AP2-IPE-2013-2-gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTAT́ISTICA – GABARITO – 2/2013
Nome: Matŕıcula:
Polo: Data:
Atenção!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matŕıcula, • O desenvolvimento das questões pode ser a lápis. No entanto,
Polo e Data; as respostas deverão estar necessariamente à caneta;
• É expressamente proibido o uso de calculadoras; • É expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem ser acompanhadas de justificativa.
ponsável; • Respostas sem justificativa não serão consideradas.
Questão 1 [2,5 pts] Em uma gaveta há 6 pregos bons e 4 pregos enferrujados. São retirados, ao
acaso, 3 pregos dessa gaveta.
(a) [1,0 ponto] Determine a probabilidade de todos os pregos retirados serem bons?
(b) [1,5 ponto] Determine a probabilidade de pelo menos um dos pregos retirados ser bom.
Solução.
(a) A cardinalidade do espaço amostral Ω é dada por #Ω = C(10, 3) = 120 e a cardinalidade do
evento A: “Todos os pregos retirados são bons” é dada por #A = C(6, 3) = 20. Logo,
P (A) =
20
120
=
1
6
.
(b) Usaremos, nesse caso, a probabilidade do complementar. Isto é, primeiro, vamos calcular a
probabilidade do evento B: “todos os pregos retirados estão enferrujados.”
Temos, #B = C(4, 3) = 4. Logo, P (B) =
4
120
=
1
30
.
Assim, P (Bc) = 1−
1
30
=
29
30
, que é a probabilidade de pelo menos um dos pregos ser bom.
Questão 2 [2,5 pts] Em uma urna há bolas vermelhas e azuis, produzidas por dois fabricantes
diferentes (F1 e F2), distribúıdas da seguinte forma:
(i) 100 bolas vermelhas, sendo 30 do fabricante F1 e 70 do fabricante F2;
(ii) 200 bolas azuis, sendo 50 do fabricante F1 e 150 do fabricante F2;
Uma bola é retirada ao acaso da urna.
(a) [1,0 ponto] Determine a probabilidade de a bola retirada ser azul.
(b) [1,5 ponto] Sabendo que a bola retirada é do fabricante F2, determine a probabilidade de a bola
ser azul.
Solução.
Na urna, há um total de 100 + 200 = 300 bolas. Logo, a cardinalidade do espaço amostral é 300.
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTAT́ISTICA AP2 2
(a) Consideremos o evento A: a bola escolhida é azul.
Como há 200 bolas azuis na urna, temos P (A) =
200
300
=
2
3
.
(b) Consideremos o evento B: a bola escolhida é do fabricante F2.
Temos, P (A|B) =
P (A ∩B)
P (B)
=
150/300
220/300
=
15
22
.
Questão 3 [2,5 pts] Duas moedas M1 e M2 viciadas são tais que a probabilidade de se obter cara
ao jogar a moeda M1 é 0, 4 e a probabilidade de se obter cara ao jogar a moeda M2 é 0, 7. Escolhe-se
uma das duas moedas e a moeda escolhida é lançada.
(a) [1,0 ponto] Determine a probabilidade de o resultado obtido ser cara.
(b) [1,5 ponto] Determine a probabilidade de que a moeda M2 tenha sido usada, sabendo que o
resultado obtido foi cara.
Solução.
Consideremos os eventos: E1 - a moeda M1 foi usada; E2 - a moeda M2 foi usada; C - o resultado
obtido foi cara.
(a) Usando o teorema da probabilidade total, temos:
P (C) = P (C|E1)× P (E1) + P (C|E2)× P (E2) = 0, 4× 0, 5 + 0, 7× 0, 5 = 1, 1× 0, 5 = 0, 55 .
Observamos que P (E1) = P (E2) = 0, 5 pois a probabilidade de escolher a moeda M1 é a mesma
de escolher a moeda M2.
(b) Usando a Regra de Bayes, temos:
P (E2|C) =
P (C|E2)P (E2)
P (C)
=
0, 7× 0, 5
0, 55
=
35
55
=
7
11
.
Questão 4 [2,5 pts] Dois números distintos são escolhidos do conjunto {1, 2, 3, 4}. Considere X
a variável aleatória correspondente à soma dos números escolhidos.
(a) [1,5 ponto] Determine a distribuição de probabilidade de X .
(b) [1,0 ponto] Determine o valor esperado de X .
Solução.
(a) O espaço amostral é dado por {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}.
As possibilidades de soma são: {3, 4, 5, 6, 7}.
Portanto,
P (X = 3) = 1/6, P (X = 4) = 1/6, P (X = 5) = 2/6 = 1/3, P (X = 6) = 1/6, P (X = 7) = 1/6.
(b) Temos,
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INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTAT́ISTICA AP2 3
E(X) = 3× P (X = 3) + 4× P (X = 4) + 5× P (X = 5) + 6× P (X = 6) + 7× P (X = 7) =
= 3×
1
6
+ 4×
1
6
+ 5×
1
3
+ 6×
1
6
+ 7×
1
6
=
=
30
6
= 5 .
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