						Taxa de Juros						1.67%				mês
						Montante						5,000.00
						Prazo da Aplicação						331				dias
						Resposta:		331				dias
		10		Uma casa é vendida à vista por R$ 250.000,00. Se o comprador se propuser a pagar R$ 300.000,00 daqui a um ano
				qual a taxa efetiva mensal estará pagando?
						Valor à vista						250,000.00
						Valor à Prazo						300,000.00
						Prazo						12
						Taxa Efetiva Mensal						1.53%				ao mês
						Resposta:		1.53%				ao mês
Plan2
		
Plan3
		
_1251806672.xls
Plan1
		Transformação de Taxas
		1		Uma poupança paga juros de 6 % ao ano, com capitalização mensal. Qual a taxa efetiva anual para essa poupança?
						Taxa Nominal				10.00%
						Período de Capitalização				12
						Taxa Efetiva Anual				10.47%
		2		Qual a taxa efetiva anual corresponde a uma taxa nominal de 120 % ao ano, com capitalização bimestral?
						Taxa Nominal				120.00%
						Período de Capitalização				6
						Taxa Efetiva Anual				198.60%
		3		Determinar a taxa efetiva anual que seja equivalente a taxa de 9 % ao ano, com capitalização semestral.
						Taxa Nominal				9.00%
						Período de Capitalização				2
						Taxa Efetiva Anual				9.20%
		4		Um empréstimo é feito a taxa de 32 % ao ano, com capitalização trimestral. Determine o custo efetivo anual para esse
				empréstimo.
						Taxa Nominal				32.00%
						Período de Capitalização				4
						Taxa Efetiva Anual				36.05%
		5		Qual a taxa mensal de juros compostos é equivalente à taxa de 25 % ao ano?
						Taxas Equivalentes
						Taxa Efetiva
						Prazo que quero
						Prazo que tenho
						Taxa Equivalente
						Resposta:		1.88%		ao mês
		6		Demonstrar se a taxa de juros compostos de 11,8387 % ao trimestre é equivalente à taxa de juros de 20,4999% para
				cinco meses.
						Taxas Equivalentes
						Taxa Efetiva
						Prazo que quero
						Prazo que tenho
						Taxa Equivalente
						Resposta:		20.50%		para cinco meses				são equivalentes
		7		Calcular a taxa mensal de juros compostos equivalente a taxa anual de juros compostos de 12,68 %.
						Taxas Equivalentes
						Taxa Efetiva
						Prazo que quero
						Prazo que tenho
						Taxa Equivalente
						Resposta:		1.00%		ao mês
		8		Qual taxa diária de juros compostos é equivalente à taxa anual de juros compostos de 64,8 %?
						Taxas Equivalentes
						Taxa Efetiva
						Prazo que quero
						Prazo que tenho
						Taxa Equivalente
						Resposta:		0.14%		ao dia
		9		Determinar a taxa mensal de juros compostos que é proporcional à taxa de 12 % ao ano, com capitalização mensal.
						Taxas Proporcionais
						Taxa Nominal
						Período de Capitalização
						Taxa Efetiva Mensal
						Resposta:		1.00%		ao mês
		10		Qual taxa nominal anual, com capitalização mensal é proporcional à taxa de juros compostos de 14 % ao bimestre?
						Taxas Proporcionais
						Taxa Efetiva
						Período de Capitalização
						Taxa Nominal Anual
						Resposta:		84.00%		ao ano
Plan2
		
Plan3
		
_1251806040.xls
Plan1
		Transformação de Taxas
		1		Uma poupança paga juros de 6 % ao ano, com capitalização mensal. Qual a taxa efetiva anual para essa poupança?
						Taxa Nominal				10.00%
						Período de Capitalização				12
						Taxa Efetiva Anual				10.47%
						Resposta:		10.47%		ao ano
		2		Qual a taxa efetiva anual corresponde a uma taxa nominal de 120 % ao ano, com capitalização bimestral?
						Taxas Proporcionais
						Taxa Nominal
						Período de Capitalização
						Taxa Efetiva Anual
						Resposta:		198.60%		ao ano
		3		Determinar a taxa efetiva anual que seja equivalente a taxa de 9 % ao ano, com capitalização semestral.
						Taxas ProporcionaisTaxa Nominal
						Período de Capitalização
						Taxa Efetiva Anual
						Resposta:		9.20%		ao ano
		4		Um empréstimo é feito a taxa de 32 % ao ano, com capitalização trimestral. Determine o custo efetivo anual para esse
				empréstimo.
						Taxas Proporcionais
						Taxa Nominal
						Período de Capitalização
						Taxa Efetiva Anual
						Resposta:		36.05%		ao ano
		5		Qual a taxa mensal de juros compostos é equivalente à taxa de 25 % ao ano?
						Taxas Equivalentes
						Taxa Efetiva
						Prazo que quero
						Prazo que tenho
						Taxa Equivalente
						Resposta:		1.88%		ao mês
		6		Demonstrar se a taxa de juros compostos de 11,8387 % ao trimestre é equivalente à taxa de juros de 20,4999% para
				cinco meses.
						Taxas Equivalentes
						Taxa Efetiva
						Prazo que quero
						Prazo que tenho
						Taxa Equivalente
						Resposta:		20.50%		para cinco meses				são equivalentes
		7		Calcular a taxa mensal de juros compostos equivalente a taxa anual de juros compostos de 12,68 %.
						Taxas Equivalentes
						Taxa Efetiva
						Prazo que quero
						Prazo que tenho
						Taxa Equivalente
						Resposta:		1.00%		ao mês
		8		Qual taxa diária de juros compostos é equivalente à taxa anual de juros compostos de 64,8 %?
						Taxas Equivalentes
						Taxa Efetiva
						Prazo que quero
						Prazo que tenho
						Taxa Equivalente
						Resposta:		0.14%		ao dia
		9		Determinar a taxa mensal de juros compostos que é proporcional à taxa de 12 % ao ano, com capitalização mensal.
						Taxas Proporcionais
						Taxa Nominal
						Período de Capitalização
						Taxa Efetiva Mensal
						Resposta:		1.00%		ao mês
		10		Qual taxa nominal anual, com capitalização mensal é proporcional à taxa de juros compostos de 14 % ao bimestre?
						Taxas Proporcionais
						Taxa Efetiva
						Período de Capitalização
						Taxa Nominal Anual
						Resposta:		84.00%		ao ano
Plan2
		
Plan3
		
_1251806270.xls
Plan1
		Transformação de Taxas
		1		Uma poupança paga juros de 6 % ao ano, com capitalização mensal. Qual a taxa efetiva anual para essa poupança?
						Taxa Nominal				10.00%
						Período de Capitalização				12
						Taxa Efetiva Anual				10.47%
						Resposta:		10.47%		ao ano
		2		Qual a taxa efetiva anual corresponde a uma taxa nominal de 120 % ao ano, com capitalização bimestral?
						Taxa Nominal				120.00%
						Período de Capitalização				6
						Taxa Efetiva Anual				198.60%
						Resposta:		198.60%		ao ano
		3		Determinar a taxa efetiva anual que seja equivalente a taxa de 9 % ao ano, com capitalização semestral.
						Taxas Proporcionais
						Taxa Nominal
						Período de Capitalização
						Taxa Efetiva Anual
						Resposta:		9.20%		ao ano
		4		Um empréstimo é feito a taxa de 32 % ao ano, com capitalização trimestral. Determine o custo efetivo anual para esse
				empréstimo.
						Taxas Proporcionais
						Taxa Nominal
						Período de Capitalização
						Taxa Efetiva Anual
						Resposta:		36.05%		ao ano
		5		Qual a taxa mensal de juros compostos é equivalente à taxa de 25 % ao ano?
						Taxas Equivalentes
						Taxa Efetiva
						Prazo que quero
						Prazo que tenho
						Taxa Equivalente
						Resposta:		1.88%		ao mês
		6		Demonstrar se a taxa de juros compostos de 11,8387 % ao trimestre é equivalente à taxa de juros de 20,4999% para
				cinco meses.
						Taxas Equivalentes
						Taxa Efetiva
						Prazo que quero
						Prazo que tenho
						Taxa Equivalente
						Resposta:		20.50%		para cinco meses				são equivalentes
		7		Calcular a taxa mensal de juros compostos equivalente a taxa anual de juros compostos de 12,68 %.
						Taxas Equivalentes
						Taxa Efetiva
						Prazo que quero
						Prazo que tenho
						Taxa Equivalente
						Resposta:		1.00%		ao mês
		8		Qual taxa diária de juros compostos é equivalente à taxa anual de juros compostos de 64,8 %?
						Taxas Equivalentes
						Taxa Efetiva
						Prazo que quero
						Prazo que tenho
						Taxa Equivalente
						Resposta:		0.14%		ao dia
		9		Determinar a taxa mensal de juros compostos que é proporcional à taxa de 12 % ao ano, com capitalização mensal.
						Taxas Proporcionais
						Taxa Nominal
						Período de Capitalização
						Taxa Efetiva Mensal
						Resposta:		1.00%		ao mês
		10		Qual taxa nominal anual, com capitalização mensal é proporcional à taxa de juros compostos de 14 % ao bimestre?
						Taxas Proporcionais
						Taxa Efetiva
						Período de Capitalização
						Taxa Nominal Anual
						Resposta:		84.00%		ao ano
Plan2
		
Plan3
		
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