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BETÃO ARMADO E PRÉ-ESFORÇADO II 
 
FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS 
 
 
 
MÓDULO 3 – FUNDAÇÕES DE EDIFÍCIOS 
 
 
 
 
Carla Marchão 
Júlio Appleton 
José Camara 
 
 
 
 
Ano Lectivo 2005/2006
 
 
 
 
 
 
ÍNDICE 
 
 
 
1. DIMENSIONAMENTO DE ZONAS DE DESCONTINUIDADE ............................................ 1 
2. TIPOS DE FUNDAÇÕES...................................................................................................... 9 
3. FUNDAÇÕES DIRECTAS (SAPATAS)................................................................................ 9 
3.1. TIPOS DE SAPATAS ......................................................................................................... 9 
3.1.1. Sapatas rígidas........................................................................................................ 9 
3.1.2. Sapatas flexíveis.................................................................................................... 10 
3.2. DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS............................................................................ 10 
3.2.1. Sapata sem excentricidade de carga .................................................................... 10 
3.2.2. Sapata com excentricidade de carga .................................................................... 11 
4. SAPATAS LIGADAS POR UM LINTEL DE FUNDAÇÃO ................................................. 19 
5. DIMENSIONAMENTO DE UM MACIÇO DE ENCABEÇAMENTO DE ESTACAS ........... 25 
 
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MÓDULO 3– Fundações de Edifícios 
Carla Marchão; Júlio Appleton; José Camara 
1
1. Dimensionamento de Zonas de Descontinuidade 
 
Nas estruturas em geral, e de betão estrutural em particular, há zonas em que, por 
razões da sua geometria ou do tipo de carregamento (em especial se se tratar de 
acções concentradas) o comportamento afasta-se claramente do das teorias clássicas 
de peça linear ou de laje da mecânica estrutural. Essas zonas são denominadas de 
zonas D (Descontinuidade), ao passo que as zonas com comportamento uniforme e 
regular se chamam de B (Bernoulli, Bending). Na figura 1 representam-se uma série 
de situações que caracterizam uma zona D como: 
 a – zona de mudança de altura de uma viga 
 b – abertura numa alma de viga 
 c – zona de um nó de ligação de uma viga e um pilar 
 d – situação de uma sapata, elemento com comportamento bi-dimensional mas 
em que a altura é grande em relação às dimensões em planta 
 e – zona de ancoragens de cabos de pré-esforço 
 f – zona de aplicação de uma carga concentrada numa viga 
 g – zona com geometria de consola curta 
 h – situação de uma denominada viga-parede (viga com uma relação l/h 
pequena) 
 
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Carla Marchão; Júlio Appleton; José Camara 
2
 
Figura 1 – Ilustração de zonas das estruturas de betão que têm um comportamento diferente do de peça linear 
 
Em termos do dimensionamento do betão estrutural é natural que os modelos a 
adoptar nestas zonas sejam diferentes dos aplicados nos elementos com 
comportamento uniforme. Na figura 2 representa-se o modelo de campos de tensão de 
escoras e tirantes e o correspondente para uma viga contínua. É de realçar nesse 
modelo que, junto aos apoios, também se tem zonas D, onde os campos de 
compressões deixam de ser “paralelos” para tomarem uma forma em leque e, as 
correspondentes resultantes, ficam com maior inclinação. 
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3
θ
 
Zona B -campo de tensões no betão 
(paralelo na zona corrente da viga
Zona B -campo de tracções nos estribos
Zona D -campo de tensões no betão em leque junto ao apoio 
(a) Modelo de campos de tensão 
 
θθ1 θ
z
 
(b) Modelo equivalente e “discreto” de escoras e tirantes 
 
Figura 2 – Modelo (a) de campos de tensão e (b) de escoras e tirantes numa viga contínua de betão armado 
 
Para geometrias diferentes há que encontrar, para cada situação, um modelo de 
dimensionamento apropriado que seja representativo do encaminhamento das 
principais forças no elemento, numa situação próxima da rotura. 
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4
 
Figura 3 – Modelos de dimensionamento de vigas com aberturas e distribuição de armaduras resultante 
 
Na figura 3 representam-se, como exemplo, modelos possíveis para o dimensionamento 
de duas vigas em T com disposições diferentes de aberturas nas almas. Em tais 
situações as expressões gerais dos regulamentos para verificação da segurança ao 
esforço transverso não são aplicáveis. Há que avaliar as forças nos tirantes e escoras 
do modelo e, a partir dessas forças, verificar a segurança em relação ao nível de 
tensões no betão e avaliar as armaduras necessárias para resistir às tracções. 
Assim para o betão há que verificar que: 
σRd,max = 
Fcd
Ac ≤ fcd (1.a) 
ou 
σRd,max = 
F
Ac ≤ 0.6 ν fcd (1.b) 
com ν = 1 – fck/250. 
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5
A expressão 1.a deve ser utilizada quando não há tensões na direcção transversal 
(como nas compressões por flexão) ou quando há compressão moderada, e a 
expressão 1.b se há tracções transversais (como nas compressões inclinadas das 
almas das vigas). 
E para as armaduras há que verificar que: 
As ≥ 
FSd
fsyd 
Na figura 4 apresenta-se um caso tipo de uma zona D que se refere a uma consola 
curta, sendo especialmente importante notar que: 
 A força de tracção é constante em todo o comprimento contrariamente à 
situação de uma consola de vão maior 
 O valor da força de tracção é inferior à que adviria do cálculo em relação ao 
eixo do pilar. A força de dimensionamento vale: 
 FSd = PSd . 
a
z 
 Em que “a” é a distância na horizontal do ponto de aplicação de carga à 
resultante da compressão no pilar 
P
P
T C
α
P
M
 
Figura 4 – Modelo de dimensionamento de uma consola curta 
 
Também a transmissão ao apoio de uma carga concentrada aplicada numa viga, 
próxima do apoio, segue um processo de transmissão semelhante. Na figura 5 está 
representada essa transmissão em que, função da distância entre os eixos de 
aplicação da carga e do apoio, se considera uma repartição adequada da força entre 
dois sistemas estruturais (o primeiro semelhante ao considerado no caso anterior da 
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consola curta, o segundo semelhante ao do comportamento de uma viga nas zonas de 
extremidade, com campos de tensão em leque). 
z
(1 - α) P
zT
C
(1 - α) R1 α R1
C
T z
 α P
(i) Modelo 1 (ii) Modelo 2
P
a
R1 R2
R1
P
C
T
 
Para 
z
2 < a < 2 z ⇒ α = 
1
3 


 2a 
 z - 1 
Se a = z ⇒ α = 
1
3 ; se a = 1.5 z ⇒ α = 
2
3 
Figura 5 – Esquema de transmissão de uma carga próxima do apoio com repartição da carga por dois 
modelos complementares 
 
Como se verifica, a modelação por escoras e tirantes do betão armado próximo da 
rotura, para peças com comportamento unidimensional e geometria diversa, não é 
mais do que a generalização do modelo de treliça da viga a situações particulares de 
geometria e/ou carregamento. 
Por outro lado, as fundações directas, denominadas de sapatas, têm um 
comportamento bi-dimensional, tipo laje fungiforme, em que a altura é tal que a 
distribuição de tensões é diferente da resultante da teoria das lajes. De facto, para 
sapatas rígidas, solução corrente na prática, a altura deve ter um valor entrea 
distância da face do pilar ao limite da sapata e metade desse valor – ver figura 6. 
A distribuição de tensões, próximo da rotura, em ambas as direcções é do tipo da 
representada na figura, gerando-se campos de tensão em leque que exigem, para 
equilíbrio das tensões no solo, uma distribuição parabólica de forças de tracção na 
face inferior da base, como representada na figura 6.a). 
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N/2 N/2
N/2 N/2
N
N/2
N
N/2
Fmáx
DFT
Fmáx 
Figura 6 – Distribuição dos campos de tensão nas sapatas numa dada direcção e representação de um 
modelo simples para determinação da força máxima nas armaduras. 
 
O valor máximo destas tracções nas armaduras pode ser estimada com base num 
modelo definido em termos resultantes como indicado na figura 6.b). Modelos para 
outros tipos de carregamentos, em particular de esforços axiais com excentricidades, 
serão referidos no capítulo referente às fundações. É, no entanto, importante 
compreender desde já que, tal como numa laje fungiforme, as forças de tracção nas 
armaduras têm de ser dimensionadas para o equilíbrio da totalidade das tensões no 
terreno numa e noutra direcção. É uma questão básica de equilíbrio na transmissão das 
cargas do pilar ao terreno, ou se quisermos pensar inversamente, do terreno ao pilar. 
No caso de fundações indirectas a transmissão das cargas do pilar às estacas faz-se 
através do denominado maciço de encabeçamento. Nestes casos estabelecem-se 
modelos, por vezes tridimensionais, de transmissão da carga como o representado na 
figura 7. Os modelos de transmissão de cargas, uma vez que se tratam de acções 
concentradas, são do tipo dos referidos nas figuras 4 e 5, mas tendo em consideração 
a eventual tridimensionalidade de transmissão das cargas. 
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N/2
N/2
N/4
N/4
N/4
N/4
 
Figura 7 – Modelo tridimensional de transmissão de carga de um pilar às estacas através de um maciço 
de encabeçamento. 
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2. Tipos de Fundações 
 
a) Fundações directas por sapatas 
 
 Solo superficial com boas características de resistência 
 Edifícios de pequeno ou médio porte. 
 
b) Ensoleiramento geral 
 
 Edifício de porte elevado e características resistentes do solo que conduzam 
a uma área de sapatas superior a 50% da área total 
 Particularmente aconselhável se o nível freático se encontrar acima do nível 
de fundação. 
 
c) Fundações profundas 
 
 Camadas superficiais de terreno pouco consistentes 
 Cargas elevadas por pilar. 
 
 
3. Fundações directas (sapatas) 
 
3.1. TIPOS DE SAPATAS 
 
3.1.1. Sapatas rígidas 
 
N
M
A (x B)
H
ba
 
Pré-dimensionamento: 
Área em planta: σadm ≥ 
 Nraro 
 A × B 
Altura: 
 A - a 
 4 ≤ H ≤ 
 A - a 
 2 
(⇔ H ≥ b/2 – condição de rigidez) 
 
 Quando a sapata é rígida, pode admitir-se que a tensão no solo é uniforme. 
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3.1.2. Sapatas flexíveis 
 
 Podem surgir problemas de punçoamento 
 Devido à deformabilidade da sapata, em geral não se pode admitir que a 
tensão no solo é uniforme 
⇒ Não é aconselhável a utilização de sapatas flexíveis. 
 
3.2. DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS 
 
Para o dimensionamento de sapatas rígidas utilizam-se modelos de escoras e tirantes 
(modelos de “encaminhamento de cargas”). 
 
3.2.1. Sapata sem excentricidade de carga 
N
A
a
d≈0.9H
N/2N/2
a/4
N/2N/2
α
α
N/2
Ft
Fc
 
Como as dimensões da sapata são conhecidas, é possível determinar a tangente do 
ângulo α: 
tg α = 
 d 
 
 A - a 
 4 
 (1) 
Através do equilíbrio do nó indicado, obtém-se 
tg α = 
 N / 2 
 Ft (2) 
igualando (1) e (2), obtém-se a expressão para o cálculo da força de tracção: 
Ft = 
 N (A - a) 
 8d 
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A área de armadura pode ser determinada pelas expressões: 
As = 
 Ft 
 fsyd ⇒ 


 As 
 s = 
 Ft 
 fsyd ⋅ 
 1 
x , sendo x a área carregada na direcção ortogonal. 
 
3.2.2. Sapata com excentricidade de carga 
 
(i) e > A / 4 (tensões no solo em menos de metade da sapata) 
 
α
N
0.15a
x
N
Fc
Ft
N
α
d≈0.9H
M
e
 
e = 
 M 
 N ; x = 


 A 
 2 - e × 2 = A – 2e 
 
Como as dimensões da sapata são conhecidas, é possível determinar a tangente do 
ângulo α: 
tg α = 
 d 
 e - 0.35a (1) 
Através do equilíbrio do nó indicado, obtém-se 
tg α = 
 N 
 Ft (2) 
igualando (1) e (2), obtém-se a expressão para o cálculo da força de tracção: 
Ft = 
 N (e - 0.35a) 
 d 
A área de armadura pode ser determinada pelas expressões: 
As = 
 Ft 
 fsyd ⇒ 


 As 
 s = 
 Ft 
 fsyd ⋅ 
 1 
y , sendo y a área carregada na direcção ortogonal. 
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(ii) e < A / 4 (tensões no solo em mais de metade da sapata) 
 
N M
0.15a
A/4
x
α
R1
R1
d≈0.9H
α
Ft
Fc
a
R2
 
 
e = 
 M 
 N ; x = 


 A 
 2 - e × 2 = A – 2e 
 
Como as dimensões da sapata são conhecidas, é possível determinar a tangente do 
ângulo α: 
tg α = 
 d 
 A/4 - 0.35a (1) 
Através do equilíbrio do nó indicado, obtém-se 
tg α = 
 R1 
 Ft (2) 
igualando (1) e (2), obtém-se a expressão para o cálculo da força de tracção: 
Ft = 
 R1 (A/4 - 0.35a) 
 d 
O valor da reacção R1 pode ser determinado utilizando a relação 
 N 
 A - 2e = 
 R1 
 A / 2 ⇒ R1 = 
 A 
 2 × 
 N 
 A - 2e 
A área de armadura pode ser determinada pelas expressões: 
As = 
 Ft 
 fsyd ⇒ 


 As 
 s = 
 Ft 
 fsyd ⋅ 
 1 
y , sendo y a área carregada na direcção ortogonal. 
 
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EXERCÍCIO S1 
 
 
Considere a sapata de fundação de um pilar isolado, representada na figura. 
 
2.50
0.75
2.50
2.00
0.50
0.40
 
 
 
Dimensione e pormenorize as armaduras da sapata para as combinações de acções 
consideradas: 
 
Combinação 1: 1.5 cp + 1.5 sc 
Combinação 2: cp + ψ2 sc + 1.5 E 
 
Os esforços na base do pilar, para cada uma das acções, são os seguintes: 
 
Acções N [kN] M [kNm] 
Cargas permanentes -700.0 0.0 
Sobrecarga (ψ2 = 0.2) -300.0 0.0 
Sismo 50.0 300.0 
 
Adopte para materiais C20/25 e A400NR e considere que a tensão de segurança do 
solo é de 3.0 kg/cm2 (300 kN/m2). 
 
 
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RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO S1 
 
1. Esforços de dimensionamento 
 
a) Combinação 1 
Nsd,1 = (700 + 300) × 1.5 = 1500 kN 
Msd,1 = 0 
 
b) Combinação 2 
 
b.1) N > 0 (sismo a carregar) 
Nsd,2.1 = 700 + 0.2 × 300) + 1.5 × 50 = 835 kN 
Msd,2.1 = 1.5 × 300 = 450 kNm 
 
b.2) N < 0 (sismo a aliviar) 
Nsd,2.2 = 700 + 0.2 × 300) - 1.5 × 50 = 685 kN 
Msd,2.2 = 1.5 × 300 = 450 kNm 
 
 
2. Dimensionamento 
 
2.1. Direcção x 
 
(i) Combinação 1 
 
N
σ
 Verificação da rigidez da sapata: 
 2.5 - 0.5 
 4 = 0.5 m
 < 0.75 m 
 2.0 - 0.4 
 4 = 0.4 m
 < 0.75 m 
 Verificação da tensão no solo 
σ = 
 Nsd 
 A × B = 
 1500 
 2.5 × 2.0 = 300 kN/m
2 <450 kN/m2 
 
 
 
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 Cálculo das armaduras 
 
N
A
a
d≈0.9H
N/2N/2
a/4
N/2N/2
α
α
N/2
Ft
Fc
 
 
tg α = 
 d 
( A - a) / 4 = 
0.68
2.5/4 - 0.5/4 = 1.36 
tg α = 
 N / 2 
 Ft ⇔ Ft = 
 N / 2 
 tg α = 
750
1.36 = 551.5 kN 
 
As = 
 Ft 
 fsyd = 
551.5
348×103 × 10
4 = 15.85 cm2 



 As 
 s = 
 Ft 
 fsyd ⋅ 
 1 
x = 
15.85
2 = 7.93 cm
2/m 
 
 
(ii) Combinação 2.1 
 
 Verificação da tensão no solo 
 
Nsd = 835 kN ; Msd = 450 kN ⇒ e = 
 450 
 835 = 0.539 m < A / 4 = 2.5 / 4 = 0.625 m 
(tensões no solo em mais de metade da sapata) 
Zona carregada: x = A – 2e = 2.5 – 2 × 0.539 = 1.42 m 
 
σ = 
 Nsd 
 Acarregada = 
 835 
 1.42 × 2.0 = 294.0 kN/m
2 < 450 kN/m2 
 
 
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 Cálculo das armaduras 
 
tg α = 
0.68
0.625 - 0.175 = 1.51 
tg α = 
 R1 
 Ft ⇔ Ft = 
 R1 
 tg α = 
735
1.51 = 486.8 kN 
 
As = 
 Ft 
 fsyd = 
486.8
348×103 × 10
4 = 14.0 cm2 



 As 
 s = 
 Ft 
 fsyd ⋅ 
 1 
x = 
14.0
2 = 7.0 cm
2/m 
 
 
(iii) Combinação 2.2 
 
 Verificação da tensão no solo 
 
Nsd = 685 kN ; Msd = 450 kN ⇒ e = 
 450 
 685 = 0.657 m > A / 4 = 2.5 / 4 = 0.625 m 
(tensões no solo em menos de metade da sapata) 
Zona carregada: x = A – 2e = 2.5 – 2 × 0.657 = 1.19 m 
 
σ = 
 Nsd 
 Acarregada = 
 685 
 1.19 × 2.0 = 287.8 kN/m
2 < 450 kN/m2 
 
 Cálculo das armaduras 
 
tg α = 
0.68
0.657 - 0.175 = 1.41 
tg α = 
 N 
 Ft ⇔ Ft = 
 N 
 tg α = 
685
1.41 = 485.8 kN 
 
As = 
 Ft 
 fsyd = 
485.8
348×103 × 10
4 = 13.96 cm2 



 As 
 s = 
 Ft 
 fsyd ⋅ 
 1 
x = 
13.96
2 = 7.0 cm
2/m 
 
 
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2.2. Direcção y 
 
A carga é centrada para todas as combinações, logo Ft = 
 N (A - a) 
 8d 
 
(i) Combinação 1 
 
Ft = 
 1500 × (2 - 0.4) 
 8 × 0.68 = 441.2 kN 
 



 As 
 s = 
 Ft 
 fsyd ⋅ 
 1 
x = = 
 441.2 
 348×104 × 
1
2.5 × 10
4 = 5.07 cm2/m 
 
 
(ii) Combinação 2.1 
 
Ft = 
 835 × (2 - 0.4) 
 8 × 0.68 = 245.6 kN 
 



 As 
 s = 
 Ft 
 fsyd ⋅ 
 1 
x = = 
 245.6 
 348×104 × 
1
1.42 × 10
4 = 4.97 cm2/m 
 
 
(iii) Combinação 2.2 
 
Ft = 
 685 × (2 - 0.4) 
 8 × 0.68 = 201.5 kN 
 



 As 
 s = 
 Ft 
 fsyd ⋅ 
 1 
x = = 
 201.5 
 348×104 × 
1
1.19 × 10
4 = 4.87 cm2/m 
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EXERCÍCIO S2 
 
 
Considere o sistema constituído por duas sapatas ligadas por um lintel, como indicado 
na figura. 
 
0.40 2.00
0.80
2.502.501.50
0.70
0.40
0.50
0.60
N1 = 500 kN
M1 = ± 300 kNm
0.50
M1 = ± 500 kNm
N2 = 1000 kN
 
 
 
Dimensione e pormenorize as armaduras da sapata e do lintel para os esforços 
indicados (materiais: C20/25 e A400NR). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO S2 
 
1. Modelo de cálculo 
 
4.500.50
R1 R2
A B
 
 
 
2. Determinação das reacções R1 e R2 
 
 
 Contribuição de N1 
N1
R1
A
R2
B
 
 
Σ MA = 0 ⇔ 0.5 N1 = -R2 × 4.5 ⇒ R2 = -0.11 N1 ; R1 = 1.11 N1 
 
 
 Contribuição de M1 e M2 
 
M1
R1
A
M2
R2
B
 
 
Σ MB = 0 ⇔ 4.5 R1 – (M1 + M2) = 0 ⇒ R1 = 
 M1 + M2 
 4.5 ; R2 = - 
 M1 + M2 
 4.5 
 
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 Cálculo de R1 e R2 
 
R1 = 1.11 N1 ± 
 M1 + M2 
 4.5 = 1.11 × 500 ± 
 300 + 500 
 4.5 = 
732.8 kN 
377.2 kN
 
R1 = N2 - 0.11 N1 ± 
 M1 + M2 
 4.5 = 1000 - 0.11 × 500 ± 
 300 + 500 
 4.5 = 
1122.8 kN 
767.2 kN
 
 
 
3. Dimensionamento da sapata 1 
 
(i) Direcção x 
500
300
0.175
0.72
732.8
Fc
Ft
α
732.8
 
tg α = 
0.72
1.5 / 2 - 0.15 × 0.5 = 1.07 
tg α = 
 R1 
 Ft ⇔ Ft = 
 R1 
 tg α = 
732.8
1.07 = 684.9 kN 
As = 
 Ft 
 fsyd = 
684.9
348×103 × 10
4 = 19.68 cm2 



 As 
 s = 
 Ft 
 fsyd ⋅ 
 1 
x = 
19.68
2 = 9.84 cm
2/m 
 
(ii) Direcção y (não há momento) 
0.5/4
R1/2
N1
N1/2
0.72
α
R1/2
Ft
Fc
N1/2
R1/2
α
 
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tg α = 
 d 
( A - a) / 4 = 
0.72
2.0/4 - 0.4/4 = 1.8 
tg α = 
 R1 / 2 
 Ft ⇔ Ft = 
 R1 / 2 
 tg α = 
366.4
1.8 = 203.6 kN 
As = 
 Ft 
 fsyd = 
203.6
348×103 × 10
4 = 5.85 cm2 



 As 
 s = 
 Ft 
 fsyd ⋅ 
 1 
x = 
5.85
1.5 = 3.90 cm
2/m 
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4. Dimensionamento da sapata 2 
 
(i) Direcção x 
N2/2
0.175
N2
R2/2
R2/2
R2/2
0.72
Fc
Ft
α
α
M2
 
tg α = 
0.72
2.5 / 4 + 0.175 = 0.9 
tg α = 
 R2 / 2 
 Ft ⇔ Ft = 
 R2 / 2 
 tg α = 
1122.8 / 2
0.9 = 623.8 kN 
As = 
 Ft 
 fsyd = 
623.8
348×103 × 10
4 = 17.9 cm2 



 As 
 s = 
 Ft 
 fsyd ⋅ 
 1 
x = 
17.9
2 = 9.0 cm
2/m 
 
 
(ii) Direcção y (não há momento) 
 
tg α = 
 d 
( A - a) / 4 = 
0.72
2.0/4 - 0.4/4 = 1.8 
tg α = 
 R2 / 2 
 Ft ⇔ Ft = 
 R2 / 2 
 tg α = 
1122.8 / 2
1.8 = 311.9 kN 
As = 
 Ft 
 fsyd = 
311.9
348×103 × 10
4 = 8.96 cm2 



 As 
 s = 
 Ft 
 fsyd ⋅ 
 1 
x = 
8.96
2.5 = 3.58 cm
2/m 
 
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5. Dimensionamento da viga de fundação 
 
4.500.50
732.8 1122.8
300
500 1000
500
 
DMF
[kNm]
300
550
500
( - )
(+)
233.3
233.3550
500
 
 
Msd = 550 kNm ⇒ µ = 0.174 (d = 0.63) ; ω = 0.197 ⇒ As = 28.48 cm2 
 
 
Vsd = 
 550 + 500 
 4.5 = 233.3 kN 
 
 Asw 
 s = 
 Vsd 
 0.9d ⋅ cotg θ ⋅ fsyd 
 = 
 233.3 
 0.9 × 0.63 × cotg 30 × 348×103 × 10
4 = 6.83 cm2/m 
 
 
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EXERCÍCIO S3 
 
 
Considere o maciço de encabeçamento de estacas representado na figura. 
 
1.20
0.30 0.60 1.20 0.60 0.30
0.80
Nsd = 5600 kN
Msd = 2160 kNm
3.00
3.00
 
 
 
a) Determine o esforço axial nas estacas. 
b) Dimensione o maciço de encabeçamento (materiais: C20/25 e A400NR). 
c) Pormenorize as armaduras. 
 
 
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RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO S3 
 
ALÍNEA A) 
 
Ni = 
 N 
 n ± 
 M ⋅ ei 
 Σ ei2 
 = 
 5600 
 4 ± 
 2160 × 0.9 
 4 × (0.6 + 0.3)2 = 
2000 kN (2 estacas)
800 kN (2 estacas)
 
 
ALÍNEA B) 
 
(i) Direcção x 
0.28
1.10
5600 kN
α
2000 kN
Fc
Ft
α
2000
800 kN
2160 kNm
 
 
tg α = 
1.10
 0.9 - 0.28 = 1.77 
tg α = 
 R 
 Ft ⇔ Ft = 
 R 
 tg α = 
 2000 
1.77 = 1129.9 kN 
As = 
 Ft 
 fsyd = 
1129.9
348×103 × 10
4 = 32.5 cm2 
 
(ii) Direcção y (não há momento) 
 
tg α = 
1.10
 0.9 - 0.2 = 1.57 
tg α = 
 R 
 Ft ⇔ Ft = 
 R 
 tg α = 
 2000 
1.57 = 1272.7 kN 
As = 
 Ft 
 fsyd = 
1272.7
348×103 × 10
4 = 36.6 cm2