AULA 4 - Elementos planimétricos

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ESTRADAS
Elementos planimétricos - 26/03/2020
ELEMENTOS PLANIMÉTRICOS
CONCEITOS:
• O tracado de uma rodovia e constituido por trechos retos
e trechos curvos alternadamente.
• Trechos retos – Tangentes (trechos retos situados entre
duas curvas de concordancia);
• Trechos curvos – Curvas horizontais;
ELEMENTOS PLANIMÉTRICOS
Limite de Raio Mínimo para projeto de concordância horizontal simples.
CONCEITO DE RAIO DE CURVA (R):
• E o raio do arco do circulo empregado na concordância.
• Selecionado de acordo com as características técnicas da rodovia e a
topografia da região.
• Gabaritos podem ajudar. Representam, na escala da planta, trechos de curvas
circulares de diversos raios.
CONCEITO DE ÂNGULO CENTRAL (AC):
E o angulo formado pelos raios que passam pelo PC e PT e que se
interceptam no ponto O. Estes raios sao perpendiculares nos pontos de
tangencia PC e PT. Este angulo e numericamente igual a deflexao (I)
entre os dois alinhamentos
ELEMENTOS PLANIMÉTRICOS
ELEMENTOS PLANIMÉTRICOS
CONCEITO DE TANGENTES (T):
Sao os segmentos de retas que vao do PC ao PI ou do PI ao PT
(nao confundir com a extensao do trecho em tangente entre duas
curvas consecutivas).
ELEMENTOS PLANIMÉTRICOS
Tangente Exterior (T):
• São os segmentos de reta que vão do “PC” ao “PI” e do “PT” ao “PI”
(expressa em metros).
ELEMENTOS PLANIMÉTRICOS
Desenvolvimento Circular (DC):
• E o comprimento do arco do circulo que vai desde o PC ao PT.
ELEMENTOS PLANIMÉTRICOS
Afastamento (E)
É a distancia entre e o ponto médio da curva (PM), calculado de acordo
com a equação.
Cos(
𝐴𝐶
2
) =
𝑅
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑂−𝑃𝐼)
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑂−𝑃𝐼) =
𝑅
Cos(𝐴𝐶
2
)
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑂−𝑃𝐼) = 𝑅 ∗ sec(
𝐴𝐶
2
)
Sabe-se,
E = 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑂−𝑃𝐼) − 𝑅
𝐸 = 𝑅 ∗ sec(
𝐴𝐶
2
) - R 𝐸 = 𝑅 ∗ (sec( 𝐴𝐶
2
) – 1)
Assim,
𝑬 = 𝑹 ∗ (
𝟏
cos(𝑨𝑪
𝟐
)
– 1)
ELEMENTOS PLANIMÉTRICOS
Ordenadas médias 
É a distancia entre e o ponto médio da curva (PM) e o ponto médio da calculado
de acordo com a equação.
Cos(
𝐴𝐶
2
) =
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑂−𝑆)
𝑅
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑂−𝑆) = 𝑅 ∗ cos(
𝐴𝐶
2
)
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑂−𝑆) = 𝑅 − 𝑅 ∗ cos(
𝐴𝐶
2
)
Assim,
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑠−𝑃𝑀) = 𝑹 ∗ (1 − cos(
𝑨𝑪
𝟐
))
Corda (C) 
É o segmento da reta entre o (PC) e (PT), calculado de
acordo com a equação
PM
S
C
sen(
𝐴𝐶
2
) =
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑆−𝑃𝑇)
𝑅
𝒄 = 2R*sen(
𝑨𝑪
𝟐
)
ELEMENTOS PLANIMÉTRICOS
• As estacas possuem uma distância de 20m.
• A primeira estaca a estaca 0 representada por PP (Ponto de Partida).
• Para evitar erro nas distâncias entre estacas nas curvas foi criada a tabela
abaixo.
RAIOS DE CURVAS (R) CORDA MÁXIMA (C)
R < 100,00m 5,00m
100,00m < R < 600,00m 10,00m
R > 600,00m 20,00m
Grau da curva (G)
ELEMENTOS PLANIMÉTRICOS
ELEMENTOS PLANIMÉTRICOS
Grau da curva (G)
ELEMENTOS PLANIMÉTRICOS
Quando um ponto a ser localizado não corresponde a um número inteiro de
estacas, sua posição pé definida pela estaca anterior mais a distância em metro a
partir dela.
Nesse caso, a identificação da estaca será realizada seguindo a notação
(A+B). Sendo,:
A = número inteiro de estacas
B = distância em metros (fração de estaca)
Ex: o ponto (p), distante 335,80 m do ponto inicial do traçado (estaca zero), será
identificado pela estaca (16+15,48)
Desta forma, dada a estaca do ponto de interseção das tangentes (PI), pode-
se calcular:
Estaca do PC = estaca do PI – T
Estaca do PT = estaca do PC + D
Cálculo das estacas
ELEMENTOS PLANIMÉTRICOS
Forma de ilustra no projeto:
ELEMENTOS PLANIMÉTRICOS
Método das deflexões e das cordas
De acordo com a figura, o processo de locação dos pontos da
curva inicia-se com a implantação do primeiro ponto de estaca inteira da
curva. Neste caso, o ponto 1, localizado a (d1) metros do (PC) da curva.
𝐺
20
=
γ1
𝑑1
γ1 =
𝐺 ∗ 𝑑1
20
α1 =
γ1
2
Logo a 1° deflexão será α1 =
𝐺 ∗ 𝑑1
40
Logo a 2° deflexão será
α2 =
𝐺 ∗ 𝑑2
40
Logo a α𝑖 deflexão será
α𝑖 =
𝐺 ∗ 𝑑𝑖
40
ELEMENTOS PLANIMÉTRICOS
α1 = 20 − 𝑓𝑝𝑐 ∗
𝐺
40
Método das deflexões e das cordas
Assim, para implantação de uma curva a partir de um ponto inicial
(PC), cuja estaca é igual a (Npc) é o número de estacas inteiras e (Fpc) é a
fração complementar da estaca, deve-se primeiramente calcular o ângulo
de deflexão da primeira estaca inteira da curva (Npc + 1).
α2 = 𝑓𝑝𝑡 ∗
𝐺
40
ELEMENTOS PLANIMÉTRICOS
Método das deflexões e das cordas
Para facilitar o trabalho de locação é recomendável elaborar uma
planilha de locação, conforme a tabela 4.1
ELEMENTOS PLANIMÉTRICOS
EXERCÍCIO
Concordância com curva circular simples:
• Exemplo: Deseja-se fazer a concordâncias com curvas circulares simples do projeto
de um eixo, com os alinhamentos definidos na forma da figura abaixo, no qual se
queira efetuar as concordâncias com os raios de curva
R1 = 200,00 m e R2 = 250,00 m.
ELEMENTOS PLANIMÉTRICOS
Resultado analítico:
• R1=200; AC=24º12’40” ou AC=24.21111 dec
• R2=250; AC=32º49’50” ou AC=32.83055 dec
ELEMENTOS PLANIMÉTRICOS
EXERCICIO
Calcular os elementos geométricos de uma curva circular simples considerando que o
raio mínimo é igual 200 metros e o ângulo é igual a 32°12’35’.
Estaca do PC = estaca do PI – distância T = Estaca do PC =(322 + 18,62)
Estaca do PT = estaca do PC + comprimento D = Estaca PT = (328 + 11,05
Estaca Arco Corda Deflexões 
acumuladas
Resolução
RR
PT
PI
PC
AC = Δ = 32°12’35”
R = 200 m
• Tangente
T = tg(AC/2)
T = tg (
32°12’35”
2
)
T = 57,75 m 
• Deslocamento
D =
ԉ R AC
180°
D =
ԉ 𝑥 200 𝑥32°12’35”
180°
D = 112,43m
• Afastamento
e = R x
1
cos
AC
2
− 1
e =200 x (
1
cos
32°12’35”
2
− 1)
e = 8,17 m
• Corda
C = 2R Sen (
AC
2
)
C = 2 x 200 Sen (
32°12′35"
2
)
C = 110,96 m
Resolução
• Grau da Curva
G = 
180° 𝑥 𝐴𝐵
ԉ 𝑥 𝑅
G = 
180° x 20
ԉ 𝑥 200
G = 5°43’46,48”
RR
PT
PI
PC
• 1° Deflexão da curva
γ = 
𝐺 𝑥 d
40
γ = 5°43’46,48” 𝑥 (20,0 − 18,62)
40
γ = 0°11’51,61”
• 2° Deflexão da curva
γ = 
𝐺 𝑥 d
40
γ = 5°43’46,48” 𝑥 20
20
γ = 2°51’53,24”
Resolução
RR
PT
PI
PC
Estaca Arco Corda Deflexões da corda Deflexão 
acumulada
PC (322 + 18,62) 0 0 0 0
323 1,38 1,38 0°11’51,61” 0°11’51,61”
324 21,38 21,36 2°51’53,24” 3°3’44,85”
325 41,38 41,31 2°51’53,24” 5°55’38,09”
326 61,38 61,14 2°51’53,24” 8°47’31,33”
327 81,38 80,82 2°51’53,24” 11°39’24,57”
328 101,38 100,29 2°51’53,24” 14°31’17,81”
328 + 11,05 112,43 110,96 1°34’59,69” 16°06’17,5”
324
325
238
326 327
323
EXERCICIO
A poligonal de uma rodovia tem início no ponto A e passa pelos pontos B e C
mostrados na figura A. a distância entre os pontos A e B é de 724,00m e entre os pontos B e
C é de 960 m. No ponto D tem início uma curva circular simples com ângulo central de 90°
e raio de 360m, terminando no ponto E. Após a concordância da curva, calcule as estacas
dos pontos D, E e C
EXERCICIO