ed 7 - teoria das estruturas

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MÓDULO 1 ( TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO ) – 9EX. 
1) Letra A 
A Aplicação do diagrama de força cortante, através da formula = Tensão = V.Ms/I.B O momento estático 
é obtido pela 
formula MS= Área . H médio = (0,250x0,02)x,15 = 9x103 
substituindo na formula anterior como dados = 10,6MPA 
2) Letra D 
EFy = 0 
V - R = 0 
80x10³ - R = 0 
R = 80x10³N 
3) Letra E 
As tensões de cisalhamento são de intensidade tal que sua resultante em uma determinada seção transversal 
é exatamente igual a f orça cortante V nessa seção. Sendo, V = 80 KN. 
5 ) Letra A 
A é zero , não força resultante devido a fluxo de cisalhamento. 
7) Letra D 
Calculando fab=Vtdb²/16*I=8010³*20*340*250²/16*301,3=7,052KN 
Fab=0,90275*(125-x)=112,8-0,9x 
F=112,8x-(0,9x²/2)=212,41N/m 
V=849,65*10³*301,3*310^6*20/80000 
Tmax=13,6mpa 
Tmin=10,62 
Fmaxalma=7 
8) Letra B 
Calculo do momento de inercia da viga (BH³/12bh 
³/12) = 3,755x10-5 , depois calcular as força que a carga distribuida influencia na viga = 30KN 
,depois,calcular o MS = 10x104aplicar as formula tensão = V.MS/BI = 
30X10X104/ 0,25X3,755X-5 = 3,2 MPA 
9) Letra A 
Ao Efetuar o calculo do momento de inercia = BH3/12 bh³/12 = 3,755x10 -5 
, calculo do MS para viga invertida 10x104, aplicar na formula tensão = VMS/bI = 
30x10³x10x104/0,23x3,755x10-5=3,6 mpa 
MÓDULO 2 (FLUXO DE TENSÃO - CENTRO DE TORÇÃO ) 8EX. 
8) Letra D 
E = ( 15,5 x 23 x 4 ) + ( 2 x 23 x 4 ) / ( 23 x 4 ) x 2 
E = 8m,75 m 
Modulo 2
EX1- letra A
O fluxo de cisalhamento mede a força, aplicada ao longo da seção transversal.É paralela a parede, e apresenta variação das forças na parte superior, uma anula a outra
EX2 – letra E
Não há fluxo de cisalhamento, porque a carga foi aplicada em um ponto especifico no centro de cisalhamento, sendo assim, a barra irá flexionar sem torção nenhuma.
EX3 – Letra A
e=3.b².tf/((h.tw)+(6.b.tf))
e=3.250².15/((200.20)+(6.250.15))
e=106mm
d=106+61.91
d=167.91mm
Aproximadamente 162 mm
EX4 – Letra B
e=3b²xtf/hxtw+6bxtf = (3(29²)x5)) / ((87x5) + (6x29)x5)) = 9,66x3 = 29mm
centro de torção aproximadamente 29mm
Ex5 - Letra C
E = 3bh² (b+a) – 8ba² / h³ (h + 6b + 6a) + 4a² (2ª – 3h) 
=> ((3x70)(100²) x (70 + 80) – (8x70)(40³)) / (100²(100 + 420 +240) + 4(40²) x (80 – 300)))
=> aproximadamente 45,09 por aproximação 48,8 mm
EX6 – Letra D
 Nesse exercício temos que dividir a peça em duas partes, no caso um via E e uma viga T, aplicando uma força para viga E com b=90mm ; h=180mm ; tw=tf=6mm se acha a distancia de e=33,75.
Para a viga T podemos admitir b=120mm ; h=90 ; tf=tw=6mm.
Com isso achamos uma distancia de 53,3mm tirando a diferença entre elas encontramos 19mm
EX8 – letra D
E = (15,5 x 23 x 4) + (2 x 23 x 4) / (23 x 4) x 2
E= 8, 75mm
MÓDULO 3 ( LIGAÇÕES LONGITUDINAIS ) -8EX. 
1) Letra B 
Iy=4*((0.1*0.04³/12) +(0.004*0.06²)) +0.04*0.16³/12 Iy=7.338*〖10〗^(-5) m^4 
T=V*M/(B*Iy) 
350*〖10〗^3=V*M/(0.24*7.338〖10〗^(-5)) V= 6.16KN 
2) Letra D 
Primeiro passo é calcular a força que é execida sobre o parafuso ,tensão = F/A , então F= tensão x área 
do parafuso = 60x10 6 x 0,07²xpi = 9,23kn / 2 pois a força está sendo influenciada pela 02 lados do 
parafuso = 4,61 kn , depois calcula-se o I BxH²/12 – bxh³/12 = 3,846x10-6 
Sabendo q a formula S = FxI/VMS, isolando o V = FxI/MSxS , substituindo os valor V= 4,50kn 
3) Letra E 
V= 10KN M= 4*10= 40 KN Iy= ((0.25*0.02³/12) *2 +(5/10³*0.16²)) + (0.02*0.3³/12) = 2.78 〖10〗^(-4) 
m^4 T = 100 MPa 
Tensão de escoamento = 240 Mpa 
∫0^150(v dx)= A 
A = 1410 mm² 
A=b*h/2 1410=15*h/2 H= 188m 
4) Letra C 
Ix=bh^4/64 
Iy=bh^4/64 
T=V*M/(B*Iy) 
L= 807 mm 
5) Letra A 
A força calculada V = 5,6, neste caso tem que se calcular a força resultante força 
de atrito atuando = VR = VVX0,2 
= 4,5 KN 
6) Letra D 
Ms= (25x203)x41,5 
Ms= 210.612,5 mm3 
V=5x ;V=5.6=30KN 
I=37.10^6 mm4 
I= 2 x 37.10^6 
It= 74.10^6 mm4 
f= Ms x V / It 
f= 210,6.10^3 x 30.10^3 / 74.10^6 
f= 85,4 N/mm 
MÓDULO 4 ( FLAMBRAGEM POR COMRESSÃO / DETERMINAÇÃO DE CARGA CRÍTICA ) 8EX. 
1) Letra C 
PCR = ( π2 . I . E ) / 4 . L2 
I = π . d4 / 64 
HIP = 0,92/0,38 
HIP = 2,42 
L = 2,42 + 0,6 
L = 3,02m = 3020mm 
I = ( π . 104 / 64 ) + ( π . 164 / 64 ) 
I = 3,7x103 mm4 
PCR = ( π2 . I . E ) / 4 . L2 
PCR = ( π2 . 3,7x103 . 206x103 ) / 4 . 30202 
PCR = 2062 N = 2,062 KN 
2) Letra A 
L= RAIZ² ( 0,46²+0,46²) = 0,65M 
I = (PI x d4)/64 = (PI X 0,016 ^4)/64 = 3,2169 X 10-9 
PCR = PI² X E X I/L² = PI²X 206 X 10 9 X 3,2169 X 10-9 / 0,65² = 15,48 kN , MAIS DEVIDO AO FATOR DE 
SEGURANÇA = 3 = 15,48/3 = 5,16 KN 
8) Letra D 
De = 76 mm 
Di = 70 mm 
L = 10 m 
E = 200GPa = 200.10³ MPa 
I = π/4 (re^4 – ri^4) = π/4 (38^4 – 35^4) = 459073,87 mm4 
Pcr = (C² x 200.10³ x 459073,87) / (10.10³)² 
Pcr = 9 KN 
Resposta: D) (3,0 Kn) 
MÓDULO 5 (FLAMBAGEM ELÁSTICA) 8 EX. 
1) Letra B 24
σcr = Pcr / A = 300 MPA 
D = 50 mm .: r = 25 mm 
A = πr² = πr² = π.25² = 1963,49 mm² 
Assim, 300 Mpa = Pcr / 1963,49 mm² => Pcr = 589048,62 N 
E = 206 GPa = 206.10³ MPa 
I = π/4 (r^4) = π/4 (25^4) = 306796,16 mm4 
L² = (π² x 200.10³ x 306796,16) / 589048,62 
L² ≈ 1000 mm 
Resposta: B) 1000 mm 
2) Letra C 
I = ^2*r^4/4 = ^2 * 25^2 / 4 
I=306,8*10^3 mm4 
Pcr=^2 * E * I/ L^2 = ^2 * 206*10^3 * 306,8*10^3 / 1000^2 
Pcr= 623,8KN 
3) Letra C 
Pcr x=^2 * E * I x/ kL x^2 = ^2 * 70*10^3 * 61,3*10^6 / (10*10^3)^2 
6) Letra C 
P = PCR 
P = α . ΔT . E . A 
PCR = (4 π2 . I . E ) / L2 
α . ΔT . E . A = (4 π2 . I . E ) / L2 
ΔT = (4 π2 . I . E ) / L2 . α . E . A 
logo: 
ΔT = (4 π2 . ( π . 204 / 64 )) / ( 1,2102 . 1,1x10-5 . ( π . 202 / 4 )) 
ΔT = 62,3°C 
7) Letra B 
Ix = Ix' + A .d2 
Ix = 4 x ( 50 . 9,29 . 2,132 ) 
Ix = 368,6 cm4 
PCRADM = ( π2 . I . E ) / 4 . L2 
PCRADM = ( π2 . 70x105 . 368,6 ) / ( 4 . 2002 ) 
PCRADM = 159,16 KN 
PCR = PCRADM x FS 
PCR = 159,16 x 2 
PCR = 318,32 KN 
MÓDULO 6 ( FLAMBAGEM INELÁSTICA ) 8EX. 
1) Letra C 
σ = P/A 
A = P/ σ 
Pela aproximação por Telêmaco, utilizamos a fórmula: 
σfl = σe - (σe- σp/ λlim^2)* λ^2 
Como não temos o material especificado, λlim = λ 
λ = √(π²*E/σpl) 
λ = √(π²*(200*10^3/200) 
λ = 99,3 
σfl = 240 - (240- 200/ 99,3²)* 99,3² 
σfl = 200 MPa 
σadm = σfl/Fs 
σadm = 200/2 
σadm = 100 MPa 
A = P/ σ 
π*r² = 10000/100 
r = √100/π 
r = 5 mm 
D= 10 mm 
2) Letra D 
É necessário realizar o somatório de forças em X e em Y, depois calcular o momento de inércia, e no 
final a carga critica aplicada que não faça flambar deve ser dividida pelo coeficiente de segurança. 
I=pid^4/64 
Pad=Pcr/K=181 KN 
3) Letra 
4) Letra 
5) Letra 
6) Letra C 30
P = PCR 
P = α . ΔT . E . A 
PCR = (4 π2 . I . E ) / L2 
α . ΔT . E . A = (4 π2 . I . E ) / L2 
ΔT = (4 π2 . I . E ) / L2 . α . E . A 
logo: 
ΔT = (4 π2 . ( π . 304 / 64 )) / ( 1,22 . 1,1x10-5 . ( π . 302 / 4 )) 
ΔT = 62° 
7) Letra A 
Metodo de aprimoração de Tetmajer 
λ = ( L / r ) = √ ( π . E / σfl ) 
MÓDULO 7 ( DESLOCAMENTO DE ESTRUTURAS / PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS ) 8EX
1) Letra A 
Para a seção que se encontra no meio do vão da barra, a f lecha máxima é determinada através de 
Pa/24EI*(4a²-3L²)
2) Letra 
2 - Pcr = π2 EI / L2 = π2 (70 . 103 N/mm2 ) . π/4(454 - 404 ) / 1000 MM = 900,25 KN 
P = Pcr / F.S = 900,25 / 1,5 = 600 KN 
4) Letra E 
O ponto ocorre no meio do vão 
V = 5q . L4 / 384 . E . I 
5) Letra D 
( L3 / 48 . E . I ) . (2P-5P) = ( - 3PL3 / 48EI ) = ( - PL3
/ 16EI ) 
8) Letra E 
Calculando a área: 
A=π.r² 
A=π.25²=1963,5 mm² 
Calculado o I: 
I = π r4 / 4 
I=306796,15  
Substituindo na formula: 
σ = PCR / A 
Pcr=589KN 
Substituindo na formula: 
PCR = ( π2 . I . E ) / L2 ---- L= 1029mm ou 1m. 
MÓDULO 8 ( DESLOCAMENTOS ) 8EX. 
1) Letra C 
PCR = (2,046 π2 . I . E . 2 ) / L2 
10000 = (2,046 π2 . I . 240 . 2 ) / 5002 
I = 257925mm4
I = π r4 / 4 
257925 = π r4 / 4 
R=31,87mm 
Portanto D = 47,87mm 
2) Letra E 
Força real 
∫M.Mdx=[(30x3/2 x 2/3 (3))]=90 
d_r=(∫M.Mdx)/(E x I) =90/(E x I)
Força aplicada extremidade livre 
∫M.Mdx=[(((5xF_el x5)/2 x 1/3 (-5))]=- 20,8333xF_el 
d_el=(∫M.Mdx)/(E x I) =(-20,833xF_el)/(E x I) 
Deslocamento igual a zero 
d_el+d_r=0 
(20,833xF_el)/(E x I)=90/(E x I) 
F_el=90/20,833=4,320 kN 
3) Letra A 
Deslocamento “u” Sendo o produto EIconstante na barrra, a expressão do deslocamento será: 
u=(∫M.Mdx)/(E x I) 
Caso barra de carregamento e momento fletor M : 
Vamos definir o esforço unitário adimensional, que deverá, no caso barra de carregamento, 
ser aplicado sozinho na estrutura: 
- Queremos o deslocamento da extremidade livre (extremidade sem ligação a apoio ou barra) 
aplicamos o esforço unitário na extremidade livre. 
- Queremos a translação vertical da seção o esforço unitário a ser aplicado na extremidade é 
uma força unitária vertical. 
Novamente, as reações V , V e H A B B , e os momentos fletores M , foram obtidos da maneira 
que vimos no curso de EE. Observamos que, sendo o esforço unitário aplicado à estrutura uma 
força adimensional, as forças de reação também serão adimensionais, e os momentos fletores 
M terão metro como unidade, pois serão o resultado do produto de forças adimensionais por 
braços de alavanca em metros (adimensional x metro = metro). 
∫M.Mdx=[((área1 x valor1) )+((área2 x valor2) ) ]+ [(área3 x valor3)- (((qxL^3)/12+ (A+B)/2) ) ] 
∫M.Mdx=[(12x3 x 1/2 (-3))+(24x3/2 x 2/3 (-3))]+ [36x6/2 x 2/3 (3)- ((2x6^3)/12+ (3+0)/2)]= 52,5 
u=(∫M.Mdx)/(E x I) =52,5/(200x10^9 x 10^(-8) )=0,02625 m ou 27 m