MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

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000
.
3
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...
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(
2
2
1
1
d
n
n
i
t
N
t
N
t
N
Desconto
´
´
+
+
´
+
´
=
Disciplina: Matemática Comercial e Financeira 
Autor: João Luiz Oliveira Gomes
Unidade de Educação a Distância
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Autor: João Luiz Oliveira Gomes
Belo Horizonte / 2012
ESTRUTURA FORMAL DA UNIDADE DE EDUCAÇÃO A DISTÃNCIA
REITOR
LUÍS CARLOS DE SOUZA VIEIRA
PRÓ-REITOR ACADÊMICO
SUDÁRIO PAPA FILHO
COORDENAÇÃO GERAL
AÉCIO ANTÔNIO DE OLIVEIRA
COORDENAÇÃO TECNOLÓGICA
EDUARDO JOSÉ ALVES DIAS
COORDENAÇÃO DE CURSOS GERENCIAIS E ADMINISTRAÇÃO 
HELBERT JOSÉ DE GOES
COORDENAÇÃO DE CURSOS LICENCIATURA/ LETRAS 
LAILA MARIA HAMDAN ALVIM
COORDENAÇÃO DE CURSOS LICENCIATURA/PEDAGOGIA 
LENISE MARIA RIBEIRO ORTEGA
INSTRUCIONAL DESIGNER
DÉBORA CRISTINA CORDEIRO CAMPOS LEAL
KELLY DE SOUZA RESENDE
PATRICIA MARIA COMBAT BARBOSA
EQUIPE DE WEB DESIGNER
CARLOS ROBERTO DOS SANTOS JÚNIOR
GABRIELA SANTOS DA PENHA
LUCIANA REGINA VIEIRA
ORIENTAÇÃO PEDAGÓGICA
FERNANDA MACEDO DE SOUZA ZOLIO
RIANE RAPHAELLA GONÇALVES GERVASIO
AUXILIAR PEDAGÓGICO
ARETHA MARÇAL DE MACÊDO SILVA
MARÍLIA RODRIGUES BARBOSA
REVISORA DE TEXTO
MARIA DE LOURDES SOARES MONTEIRO RAMALHO
SECRETARIA
LUANA DOS SANTOS ROSSI 
MARIA LUIZA AYRES
MONITORIA
ELZA MARIA GOMES
AUXILIAR ADMINISTRATIVO
THAYMON VASCONCELOS SOARES
MARIANA TAVARES DIAS RIOGA
AUXILIAR DE TUTORIA
FLÁVIA CRISTINA DE MORAIS
MIRIA NERES PEREIRA
RENATA DA COSTA CARDOSO
Sumário
5Unidade 1: Introdução à Matemática Financeira
21Unidade 2: Juros compostos
38Unidade 3: Taxa de Juros
54Unidade 4: Desconto
71Unidade 5: Rendas Uniformes
91Unidade 6: Sistemas de Amortização
Ícones
	Comentários
	=
1
N
	Reflexão
	=
1
t
	Dica
	=
d
i
	Lembrete
	Período de Capitalização
4
Taxa Efetiva Anual
36,05%
Taxa Nominal
32,00%
Unidade 1: Introdução à Matemática Financeira
Taxa Nominal
9,00%
Período de Capitalização
2
Taxa Efetiva Anual
9,20%
1. Nosso Tema
Olá, seja bem-vindo à disciplina virtual de Matemática Comercial e Financeira. 
De acordo com os nossos objetivos de aprendizagem, propostos para esta disciplina, ao final de seus estudos, você deverá ser capaz de:
· Conhecer as principais ferramentas de cálculos financeiros;
· Interpretar os resultados de uma operação financeira;
· Empregar meios para aperfeiçoar a gestão dos recursos financeiros a partir do raciocínio lógico, com capacidade de abstração e habilidade de cálculo.
Nesta disciplina de Matemática Comercial e Financeira, você terá as seguintes habilidades e competências desenvolvidas durante os estudos:
· Compreender a abrangência e os limites dos cálculos financeiros para o exercício da atividade tecnológica;
· Identificar, com segurança, as necessidades de investimento financeiro para atendimento aos requisitos da atividade tecnológica;
· Aplicar raciocínio lógico e crítico na solução de problemas;
· Perceber as implicações sociais, tecnológicas e econômicas do posicionamento empresarial sobre a sociedade.
Espero que, ao longo desta unidade, você possa adquirir conhecimentos que lhe serão úteis durante a realização do curso. 
Vamos começar?
2. 120,00%
Período de Capitalização
6
Taxa Efetiva Anual
198,60%
Taxa Nominal
Para Refletir
Durante muitos anos, percebi que o meu papel como professor é o de propor desafios e questões interessantes, explorando os recursos que o computador pode oferecer aos alunos.
Dessa forma, questiono: Você está preparado para iniciar os estudos da Matemática Comercial e Financeira nessa modalidade de ensino? Espero que sim e bons estudos! 
Você sabia que qualquer valor monetário que uma pessoa (física ou jurídica) empresta para outra, durante certo tempo, para pagamento futuro, gera a perda do poder aquisitivo do dinheiro devido a fatores econômicos? Por exemplo: a inflação, a desvalorização da moeda, a queda da bolsa de valores e até mesmo as turbulências no mercado internacional.
Além disso, corre-se o risco do não pagamento parcial ou total desse empréstimo. Surge, então, o conceito de juro. Ele pode ser definido como o custo do empréstimo, como se fosse o aluguel que se paga pelo uso do dinheiro.
Vamos descobrir como calculamos Juros Simples e onde eles são empregados?
3. 10,00%
12
10,47%
Taxa Nominal
Período de Capitalização
Taxa Efetiva Anual
Conteúdo Didático
3.1. Iniciação à Disciplina 
Agora que você já conheceu a proposta da disciplina, vamos iniciar nossos estudos buscando aprender um pouco mais da Matemática Comercial e Financeira. 
A Matemática Financeira investiga relações entre finanças, circulação e gestão do dinheiro e de outros recursos líquidos. A remuneração de uma operação financeira é afetada pelo prazo, pela inflação e pelo risco associado à operação. Ou seja, o conceito fundamental na operação financeira é o valor do dinheiro ao longo do tempo. Os investimentos realizados no mercado financeiro têm o objetivo de crescimento do valor investido. Já os títulos com vencimentos futuros são descontados antes de seu vencimento com o intuito de decrescimento dessas dividas.
Para compreender as particularidades da matemática financeira, iniciaremos nosso estudo analisando a capitalização.
bimestre
bimestre
Prazo
8
Valor da Aplicação
R$ 856,31
Valor do Eletrodoméstico
1.200,00
 
 
Taxa de Juros
4,31%
Lembre-se de que apreender os objetivos de aprendizagem é fundamental no entendimento da disciplina.
3.2. Capitalização
Quando tomamos emprestada certa quantia, por exemplo $1.000.000, com a finalidade de devolver $1.250.000 ao final do mês, houve um acréscimo de $250.000.
Quais são as razões para esse acréscimo? Poderia ser:
a) recomposição do poder aquisitivo; 
b) lucro; 
c) risco; 
d) seguro; 
e) motivação psicológica.
O acréscimo ocorrido é uma remuneração para o cedente do capital e um custo para o tomador do capital. Esse acréscimo é denominado de juros. Veja, a seguir, os conceitos de capital e juros, segundo VIEIRA SOBRINHO (1997). 
Capital: é qualquer quantia disponível em qualquer data para ser aplicada em uma operação financeira por um tempo determinado. 
Juros: Remuneração do capital durante um período determinado de tempo. Pode ser também um custo do capital tomado emprestado.
Suponha que uma pessoa deseja comprar uma geladeira e não disponha de dinheiro suficiente para pagamento à vista. Nessas condições, ela pode efetuar a compra a prazo ou tentar um empréstimo em um banco. Em qualquer um dos casos, a pessoa geralmente paga uma quantia – além do preço da geladeira – a título de juros. 
Há outras situações em que aparecem juros. Por exemplo: se uma pessoa dispõe de uma importância em dinheiro, ela pode aplicá-la em uma caderneta de poupança ou em algum outro investimento. Ao fim de certo período, ela receberá do banco a importância aplicada acrescida de um valor referente aos juros da aplicação. No seu material on-line, você também encontrará exemplo de juros, consulte-o.
Normalmente, quando se realiza alguma aplicação desse tipo, fica estabelecida uma taxa de juros por um período (mês, dia ou ano), na qual incide sobre o valor da transação, chamado de capital. 
Os juros comerciais serão calculados, levando em consideração o calendário comercial (360 dias), enquanto os juros exatos serão calculados levando em consideração o calendário civil (365 ou 366 dias). Veja os exemplos: 
Exemplo 1:
Quando tomamos emprestada a quantia de $1.000.000 com a finalidade de devolver $1.250.000 ao final do mês, houve um acréscimo de $250.000. Qual foi a taxa cobrada?
Para isso, basta dividir o valor acrescido pelo valor emprestado. Ou seja,
25
,
0
100
25
000
.
000
.
1
000
.
250
=
=
, ou 25% (vinte e cinco por cento). 
O valor de 0,25 é a taxa unitária de juros e o valor de 25% a taxa percentual.
Outra forma de executar o cálculo é dividir o valor devolvido pela quantia emprestada, e retirar uma unidade do resultado. Veja:
25
,
0
1
25
,
1
1
100
125
1
000
.
000
.1
000
.
250
.
1
=
-
=
-
=
-
, ou 25%.
trimestre
trimestre
Principal
28.000,00
 
 
Taxa de Juros
9,00%
Prazo
8
Montante
R$ 55.791,75
A taxa de juros sempre se refere a uma unidade de tempo. Por exemplo:
1200% ao ano ( 1200% a. a.
600% ao semestre ( 600% a. s.
28% ao mês ( 28% a. m.
A taxa percentual é a componente usada, mas, no desenvolvimento da fórmula, usa-se a taxa unitária.
1200% a. a. ( 
12
100
1200
=
 a. a.
600% a. s. ( 
6
100
600
=
 a. s.
28% a. m. ( 
28
,
0
100
28
=
 a. m.
Os resultados das divisões não podem ter o símbolo de %, uma vez que é a taxa representada na forma unitária. A unidade de tempo da taxa deve vir tanto no formato percentual, quanto no unitário.
O regime de capitalização é a adição de juros ao capital. Existem dois regimes de capitalização: simples e composto (sistema de juros simples e sistema de juros composto). 
O sistema será de capitalização simples quando os juros, pelo período de capitalização, forem constantes, ou seja, será calculado sobre o capital inicial. Já no sistema de capitalização composto, os juros serão somados ao capital que o produziu e passam os dois, capital e juros, a renderem juros no período seguinte. É o chamado “juros sobre juros” ou juros compostos.
3.3. Capitalização simples 
Você sabe o que é juro simples? É o juro calculado sobre o capital inicial. Ele é definido pela fórmula: 
n
i
C
J
´
´
=
, onde:
Juros
J
:
;
Capital
C
:
;
taxa
i
:
 
unitária
;
período
n
:
Se os juros correspondentes cobrados são calculados a uma taxa fixa por período, durante certo número de períodos, significa que a cada um dos períodos serão sempre calculados sobre a quantia inicial, e só serão incorporados a ela ao final do último período. Nesse regime, há pagamento de juros constantes por períodos iguais. A maioria dos investimentos financeiros não obedece ao princípio de juros simples. A exceção do mecanismo de desconto simples.
No exemplo 1, temos: 
000
.
250
1
25
,
0
000
.
000
.
1
=
´
´
=
J
.
O montante simples é o valor do capital em data futura. Montante é a soma dos juros ao capital inicial durante um período de aplicação. Ou seja, 
C
J
M
+
=
. Como o juro é dado por: 
n
i
C
J
´
´
=
, substituindo no montante 
M
 temos: 
C
n
i
C
M
+
´
´
=
. Colocando o capital 
C
 em evidência, temos: 
(
)
n
i
C
M
´
+
=
1
O montante 
M
 do exemplo 1 é dado por 
(
)
000
.
250
.
1
1
25
,
0
1
000
.
000
.
1
=
´
+
=
M
.
ano
meses
Capital
1.500,00
 
 
Montante
R$ 3.247,12
Taxa de Juros
24,00%
Prazo
39
Lembre-se de que, para a realização dos exercícios, é necessário fazer as conversões das taxas de juros utilizadas, ou períodos, para as mesmas unidades de referências. Uma taxa de 24% ao ano equivale a 0,0667% ao dia, considerando o calendário comercial; e a 0,0657%, considerando o calendário civil. Ela equivale também a 2% ao mês. 
No final desta unidade, você encontra uma tabela para auxiliá-lo na conversão de prazos. Essa tabela nada mais é do que um resumo dos resultados obtidos a partir de regras de três simples realizadas nos prazos, adequando-os para a mesma unidade de tempo da taxa. Esse procedimento também pode ser adotado para as taxas, adequando-as para a mesma unidade de tempo do período. Isso é possível, pois a Capitalização Simples tem característica linear. 
A maioria das atividades programadas para esta disciplina será feita utilizando a planilha de cálculo do programa Microsoft Office Excel. Em geral, o primeiro exercício de cada série estará feito para servir de exemplo. É importante saber utilizar a planilha do Microsoft Office Excel, em suas funções básicas e funções financeiras. É preciso e necessário preencher as células com os valores corretos, segundo o enunciado, e mandar executar os cálculos com os valores digitados nas células correspondentes, como feito no exercício que servirá de exemplo. Em caso de dúvidas, não hesite em entrar em contato comigo, seu tutor, via ferramentas disponíveis no ambiente virtual de aprendizagem para esclarecê-las.
Agora, veja alguns exemplos resolvidos passo-a-passo, utilizando a planilha do Microsoft Office Excel: 
Vamos voltar no exemplo 1, resolvê-lo detalhadamente e fazê-lo na planilha do Excel? 
Quando tomamos emprestada a quantia de $1.000.000 com a finalidade de devolver $1.250.000 ao final do mês. a) Qual o juro acrescido? b) Qual foi a taxa cobrada? 
Resolução: Foram dados
C = $ 1.000,00
M = $ 1.250,00
n = 1 mês
i = ?
J = ?
a) como o montante é dado por 
C
J
M
+
=
, o juro acrescido é dado por 
C
M
J
-
=
.
Então, 
250
1000
1250
=
-
=
J
. Ou seja, $250,00.
b) e como o juro é dado por 
n
i
C
J
´
´
=
, a taxa cobrada é dada por: 
n
C
J
i
´
=
Então, 
25
,
0
100
25
1
1000
250
=
=
´
=
´
=
n
C
J
i
, ou seja, 25% (vinte e cinco por cento).
Utilizando a planilha Microsoft Office Excel você deverá preencher as células praticamente da mesma maneira apresentada na fórmula. 
Veja: 
	Capital - C
	R$ 1.000,00
	 
	valor futuro - M
	R$ 1.250,00
	 
	Período - n
	1
	mês
	Juros - J
	R$ 250,00
	 
	Taxa - i
	25,00%
	ao mês
Selecione a célula onde você quer obter a resposta e comece digitando o símbolo igual (=). Quando uma célula do Excel começa com o símbolo “=”, ela processará uma conta e apresentará o resultado, caso a fórmula esteja correta. Quando você mudar de célula, pressionando a tecla “ENTER” ou pressionando a setinha para qualquer lado, aparecerá a resposta da operação solicitada.
Preencha as células da planilha com os valores dados no enunciado do problema, como mostrado acima. Para obter as soluções pedidas, digite: =250/(1000*1), executando a fórmula:
25
,
0
100
25
1
1000
250
=
=
´
=
´
=
n
C
J
i
. 
O Excel executa as operações que estão dentro dos parênteses primeiro, à medida que eles vão aparecendo, e depois as outras operações.
Quando você mudar de célula, através da setinha para qualquer lado, ou através do executar (enter do teclado), aparecerá a resposta 0,25. Se você formatar a célula da resposta para “percentual” aparecerá como resposta o valor de 25%.
Apertando o botão do mouse sobre a célula da resposta obtida, você poderá observar, na barra de fórmulas, todo o procedimento utilizado no cálculo.
Se você utilizar a linha 1 e a coluna B da planilha, a sua fórmula ficará =250/(1000*1). Ou ainda =B4/(B1*B3).
A planilha será útil pelos motivos:
a) os dados estarão bem organizados na planilha, o que fará com que você não desvie do caminho tão facilmente.
b) a resposta dada no Microsoft Office Excel não será simplesmente uma resposta. Apertando o botão do mouse sobre ela, você poderá observar, na barra de fórmulas, todo o procedimento utilizado no cálculo.
c) as células já estarão formatadas para receber as categorias específicas dos enunciados dos exercícios.
Vejamos agora outro exemplo: 
Exemplo 2:
Um capital de R$ 70.000,00 é aplicado à taxa de juros simples de 24% ao ano, durante 180 dias. Pede-se determinar o valor dos juros comerciais acumulados nesse período. 
Resolução: Foram dados
C = R$ 70.000,00
i = 24% a. a.
n = 180 dias
J = ?
Como visto, a fórmula para o cálculo dos juros simples é definida levando-se em consideração o capital aplicado, a taxa de juros envolvida e o prazo da aplicação: 
n
i
C
J
´
´
=
.
Substituindo os valores das variáveis temos: 
00
,
400
.
8
5
,
0
24
,
0
000
.
70
=
´
´
=
J
Observe que a taxa é unitária e o prazo foi ajustado para a unidade de medida da taxa de juros. Ou seja, 180 dias correspondem a 0,5 ano.
Veja o exemplo 2, utilizando a planilha do Microsoft Office Excel:
Um capital de R$70.000,00 é aplicado à taxa de juros simples de 24% ao ano, durante 180 dias. Pede-se determinar o valor dos juros comerciais acumulados nesse período. 
	Capital – C
	R$ 70.000,00 
	 
	Taxa – i
	24,00%
	a. a.
	Prazo – n
	180dias
	Juros – J
	R$ 8.400,00
	 
Faça você mesmo o exemplo, utilizando a planilha do Microsoft Office Excel. Selecione a célula em que você quer obter a resposta e comece digitando o símbolo igual (=). 
Neste exemplo, digite: =70000*(24/100)*(180/360). Lembre: o Excel executa as operações que estão dentro do parêntese primeiro, à medida que eles vão aparecendo, e depois as outras operações.
Quando você mudar de célula aparecerá, a resposta 8400. 
Apertando o botão do mouse sobre a célula da resposta obtida, você poderá observar, na barra de fórmulas, todo o procedimento utilizado no cálculo.
Nesse caso, vai aparecer: 
(180/360)
*
(24/100)
*
70000
=
, que é o Juro calculado.
Você também pode selecionar as células onde foram digitados os valores do enunciado do problema para fazer a fórmula para a resposta do exercício. Se você começou esse problema na primeira linha e na primeira coluna da planilha do Excel você poderá observar, na barra de fórmulas, a expressão:
(A3/360)
*
(A2/100)
*
1
A
=
Exemplo 3:
O gerente de um banco outorgou um empréstimo de R$2.100,00 pelo prazo de 48 dias. No momento de assinar o contrato, o devedor se comprometeu a devolver R$2.350,00. Calcule: a) o juro, b) a taxa unitária de juro e, c) a taxa percentual de juro dessa operação.
Resolução: Foram dados
C = R$2.100,00
n = 48 dias
M = R$2.350,00
J = ?
i = ?
a) O juro da operação é M – C. Então, J = R$2.350,00 - R$2.100,00 = R$250,00;
b) A taxa unitária de juro é 
119
,
0
2100
250
=
=
i
 aos 48 dias;
c) A taxa percentual de juro é 
%
90
,
11
100
119
,
0
=
=
x
i
 aos 48 dias.
Agora, utilizando a planilha do Microsoft Office Excel. Selecione a célula em que você quer obter a resposta e comece digitando o símbolo igual (=). 
Preencha as células da planilha com os valores dados no enunciado do problema, como mostrado a seguir.
	Capital – C
	R$ 2.100,00
	 
	valor futuro – M
	R$ 2.350,00
	 
	Período – n
	48
	dias
	Juros – J
	R$ 250,00
	 
	Taxa - i – unitária
	0,119
	aos 48 dias
	Taxa - i – percentual
	11,90%
	aos 48 dias
Para obter o juro de R$250,00, digite: =2350-2100. Para obter a taxa unitária de 0,119, digite: =250/2100. E para obter a taxa percentual de 11,90%, digite: =(250/2100)*100.
Apertando o botão do mouse sobre cada uma das células das respostas obtidas, você poderá observar, na barra de fórmulas, todos os procedimentos utilizados nos cálculos.
Exemplo 4:
O gerente da instituição garantiu que aplicando R$5.000,00 pelo prazo de 60 dias nominais
 você resgatará R$5.112,50 no final da operação. Calcule: a) o juro, b) a taxa unitária de juro e, c) a taxa percentual de juro dessa aplicação.
Resolução: Foram dados
C = R$5.000,00
n = 60 dias
M = R$5.112,50
J = ?
i = ?
a) O juro da operação é M – C. Então, J = R$5.112,50 - R$5.000,00 = R$112,50;
b) A taxa unitária de juro é 
0225
,
0
5000
50
,
112
=
=
i
 aos 60 dias;
c) A taxa percentual de juro é 
%
25
,
2
100
0225
,
0
=
=
x
i
 aos 60 dias.
Agora utilizando a planilha do Microsoft Office Excel. Selecione a célula em que você quer obter a resposta e comece digitando o símbolo igual (=). 
Preencha as células da planilha com os valores dados no enunciado do problema, como mostrado a seguir.
	Capital - C
	R$ 5.000,00
	 
	valor futuro - M
	R$ 5.112,50
	 
	Período - n
	60
	dias
	Juros - J
	R$ 112,50
	 
	Taxa - i - unitária
	0,0225
	aos 60 dias
	Taxa - i - percentual
	2,25%
	aos 60 dias
Para obter o juro de R$112,50, digite: =5112,50-5000. Para obter a taxa unitária de 0,0225, digite: =112,5/5000. E para obter a taxa percentual de 2,25%, digite: =(112,5/5000)*100.
Apertando o botão do mouse sobre cada uma das células das respostas obtidas, você poderá observar, na barra de fórmulas, todos os procedimentos utilizados nos cálculos.
Exemplo 5:
Um capital de R$25.000,00, aplicado durante 7 meses, rende juros de R$7.875,00. Determine a taxa.
	Capital – C
	R$ 25.000,00
	 
	Período – n
	7
	meses
	Juros – J
	R$ 7.875,00
	 
	Taxa – i
	4,50%
	ao mês
Resposta: Se você utilizou as células (da coluna B) da planilha para fazer o lançamento dos valores, quando você selecionar a célula da resposta com o mouse, a sua resposta será: 
(
)
2
*
1
/
3
B
B
B
=
.
Exemplo 6:
Sabendo-se que os juros de R$6.000,00 foram obtidos com a aplicação de R$7.500,00, à taxa de 8% ao trimestre, calcule o prazo.
	Taxa
	8
	ao trimestre
	Capital
	R$ 7.500,00 
	 
	Juros
	R$ 6.000,00 
	 
	Prazo = período
	10
	trimestres
Resposta: Se você utilizou as células (da coluna B) da planilha para fazer o lançamento dos valores a sua resposta, quando você selecionar a célula da resposta com o mouse será: 
(
)
(
)
100
/
1
*
2
/
3
B
B
B
=
.
Veja que é importante utilizar a fórmula correta nos cálculos matemáticos financeiros. Muitas vezes, é preciso também fazer uma transformação de prazos. Lembre-se de que as unidades de tempo apresentadas nos enunciados necessitam de uma referência comum. Veja, a seguir, uma listagem de fórmulas e uma listagem com a operação a fazer para transformar um prazo dado em prazo procurado.
Fórmulas:
Período
x
Taxa
x
Capital
Simples
Juros
 
 
 
 
 
=
Período
x
Taxa
Juros
Capital
 
 
=
Período
x
Capital
Juros
juros
de
Taxa
 
 
 
 
=
Taxa
x
Capital
Juros
Período
 
 
=
Transformações de Prazo
	Tempo Dado em
	com a OPERAÇÃO
	Obtém o tempo em
	Dia
	Dividir por 30
	Mês
	Dia
	Dividir por 60
	Bimestre
	Dia
	Dividir por 90
	Trimestre
	Dia
	Dividir por 120
	Quadrimestre
	Dia
	Dividir por 180
	Semestre
	Dia
	Dividir por 360
	Ano
	Mês
	Dividir por 2
	Bimestre
	Mês
	Dividir por 3
	Trimestre
	Mês
	Dividir por 4
	Quadrimestre
	Mês
	Dividir por 6
	Semestre
	Mês
	Dividir por 12
	Ano
	Bimestre
	Dividir por 1,5
	Trimestre
	Bimestre
	Dividir por 2
	Quadrimestre
	Bimestre
	Dividir por 3
	Semestre
	Bimestre
	Dividir por 6
	Ano
	Trimestre
	Dividir por 1,3
	Quadrimestre
	Trimestre
	Dividir por 2
	Semestre
	Trimestre
	Dividir por 4
	Ano
	Quadrimestre
	Dividir por 1,5
	Semestre
	Quadrimestre
	Dividir por 3
	Ano
	Semestre
	Dividir por 2
	Ano
4. anos
Capital
1.750,64
 
 
Montante
5.000,00
 
 
Taxa Nominal Mensal
2,50%
Prazo
4
Teoria na Prática 
Agora que você já conheceu um pouco mais sobre juros, montante simples e capitalização simples, estude os exercícios resolvidos abaixo e desenvolva a atividade proposta disponível na Web. Todos os exercícios abaixo são desenvolvidos utilizando a planilha do Microsoft Office Excel. 
Exemplo 1:
Determine os juros obtidos com aplicação de R$250.000,00 a 300% a. a. durante 6 meses.
	Capital – C
	R$ 250.000,00 
	 
	Taxa – i
	300%
	a. a.
	Período – n
	6
	meses
	Juros – J
	R$ 375.000,00
	 
Resposta: Faça o exemplo utilizando a planilha do Microsoft Office Excel e aperte o botão do mouse sobre a célula da resposta final que você encontrará a equação utilizada nos cálculos. Nesse caso, ela é: 
(
)
(
)
12
/
6
*
100
/
300
*
250000
=
. Se você utilizou as células (da coluna B) da planilha para fazer o lançamento dos valores, quando você selecionar a célula da resposta com o mouse, a sua resposta será: 
(
)
(
)
12
/
3
*
100
/
2
*
1
B
B
B
=
. O juro é de R$375.000,00.
Exemplo 2:
Calcular os juros de R$500.000,00 à 360% a. a., durante um trimestre 
	Capital – C
	R$ 500.000,00 
	 
	Taxa – i
	360%
	a. a.
	Período - n
	3
	meses
	Juros – J
	R$ 450.000,00
	 
Resposta: Se você utilizou as células (da coluna B) da planilha para fazer o lançamento dos valores a sua resposta, quando você selecionar a célula da resposta com o mouse será: 
(
)
(
)
12
/
3
*
100
/
2
*
1
B
B
B
=
.
Exemplo 3:
Qual é o capital que, aplicado a 25% a. m. durante um quadrimestre, rende juros de R$380.000,00?
	Taxa – i
	25%
	a. m.
	Período – n
	4
	meses
	Juros – J
	R$ 380.000,00
	 
	Capital – C
	R$ 380.000,00 
	 
Resposta: Se você utilizou as células (da colunaB) da planilha para fazer o lançamento dos valores, quando você selecionar a célula da resposta com o mouse, a sua resposta será: 
(
)
(
)
2
*
100
/
1
/
3
B
B
B
=
.
Procure utilizar a ferramenta Correio para trocar experiências, informações ou dúvidas com seus colegas e comigo. Isto é importante, pois formamos uma comunidade de aprendizagem.
5. (
)
200
.
10
$
02
,
0
1
000
.
10
$
1
=
+
´
=
M
Recapitulando 
Esta unidade apresentou conhecimentos sobre juros simples, montante simples e capitalização simples, através das fórmulas:
Período
x
Taxa
x
Capital
Simples
Juros
 
 
 
 
 
=
Período
x
Taxa
Juros
Capital
 
 
=
Período
x
Capital
Juros
juros
de
Taxa
 
 
 
 
=
Taxa
x
Capital
Juros
Período
 
 
=
Você teve a oportunidade de conhecer métodos para cálculo dos juros simples e do montante simples, utilizando as funções financeiras do Microsoft Office Excel.
Além disso, você vivenciou problemas do dia-a-dia, analisando a sua prática, situando-se no processo de ensino-aprendizagem na busca do conhecimento específico. 
6. Amplie seus Conhecimentos
Nesta unidade, estudamos a capitalização simples. No próximo capitulo, discutiremos o Regime de Capitalização Composto.
Você sabia que grande parte das negociações financeiras no Mercado Nacional é realizada sob o regime de capitalização composto?
Por que o Mercado Nacional utiliza, quase que em sua totalidade, a Capitalização Composta em detrimento da Simples.
Acesse o endereço abaixo e você terá mais informações para analisar a questão acima:
· Para saber mais sobre Investimentos: www.estadao.com.br/investimentos
· Revista Forbes Brasil: www.forbesbrasil.com.br
7. Referências
ASSAF, N. Matemática Financeira. 4. ed. São Paulo: Atlas, 1998.
CRESPO, A.A. Matemática Comercial e Financeira Fácil. 12. ed. São Paulo: Saraiva, 1997.
HAZZANI, S. Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2001.
KUHNEN, O.L.; BAUER, U.R. Matemática Financeira Aplicada e Análise de Investimentos. São Paulo: Atlas, 1994. 
MATHIAS, W.F. Matemática Financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1996.
PUCCINI, A.L. Matemática financeira Objetiva e Aplicada. São Paulo: Saraiva, 1999.
VERAS, L.L. Matemática Aplicada à Economia. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1996.
VIEIRA SOBRINHO, J.D. Matemática Comercial e Financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas, 1997.
Unidade 2: Juros compostos 
1. Nosso Tema
Na Capitalização Composta, o capital cresce mais a juros compostos do que a juros simples. Esses são os juros cobrados no dia-a-dia das empresas e de todas as pessoas que realizam operações financeiras. Você vai acompanhar como eles são calculados nos empréstimos bancários, no comércio de modo geral, compreendendo o seu funcionamento em aplicações financeiras como a poupança e vários outros fundos de investimento. 
O capital aplicado ou emprestado cresce mais rapidamente nesse regime, comparado com o de juros simples, porque os juros do período presente são incorporados ao capital, passando a render no período seguinte, juntamente com o capital aplicado. 
Para facilitar o nosso trabalho na disciplina, você irá conhecer mais algumas aplicações das Funções Financeiras do Microsoft Office Excel, disponíveis nessa modalidade de cálculo. 
Você está preparado para mais uma unidade e disposto a aprender? Então, vamos lá!
2. Um cliente realizou uma compra no valor de R$850,00 se comprometendo a pagar, no prazo de 45 dias, a importância
de R$895,00. Qual a taxa efetiva mensal de juros compostos está sendo cobrada no financiamento?
mês
Taxa de juros 3,50%
Valor da compra R$ 850
Prazo 1,5
Valor pago R$ 895,00
Para Refletir
O regime de juros simples e juros compostos formam o grupo capitalização discreta. 
Segundo o Dicionário de Língua Portuguesa Houaiss, (a primeira edição foi lançada em 2001, no Rio de Janeiro, pelo Instituto Antônio Houaiss de Lexicografia), juros composto é definido como o juro calculado sobre um montante principal acrescido de seus próprios juros.
Você vai perceber a diferença de um investimento colocado à capitalização com juros simples, em um determinado período, e esse mesmo capital investido a juros compostos, no mesmo período.
Como exemplo da aplicação de juros compostos, lembre-se da caderneta de poupança. Como exemplo da aplicação de juros compostos, lembre-se da Caderneta de Poupança. A Caderneta aplicada uma taxa de correção, mensalmente, à soma do juro produzido pelo capital e o capital aplicado anteriormente, formando um novo montante a ser submetido à aplicação no próximo mês. (entendeu?).
Vamos descobrir como calculamos juros compostos e onde eles são empregados?
3. 10,00%
12
10,47%
Taxa Nominal
Período de Capitalização
Taxa Efetiva Anual
Conteúdo Didático
3.1. Juros compostos
Juros compostos, acumulados ou capitalizados são os juros produzidos no 1º período que, somados ao capital que o produziu, passam a produzir juntos, juros no 1º período seguinte. 
O dicionário Houaiss (2001) registra juros compostos como juro calculado sobre um montante principal acrescido de seus próprios juros. Portanto, no regime de juros compostos, os juros gerados são capitalizados na mesma data e geram juro no período seguinte até completar o prazo da operação.
Do investimento de $10.000 realizado com o prazo de 12 meses, considerando o regime de capitalização simples, você receberá mensalmente juros de $200 calculados com a taxa de juro de 2% ao mês, ocorrendo o pagamento do primeiro juro no final do primeiro mês depois da data do investimento. Agora, os juros mensais gerados $200 são reinvestidos até completar o prazo de 12 meses do investimento, supondo que se conseguiu investir mensalmente $200 com a mesma taxa de juros de 2% ao mês. 
Na tabela abaixo, as duas últimas colunas mostram o efeito de investir os juros mensais até completar o prazo do investimento.
	Mês
	Juro mensal
	Sem reinvestir os juros
	Reinvestindo os juros
	
	
	Juros acumulados
	Montante
	Juros acumulados
	Montante
	1
	$200,00
	$200,00
	$10.200,00
	$200,00
	$10.200,00
	2
	$200,00
	$400,00
	$10.400,00
	$404,00
	$1.404,00
	3
	$200,00
	$600,00
	$10.600,00
	$621,08
	$10.621,08
	4
	$200,00
	$800,00
	$10.800,00
	$824,32
	$10.824,32
	5
	$200,00
	$1.000,00
	$11.000,00
	$1.040,81
	$11.040,81
	6
	$200,00
	$1.200,00
	$11.200,00
	$1.261,62
	$11.261,62
	7
	$200,00
	$1.400,00
	$11.400,00
	$1.486,86
	$11.486,86
	8
	$200,00
	$1.600,00
	$11.600,00
	$1.716,59
	$11.716,59
	9
	$200,00
	$1.800,00
	$11.800,00
	$1.950,93
	$11.950,93
	10
	$200,00
	$2.000,00
	$12.000,00
	$2.189,94
	$12.189,94
	11
	$200,00
	$2.200,00
	$12.200,00
	$2.433,74
	$12.433,74
	12
	$200,00
	$2.400,00
	$12.400,00
	$2.682,42
	$12.682,42
Para cada mês, a quinta coluna da tabela registra o valor dos juros mensais acumulados nessa data, e a última coluna registra o montante (futuro) considerando que a operação terminasse nessa data. Ao completar os 12 meses do investimento de $10.000, verifica-se que o montante reinvestindo os juros mensais, $12.682,42, é maior que o montante correspondente sem investir os juros, $12.400.
Vamos a um exemplo? 
Foram investidos $10.000 durante três meses com a taxa de juro de 2% ao mês e pagamento mensal de juros. Calcule o valor resgatado, considerando o regime de juros compostos.
Solução:
Na data zero, foi investido $10.000 com a taxa de juro de 2% ao mês e pagamento mensal dos juros. No final do primeiro mês, é recebido o juro J1 = $200 que, na mesma data, é investido junto com o capital inicial, totalizando $10.200 pelo prazo de um mês à taxa mensal de juro de 2%. No final do segundo mês, é recebido o juro J2 = $200 do investimento inicial de $10.000 mais o juro $200 do primeiro mês remunerado com a taxa mensal de juro de 2%, que resulta no valor $204, totalizando $10.404. Os montantes M1 e M2 no final do primeiro e do segundo mês são:
120,00%
Período de Capitalização
6
Taxa Efetiva Anual
198,60%
Taxa Nominal
(
)
404
.
10
$
02
,
0
1
200
.
10
$
2
=
+
´
=
M
No final do terceiro mês, são recebidos osJ3 = $200 do investimento inicial de 10.000 mais os juros $404 acumulados até o final do segundo mês remunerados com a taxa de juro de 2%, o que resulta no valor $412,08. No final do terceiro mês, temos:
(
)
08
,
612
.
10
$
02
,
0
1
404
.
10
$
3
=
+
´
=
M
O procedimento mostra que os dois primeiros juros mensais foram reinvestidos, ou capitalizados, e o terceiro juro mensal foi capitalizado no final, ao completar o prazo do investimento de três meses.
Neste momento, talvez seja necessário um retorno à unidade 1 para relembrar os conceitos de N, M e C. 
É fácil verificar, através de operações simples, que:
Para 
1
=
n
 e sendo 
(
)
n
i
C
M
´
+
=
1
, 
(
)
i
C
M
+
=
1
1
1
.
Para 
2
=
n
, 
(
)
i
C
M
+
´
=
1
2
2
. Então, 
(
)
(
)
(
)
i
i
C
i
M
M
+
´
+
=
+
´
=
1
1
1
1
1
2
.
Então, para calcularmos o montante no regime de capitalização composta, utilizamos a fórmula: 
(
)
n
n
i
C
M
+
=
1
Como o juro é dado por montante menos o capital, 
C
M
J
-
=
, o juro pode ser calculado por: 
(
)
[
]
1
1
-
+
=
n
i
C
J
Observe outros exemplos para compreender o assunto!
Exemplo 1:
Voltando ao exemplo acima, foram investidos $10.000 durante três meses com a taxa de juro de 2% ao mês e pagamento mensal de juros. 
a) calcule o valor resgatado (utilizando a fórmula), considerando o regime de juros compostos. 
b) calcule os juros pagos. 
Solução:
a) Sendo 
(
)
n
n
i
C
M
+
=
1
, temos: 
(
)
(
)
(
)
08
,
612
.
10
$
061208
,
1
000
.
10
02
,
1
000
.
10
02
,
0
1
000
.
10
3
3
3
=
=
=
+
=
M
b) sendo 
(
)
[
]
1
1
-
+
=
n
i
C
J
, temos; 
(
)
[
]
(
)
08
,
612
$
1
061208
.
1
000
.
10
1
02
,
0
1
000
.
10
3
R
J
=
-
=
-
+
=
. Que também poderíamos utilizar 
C
M
J
-
=
, ficando 
08
,
612
000
.
10
08
,
621
.
10
=
-
=
J
.
Exemplo 2:
Qual o montante de R$800.000,00 a 240% a. a. em 3 anos?
Solução: 
(
)
(
)
(
)
00
,
200
.
443
.
31
$
304
,
39
000
.
800
4
,
3
000
.
800
4
,
2
1
000
.
800
3
3
R
M
=
=
=
+
=
Exemplo 3: Qual o montante de R$3.000,00 a 6 anos e 3 meses, com juros 5% a. a.?
Solução: 
(
)
63
,
069
.
4
$
05
,
0
1
000
.
3
25
,
6
R
M
=
+
=
Exemplo 4: Se R$1.000,00 são investidos por 8 anos e meio a 7% a. a. compostos trimestralmente. Qual é o montante? Nesse caso, 
00
,
000
.
1
=
C
; 
0175
,
0
=
i
 (7% ÷ 4) e 
34
=
n
meses.
Solução: 
(
)
72
,
803
.
1
$
0175
,
0
1
000
.
1
34
R
M
=
+
=
Exemplo 5: Qual o montante de R$500.000,00 em 3 anos, com juros 240% a. a. compostos trimestralmente?
Solução: 
(
)
36
,
488
.
737
.
140
$
60
,
0
1
000
.
500
12
R
M
=
+
=
Vamos agora aprender a utilizar o Microsoft Office Excel, ferramenta que o auxiliará na resolução dos problemas.
3.2. Utilizando o Microsoft Office Excel na resolução dos problemas
O Microsoft Office Excel possui uma categoria de funções Financeira, disponíveis para a Matemática Financeira, auxiliando na resolução de problemas, envolvendo os conceitos utilizados no mercado financeiro. Para utilizar essas funções, você deve abrir a planilha do Microsoft Office Excel e selecionar com o cursor do mouse a opção Inserir Função no menu de comandos, ou utilizar o assistente de função 
fx
. 
Caso o seu computador não apresente todas as funções a serem utilizadas, selecione com o cursor mouse a opção Ferramentas, e depois Suplementos, e ative a opção Ferramentas de análise. Em seguida, selecione OK.
Para a capitalização simples (juros simples e montante simples), o Microsoft Office Excel não possui funções construídas disponíveis para a utilização.
O que acha de resolvermos os exemplos apresentados anteriormente utilizando o Microsoft Office Excel? 
Vamos lá, assim será mais fácil compreender sua utilização!
Resolvendo o Exemplo 1: Foram investidos $10.000 durante três meses com a taxa de juro de 2% ao mês e pagamento mensal de juros. Calcule o valor resgatado, considerando o regime de juros compostos.
Para resolver os problemas envolvendo o regime de capitalização composta, serão utilizadas as funções:
	VP – para o cálculo do valor presente
	retorna o valor presente de um investimento: quantia total atual (capital) de uma série de pagamentos futuros.
	VF – para o cálculo do valor futuro
	retorna o valor futuro de um investimento (montante) com base em pagamentos constantes e periódicos e uma taxa de juros constantes.
	TAXA – para o cálculo da taxa de juros compostos
	retorna a taxa de juros por período de um empréstimo ou investimento.
	NPER – para o cálculo do prazo da operação financeira
	retorna o número de períodos de um investimento com base em pagamentos constantes periódicos e uma taxa de juros constante.
Solução:
Digite os dados na planilha do Microsoft Office Excel, como mostrado abaixo. 
Exemplo 1:
	Foram investidos $10.000 durante três meses com a taxa de juro de 2% ao mês e pagamento mensal de juros. Calcule o valor resgatado, considerando o regime de juros compostos.
	Capital
	R$ 10.000,00
	 
	Taxa
	2,00%
	a. mês
	Prazo
	3
	meses
	Montante
	
	 
Posicione o cursor para a célula que vai receber o resultado, digite o sinal de igual (=) e selecione com o mouse o assistente de função 
fx
.
Na janela Inserir Função, selecione VF em Selecione uma função: Neste momento vai aparecer a tela abaixo, em branco, para você preencher os valores do enunciado do problema. Nesse caso, os Argumentos da função deverão ser preenchidos como no exemplo a seguir. Depois, marque a opção OK.
Vale ressaltar que o capital e o montante (ou VP, VF ou PGTO, não ao mesmo tempo) deverão estar com sinais opostos para indicar que um deles é a entrada e o outro é a saída de Caixa. O Microsoft Office Excel efetua os cálculos conforme o Fluxo de Caixa. As unidades de medida de tempo da taxa de juros e do prazo deverão ser iguais. Uma opção melhor, e que deve ser seguida em todos os exercícios é preencher os Argumentos da função com os valores matriciais correspondentes das células. Dessa forma, nesse exemplo, a Taxa assume o valor F69 (coluna F e linha 69); Nper com F70 (coluna F e linha 70) e Vp com –F68 (coluna F e linha 68). Observe que, do lado direito da janela, após o igual, aparecem os valores numéricos correspondentes a cada célula.
Na solução do exemplo 1, irá aparecer o resultado de R$10.612,08, como é mostrado na figura abaixo.
	Capital
	R$ 10.000,00
	 
	Taxa
	2,00%
	a. mês
	Prazo
	3
	meses
	Montante
	R$ 10.616,78 
	 
Resolvendo o Exemplo 2: Qual o montante de R$800.000,00 a 240% a. a. em 3 anos?
Solução:
Digite os dados na planilha do Microsoft Office Excel, como mostrado abaixo. 
Exemplo 2:
	Qual o montante de R$800.000,00 a 240% a. a. em 3 anos?
	
	Capital
	R$ 800.000,00
	 
	Taxa
	240,00%
	a. a.
	Prazo
	3
	anos
	Montante
	
	 
Posicione o cursor para a célula que vai receber o resultado, digite o sinal de igual (=) e selecione com o mouse o assistente de função 
fx
, como resolvido no exemplo acima.
Nesse caso, os Argumentos da função deverão ser preenchidos como no exemplo a seguir.
Na solução do exemplo 2, irá aparecer o resultado de R$31.443.200,00, como é mostrado na planilha abaixo.
	Capital
	R$ 800.000,00
	 
	Taxa
	240,00%
	a. a.
	Prazo
	3
	anos
	Montante
	R$ 31.443.200,00 
	 
Resolvendo o Exemplo 3: Qual o montante de R$3.000,00 a 6 anos e 3 meses, com juros 5% a. a.?
Solução:
Digite os dados na planilha do Microsoft Office Excel, como mostrado abaixo. 
Exemplo 3:
	Qual o montante de R$3.000,00 a 6 anos e 3 meses, com juros 5% a. a.?
	Capital
	R$ 3.000,00
	 
	Taxa
	5,00%
	a. a.
	Prazo
	6,25
	anos
	Montante
	R$ 4.069,62 
	 
Resolvendo o Exemplo 4: Se R$1.000,00 são investidos por 8 anos e meio a 7% a. a. compostos trimestralmente, qual é o montante?
Solução:
Digite os dados na planilha do Microsoft Office Excel, como mostrado abaixo. 
Exemplo 4:Neste exemplo, lembre-se das conversões necessárias para a taxa e o prazo.
Temos:
00
,
000
.
1
=
C
0175
,
0
=
i
 
(
)
4
%
7
¸
 
34
=
n
meses.
	Se R$1.000,00 são investidos por 8 anos e meio a 7% a. a. compostos trimestralmente, qual é o montante?
	Capital
	R$ 1.000,00
	 
	Taxa
	1,75%
	a. t.
	Prazo
	34
	trimestres
	Montante
	R$ 1.810,68 
	 
Resolvendo o Exemplo 5: Qual o montante de R$500.000,00 em 3 anos, com juros 240% a. a. compostos trimestralmente?
Solução:
Digite os dados na planilha do Microsoft Office Excel, como mostrado abaixo. 
Exemplo 5:
	Qual o montante de R$500.000,00 em 3 anos, com juros 240% a. a. compostos trimestralmente?
	Capital
	R$ 500.000,00
	 
	Taxa
	60%
	a.t
	Prazo
	12
	trimestres
	Montante
	R$ 140.737.488,36 
	 
Exemplo 6:
De uma aplicação de $10.000 foram resgatados $10.689,12. Calcule o prazo dessa aplicação sabendo que foi realizada com a taxa de juro de 1,68% ao mês no regime de juros composto.
	Capital
	R$ 10.000,00
	 
	Montante
	R$ 10.689,12
	 
	Taxa
	1,68%
	a. m.
	Prazo
	4,00
	meses
Resposta: Faça o exemplo utilizando a planilha do Microsoft Office Excel e aperte o botão do mouse no assistente de função 
fx
 sobre a célula da resposta final que você encontrará a equação utilizada nos cálculos. 
Você deve preencher os Argumentos da função como mostrado no exemplo a seguir.
Veja na aba superior da planilha o assistente 
fx
 apontando o valor de NPER (Número de Períodos): =NPER(0,0168;;10000;-10689,12).
Nos exemplos no regime de juros compostos, a geração de juros durante o prazo da operação foi realizada com taxa de juros constante. 
Vamos ver agora o mesmo tema, porém com taxa variável de juro, mantendo as premissas de ambiente de certeza e ausência de oportunidades de arbitragem. É um procedimento mais abrangente que inclui o da taxa de juro constante.
Exemplo 7:
Foram investidos R$10.000,00 num fundo de investimento durante três meses com as taxas de rentabilidade mensais de 2%, 2,4% e 1,8%. Calcule a taxa total de rentabilidade no prazo do investimento, considerando o regime de juros compostos.
Solução:
Nesse caso, juros compostos com a taxa variável de juro, utilizaremos a fórmula:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
n
j
i
i
i
i
i
C
M
+
´
×
×
×
´
+
´
×
×
×
´
+
´
+
´
+
´
=
1
1
1
1
1
3
2
1
.
Essa equivalência pode ser representada com o símbolo produtório, substituindo o produto dos 
n
 fatores:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
n
j
n
j
j
i
i
i
i
i
+
´
×
×
×
´
+
´
×
×
×
´
+
´
+
=
+
Õ
=
1
1
1
1
1
2
1
1
 
(
)
Õ
=
+
´
=
Þ
n
j
j
i
C
M
1
1
.
Então, o valor do resgate será:
(
)
(
)
(
)
81
,
632
.
10
$
018
,
0
1
024
,
0
1
02
,
0
1
000
.
10
R
M
=
+
´
+
´
+
´
=
.
Note que as premissas contidas numa operação financeira no regime de juros compostos com 
n
 taxas variáveis de juro e conseqüentes 
n
 gerações de juros são:
· As taxas de juros entre si e seus respectivos períodos também podem ser diferentes, com a condição de que os períodos das taxas de juros sejam iguais aos respectivos prazos de geração dos juros.
· O capital cresce somente pela geração de juros. Durante o prazo da operação, não há nenhuma entrada nem saída de capital, havendo somente geração de juros que são capitalizados no momento de sua geração.
Exemplo 8:
Calcule o resgate do investimento de R$70.000,00 pelo prazo de quatro meses com taxas de juros mensais de 1,25%, 1,80%, 0,78% e 2,15% no regime de juros compostos.
Solução:
(
)
(
)
(
)
(
)
Þ
+
´
+
´
+
´
+
´
=
4
3
2
1
1
1
1
1
i
i
i
i
C
M
EMBED Equation.3(
)
(
)
(
)
(
)
Þ
+
´
+
´
+
´
+
´
=
Þ
0215
,
0
1
0078
,
0
1
018
,
0
1
0125
,
0
1
000
.
70
M
EMBED Equation.387
,
276
.
74
=
M
Os exemplos 7 e 8 não são resolvidos através da planilha do Microsoft Office Excel.
Até aqui você estudou alguns conceitos fundamentais e aplicáveis à matemática financeira e conheceu métodos para o cálculo dos juros e do montante compostos, utilizando as funções financeiras do Microsoft Office Excel. 
Nas unidades seguintes, aprenderá um pouco mais sobre essa disciplina fascinante, mas não prossiga seus estudos caso alguma dúvida permaneça. 
Entre em contato com seu tutor. Ele aguarda você!
4. Taxa Nominal
9,00%
Período de Capitalização
2
Taxa Efetiva Anual
9,20%
Teoria na Prática 
Agora que você já conheceu um pouco mais sobre juros compostos, estude o exercício resolvido abaixo. Ele foi desenvolvido utilizando a planilha do Microsoft Office Excel.
Exemplo 1:
Se desejo obter R$10.000,00 em um ano, qual a quantia inicial que preciso depositar, com rentabilidade de 0,5% ao mês?
	Montante
	R$ 10.000,00
	 
	Taxa
	0,50%
	a. m.
	Prazo
	12
	meses
	Capital
	R$ 9.419,05 
	 
Resposta: Faça o exemplo utilizando a planilha do Microsoft Office Excel e aperte o botão do mouse no assistente de função 
fx
 sobre a célula da resposta final que você encontrará a equação utilizada nos cálculos. 
Você deve preencher os Argumentos da função, como mostrado abaixo.
Veja na aba superior da planilha o assistente 
fx
 apontando o valor de VP (Valor Presente): =VP(0,005;12;;-10000).
5. Período de Capitalização
4
Taxa Efetiva Anual
36,05%
Taxa Nominal
32,00%
Recapitulando 
Esta unidade apresentou conhecimentos sobre juros compostos.
No juro composto, você pôde observar que um montante qualquer, em um período específico, aplicado à taxa de juros determinada, compostos ao dia, ao mês, trimestralmente, ou em outro período, rende mais que um capital aplicado a juros simples, no mesmo período.
Além disso, você vivenciou problemas do dia-a-dia, analisando a sua prática, situando-se no processo de ensino-aprendizagem na busca do conhecimento específico. 
Teve, ainda, a oportunidade de conhecer os métodos para cálculo dos juros compostos, e de utilizar novas funções financeiras do Microsoft Office Excel, como:
· VP – para o cálculo do valor presente;
· VF – para o cálculo do valor futuro;
· TAXA – para o cálculo da taxa de juros compostos;
· NPER – para o cálculo do prazo da operação financeira.
6. anos
Capital
1.750,64
 
 
Montante
5.000,00
 
 
Taxa Nominal Mensal
2,50%
Prazo
4
Amplie seus Conhecimentos
Para ampliar os seus conhecimentos, leia o capítulo 2: “Capitalização Composta”, no livro Matemática Comercial e Financeira, do autor José Dutra Vieira Sobrinho e descubra mais sobre o tema.
Você sabia que o Regime de Capitalização Simples é regido por uma Função Linear e que o regime de Capitalização Composta é regido por uma Função Exponencial quando representados graficamente?
No material disponibilizado na Web, você poderá visualizar o gráfico para melhorar o entendimento.
Você observará no gráfico que o Regime de Capitalização Simples é mais vantajoso quando consideramos prazos menores do que um período.
7. ano
meses
Capital
1.500,00
 
 
Montante
R$ 3.247,12
Taxa de Juros
24,00%
Prazo
39
Referências
ASSAF, N. Matemática Financeira. 4. ed. São Paulo: Atlas, 1998.
CRESPO, A.A. Matemática Comercial e Financeira Fácil. 12. ed. São Paulo: Saraiva, 1997.
HAZZANI, S. Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2001.
KUHNEN, O.L.; BAUER, U.R. Matemática Financeira Aplicada e Análise de Investimentos. São Paulo: Atlas, 1994. 
MATHIAS, W.F. Matemática Financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1996.
PUCCINI, A.L. Matemática financeira Objetiva e Aplicada. São Paulo: Saraiva, 1999.
VERAS, L.L. Matemática Aplicada à Economia. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1996.
VIEIRA SOBRINHO, J.D. Matemática Comercial e Financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas, 1997. 
Unidade 3: Taxa de Juros
trimestre
trimestre
Principal
28.000,00
 
 
Taxa de Juros
9,00%
Prazo
8
Montante
R$ 55.791,75
1. Nosso Tema
Constantemente, deparamos-nos com diversos conceitosde taxas de juros utilizados pelo mercado financeiro e pelo comércio de forma geral e é muito importante o entendimento destes para facilitar o fechamento de negócios e, também, para se conhecer a real situação do que está sendo proposto.
Um exemplo prático dessa situação é quando decidimos aplicar determinada quantia em dinheiro na caderneta de poupança. A taxa de juros apresentada pela instituição financeira, normalmente é anual, porém, sabemos que a capitalização (atualização) é mensal; Então, como fazer para saber qual o ganho efetivo ao final de determinado período de tempo? Qual procedimento deve ser adotado para realização desse cálculo? Como diferenciar os diversos tipos de taxas? O procedimento utilizado para o cálculo das taxas se difere quando alteramos o regime de capitalização (simples ou composto)?
São essas perguntas a que procuraremos responder no decorrer da unidade. Ressaltamos que, apesar do mercado financeiro brasileiro utilizar diversos tipos de taxas, serão enfatizadas as taxas nominais, efetivas, proporcionais e equivalentes.
bimestre
bimestre
Prazo
8
Valor da Aplicação
R$ 856,31
Valor do Eletrodoméstico
1.200,00
 
 
Taxa de Juros
4,31%
2. Nosso Tema
Esta unidade tem como objetivo prepará-lo para compreender, de forma mais clara, conceitos importantes relacionados às taxas de juros utilizadas pelo mercado financeiro. 
Para que você possa se preparar para essa nova etapa, sugerimos-lhe que reflita sobre as questões mencionadas no item anterior (Nosso Tema), para que, ao final do estudo desta unidade, você seja capaz de formar seus próprios conceitos diante dos temas aqui trabalhados.
No tópico seguinte, serão apresentadas algumas informações que irão auxiliá-lo nessas e outras questões que, porventura, surjam durante a leitura da unidade. 
3. Conversão de Taxa
2,50%
PeríodoJurosAmortizaçãoPagamentoSaldo Devedor
0 50.000,00 
1
2
3
4
5
Total
Resposta
PrincipalTaxa de Juros
Planilha Financeira - Sistema Americano de Amortização - SAA
R$ 50.000,00
Conteúdo Didático 
3.1. Taxa de juros efetiva e nominal
As taxas efetivas são os custos ou as remunerações efetivas em uma operação financeira que toma como base o capital que foi recebido ou desembolsado na data da contratação dos recursos. 
A maioria das operações financeiras existentes no mercado e no comércio utiliza esse conceito na apuração dos juros.
Uma taxa de juros é dita efetiva quando o período de capitalização coincidir com o período da taxa de juros. Assim, uma taxa de juros de 12% ao ano, com capitalização anual, ou uma taxa de juros de 1,4% ao mês, com capitalização mensal, são ditas efetivas. 
Conversão de Taxa
2,50%
PeríodoJurosAmortizaçãoPagamentoSaldo Devedor
01.250,00 50.000,00 
1
2
3
4
5
Total
Resposta
PrincipalTaxa de Juros
Planilha Financeira - Sistema Americano de Amortização - SAA
R$ 50.000,00
O termo capitalização indica a periodicidade dos juros, portanto, para uma capitalização anual, os juros serão apurados anualmente e, para uma capitalização mensal os juros serão apurados mensalmente.
Veja o exemplo: Um cliente realizou uma compra no valor de R$ 850,00 se comprometendo a pagar, no prazo de 45 dias, a importância de R$ 895,00. Qual a taxa efetiva mensal de juros compostos está sendo cobrada no financiamento?
O valor de 3,50% de taxa efetiva foi calculado utilizando a função TAXA através do assistente 
fx
.
Vale ressaltar que o capital e o montante (ou VP, VF ou PGTO, não ao mesmo tempo) deverão estar com sinais opostos para indicar que um deles é entrada e o outro é saída de Caixa. O Microsoft Office Excel efetua os cálculos conforme o Fluxo de Caixa.
Veja a resolução do problema utilizando o Excel.
3.1.1. Transformação de unidades entre taxas efetivas
Para transformar uma taxa efetiva de juros compostos de uma unidade para outra, utiliza-se a seguinte expressão matemática:
100
1
100
 
.
1
´
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
T
Q
Efetiva
T
TEQ
Onde:
Conversão de Taxa
2,50%
PeríodoJurosAmortizaçãoPagamentoSaldo Devedor
0 50.000,00 
11.250,00 1.250,00 
2
3
4
5
Total
Resposta
PrincipalTaxa de Juros
Planilha Financeira - Sistema Americano de Amortização - SAA
R$ 50.000,00
Conversão de Taxa
2,50%
PeríodoJurosAmortizaçãoPagamentoSaldo Devedor
0 50.000,00 
11.250,00 1.250,00 50.000,00 
21.250,00 1.250,00 50.000,00 
31.250,00 1.250,00 50.000,00 
41.250,00 1.250,00 50.000,00 
51.250,00 50.000,00 51.250,00 
Total6.250,00 50.000,00 56.250,00 
Resposta
PrincipalTaxa de Juros
Planilha Financeira - Sistema Americano de Amortização - SAA
R$ 50.000,00
 Conversão de Taxa
2,20% a. m.29,84% a. a. 
PeríodoJurosAmortizaçãoPagamentoSaldo Devedor
0 85.000,00 
11.870,00 1.870,00 85.000,00 
21.870,00 1.870,00 85.000,00 
31.870,00 1.870,00 85.000,00 
41.870,00 1.870,00 85.000,00 
51.870,00 1.870,00 85.000,00 
61.870,00 1.870,00 85.000,00 
71.870,00 1.870,00 85.000,00 
81.870,00 1.870,00 85.000,00 
91.870,00 1.870,00 85.000,00 
101.870,00 85.000,00 86.870,00 
Total18.700,00 85.000,00 103.700,00 
Resposta
PrincipalTaxa de Juros
Planilha Financeira - Sistema Americano de Amortização - SAA
R$ 85.000,00
Conversão de Taxa
1,50% a. m.29,84% a. a. 
PeríodoJurosAmortizaçãoPagamentoSaldo Devedor
0 R$ 100.000,00
11.500,00 1.500,00 100.000,00 
21.500,00 1.500,00 100.000,00 
31.500,00 1.500,00 100.000,00 
41.500,00 1.500,00 100.000,00 
51.500,00 1.500,00 100.000,00 
61.500,00 1.500,00 100.000,00 
71.500,00 1.500,00 100.000,00 
81.500,00 1.500,00 100.000,00 
91.500,00 1.500,00 100.000,00 
101.500,00 1.500,00 100.000,00 
111.500,00 1.500,00 100.000,00 
121.500,00 100.000,00 101.500,00 
Total18.000,00 100.000,00 118.000,00 
Resposta
PrincipalTaxa de Juros
Planilha Financeira - Sistema Americano de Amortização - SAA
R$ 100.000,00
Conversão de Taxa
2,00%
PeríodoJurosAmortizaçãoPagamentoSaldo Devedor
0 12.000,00 
1R$ 240,00R$ 2.000,00R$ 2.240,0010.000,00 
2R$ 200,00R$ 2.000,00R$ 2.200,008.000,00 
3R$ 160,00R$ 2.000,00R$ 2.160,006.000,00 
4R$ 120,00R$ 2.000,00R$ 2.120,004.000,005R$ 80,00R$ 2.000,00R$ 2.080,002.000,00 
6R$ 40,00R$ 2.000,00R$ 2.040,00- 
TotalR$ 840,00R$ 12.000,0012.840,00 
Resposta
PrincipalTaxa de Juros
Planilha Financeira Sistema de Amortizações Constantes - SAC
12.000,00 
Conversão de Taxa
5,02%a. m.80% a. a. 
PeríodoJurosAmortizaçãoPagamentoSaldo Devedor
0 15.000,00 
1R$ 753,03R$ 3.000,00R$ 3.753,0312.000,00 
2R$ 602,42R$ 3.000,00R$ 3.602,429.000,00 
3R$ 451,82R$ 3.000,00R$ 3.451,826.000,00 
4R$ 301,21R$ 3.000,00R$ 3.301,213.000,00 
5R$ 150,61R$ 3.000,00R$ 3.150,61- 
TotalR$ 2.259,08R$ 15.000,0017.259,08 
Resposta
PrincipalTaxa de Juros
Planilha Financeira Sistema de Amortizações Constantes - SAC
15.000,00 
Conversão de Taxa
16,00%a. s.
PeríodoJurosAmortizaçãoPagamentoSaldo Devedor
0 50.000,00 
1R$ 8.000,00 58.000,00 
2R$ 9.280,00 67.280,00 
3R$ 10.764,80 78.044,80 
4R$ 12.487,17 90.531,97 
5R$ 14.485,11R$ 15.088,66R$ 29.573,7875.443,31 
6R$ 12.070,93R$ 15.088,66R$ 27.159,5960.354,65 
7R$ 9.656,74R$ 15.088,66R$ 24.745,4045.265,98 
8R$ 7.242,56R$ 15.088,66R$ 22.331,2230.177,32 
9R$ 4.828,37R$ 15.088,66R$ 19.917,0315.088,66 
10R$ 2.414,19R$ 15.088,66R$ 17.502,85- 
TotalR$ 50.697,90R$ 90.531,97141.229,87 
Resposta
PrincipalTaxa de Juros
Planilha Financeira Sistema de Amortizações Constantes - SAC
50.000,00 
Essa expressão é utilizada para transformar taxas, no regime de capitalização composto, que não estejam na mesma unidade de tempo; essas taxas recebem o nome de: taxas equivalentes.
Por exemplo: a taxa de 42% a.a. é equivalente à taxa de 2,97% a.m.
100
1
100
42
1
360
30
´
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
TEQ
Já 18% a.s. é equivalente à taxa de 2,8% a.m. 0,04% ao dia é equivalente a 1,21% ao mês.
Quando necessitamos transformar taxas para a mesma unidade de tempo, utilizando o regime de capitalização simples, fazemo-lo a partir de uma regra de três, uma vez que tal grandeza é proporcional.
3.1.2. Taxas Nominais
Taxa nominal ou taxa aparente é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização, ou seja, a taxa é expressa em períodos diferentes do período de capitalização. Esse conceito também é muito utilizado no mercado financeiro. Por exemplo: 6,0% a.a. com capitalização mensal e 2,3% a.m. com capitalização diária.
3.1.3. Equivalências de taxas
Duas, ou mais, taxas compostas são ditas equivalentes, quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo intervalo de tempo e produzirem o mesmo montante. Assim, as taxas de 1,5% ao mês e 4,5678375% ao trimestre são ditas equivalentes, pois produzem o mesmo montante, quando aplicadas sobre o mesmo capital, pelo mesmo período de tempo. 
Quando essas taxas de juros são taxas anuais (conduzem ao mesmo montante composto no fim de um ano) as suas equivalências se fazem através das taxas de juros nominais e efetivas. Por exemplo: 
No fim de um ano, o montante composto de R$100,00 a 4%, composto trimestralmente é 
(
)
06
,
104
$
01
,
0
1
100
4
R
=
+
. Já a 4,06%, composto anualmente é 
(
)
06
,
104
$
0406
,
1
100
R
=
.
Dessa forma, 4% composto trimestralmente e 4,06% composto anualmente são taxas equivalentes. Quando o juro é composto mais freqüentemente que uma vez por ano, a taxa anual dada chama-se taxa anual nominal ou taxa nominal (
n
i
). A taxa de juro realmente obtida em um ano denomina-se taxa anual efetiva ou taxa efetiva (
i
). No exemplo acima, 4% é uma taxa nominal ao passo que 4,06% é uma taxa efetiva. 
Esse conceito é utilizado na transformação de taxas nominais de juros em taxas efetivas de juros e vice-versa.
Agora, observe os exemplos.
Exemplo 1: Calcular a taxa efetiva 
i
 equivalente à taxa nominal de 5% compostos mensalmente.
Solução: 
Em um ano, a taxa efetiva 
i
 será 
i
+
1
 e a 5% compostos mensalmente será 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
12
12
05
,
0
1
Como queremos a sua equivalência, temos: 
i
+
1
 = 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
12
12
05
,
0
1
Sendo assim, 
%
116
,
5
05116190
,
0
1
05116190
,
1
1
12
05
,
0
1
12
=
=
-
=
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
i
.
Exemplo 2: Calcular a taxa nominal 
n
i
 composta trimestralmente equivalente a 5% efetivos.
Solução: 
Em um ano, a taxa nominal 
n
i
 composta trimestralmente será 
4
4
1
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
n
i
 e a 5% efetivos 
05
,
1
.
 Igualando, temos: 
4
4
1
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
n
i
 = 
05
,
1
.
Sendo assim, 
(
)
(
)
%
909
,
4
049088
,
0
1
05
,
1
4
 
 
05
,
1
4
1
4
1
4
1
=
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-
=
Þ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
n
n
i
i
.
Exemplo 3: O empréstimo de R$1.000,00 foi acertado por um prazo de 100 dias com taxa de juro de 20% aos 100 dias. Calcule a taxa efetiva de juro, considerando que o pagamento do juro é realizado no final da operação junto com a devolução do empréstimo.
Solução: 
Verifique que o tomador do empréstimo receberá R$1.000,00, e, ao completar o prazo de 100 dias, devolverá o capital recebido R$1.000,00 mais o juro de R$200,00, calculado com a taxa nominal de 
%
20
=
n
i
 aos 100 dias, totalizando R$1.200,00. A taxa efetiva de juro 
i
 pode ser calculada considerando o resultado dos capitais 
C
M
 (montante e capital) da operação se com a taxa efetiva 
da operação: 
20
,
0
1
100
1200
 
 
1
=
-
=
Þ
=
+
i
C
M
i
. 
O resultado mostra que a taxa nominal 
n
i
 coincide com a taxa efetiva 
i
, pois o pagamento do juro ocorre junto com a devolução do empréstimo no final da operação.
Conversão de Taxa
8,00%
PeríodoJurosAmortizaçãoPagamentoSaldo Devedor
0 60.000,00 
14.800,00 4.800,00 60.000,00 
24.800,00 4.800,00 60.000,00 
34.800,00 R$ 5.640,89R$ 10.440,8954.359,11 
44.348,73 R$ 6.092,16R$ 10.440,8948.266,96 
53.861,36 R$ 6.579,53R$ 10.440,8941.687,43 
63.334,99 R$ 7.105,89R$ 10.440,8934.581,54 
72.766,52 R$ 7.674,36R$ 10.440,8926.907,17 
82.152,57 R$ 8.288,31R$ 10.440,8918.618,86 
91.489,51 R$ 8.951,38R$ 10.440,899.667,49 
10773,40 R$ 9.667,49R$ 10.440,890,00 
Total33.127,09 R$ 60.000,0093.127,09 
Resposta
PrincipalTaxa de Juros
Planilha Financeira Sistema de Amortização Francês - SAF
60.000,00 
Até aqui tudo bem? Lembre-se de que, em caso de dúvidas, estou à disposição. Não deixe de esclarecê-las antes de prosseguir. 
Exemplo 4: A rentabilidade real da caderneta de poupança é 6% ao ano com capitalização mensal (o prazo mensal é determinado pela data de aniversário entre dois meses seguidos descartando os dias 29, 30 e 31 de cada mês). Calcule: a taxa real com período anual.
Solução: 
Como a capitalização da taxa real de 6% ao ano é mensal, primeiro calculamos a taxa de juro proporcional 0,5% ao mês, resultado da divisão da taxa anual, 6%, por 12 meses, ou seja, um ano. A taxa proporcional 0,5% ao mês é a taxa efetiva de juro com período mensal.
(
)
06167
,
0
1
005
,
0
1
1
12
06
,
0
1
12
12
=
-
+
=
-
÷
ø
ö
çè
æ
+
=
i
. Então, a taxa efetiva anual é 
%
17
,
6
.
Nesse exemplo, verifica-se que a taxa 0,50% é a taxa proporcional com período mensal da taxa nominal de 6% ao ano e, ao mesmo tempo, a taxa de 0,50% ao mês é uma taxa efetiva mensal. Portanto, a taxa efetiva de 6,17% ao ano é equivalente à taxa efetiva de 0,50% ao mês no regime de juros compostos. Dessa maneira, a taxa nominal de 6% ao ano com capitalizações mensais é equivalente à taxa efetiva de 6,17% ao ano.
Veja outros exemplos de transformação de taxas nominais de juros em taxas efetivas de juros e vice-versa, utilizando o Microsoft Office Excel .
Exemplo 5: A que taxa nominal mensal de juros compostos deve ser colocado o capital de R$1.750,64 para obtermos o montante de R$ 5.000,00, em quatro anos, capitalizados anualmente?
Neste exercício foi utilizada a função TAXA. 
A sintaxe é: =TAXA(4;;-1.750,64;5.000)/12. Ou seja: Número de períodos, valor presente (negativo) e valor futuro. Tudo dividido por 12, pois queremos a taxa nominal mensal.
Exemplo 6: Calcular o montante produzido pelo capital de R$ 1.500,00, colocado a juros compostos de 24% ao ano, com capitalização mensal, durante três anos e três meses. 
Neste exercício foi utilizada a função VF (Valor Futuro). 
A sintaxe é: =VF(24%/12;39;;-1500). Ou seja: 24% dividido por 12 (capitalização mensal), número de períodos, valor presente (negativo).
Exemplo 7: Determine o montante acumulado no final de dois anos, ao se aplicar um principal de R$ 28.000,00 com uma taxa de juros compostos de 36% ao ano, com capitalização trimestral.
(
)
200
.
10
$
02
,
0
1
000
.
10
$
1
=
+
´
=
M
Neste exercício foi utilizada também a função VF. 
A sintaxe é: =VF(36%/4;8;;-28000). Ou seja: 36% dividido por 4 (capitalização trimestral), número de períodos, valor presente (negativo).
Exemplo 8:. Um cliente pretende comprar um eletrodoméstico daqui a oito bimestres, cujo valor deverá situar-se em torno de R$ 1.200,00. Para dispor dessa importância na época desejada, quanto deverá aplicar hoje, à taxa de juros de 25,85% ao ano, com capitalização bimestral?
Neste exercício foi utilizada a função VP (Valor Presente). 
A sintaxe é: =VP(4,31%/6;8;;-1200). Ou seja: 4,31 = =25,85% divididos por 6 (capitalização bimestral), número de períodos, valor futuro (negativo).
3.2. Transformando uma taxa efetiva em taxa nominal, ou vice-versa, utilizando o Microsoft Office Excel 
Para transformar uma taxa efetiva em uma taxa nominal, você pode utilizar a função NOMINAL do Microsoft Office Excel. Para transformar uma taxa nominal em uma taxa efetiva utilize a função EFETIVA Excel. Em resumo:
NOMINAL: retorna a taxa de juros nominal anual.
EFETIVA: retorna a taxa de juros efetiva anual.
Para exemplificar, vamos resolver os exemplos 1 e 2 anteriores, utilizando o Microsoft Office Excel.
Exemplo 1: Calcular a taxa efetiva 
i
 equivalente à taxa nominal de 5% compostos mensalmente.
Solução do exemplo 1:
Digite os dados na planilha do Microsoft Office Excel, conforme mostrado abaixo. 
Calcular a taxa efetiva equivalente à taxa nominal de 5% compostos mensalmente.
a. m.
mesesPeríodos de capitalização 12
Taxa Nominal 5,00%
Taxa Efetiva 5,116%
i
O preenchimento dos dados da janela Argumentos da função com os valores matriciais correspondentes das células fica como mostrado a seguir:
Exemplo 2: Calcular a taxa nominal 
n
i
 composta trimestralmente equivalente a 5% efetivos.
Solução: 
Calcular a taxa nominal composta trimestralmente equivalente a 5% efetivos.
a. m.
Períodos de capitalização 4
Taxa Nominal 4,909%
Taxa Efetiva 5,00%
n
i
Veja outros exemplos de transformações de taxa efetiva em taxa nominal, ou vice-versa, utilizando o Microsoft Office Excel .
Exemplo 1: Uma poupança paga juros de 10 % ao ano, com capitalização mensal. Qual a taxa efetiva anual para essa poupança?
Neste exercício foi utilizada a função EFETIVA. 
A sintaxe é: =EFETIVA (10,00%;12)
Exemplo 2: Qual a taxa efetiva anual corresponde a uma taxa nominal de 120 % ao ano, com capitalização bimestral?
Neste exercício foi utilizada também a função EFETIVA. 
A sintaxe é: =EFETIVA (120,00%;6)
Exemplo 3: Determinar a taxa efetiva anual que seja equivalente a taxa de 9 % ao ano, com capitalização semestral.
Neste exercício ainda foi utilizada a função EFETIVA. 
A sintaxe é: =EFETIVA (9,00%;2). Note, neste caso, que a taxa é anual e a capitalização semestral. Por isso o período de capitalização na planilha Excel foi igual a 2.
Exemplo 4: Um empréstimo é feito a taxa de 32 % ao ano, com capitalização trimestral. Determine o custo efetivo anual para esse empréstimo.
Neste exercício também utilizamos a função EFETIVA. 
A sintaxe é: = EFETIVA (32,00%;4). Veja, neste caso, que a taxa é anual e a capitalização trimestral. O período de capitalização na planilha Excel foi igual a 4.
Vale lembrar que, para transformar uma taxa efetiva em outra taxa efetiva, deve-se utilizar o conceito de transformação de unidades entre taxas efetivas, através da fórmula. Para transformar uma taxa nominal em uma taxa efetiva, ou vice-versa, deve-se utilizar o conceito transformando uma taxa efetiva em taxa nominal, ou o contrário, e esta é feita através do Microsoft Office Excel.
Para que vocês compreendam a importância de se estudar as taxas de juros utilizadas pelo comércio Brasileiro, transcrevemos, na íntegra, o texto retirado do site: http://www.olavodecarvalho.org/convidados/0170.htm , de José Nivaldo Cordeiro, de 03 de junho de 2002, sobre a taxa de juros. Boa Leitura!
“ O site do Professor Ricardo Bergamini (www.angelfire.com/sc3/ricardobergamini) é daqueles imperdíveis para quem estuda a economia brasileira. Ele tem sistematicamente acompanhado a conjuntura econômica e os grandes números dos dois Governos FHC, colocando no site as suas preciosas conclusões. É, claro, um economista crítico com relação ao governo e também não poderia ser diferente: quem enxerga os números sabe que as coisas não andam bem no Brasil.
Um dos pontos de destaque da sua análise é a determinação da taxa de juros do mercado. Para ele, é inútil tentar reduzir a taxa de juros na ponta do tomador privado apenas pela redução da taxa básica. Esta última só interessa para o próprio governo, na medida em que, para cada ponto percentual de redução da mesma, a taxa de mercado sofre contração de apenas 0,04%, segundo seus cálculos.
A fato objetivo é que, pelo mecanismo do depósito compulsório, o governo se apropria de grande parte do dinheiro disponível para crédito, de sorte que pouco sobra para o mercado privado. A taxa básica média para o governo está em torno de 18% a.a., enquanto que a taxa média para o mercado é de 59,42%a.a., sem considerar os impostos, taxas e demais custos do serviço bancário. As lideranças empresariais melhor fariam se lutassem para reduzir essa intervenção indevida no mercado de crédito, que coloca pesada cunha para os tomadores finais. A taxa básica pouco importa para as empresas. Por impedir o desenvolvimento de um sistema de crédito sadio, praticando o
quase monopólio da dívida, o que vemos é a economia minguar. Na verdade, os brasileiros (pessoas físicas e jurídicas) se dividem em dois grupos. De um lado, os que são superavitários e sócios do governo na massa tributária. Vivem felizes, cobrando elevados juros do devedor monopolista. Do outro, os que, por qualquer motivo, são obrigados a tomar recursos emprestados, ao custo de mercado. Esses vivem asfixiados financeiramente e freqüentemente apresentam problemas de solvência. Em outras palavras, quebram ou vêem seu nome sujo na praça, sendo automaticamente excluídos do sistema de crédito. A culpa é única e exclusiva do Estado, que impede o desenvolvimento econômico através de um dos seus mecanismos naturais, que é o crédito.
Se o leitor tiver em conta que os brasileiros já pagam uma brutal carga tributária, que cresce sistematicamente a cada ano, irá perceber o verdadeiro horror econômico em que estamos metidos: o governo brasileiro simplesmenteimpede que a prosperidade aconteça. Quem está desempregado e sem crédito no mercado sabe quem é o autor das suas desgraças. Aqueles que, por algum motivo, vêem os seus sonhos de crescimento fracassarem, sabe quem os seqüestrou. Da mesma forma, o desempenho frustrante da balança comercial só tem um responsável: o governo e sua voracidade fiscal e creditícia. O mercado internacional não paga o sobrecusto governamental embutido nos preços dos produtos. Então, caro leitor, dá para imaginar o grande engano que é apoiar plataformas políticas que pugnam precisamente por aumentar a intervenção governamental no processo econômico. É suicídio.” (JOSÉ NIVALDO CORDEIRO, 2002) 
4. Teoria na Prática
Agora que você já conheceu um pouco mais sobre Taxa de Juros, estude o exercício resolvido abaixo e desenvolva a atividade proposta disponível na Web.
Apliquei R$10.000,00 à taxa nominal de 16,5%a.a., capitalizados mensalmente, por 6 meses. Do 7º mês ao 12º mês, a capitalização mensal passou a ser efetuada à taxa de 15%a.a. Calcular o valor de resgate da aplicação no final de um ano. Considerar o ano comercial e o regime de capitalização composto.
Resolução:
Como a capitalização da taxa real de 16,5% ao ano é mensal, primeiro calculamos a taxa de juro proporcional 1,375% ao mês, resultado da divisão da taxa anual, 16,5%, por 12 meses, ou seja, um ano. A taxa proporcional 1,375% ao mês é a taxa efetiva de juro com período mensal. Posteriormente, devemos calcular o montante obtido ao final dos 6 meses iniciais.
	Capital
	R$ 10.000,00
	 
	Taxa
	1,375%
	a. mês
	Prazo
	6
	meses
	Montante
	R$ 10.853,88
	 
Este montante deverá ser reaplicado pelos seis meses restantes, porém à taxa de juros de 1,25% ao mês, resultado da divisão da taxa anual, 15% por 12 meses. Obtendo, por fim, o valor de resgate ao final de um ano.
	Capital
	R$ 10.853,88
	 
	Taxa
	1,25%
	a. mês
	Prazo
	6
	meses
	Montante
	R$ 11.693,78
	 
5. Recapitulando
Os juros são considerados como o aluguel pago/recebido pelo empréstimo de determinada quantia em dinheiro. Essa quantia monetária a ser paga ou recebida pela utilização do capital, que denominamos de juros, será determinada de acordo com a taxa de juros estipulada na negociação.
A taxa de juros é a razão entre os juros pagos ou recebidos no fim de um determinado período de tempo e o capital inicialmente emprestado, como já vimos na unidade 1 – Regime de Capitalização Simples.
O Mercado Brasileiro utiliza de diversas taxas de juros, tais como a SELIC e a TJLP e é possível observar que as taxas são sempre acompanhadas das respectivas unidades de tempo, ou seja, a.a., a.m. e ainda pelos períodos de capitalização (atualização), quais sejam, a.a. capitalizados mensalmente, a.m. capitalizados diariamente; são essas caracterizações que determinam alguns tipos de taxas existentes no mercado financeiro e que foram abordados na unidade em questão, são elas: as taxas de juros nominais, efetivas, proporcionais e equivalentes.
۩ Taxa de juros Efetiva: é aquela em que a unidade de tempo coincide com o período de capitalização – Exemplo: 1,5%a.m. com capitalização mensal;
۩ Taxa de juros Nominal: é aquela em que a unidade de tempo não coincide com o período de capitalização – Exemplo: 5%a.a. capitalizados mensalmente;
۩ Taxa de juros Proporcional e taxa de juros equivalente: é aquela em que, quando aplicada a um mesmo capital, durante o mesmo intervalo de tempo, produz o mesmo montante. A taxa de juros proporcional é utilizada no regime de capitalização simples e é obtida a partir de regra de três, já a taxa de juros equivalente é utilizada no regime de capitalização composto e é obtida a partir da fórmula:
100
1
100
 
.
1
´
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
T
Q
Efetiva
T
TEQ
Esses conhecimentos poderão auxiliá-los no entendimento de diversas negociações que realizamos no nosso dia-a-dia; então, fique atento e sempre analise os prós e os contras do que está sendo proposto. 
6. Amplie seus Conhecimentos
Você sabia que, sempre que realizamos a “soma” de taxas, tais como os indicadores de mercado (inflação e índices diversos), nós devemos multiplicar os respectivos fatores das taxas em questão e ao final subtrairmos uma unidade?
Vocês devem estar se perguntando: como assim fatores? Fator, nada mais é do que somarmos uma unidade à taxa de juros em que estamos trabalhando, lembrando sempre de utilizá-la na forma decimal ou unitária, ou seja, dividida por 100.
Esse procedimento é muito utilizado para, por exemplo, apresentar o valor acumulado da inflação em determinado período de tempo.
Já quando desejarmos “subtrair” taxas utilizamos o mesmo procedimento, porém em vez de multiplicá-las, devemos dividi-las. 
Para melhor entendimento, acompanhe os exemplos abaixo:
Exemplo 1: Nos meses de janeiro, fevereiro e março de 1994 foram apresentados os respectivos índices inflacionários: 41,32%; 40,57% e 43,08%. Determine a inflação acumulada do período.
Resolução: Primeiro, devemos determinar os fatores, ou seja, dividir os índices por 100 e somar uma unidade ao resultado, posteriormente multiplicamos esses fatores e ao resultado subtraímos um e, por fim, multiplicamos por 100 para obtermos o resultado na forma percentual.
[
]
{
}
=
´
-
´
´
=
´
þ
ý
ü
î
í
ì
-
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
´
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
´
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
100
1
)
4308
,
1
(
)
4057
,
1
(
)
4132
,
1
(
100
1
1
100
08
,
43
1
100
57
,
40
1
100
32
,
41
 
%
23
,
184
=
Exemplo 2: Comprei um título por R$1.000,00 e o vendi com um ganho aparente de 16%. Considerando que a inflação no período foi de 1,5%, o ganho real obtido foi:
Resolução: Neste exemplo, devemos “subtrair” o valor da inflação do período, para determinar o ganho real. Então, temos:
%
29
,
14
100
1
1
100
5
,
1
1
100
16
=
´
þ
ý
ü
î
í
ì
-
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
¸
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
Portanto, desconsiderando a inflação do período o ganho real na venda do título foi de 14,29%.
7. Referências
ASSAF, N. Matemática Financeira. 4. ed. São Paulo: Atlas, 1998.
CRESPO, A. A. Matemática Comercial e Financeira Fácil. 12. ed. São Paulo: Saraiva, 1997.
HAZZANI, S. Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2001.
KUHNEN, O. L.; BAUER, U.R. Matemática Financeira Aplicada e Análise de Investimentos. São Paulo: Atlas, 1994. 
MATHIAS, W. F. Matemática Financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1996.
VERAS, L. L. Matemática Aplicada à Economia. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1996.
PUCCINI, A. L. Matemática financeira Objetiva e Aplicada. São Paulo: Saraiva, 1999
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática Comercial e Financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas, 1997.
Unidade 4: Desconto
1. Nosso Tema
Nesta unidade, abordaremos o assunto: Desconto. Certamente, você já deve ter presenciado diversas negociações comerciais que oferecem descontos em pagamentos à vista. No entanto, o desconto não se restringe a essa conceituação. No mercado financeiro é comum empresas realizarem o desconto de títulos de curto prazo
, transformando um pagamento futuro em capital de giro. 
Assim como os juros, o desconto também poderá ser regido pelo regime de capitalização simples ou composto, porém, como os descontos de títulos e duplicatas são realizados quase que em sua totalidade no curto prazo, o mercado opera normalmente no regime de capitalização simples.
O desconto é muito semelhante aos juros estudados nas unidades anteriores, em que a moeda é o “ator” principal, uma vez que o mercado está realizando a “troca” de uma promessa de pagamento por moeda corrente; pela antecipação desse dinheiro será aplicada sobre o valor do título a taxa de desconto praticada pela instituição financeira. É importante ressaltar que os juros por esse serviço são sempre cobrados antecipadamente, dessa forma, você recebe o valor líquido, ou seja, já deduzido o desconto do valor nominal do título. 
Deteremo-nos ao estudo do desconto comercial simples, também chamado de desconto bancário.