CAMPO VETORIAL

Prévia do material em texto

CAMPO VETORIAL
Cálculo Diferencial e Integral III
Professora Maria Cristina Monteiro Castanheira
Engenharia Mecânica
Universidade de Itaúna
Lei da Gravitação Universal.
A Terra exerce uma força atrativa sobre a massa na 
direção do centro da Terra e de grandeza 
inversamente proporcional ao quadrado das 
distâncias da massa ao centro da Terra. A 
associação de vetores de força com pontos no 
espaço é chamada de Campo Gravitacional da 
Terra.
Campo de velocidade
Imagine um líquido escoando uniformemente em 
um cano e seja V(x, y, z) o vetor velocidade em um 
ponto (x,y, z). Observe que V associa um vetor a 
cada ponto (x, y, z) de um certo domínio E, que 
representa o interior do cano. Dessa forma, V é um 
campo vetorial em R³, chamado campo de 
velocidade. A velocidade escalar é indicada pelo 
comprimento da seta.
CAMPOS VETORIAIS
Em matemática um campo vetorial ou campo de 
vetores é uma construção em cálculo vetorial que 
associa um vetor a todo ponto de uma variedade 
diferenciável (como um subconjunto do espaço 
euclidiano, por exemplo). Isso é, um campo de vetores é 
uma função vetorial que associa um vetor a cada ponto 
P(x,y,z) do espaço xyz, genericamente dada por:
F(x, y, z) = f(x, y, z)i + g(x, y, z)j + h(x, y, z)k 
Campos vetoriais são geralmente utilizados 
na física para indicar, por exemplo, a velocidade e 
a direção de um fluido ou um corpo se movendo 
pelo espaço, ou o comprimento e direção de 
alguma força, tal como a 
força magnética ou gravitacional, com seus 
valores de ponto em ponto.
Representação gráfica de campo de 
vetores
A função vetorial dada por F(x, y) = ( M(x,y), N(x, 
y) ) define um campo vetorial no espaço-2D. 
Para representá-lo, introduzimos um sistema de 
coordenadas no plano XOY e selecionamos 
alguns pontos (x, y) do plano e desenhamos os 
vetores a eles associados preferencialmente 
com a origem do vetor no próprio ponto. É 
conveniente lembrar que os vetores de um 
campo vetorial são infinitos e que não podemos 
representar todos. Assim, a seleção dos pontos 
deve ser tal que nos dê informações sobre o 
comportamento do campo em geral.
Exemplos:
1) Consideremos o campo vetorial F dado por 
F(x, y) = . 
É uma representação aproximada da velocidade da 
água de um canal de acordo com sua profundidade. 
F(x, y) = 
iy5
1
. 
Em cada ponto da camada a água tem certa 
velocidade que pode ser representada por um 
vetor naquele ponto. Essa associação de vetores 
velocidade com pontos numa camada 
bidimensional é denominada campo de 
velocidades.
(x, y) (1, 1) (-1, 1) (-1, -1) (1, -1) (1, 3) (-3, 1) (-1, -3) (3, -1)
F(x, y) (-1, 1) (-1, -1) (1, -1) (1, 1) (-3, 1) (-1, -3) (3, -1) (1, 3)
2) Consideremos o campo vetorial F dado por
F(x, y) = (-y, x) e selecionado alguns pontos temos
Os vetores deste campo vetorial representam um
campo de velocidade de uma roda em movimento.
Sendo r(x, y) = (x, y) a função vetorial que nos dá o
vetor posição do ponto (x, y) do espaço-2D, temos
r(x, y) e F(x, y) são ortogonais em cada ponto
(x, y), pois
(x, y) . (-y, x) = x (-y) + y x = 0.
Campo Gradiente
Um exemplo de campo de vetores é o gradiente de uma
função f(x, y); em cada ponto (x, y) o vetor grad f(x, y)
aponta na direção de taxa de crescimento máxima de f.
Se f é uma função escalar (de duas ou mais varáveis),
então o gradiente, , de f é um campo vetorial chamado
campo gradiente de f.
• F(x, y) = f(x, y) = ( fx (x, y), fy (x, y) ).
• F(x, y, z) = f(x, y, z) = ( fx (x, y, z), fy (x, y, z), fz (x, y, z) ).
f
O gradiente da função escalar f(x, y, z), 
denotado por grad(f) ou f, é um vetor definido 
como grad(f) = 
onde (lê-se nabla ou del) representa o 
operador diferencial .
kz
fjy
fix
ff  



kzjyix





Exemplos:
1) Encontre o campo gradiente da função f(x, y) = x²y². 
Exemplo
Exercícios
Determine o campo gradiente de 
Respostas
ଷ
Divergência e Rotacional
 
O operador diferencial vetorial  no espaço-3D é kzjyix




 
 
Aplicando o operador  sobre uma função escalar f (de três variáveis) obtemos 
o campo gradiente de f 
kz
fjy
fix
ff  


 
 
Aplicando o operador  sobre uma função vetorial F podemos obter o rotacional 
de F ou a divergência de F. 
 
Divergência
Exemplos
Rotacional
Exemplos
Exercícios
Respostas