EMI-2015-MCN-20-Matemática

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BIO
GE
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QU
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LP
O
FIL
HI
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SO
C
M
ate
m
áti
ca
211
212
RE
S
FÍS
Capítulo 2 .................. 14
Módulo 7 ................ 26
Módulo 8 ................30
Capítulo 3 ..................34
Módulo 9 ................48
Módulo 10 .............. 51
Módulo 11 ..............54
Módulo 12 ..............58
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W
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EL
IV
IN
GM
OO
N.
CO
M
1. Introdução 16
2. Conjunto dos números naturais () 16
3. Conjunto dos números inteiros () 17
4. Conjunto dos números racionais () 19
5. Conjunto dos números irracionais ( ) 21
6. Conjunto dos números reais () 23
7. Intervalos reais 23
8. Organizador gráfico 25
Módulo 7 – Conjunto dos números 
naturais, inteiros e racionais 26
Módulo 8 – Conjunto dos números 
irracionais e reais. Intervalos reais 30
• Reconhecer uma dízima periódica como 
uma representação de um número 
racional.
• Identifi car a localização de números 
reais na reta numérica.
• Reconhecer uma dízima periódica como 
uma representação de um número 
racional, e uma dízima não periódica 
como a representação de um número 
irracional.
• Associar a uma fração sua representa-
ção decimal e vice-versa.
• Efetuar cálculos que envolvam opera-
ções elementares com potências de 
dez.
• Efetuar operações com intervalos 
numéricos.
• Resolver problemas que envolvam 
operações elementares com potências 
de dez.
W
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W
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EL
IV
IN
GM
OO
N.
CO
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15
Podemos pensar que as origens da matemática se devem às necessidades prá-
ticas do dia a dia do ser humano. Entre elas, destaca-se a de contar objetos e coi-
sas que, ao longo do tempo, levou à construção do conceito de número. Da criação 
de símbolos para expressar esse conceito, até os dias atuais, os números estão 
presentes em quase todas as atividades humanas, inclusive as que propiciaram 
grandes conquistas do mundo moderno (os computadores, as telecomunicações, 
os robôs, a Internet etc.)
Conjuntos numéricos 2
Osso de Ishango – a 
calculadora mais 
antiga do mundo
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1. Introdução
Conforme a história da humanidade foi sendo escrita, 
diante das mudanças das necessidades, a espécie humana 
foi desenvolvendo procedimentos tanto para armazenar in-
formações quanto para transferi-las para as futuras gerações. 
As necessidades de contar e medir foram de fundamental 
contribuição para que o ser humano fosse, gradualmente, 
desenvolvendo o conceito de número e inventando os mais 
variados tipos de numerais dependendo das quantidades, 
medições e valores que precisava representar.
Assim, surgiram representações para os números inteiros, 
fracionários, decimais, negativos, irracionais e imaginários. 
Apesar de as ideias de número terem surgido, há, talvez, 
30 000 anos, foi apenas no século dezenove que os mate-
máticos trabalharam mais intensamente na organização 
dos números conhecidos em conjuntos, de acordo com suas 
propriedades, para melhor estudá-los e organizá-los. A esses 
conjuntos denominamos conjuntos numéricos. Assim, serão 
objeto de nosso estudo os conjuntos dos números naturais, 
dos inteiros, dos racionais, dos irracionais e dos reais.
O Papiro Rhind, também conhecido como Papiro Ah-
mes, é o mais extenso rolo de papiro de natureza matemá-
tica com medidas aproximadas de 5 m de comprimento e 
0,30 m de altura, sendo peça integrante do acervo do Mu-
seu Britânico, em Londres.
Foi copiado pelo escriba egípcio Ahmes, por volta de 
1650 a.C., de material proveniente do Reino do Meio de 
cerca de 2000 a.C. a 1800 a.C.
Comprado em 1858 pelo antiquário escocês Henry 
Rhind (1833-1863), por isso conhecido como Papiro Rhind, 
contém 85 problemas resolvidos que envolvem situações 
cotidianas tais como armazenagem de grãos de trigo, preço 
do pão, alimentação do gado.
BOYER, Carl B. História da matemática. São Paulo: 
Edgar Blücher, 1974. p. 9. Adaptado.
DEA PICTURE LIBRARY/DE AGOSTINI/GETTY IM
AGES
Fragmento do Papiro Rhind
2. Conjunto dos números 
naturais ( )
A contagem direta levou à criação dos números naturais, 
os primeiros números criados pelo ser humano a partir da ne-
cessidade de contar objetos e outros seres encontrados na 
natureza. Hoje, os números naturais são usados em nosso 
dia a dia para quantificar, medir, comparar, ordenar, codificar, 
registrar etc.
SANTIAGO CORNEJO/SHUTTERSTOCK
Números usados para representar velocidade
7 8 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
Rua
Augusta
CEP 01305-000
Usando números naturais em códigos, como CEP ou código de barras.
Os números são representados por símbolos. Para re-
presentar os números naturais, os símbolos usados são os 
algarismos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). O termo algarismo é deri-
vado de parte do nome do matemático e astrônomo árabe 
Mohammed ibu-Musa al-Khowarizmi (780-850), cujos tra-
balhos divulgaram o sistema de numeração indo-arábico.
BOYER, Carl B. História da matemática. São Paulo: 
Edgar Blücher, 1974. p. 166. Adaptado.
NEVESHKIN NIKOLAY/SHUTTERSTOCK
Selo russo comemorativo do 1 200o aniversário 
de Mohammed ibu-Musa al-Khowarizmi
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Modernamente, são números naturais aqueles que re-
presentam a quantidade de elementos de um conjunto finito 
ou vazio.
Indicando-se por  o conjunto dos números naturais e 
por * o conjunto dos números naturais não nulos, temos:
 = {0, 1, 2, 3, 4, ...} e 
* = {1, 2, 3, 4,...} ou * = 	– { 0 }
Note que: * ⊂ 
Convencionalmente, um asterisco (*) acrescentado à 
letra que designa um conjunto numérico indica que o nú-
mero zero foi excluído desse conjunto.
O conjunto dos números naturais é infinito e seus ele-
mentos podem ser ordenados. Para cada número natural n, 
temos seu sucessor que é o natural n + 1, que por sua vez 
tem como sucessor o natural n + 2, e assim por diante.
Sucessão dos naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., n, n+1, n+2, 
n+3, ...
Os números naturais n e n + 1 são chamados consecuti-
vos e n é o antecessor de n + 1.
Na sucessão dos naturais, se um número a antecede um 
número b, dizemos que a é menor que b (a < b) ou que b é 
maior que a (b > a).
Podemos representar o conjunto  geometricamente por 
meio de pontos dispostos em uma reta, chamada reta nume-
rada (ou numérica). Para isso, nela: 
• indicamos um ponto de origem, correspondente ao 
número zero; 
• determinamos uma unidade de medida e
• estabelecemos uma orientação, que, em geral, é para 
a direita. 
0 1
Unidade
Considerando essa unidade de medida, marcamos sobre 
essa reta outros pontos correspondentes aos números 2, 3, 
4, 5, 6 etc.
0 1 2 3 4 5 6
Para quaisquer dois números naturais, o resultado da 
adição e da multiplicação entre eles é também um número 
natural, porém a subtração e a divisão entre eles nem sempre 
resultam um número natural.
De maneira geral, sendo a e b dois números naturais, na 
subtração, temos:
• Se a ≥ b, então a diferença a – b é um número natural.
• Se a < b, então a diferença a – b não é um número natural. 
Qual o significado para 2 – 8 ?
3. Conjunto dos números 
inteiros ()
Durante séculos os matemáticos conviveram com a difi-
culdade de atribuir significado formal à diferença a – b sendo 
a e b dois números naturais, com a < b.
Situações de ordem prática, tais como expressar dívidas, 
indicar a temperatura em regiões que no inverno atingem 
temperaturas inferiores à normal de fusão do gelo (0 °C) con-
tribuíram para a criação dos números negativos.
AL
HO
VI
K/
SH
UT
TE
RS
TO
CK
Termômetros podem registrar temperaturas negativas e positivas.
Associemos a cada número natural a o seu oposto (ou 
simétrico), indicado por –a, de modo que a + (–a) = 0. Assim:
–6 é oposto de 6: 6 + (–6) = 0
5 é oposto de –5: (–5) + 5 = 0
Zero é o oposto dele mesmo: 0 + 0 = 0
Dessa forma, a subtração 2 – 8 passa a ter significado:
2 – 8 = 2 + (–8) = 2 + [(–2) + (–6)] = [2 + (–2)] + (–6) 
= 0 + (–6) = (–6)
Da união dos números naturais com os seus opostos(ou 
simétricos), temos o conjunto dos números inteiros, que é 
representado pelo símbolo , proveniente da palavra alemã 
Zahl, em português, número.
Assim:
 = {0, 1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, –4, 5, –5, ...}
ou
 = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Note que:  ⊂  (todo número natural é inteiro).


 01. 
Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma 
das afirmações a seguir:
a. {0} ⊂  ( )
b. (5 – 3) ∈ ( )
c.  ∩		=			 ( )
d.  ⊂ * ( ) 
Resolução
a. (V), pois 0 é elemento de .
b. (V), pois 5 – 3 = 2 e 2 é um número natural.
c. (F), pois os elementos de  são inteiros não negativos.
d. (F), pois 0 é elemento de .
APRENDER SEMPRE 1
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Embora o conceito de número positivo e número nega-
tivo seja muito mais antigo (os matemáticos chineses da 
Antiguidade usavam barras vermelhas para representar os 
excessos ou números positivos e barras pretas para repre-
sentar as faltas ou números negativos, mas não aceitavam 
um número negativo para solução de uma equação), os 
sinais + e – foram usados pela primeira vez pelo alemão 
Richard Widmann, provavelmente como uma simplificação 
dos símbolos ~m = minus (menos) e ~p = piu (mais) usados 
desde a Idade Média.
Para o conjunto dos números, temos alguns subconjun-
tos notáveis. São eles:
• Conjunto dos números inteiros não nulos:
	 * = {... ,–5, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
	 *=  – { 0 }
• Conjunto dos números inteiros não negativos:
	 + = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
	 + = 
• Conjunto dos números inteiros positivos:
	 +
* = { 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
	 +
* = *
• Conjunto dos números inteiros não positivos:
	 –= {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0} =
 = {0, –1, –2, –3, –4, –5, ...}
• Conjunto dos números inteiros negativos
	 
*
− = {..., –5, –4, –3, –2, –1} = { –1, –2, –3, –4, –5, ...}
• Conjunto dos números inteiros pares:
 Os números inteiros que são múltiplos de 2 são cha-
mados números pares. Assim, chamando de P o con-
junto dos números inteiros pares, temos:
 P = {..., –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, ...}
 P = {x | x = 2.k, k ∈ }
• Conjunto dos números inteiros ímpares:
 Os números inteiros que não são pares são chamados 
números ímpares. Assim, chamando de I o conjunto 
dos números inteiros ímpares, temos:
 I = {..., –5, –3, –1, 1, 3, 5, 7, ...}
 I = {x | x = 2.k + 1, k ∈ }
• Conjunto dos números inteiros primos:
 Um número inteiro p é primo se, e somente se:
a. p ≠ –1, p ≠ 0 e p ≠ 1
b. Os únicos divisores de p são 1, –1, p e –p.
 Assim, chamando de A o conjunto dos números intei-
ros primos, temos:
 A = {..., –11, –7, –5, –3, –2, 2, 3, 5, 7, 11, ...} 
Excetuando-se os números –1, 0 e 1, os demais números 
inteiros que não são primos são chamados números compos-
tos. Assim, chamando de C o conjunto dos números inteiros 
compostos, temos:
C = {..., –10, –9, –8, –6, –4, 4, 6, 8, 9, 10, ...} 
• Conjunto dos números inteiros não primos e não com-
postos:
 Chamando de B o conjunto dos números inteiros não 
primos e não compostos, temos:
 B = { –1, 0, 1}
O conjunto dos números inteiros é infinito e seus elemen-
tos podem ser ordenados. Para cada número inteiro k, temos 
seu sucessor que é o inteiro k + 1, que, por sua vez, tem como 
sucessor o inteiro k + 2, e assim por diante.
Sucessão dos inteiros:
...,– 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., k, k+1, k+2, k+3, ...
Os números inteiros k e k + 1 são chamados consecuti-
vos e k é o antecessor de k + 1.
Representando o conjunto dos números inteiros na reta 
numerada, temos:
Sentido
negativo
Sentido
positivo
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
Números opostos
ou simétricos
Dados dois números inteiros a e b, distintos, dizemos que 
a é menor que b (a < b) quando o resultado de (a – b) é um 
número inteiro negativo e que a é maior que b (a > b) quan-
do o resultado de (a – b) é um número inteiro positivo. Por 
exemplo:
2 < 5, pois 2 – 5 = –3 (inteiro negativo)
–3 > – 8, pois –3 –(–8) = –3 +8 = 5 (inteiro positivo)
 01. 
Prove que:
Se a e b são dois números pares, então a soma deles é 
também um número par.
Intuitivamente percebemos a veracidade dessa afir-
mação, porém só podemos aceitá-la como verdadeira se 
ela for justificada por argumentos matemáticos. Assim, do 
texto:
• O que nos foi dado? (Hipótese)
 a e b são dois números pares
• O que deve ser provado? (Tese)
 a + b é um número par
• Prova
 a é par, então, a = 2k, k ∈ 
 b é par, então, b = 2q, q ∈ 
 a + b = 2k + 2q = 2 (k + q); (k + q)∈ 
 Logo, a + b é um número par.
APRENDER SEMPRE 2
Para quaisquer dois números inteiros, o resultado da adi-
ção, da subtração e da multiplicação entre eles é também um 
número inteiro, porém a divisão entre eles nem sempre resul-
ta um número inteiro.
Sejam a e b dois números inteiros:
• Se a é múltiplo de b, então a divisão a
b
 resulta um nú-
mero inteiro.
• Se a não é múltiplo de b, então a divisão a
b
 não resulta 
um número inteiro.
Qual o significado para 2
3
 ?
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4. Conjunto dos números 
racionais ()
Dividir um terreno em lotes de mesmo tamanho e produ-
zir embalagens de diferentes capacidades para determinado 
produto são exemplos de situações que contribuíram para a 
evolução da ideia de número racional e sua representação.
1 L 1
2
L 1
4
L
AL
ON
GZ
O/
SH
UT
TE
RS
TO
CK
Chamaremos de racional a todo número que possa ser 
obtido da divisão de um inteiro a por outro inteiro não nulo b, 
que será escrito sob a forma de uma fração (ou, razão) a
b
.
Dessa forma, a divisão 2
3
 passa a ter significado.
Representando o conjunto dos números racionais pela 
letra , temos:
� a
b
|a e b *Z Z{ }= ∈ ∈
Assim, são números racionais:
I. Os números inteiros, pois podem ser escritos na forma a
1
.
 Exemplos: − = − = =6 6
1
0 0
1
4 4
1
, ,
 Como  ⊂ , temos o diagrama:



II. Os números decimais exatos (dízimas finitas)
 Exemplos
0 8 8
10
1 23 123
100
32 456
32 456
1 000
, ; , , ,= = − = −
III. Os números decimais periódicos (dízimas periódicas)
 Exemplos 
 0 777 0 7
7
9
1 232323 1 23 122
99
, ... , ; , ... ,= = = =
 
− = − = −0 4333 0 43 39
90
, ... ,
Um pouco da história dos 
números racionais
Desde muito cedo na história dos números, 
os homens trabalharam com frações, como 
razão, divisão entre duas grandezas expressas 
por números. Inicialmente, os egípcios (por 
volta de 1800 a.C.) interpretavam as frações 
apenas como uma parte da unidade, utilizan-
do-se apenas das frações de numerador 1, as 
frações da unidade. A forma que usavam para 
escrever as frações da unidade era um sinal 
oval alongado sobre o numeral que representa 
o número de partes em que a unidade estava 
dividida (o que hoje chamamos de denomina-
dor).
Exemplo: representa a terça parte da 
unidade.
As frações são frutos das divisões, sejam 
elas exatas ou não. Por isso, esses números são 
resultados de uma subdivisão dos números in-
teiros, ou seja, dividir a unidade em partes e 
considerar certo número de pedaços.
Em outras palavras, em uma fração a
b
, a é 
chamado numerador e b é chamado deno-
minador. Nesse caso, o denominador indica 
em quantos pedaços a unidade (ou outro re-
ferencial) será dividida, denominando a fração 
(meios, quartos, quintos etc) e, o numerador, 
numera quantos pedaços, daquele tamanho, 
queremos considerar.
Já os números decimais, até chegar ao 
formato hoje utilizado, sofreram várias trans-
formações: em 1582, o belga Simon Stevin, 
para representar 345,38, usava 345(0) 3(1) 
8(2), querendo dizer: 345 unidades inteiras, 3 
unidades decimais de primeira ordem e 8 uni-
dades decimais de segunda ordem, que hoje 
podemos ler: 345 inteiros, 3 décimos e 8 cen-
tésimos. Em 1592, o suíço Jost Burgi escreveu 
o mesmo número da seguinte forma: 345 38. 
Ainda em 1592, o italiano G. A. Magini escre-
veu 345.38 (notação usada até hoje em muitos 
países, como os Estados Unidos). A notação 
que utilizamos no Brasil (345,38)é atribuída ao 
holandês Wilbord Snellius, que a teria inventa-
do no início do século XVII.
Para transformarmos um número racional fracionário em 
um número decimal, basta que efetuemos a divisão entre o 
numerador e o denominador.
Exemplos
1
2
0,5; 7
2
3,5; 1
3
0,333...= = =
Para transformarmos um número decimal exato em um 
número racional fracionário basta escrevê-lo como uma fração 
decimal (fração cujo denominador é uma potência de dez).
2
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Exemplos
0 5 5
10
1
2
3 2 32
10
16
5
1 82 182
100
91
50
, ; , ; ,= = − = − = − = =
Também é possível transformarmos um número decimal 
periódico em um número racional fracionário, processo co-
nhecido como obter sua fração geratriz. Veja a seguir.
 01. 
Determinar a fração geratriz das seguintes dízimas pe-
riódicas.
a. 0,222... = 0,2
b. 0,727272... = 0,72 
c. 1,3777... = 1,37
Resolução
a. Indicando a fração geratriz por x e observando que 
o período dessa dízima tem apenas um algarismo 
que se repete infinitamente, teremos:
 x = 0,222...(I)
 10x = 2,222... (II)
 Subtraindo (I) de (II), vem:
 10x – x = 2,222... – 0,222...
 9x = 2
 x = 2
9
 Logo, 2
9
 é a fração geratriz da dízima 0,2.
b. Indicando a fração geratriz por x e observando que 
o período dessa dízima tem dois algarismos que se 
repetem infinitamente, teremos:
 x = 0,727272...(I)
 100x = 72,727272... (II)
 Subtraindo (I) de (II), vem:
 100x – x = 72,727272... – 0,727272...
 99x = 72
 
x 72
99
8
11
= =
 Logo, 8
11
 é a fração geratriz da dízima 0,72.
c. Indicando a fração geratriz por x, observando que 
o período dessa dízima tem apenas um algarismo 
que se repete infinitamente e um algarismo da par-
te decimal que não se repete, teremos:
 x = 1,3777... (I)
 10x = 13,777... (II)
 100x = 137,777... (III)
 Subtraindo (II) de (III), vem:
 100x – 10x = 137,777... – 13,777...
 90x = 124
 
x 124
90
62
45
= =
 Logo, 62
45
 é a fração geratriz da dízima 1,37.
APRENDER SEMPRE 3
Também para o conjunto dos números racionais temos 
alguns subconjuntos notáveis. São eles:
• Conjunto dos números racionais não nulos: 
* =  – { 0 }
• Conjunto dos números racionais não negativos: +
• Conjunto dos números racionais positivos: 
+
* = + – { 0 }
• Conjunto dos números racionais não positivos: –
• Conjunto dos números racionais negativos: 
–
* = – – { 0 }
O conjunto dos números racionais é também infinito 
e ordenado.
Representando o conjunto dos números racionais na reta 
numerada, temos:
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
Números opostos
ou simétricos
7
2
– 9
5
– 7
2
5
2
– 4
3
– 1
2
– 1
2
7
3
15
4
Todo número racional tem também um oposto (ou, simé-
trico). Por exemplo, o oposto de 2
3
 é – 2
3
 e o simétrico de 
–1,2345 é 1,2345.
Para todo número racional 
p
q , sendo 
p
q
 ≠ 0, denominamos 
inverso (ou, recíproco) dele o número 
q
p . Assim, o inverso de 
2
3
 é 3
2
 e o inverso de 1
4
− é –4.
O produto de um número racional pelo seu inverso é sem-
pre igual a 1.
2
3
3
2
1⋅ = 
1
4
( 4) 1( )− ⋅ − =
Dados dois números racionais p e q, distintos, dizemos 
que p é menor que q (p < q) quando o resultado de (p – q) é 
um número racional negativo e que p é maior que q (p > q) 
quando o resultado de (p – q) é um número racional positivo. 
Exemplo
2
3
7
6
< , pois 2
3
7
6
1
2
− = − (racional negativo)
1
2
9
4
− > − , pois 12
9
4
1
2
9
4
7
4( ) ( ) ( )− − − = − + = (racional 
positivo) 
Quando consideramos quaisquer dois números racionais 
distintos, podemos perceber que entre eles sempre pode-
mos encontrar pelo menos outro número racional. A média 
aritmética de dois números racionais distintos, por exemplo, 
é sempre um número racional situado entre eles, como pode 
ser visto na representação a seguir.
0 1 2 3 4
1
2
5
2
3
2
9
4
2
21
1
M
at
em
át
ic
a
21
M
at
em
át
ic
a 
e 
su
as
 Te
cn
ol
og
ia
s
EM
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Note que:
1
2
5
2
2
3
2
3
2
5
2
2
2
2 5
2
2
9
4
+
=
+
=
+
=
Dessa forma, ampliamos o conjunto dos pontos da reta 
numerada associados aos tipos de números estudados até 
aqui e observamos que no conjunto dos números racionais 
não se conservam os conceitos de sucessor e antecessor.
Para quaisquer dois números racionais, o resultado da 
adição, da subtração, da multiplicação e da divisão entre eles 
é também um número racional, lembrando que para a divisão 
o divisor é um racional não nulo.
5. Conjunto dos números 
irracionais ( )
A necessidade humana de resolver problemas associa-
dos à prática de medições levou os matemáticos gregos, por 
volta do século VI a.C., a descobrirem segmentos cujas medi-
das não podiam ser representadas por números usados por 
eles, os naturais e as razões entre números naturais, hoje 
chamados números racionais. Os pitagóricos, seguidores do 
matemático grego Pitágoras, acreditavam que, dados dois 
segmentos quaisquer, sempre seria possível encontrar uma 
unidade de medida que coubesse um número exato de vezes 
em cada um deles (segmentos comensuráveis, aqueles que 
podem ser medidos por números racionais).
No entanto, ao considerar a diagonal de um quadrado e o 
lado desse quadrado, por menor que fosse a unidade de medida 
estabelecida para o lado do quadrado, ela não cabia um número 
exato de vezes na sua diagonal (segmentos incomensuráveis, 
aqueles que não podem ser medidos por números racionais).
Assim, utilizando o teorema de Pitágoras para calcular 
a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede uma 
unidade, encontramos o número 2 , que não corresponde 
a um número racional.
O desenvolvimento do sistema decimal de numera-
ção e dos procedimentos de cálculo aritmético possibilitou 
associar 2 ao número decimal infinito e não periódico 
1,414213562373....
VA
TI
CA
NO
, R
OM
A,
 IT
ÁL
IA
Pitágoras representado por Rafael Sanzio em sua celebrada pintura 
Escola de Atenas. Pitágoras (570 a.C.-500 a.C.), matemático 
e filósofo grego, nasceu em Jonia, na ilha de Samos.
A esse novo tipo de número deu-se o nome de número 
irracional, contrapondo-se ao termo número racional.
Assim, chamaremos de irracional a todo número que não 
possa ser obtido da divisão de um inteiro a por outro inteiro 
não nulo b, ou seja, que não possa ser escrito sob a forma ab 
em que a ∈ e b ∈*.
Para indicar o conjunto dos números irracionais, usare-
mos aqui o símbolo .
São exemplos de números irracionais:
a. 2 =1,4142135623730950488016887242097...
b. 3 = 1,7320508075688772935274463415059...
c. O número p (lê-se: pi), que representa a razão cons-
tante entre o comprimento C de uma circunferência 
com raio r e seu diâmetro d.
C
d
2πr
2r
π= =
r
	 p = 3,1415926535897932384626...
d. O número e, número de Euler, inventado pelo matemá-
tico escocês John Napier ao desenvolver seu trabalho 
sobre logaritmos.
 e = 2,71828182845904523536028...
Com uso de um compasso podemos representar alguns 
números irracionais na reta numerada, como mostrado a seguir.
–2
–1 0 1
1
3–
3
2
2– 2 3
1
1
Com a medida da diagonal do quadrado de lado 1, obte-
mos 2 e localizamos 2 e – 2 .
Construindo o triângulo retângulo de catetos medindo 1 
e 2 , obtemos 3 como medida da hipotenusa e localiza-
mos 3 e – 3 .
Um modo simplificado para localizar o número p é cons-
truir uma circunferência de raio 1. Como a metade de seu 
comprimento é igual a p, retificando-se a semicircunferência 
indicada, o ponto P da reta numerada representa o número p.
1
3 π
1
A. Propriedades dos números irracionais
P1. Se o número an , com n ∈* e a ∈, não é natural, 
então esse número é irracional.
 Exemplos
a. 3 é irracional. 
2
21
1
M
at
em
át
ic
a
22
M
at
em
át
ic
a 
e 
su
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 Te
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ol
og
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s
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b. 23 é irracional. 
c. 74 é irracional.
d. 164 é natural. 
P2. A soma de um número racional com um número irra-
cional é um número irracional.
 Exemplos
a. 2 + 3
b. 7 – 2
c. 2 – p
P3. O produto entre um número racional, diferente de zero, 
com um númeroirracional é um número irracional.
 Exemplos
a. 2· 3
b. 3· p
P4. O quociente entre um número racional, diferente de 
zero, com um número irracional é um número irracional.
 Exemplos
a. 3
2
3 2
2
3
2
2= = ⋅
b. 2
p
Notemos que a soma, a diferença, o produto e o quocien-
te entre dois números irracionais não necessariamente são 
números irracionais.
Exemplos
a. 3 + 3 = 2· 3 (irracional)
b. (2 + 3 ) + (2 – 3 ) = 4 (racional) 
c. 3 – (1 – 3 ) = 2 3 – 1 (irracional)
d. 3 – (2 – 3 )= –2 (racional) 
e. 3 · 5 = 15 (irracional)
f. 5 · 5 = 5 (racional) 
g. 15
5
3= (irracional)
h. 2
2
1= (racional)
Um pouco da história dos números irracionais
Usando o teorema de Pitágoras, vamos calcular a diagonal de um quadrado de 
lado 1. Que número ao quadrado tem como resultado o número 2?
Para Pitágoras, a beleza estava associada à simplicidade da representação 
matemática. A filosofia de sua escola baseava-se na máxima: “Tudo é número”. 
Porém, ironicamente, o seu maior teorema já mencionado acima quase pôs essa 
máxima abaixo. Os pitagóricos procuraram, incessantemente, um número que, ao 
quadrado, tivesse como resultado o número 2. 
Observe: 1,42= 1,96 < 2 e 1,52= 2,25 > 2
1,412= 1,98810 < 2 e 1,422= 2,01640 > 2
1,4142= 1,999396 < 2 e 1,4152= 2,002225 > 2
1,41422= 1,99996164 < 2 e 1,41432 = 2,00024449 > 2
Nenhum número convinha, nenhum inteiro, nenhuma fração. Surgiu a pergunta: Será que existe esse 
número? Se ele não existe, como tudo pode ser número, se não há nenhum número que expresse a dia-
gonal do quadrado?
Depois de muito persistirem, os gregos acabaram provando que não existia nenhuma fração cujo 
quadrado fosse o número dois e, para não “irritar os deuses” com a descoberta desse “número profano”, 
os pitagóricos juraram nunca revelar a existência desses números inexprimíveis. Felizmente, o segre-
do não ficou restrito aos pitagóricos e, mais tarde, outros matemáticos perceberam a necessidade da 
criação de um novo número, simbolizado por 2 , que é classificado como número irracional, pois é 
número com infinitas casas decimais e não periódico.
2 = 1,414213562373095048801...
Em outras palavras, poderíamos continuar avançando infinitamente, e sempre o quadrado do núme-
ro estaria mais próximo de 2, mas nunca seria exato.
A seguir, eis a prova dos pitagóricos. Este tipo de prova requer uma hipótese para que ela seja con-
trariada. Primeiramente, vamos supor que 2 seja um número racional, portanto existe uma represen-
tação para ele da forma 
a
b
, sendo esta fração irredutível.
2 = ab
Elevando os dois membros ao quadrado, temos: 2 = a
2
b2
 ⇒ a2 = 2b2
Concluímos que a2 é par, pois ele é da forma 2 · n, sendo n inteiro.
Se a2 é par, então a é par, logo existe um inteiro k tal que a = 2k e, por consequência, (2k)2 = 2b2. Sim-
plificando, chegamos a b2 = 2k2, portanto b2 é par e b é par, mas isso é um absurdo, pois se a e b são pares, 
então a fração não é irredutível. Como nossa hipótese está errada, 2 não é um número racional. (cqd)
x
1
1
2
21
1
M
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23
M
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6. Conjunto dos números reais ()
Foram os matemáticos do século XIX que estabeleceram 
o sistema dos números reais de forma mais consistente. O 
matemático alemão J. W. Richard Dedekind (1831-1916) 
formulou uma teoria mais abrangente sobre os números irra-
cionais, baseando-se na noção primitiva da continuidade da 
reta. De acordo com tal teoria, atribuindo-se a cada número 
racional um ponto da reta, os pontos restantes estarão asso-
ciados aos números irracionais.
Assim, da união do conjunto dos números racionais com 
o dos irracionais, obtemos o conjunto dos números reais.
Representando o conjunto dos números reais pela letra 
, temos:
 = { x | x ∈  ou x ∈ } = { x | x é número racional 
ou irracional}
ou
	= 	∪	
Dessa forma, dizemos que todos os números naturais, 
inteiros, racionais e irracionais são números reais.
Como  ⊂	 ⊂	 ⊂	, ⊂	 e  ∩	 = ∅, sendo 
 =  – , temos o diagrama:
0,101101110...
80−
2−
3 10
π

0,35
–0,132 
73
57
5
4
−
0,8
–5
–1
–501
–15
–73

1
0 2
53
93
105

Também para o conjunto dos números reais temos al-
guns subconjuntos notáveis. São eles:
• Conjunto dos números reais não nulos:
 * =  – { 0 } = {x ∈ 	| x ≠ 0}
• Conjunto dos números reais não negativos:
 + = {x ∈| x ≥ 0}
• Conjunto dos números reais positivos:
 +
* = + – { 0 } = {x ∈ 	| x > 0}
• Conjunto dos números reais não positivos:
 – = {x ∈	 | x ≤ 0}
• Conjunto dos números reais negativos:
 –
* = – – { 0 } = {x ∈	| x < 0}
Com o conjunto  dos números reais, infinito e ordenado, a 
reta numerada fica “completa”, isto é, a cada número real corres-
ponde um único ponto da reta, e a cada ponto da reta correspon-
de um único número real. À reta numérica que representa o con-
junto dos números reais denominamos reta real ou eixo real.
Observe a reta real, na qual colocamos apenas alguns 
números reais.
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
1
2
– 7
2
–π π3– 2
Note que, no eixo real, qualquer número colocado à 
direita de outro é maior que esse outro.
Para quaisquer dois números reais o resultado da adição, 
da subtração, da multiplicação e da divisão entre eles é tam-
bém um número real, lembrando que para a divisão o divisor 
é um real não nulo. Dizemos ainda:
• Se n é natural ímpar e a ∈, então an ∈
• Se n é natural par, diferente de zero, e a ∈, então: 
 a > 0 ⇔ an ∈
7. Intervalos reais
Usados em meteorologia, os ter-
mômetros de máxima e mínima tra-
zem a ideia de intervalo ao indicar a 
temperatura mais baixa e a mais alta 
ocorrida em um determinado intervalo 
de tempo. Consideremos que para uma 
cidade em um determinado dia a tem-
peratura mínima foi de 2 °C e a máxima, 
19 °C. Sendo contínua a varia-
ção da temperatura, esse inter-
valo de variação pode ser repre-
sentado na reta real como se 
segue.
2 19
 Em linguagem matemática, dados os números reais a e b, 
com a < b, os seguintes subconjuntos de  são denominados 
intervalos (ou, intervalos reais).
a. Intervalo fechado de extremos a e b:
 [a,b] = {x ∈ | a ≤ x ≤ b}
a b
b. Intervalo aberto de extremos a e b:
 ]a,b[ = {x ∈ 	| a < x < b}
a b
c. Intervalo aberto à direita (ou, fechado à esquerda) de 
extremos a e b:
 [a,b[ = {x ∈  | a ≤ x < b}
a b
d. Intervalo aberto à esquerda (ou, fechado à direita) de 
extremos a e b:
 ]a,b] = {x ∈ | a < x ≤ b}
a b
Existem ainda os intervalos ilimitados, em que usamos 
os símbolos –∞	( lê-se “menos infinito”) e +∞ ( lê-se “mais 
infinito”).
e. Intervalo ilimitado fechado à esquerda:
 [a,+∞[ = {x ∈ | x ≥ a}
a
COROIU OCTAVIAN/ALAM
Y/GLOW
 IM
AGES
2
21
1
M
at
em
át
ic
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M
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EM
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f. Intervalo ilimitado aberto à esquerda:
 ]a,+∞ [ = {x ∈ | x > a}
a
g. Intervalo ilimitado fechado à direita:
 ]–∞, a ] = {x ∈ | x ≤ a}
a
h. Intervalo ilimitado aberto à direita:
 ]–∞, a [ = {x ∈ | x < a}
a
i. Intervalo ilimitado de – ∞ a + ∞:
 ]– ∞ , + ∞ [ = 
Note que:
I. O símbolo ( ) “bolinha cheia” ou “bolinha fechada” in-
dica que o número associado a esse extremo perten-
ce ao intervalo.
II. O símbolo ( ) “bolinha vazia” ou “bolinha aberta” indi-
ca que o número associado a esse extremo não per-
tence ao intervalo.
III. Os símbolos –∞ e +∞ não são números, mas apenas 
formas de representação, indicando que o intervalo 
será aberto nesse extremo.
IV. Podemos usar parênteses para indicar que o número 
associado a um extremo não pertence ao intervalo.
Assim:[2, 5[ = [2, 5)
Exemplos
a. {x ∈ | –2 < x ≤ 10} = ]–2, 10]
–2 10
b. {x ∈ | x ≥5} = [5, +∞[
5
 01. 
Considere os conjuntos 
A = {x ∈ | 5 < x ≤ 9}, 
B = {x ∈ | 7 ≤ x ≤ 11}, 
C = {x ∈ | x > –2}
D = {x ∈ | x ≤ 8}.
a. Represente-os usando a notação de intervalo e 
também no eixo real.
b. Determine A ∪ B e A ∩ B. 
Resolução
a. Usando a notação de intervalo:
 A = ]5, 9], B = [7, 11], C = ]–2, +∞[ e D = ] –∞, 8]
 No eixo real, temos:
5 9
A
7 11
B
–2
C8
D
b. 
5
9
A
7
11
B
5 11
A ∪ B
 Logo, A ∪ B = ]5, 11]
5 9
A
7
11
B
7 9
A ∩ B
 Logo, A ∩ B = [7, 9]
APRENDER SEMPRE 4
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M
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25
M
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8. Organizador gráfico
decimais exatos
decimais periódicos
(fração geratriz)
Naturais ()
Inteiros ()
Sentido
negativo
Sentido
positivo
–2 –1 0 1 2 3 4
Números opostos
ou simétricos
–1 0 1
Racionais ()
decimais não periódicos
Irracionais ( )
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4–1 0 1
Conjuntos numéricos
Reais ()
Intervalos
Características
Apenas
textoTema Tópico Subtópico destaqueSubtópico
M
ONTAGEM
 SOBRE AS FOTOS: SANTIAGO CORNEJO/SHUTTERSTOCK / ALHOVIK/SHUTTERSTOCK / TOPONIUM
/SHUTTERSTOCK
2
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1
M
at
em
át
ic
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26
M
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Módulo 7
Conjunto dos números naturais, inteiros e racionais
Exercícios de Aplicação
 01. ENEM
Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar to-
talmente, com tela, os lados de um terreno, exceto o lado 
margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que 
será comprado para confecção da cerca contém 48 metros de 
comprimento.
81 m
190 m
Rio
81 m
A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada 
para cercar esse terreno é:
a. 6
b. 7
c. 8
d. 11
e. 12
 02. Unifor-CE
Considerando-se os conjuntos , dos números inteiros, 
e  dos números racionais, qual dos números seguintes não 
pertence ao conjunto (∪) – (∩) ?
a. 2
3
−
b. – 0,777...
c. 0
d. 
3
5
e. 2,0123
Resolução
Consultando a figura, precisa-se de:
81 + 190 + 81 = 352 m de tela
Como cada rolo tem 48 m, tem-se:
352 : 48 ≈ 7,3
Logo, precisaremos de, no mínimo, 8 rolos.
Alternativa correta: C
Resolução
(∪) – (∩) =  –  (racionais não inteiros)
Como 0 é racional inteiro, temos que 0 ∉ ( – ).
Alternativa correta: C
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M
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Exercícios Extras
 03. PUC-RJ
Escreva na forma de fração m
n
 a soma
0,2222... + 0,23333...
 04. Cefet-MG
Um grupo de alunos cria um jogo de cartas, em que cada 
uma apresenta uma operação com números racionais. O ga-
nhador é aquele que obtiver um número inteiro como resul-
tado da soma de suas cartas. Quatro jovens, ao jogar, recebe-
ram as seguintes cartas:
1ª carta 2ª carta
Maria +1,333... 4
5
+1,2 7
3
Selton 0,222... 1
5
+ 0,3 1
6
+
Tadeu 1,111... 3
10
+ 1,7 8
9
+
Valentina 0,666... 7
2
+ 0,1 1
2
+
O vencedor do jogo foi:
a. Maria. 
b. Selton. 
c. Tadeu. 
d. Valentina. 
 05. 
Sendo A = {x ∈ | n = 30
x
, n ∈} e 
B = {x ∈* | x = 3m, m ∈*}, 
determine a intersecção de A e B.
Resolução 
Indicando x = 0,222... e y = 0,2333..., temos:
a. 
− ⋅ ==
=
∴ =
10 2 222
0 222
9 2
2
9
x
x
x
x
, ...
, ...
b. − ⋅ =⋅ =
⋅ =
∴ =
100 23 333
10 2 333
90 21
21
90
y
y
y
y
, ...
, ...
Ou,
y = 0,2333... = = + =
+
=2,333...
10
2 0,333...
10
2 3
9
10
21
90
Logo: 0,222... + 0,2333... = + =2
9
21
90
41
90
Resposta: 41
90
Habilidade
Reconhecer uma dízima periódica como uma represen-
tação de um número racional
2
21
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Da teoria, leia os tópicos de 1 a 4
Exercícios de tarefa reforço aprofundamento
 06. FGV-SP
Classifique como verdadeiro (V) ou falso (F):
a. ( ) 	= 
b. ( ) 	⊂	+	
c. ( ) –	∪ +	= 
d. ( ) *–		∪ +*		= 
e. ( ) *–		∩ +*		= {0}
f. ( ) –	∩	+ = {0}
 07. UEL-PR modificado
Considere os seguintes conjuntos: 
I. A = {x ∈|2 < x < 20} 
II. B = {x ∈|x = 2n, n ∈}
III. { }= ∈ = ∈ ∗ C x |x 40n ,n
O conjunto (A ∩ B) ∩ C tem: 
a. dois elementos. 
b. três elementos. 
c. quatro elementos. 
d. oito elementos. 
e. quatorze elementos.
 08. 
Encontre a fração geratriz das seguintes dízimas periódicas.
a. 2,777... b. 0,0505 c. 1,2444...
 09. 
O valor de ( )2,777... é:
a. 1,2
b. 1,666...
c. 1,5
d. um número entre 1
2
 e 1
e. 3,49
 10. 
Dados os conjuntos A = {x ∈	| x é divisor de 12} e 
B = {x ∈ | x é múltiplo positivo de 3 e x < 20}, determine:
a. A ∩ B
b. A ∪ B
 11. UFG-GO
Sejam os conjuntos:
A = {2n; n ∈ } e B = {2n – 1 : n ∈ }
Sobre esses conjuntos, pode-se afirmar:
I. A ∩ B = ∅.
II. A é o conjunto dos números pares.
III. B ∪ A = .
Está correto o que se afirma em: 
a. I e II, apenas. 
b. II, apenas. 
c. II e III, apenas. 
d. III, apenas. 
e. I, II e III. 
Exercícios Propostos
Seu espaço
Sobre o módulo
Neste módulo, realizamos uma introdução ao estudo dos conjuntos numéricos.
Ao fazer a apresentação formal do conjunto dos naturais, dos inteiros e dos racionais, comente que essa é uma organização 
moderna dos números e aproveite o exercício 1 para comentar o uso dos naturais no cotidiano.
As pequenas notas históricas visam motivar os alunos para o estudo do assunto. 
Enfatizar o trabalho com as dízimas periódicas.
Alguns exercícios foram propostos para trabalhar a habilidade leitora e outros, como abertura para aprofundamento sobre 
o conteúdo do módulo.
Bom trabalho!
Na web
Revista do Professor de Matemática
Disponível em:<http://www.rpm.org.br>.
Publicação destinada àqueles que ensinam Matemática, sobretudo nas séries finais do Ensino Fundamental e 
no Ensino Médio. 
Artigos sobre dízimas podem ser encontrados nas publicações de números 2, 6, 8, 10 e 14.
Estante
IFRAH, Georges. Os números: história de uma grande invenção. Rio de Janeiro: Globo.
Apresentação histórica da Matemática, relacionada com o processo de surgimento, apogeu e declínio de antigas civiliza-
ções.
2
21
1
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 13. Sistema COC
O aquífero Alter do Chão, que é uma reserva de água sub-
terrânea localizada sob os estados do Pará, Amapá e Amazô-
nia, ocupa uma pequena área em extensão, mas um grande 
volume, reservando, aproximadamente, 85 mil quilômetros 
cúbicos de água. O volume de água da Baía da Guanabara, 
no Rio de Janeiro, é de 2,4 bilhões de metros cúbicos. Com-
parando os volumes do aquífero Alter do Chão e da Baía da 
Guanabara, o volume do aquífero é, aproximadamente:
a. 3,5 × 102 vezes o volume da Baía da Guanabara.
b. 3,5 × 103 vezes o volume da Baía da Guanabara.
c. 3,5 × 104 vezes o volume da Baía da Guanabara.
d. 3,5 × 108 vezes o volume da Baía da Guanabara.
e. 3,5 × 109 vezes o volume da Baía da Guanabara.
 14. Mackenzie-SP
Sejam x, y, z e w números inteiros tais que x < 2y, y < 3z 
e z < 4w.
Se w < 10, então o maior valor possível para x é:
a. 187
b. 191
c. 199
d. 207
e. 213
 15. ENEM
Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de 
Pessoas Físicas (CPF) é composta por um número de 9 al-
garismos e outro número de 2 algarismos, na forma d1d2, 
em que os dígitos d1 e d2 são denominados dígitos verifica-
dores. Os dígitos verificadores são calculados, a partir da 
esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos 
são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2
(o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim sucessivamen-
te); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos 
resultados das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 
1, d1 é zero, caso contrário, d1 = (11 – r). O dígito d2 é calculado 
pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados 
pela sequência dada são contados a partir do segundo alga-
rismo, sendo d1 o último algarismo, isto é, d2 é zero se o resto 
s da divisão por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, 
caso contrário, d2 = (11 – s). Suponha que João tenha perdido 
seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa 
da perda na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram 
as dígitos verificadores, recordando-se apenas que os nove 
primeiros algarismos eram 123.456.789. Nesse caso, as dí-
gitos verificadores d1 e d2 esquecidos são, respectivamente:
a. 0 e 9
b. 1 e 4
c. 1 e 7
d. 9 e 1
e. 0 e 1
 16. 
Prove que: Se a e b são dois números ímpares então a 
soma deles é um número par.
 12. Sistema COC
Considerando as informações contidasno infográfico a seguir podemos concluir corretamente que, se reduzirmos o número 
de bitucas (parte final do cigarro ou charuto, depois de fumado) em 50%, ainda serão geradas bitucas na ordem de:
BOTA BITUCA, M
ARCA REGISTRADA PELA RECICLEIROS IND. E COM
. DE M
ATERIAL RECICLADO LTDA.
a. 1,4 × 1011
b. 7 × 1012
c. 1,4 × 105
d. 7 × 1010
e. 1,4 × 1010
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Módulo 8 
Conjunto dos números irracionais e reais. Intervalos reais
Exercícios de Aplicação
 01. 
Dentre os números: +2 3 ; p + 1; 2 5 ; 3 1,77... e 
+3 3 o maior é:
a. +2 3
b. p + 1
c. +3 3
d. 3 1,77...
e. 2 5
d. entre dois números racionais distintos existe pelo me-
nos um número racional.
e. a diferença entre dois números inteiros negativos é 
sempre um número inteiro negativo.
 02. UFF-RJ
REPRODUÇÃO
Leopold Kronecker (1823-1891)
Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891), 
“Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem.”
Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático, 
uma das grandes invenções humanas.
Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é 
correto afirmar que:
a. o produto de dois números irracionais é sempre um 
número irracional.
b. a soma de dois números irracionais é sempre um nú-
mero irracional.
c. entre os números reais 3 e 4 existe apenas um núme-
ro irracional.
 03. FCC-SP
Dados os conjuntos P = [2; 7] e Q = [– 3; 5[, podemos 
afirmar que:
a. P ∪	Q = [– 1; 12[
b. 3 ∈ Q – P
c. 5 ∉ P ∪ Q
d. [3; 4] ⊂ P ∩ Q
e. P – Q = ] – 3; 2]
Resolução
2 1 41 3 14 5 2 23
1 77 16
9
4
3
3 1 73
2 3 4 41
1 4 16
≈ ≈ ≈
= = ≈
+ ≈
+ ≈
, , ,
, ... ,
,
,
p
p Logo,,
,
, ...
,
2 5 4 46
3 1 77 3 4
3
4
3 3 4 73
⋅ ≈
⋅ = ⋅ =
+ ≈
Alternativa correta: C
Resolução
a. Falsa. 2 · 2 = 2 (racional)
b. Falsa. – 2 + 2 = 0 (racional)
c. Falsa. São infinitos.
d. Verdadeira
e. Falsa. – 3 –(– 5) = 2
Alternativa correta: D
Resolução
Dados os conjuntos:
P = [2; 7] e Q = [– 3; 5[
temos:
2 7
P
–3 5
Q
[ –3 ; 7 ]P ∪ Q
[ 2 ; 5 [P ∩ Q
[ 5 ; 7 ]P – Q
[ –3 ; 2 [Q – P
[3; 4] ⊂ P ∩ Q
Alternativa correta: D
Habilidade 
Efetuar operações com intervalos numéricos.
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Exercícios Extras
 04. Fuvest-SP
Na figura, estão representados geometricamente os nú-
meros reais 0, x, y e 1.
Qual é a posição do número x · y?
0 x y 1
x
a. À esquerda de 0.
b. Entre 0 e x.
c. Entre x e y.
d. Entre y e 1.
e. À direita de 1.
 05. Sistema COC
Uma montadora informa que o desempenho de determi-
nado automóvel, utilizando gasolina, é de 13 km/L na cidade 
e de 16 km/L na estrada, e que seu tanque tem capacidade 
para 45 litros de combustível.
Com base nesses dados e utilizando o automóvel nas 
condições previstas pela montadora, o intervalo dos possí-
veis valores para a distância percorrida por ele com 45 litros 
de gasolina é:
a. [585, 720]
b. [630, 675]
c. ]585, 720[
d. ]630, 675[
e. [585, 675]
Seu espaço
Exercícios Propostos
Da teoria, leia os tópicos de 5 a 7
Exercícios de tarefa reforço aprofundamento
 06. 
Se a = 3 , b = 
33
25
 e c = 1,323232..., a afirmativa ver-
dadeira é:
a. a < c < b
b. a < b < c
c. c < a < b
d. b < a < c
e. b < c < a
 07. UEL-PR
Dados os conjuntos X e Y, a diferença entre X e Y é o con-
junto X – Y = {x ∈ X: x ∉Y}. Dados os conjuntos (intervalos) 
A = [2, 5] e B = [3, 4], temos:
a. A – B = {2, 5} e B – A = {–1, –2}
b. A – B = B – A
c. A – B = ∅ e B – A = [2, 3] ∪ [4, 5]
d. A – B = (2, 3] ∪ [4, 5) e B – A =∅
e. A – B = [2, 3) ∪ (4, 5] e B – A = ∅
 08. 
Dados os intervalos A = [– 2, 5[, B = ]0, 8[ e C = [1, + ∞[, 
usando a notação de intervalo, determine:
a. A ∪ B
b. A ∩ C
c. A ∪ C
d. A – C
e. C – A
f. C
g. A
h. A ∩ B ∩ C
 09. 
Observe a figura.
15 x 67
Essa figura representa o intervalo da reta numérica de-
terminado pelos números dados. Todos os intervalos indica-
dos (correspondentes a duas marcas consecutivas) têm o 
mesmo comprimento. O número correspondente ao ponto x 
assinalado é:
a. 47,50
b. 50,75
c. 48,75
d. 54
Sobre o módulo
Neste módulo, finalizamos a introdução ao estudo dos conjuntos numéricos.
Ao fazer a apresentação formal do conjunto dos irracionais e dos reais, retomar que essa é uma organização moderna dos 
números e aproveite o exercício 01 para apresentar os irracionais mais usuais.
Enfatizar o trabalho com os intervalos reais e destacar seu uso na linguagem matemática.
Alguns exercícios foram propostos para trabalhar a habilidade leitora e outros como abertura para aprofundamento sobre o 
conteúdo do módulo.
Bom trabalho!
Estante
NIVEN, Ivan. Números: racionais e irracionais. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática.
O livro trata do sistema numérico, uma das estruturas básicas da Matemática.
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 10. PUC-SP
Sabe-se que o produto de dois números irracionais pode 
ser um número racional.
Um exemplo é:
a. ⋅ =12 3 36
b. ⋅ =4 9 6
c. ⋅ =3 1 3
d. ⋅ =2 2 8
e. ⋅ =2 3 6
 11. UECE
Se x e y são números reais que satisfazem, respectiva-
mente, às desigualdades 2 ≤ × ≤ 15 e 3 ≤ y ≤18, então todos 
os números da forma x
y
 possíveis, pertencem ao intervalo:
a. [5, 9]
b. 
2
3
, 5
6



 
c. 3
2
, 6


d. 


1
9
, 5 
 12. UFJF-MG
Define-se o comprimento de cada um dos intervalos [a, b], 
]a, b[ ]a, b] e [a, b[ como sendo a diferença (b – a). Dados os 
intervalos M = [3, 10], N = ]6, 14[, P = [5, 12[, o comprimento 
do intervalo resultante de (M ∩ P) ∪ (P – N) é igual a:
a. 1
b. 3
c. 5
d. 7
e. 9
 13. ENEM
Em um jogo educativo, o tabuleiro é uma representação 
da reta numérica e o jogador deve posicionar as fichas con-
tendo números reais corretamente no tabuleiro, cujas linhas 
pontilhadas equivalem a 1 (uma) unidade de medida. Cada 
acerto vale 10 pontos.
Na sua vez de jogar, Clara recebe as seguintes fichas:
3
X Y Z T
1
2
– 3
2 –2,5
Para que Clara atinja 40 pontos nessa rodada, a figura 
que representa seu jogo, após a colocação das fichas no ta-
buleiro, é: 
a. 
T Y Z X
0
b. 
TYZX
0
c. 
T Y ZX
0
d. 
T Y Z X
0
e. 
TY Z X
0
 14. UFRJ
Se = − − +x 3 8 3 8 , mostre que x é inteiro e nega-
tivo. (Sugestão: calcule x2.)
 15. ITA-SP
Sejam r1, r2 e r3 números reais tais que r1 – r2 e r1 + r2 + r3 são 
racionais. Das afirmações:
I. se r1 é racional ou r2 é racional, então r3 é racional;
II. se r3 é racional, então r1 + r2 é racional;
III. se r3 é racional, então r1 e r2 são racionais,
é(são) sempre verdadeira(s):
a. apenas I.
b. apenas II.
c. apenas III.
d. apenas I e II.
e. I, II e III.
 16. Fuvest-SP
O número real x, que satisfaz 3 < x <4, tem uma expansão 
decimal na qual os 999 999 primeiros dígitos à direita da vír-
gula são iguais a 3. Os 1 000 001 dígitos seguintes são iguais 
a 2 e os restantes são iguais a zero. Considere as seguintes 
afirmações:
I. x é irracional.
II. ≥x 10
3
III. x · 102 000 000 é um inteiro par.
Então:
a. nenhuma das três afirmações é verdadeira.
b. apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
c. apenas a afirmação I é verdadeira.
d. apenas a afirmação II é verdadeira.
e. apenas a afirmação III é verdadeira.
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Anotações
KULY K; IKUVSHINOV/ 
SH
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. 
 
 
 M
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M
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RE
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 C
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DE
RA
RO
• Identifi car a porcentagem de uma 
porcentagem. 
• Utilizar informações expressas em for-
ma de porcentagem como recurso para 
a construção de argumentação.
• Calcular preços após aumentos e 
descontos.
• Comparar rendimentos em diversos 
tipos de aplicações fi nanceiras.
• Resolver problemas que envolvam o 
conceito de porcentagem.
• Calcular o tempo, o capital e a taxa em 
fi nanciamentos ou aplicações utilizan-
do juros simples ou compostos.
• Resolver problemas que envolvam o 
conceito de juros simples oucompostos.
• Resolver situações-problema que 
envolvam cálculo de prestações em 
fi nanciamentos com um número peque-
no de parcelas.
1. Porcentagem ou Percentagem 36
2. Formas de representar 
uma porcentagem 37
3. Porcentagem de um valor 37
4. Custo, lucro e venda 38
5. Aumento percentual 39
6. Desconto percentual 40
7. Aumentos sucessivos 41
8. Descontos sucessivos 42
9. Aumento e desconto sucessivos 43
10. Juro 44
11. Organizador gráfico 47
Módulo 9 – Porcentagem 
(definição e transações comerciais) 48
Módulo 10 – Porcentagem 
(aumentos e descontos simples) 51
Módulo 11 – Porcentagem 
(aumentos e descontos sucessivos) 54
Módulo 12 – Porcentagem – 
Matemática financeira – 
Juros simples e compostos 58
KULY K; IKUVSHINOV/ 
SH
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M
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RO
35
BICICLETA ARO 26
de R$ 499,00 por R$ 389,0012x
R$ 32,42
APENAS
100 PEÇAS
R$339,00
ou à vista no boleto
Em nosso cotidiano, habitualmente encontramos expressões como:
“A inflação registrada em julho foi de 6,5%.”
“Liquidação de verão – descontos de até 50%.”
“Leve três canetas pelo preço de duas.”
“Financiamos seu automóvel em até 5 anos.”
Elas nos levam a tomar decisões de ordem pessoal ou empresarial que requerem o 
conhecimento de operações financeiras simples, tais como cálculo de taxas de juros so-
bre os diferentes tipos de empréstimos. Para que você possa escolher propostas que lhe 
sejam favoráveis, conheça porcentagem.
Porcentagem 3
KULYK/SHUTTERSTOCK
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1. Porcentagem ou Percentagem
A. Introdução
Desde o primeiro contato do ho-
mem com a operação de divisão e o 
uso de frações, experimentou-se a 
separação de uma quantia em par-
tes iguais: por exemplo, por duas, 
três, quatro, cinco, dez, cem, mil etc. 
Dessas experimentações, ao longo 
do tempo, a divisão por cem ga-
nhou notoriedade e aplicabilidade. 
Há relatos históricos de cálculos de 
divisão por cem. Em Roma, por volta 
do século I a.C., no comando de Júlio César, foi introduzido o cen-
tesima rerum venalium, que era a cobrança de um cem avos, um 
centésimo, de impostos sobre as vendas de mercadorias. 
Para designar a ideia de uma quantia dividida em cem 
partes iguais, existiram várias notações, como escrever esse 
fato por extenso. Pouco tempo depois, apareceram as abre-
viaturas. Os valores percentuais vinham acompanhados de 
expressões do tipo per cento ou p c. No século XV, surgiram 
abreviações com a contração de cento (C ), e per cento passa 
a ser escrito per C ou pC . Do século XVII, há manuscritos em 
que aparece a forma per 0
0
. O símbolo de por cento (%) é a 
forma moderna de representação.
Trecho de livro italiano de 1490. Em destaque, 
primeiro sinal de porcentagem.
Trecho de livro italiano de 1684. Em destaque, sinal 
de porcentagem usado no século XVII.
Em relação ao símbolo “%”, há historiadores que defen-
dem a ligação dele com a fração 
x
100 e outros que acreditam 
na evolução da escrita em diversos símbolos. Observe:
Em razão da ideia de dividir um todo em cem partes iguais, 
surge um novo ramo da Matemática chamado percentagem, 
ou porcentagem. Entre as diversas aplicações que tal estudo 
propicia, destacaram-se os aumentos e descontos, muito usa-
dos no comércio e no dia a dia da população. Com isso, esses 
aumentos e descontos sucessivos também são aplicados no 
mercado financeiro, seguidos dos juros, entre eles, o simples e 
os compostos, e dos financiamentos, recurso usado pela maio-
ria da população para adquirir casa, carro, entre outros bens.
Atualmente, a porcentagem também aparece em diversas 
situações do dia a dia: por exemplo, em aumento de produtos 
nos supermercados, correção salarial, inflação, financiamen-
tos etc.
ALEXANDER SABILIN/SHUTTERSTOCK
Considerando-se apenas os países do G-20, a taxa anual 
de inflação desacelerou para 2,9%, de 3,0%. 
M
ONTAGEM
 SOBRE IM
AGENS DE NONW
ARIT/
SHUTTERSTOCK E VINICIUS TUPINAM
BA/123RF
A meta de inflação tem como centro 4,5% e limite superior de 6,5%.
B. Definição
SEM
ENTER/SHUTTERSTOCK
O denário era uma das moedas usadas 
na Roma Antiga, e era feito de prata.
Em um dos entrepostos de recolhimento de impostos no 
antigo Império Romano, por volta do século I a.C., alguns pu-
blicanos, nome dado aos colhedores de impostos da antiga 
Roma, apresentaram, dentre os diversos recolhimento, os da 
tabela seguinte:
VIN
Z89/SHU
TTERSTO
CK
3
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M
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em
át
ic
a
37
M
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Comerciante Produto
Vendas do 
comerciante
(em denários)
Imposto 
recolhido (em 
denários)
I Trigo 37 500 375
II Sal 28 700 287
III Arroz 487 000 4 870
IV Vinho 13 500 135
V Peixe 205 000 2 050
Embora os comerciantes tivessem vendido quantias 
distintas, o valor do imposto recolhido e o total de vendas de 
cada comerciante guardam, entre si, uma relação em comum.
Observe a razão entre o total de vendas e o denominador 
100 na tabela a seguir:
Comerciante Produto Razão Valor da razão 
I Trigo 
37 500
100 
375
II Sal
28 700
100
287
III Arroz
487 000
100
4 870
IV Vinho
13 500
100
135
V Peixe
205 000
100
2 050
A razão entre o valor do total de vendas e o denominador 
cem fornece, exatamente, o valor do imposto cobrado. 
A prática de indicar um valor dividido por cem ficou asso-
ciada, em épocas antigas, à expressão per cento e, atualmen-
te, ao termo porcentagem (ou percentagem).
A porcentagem, ou percentagem, é a razão entre 
um número real x e o número 100 , que indicamos x
100
 
ou x%.
 H
OR
OS
CO
PE
/S
HU
TT
ER
ST
OC
K
Exemplos 
=10% 10
100
=85% 85
100
2. Formas de representar 
uma porcentagem
Podemos representar as porcentagens de três formas: 
percentual, fracionária e decimal. 
1. Forma percentual
Nesta maneira de representar, faz-se uso do símbolo %. 
Apresentamos um número acompanhado desse símbolo: por 
exemplo, 50%. 
2. Forma fracionária
Neste caso, apresentamos um número no numerador de 
uma fração de denominador 100. Assim, 50% = 50
100
. 
3. Forma decimal
É a forma em que se apresenta o resultado da divisão in-
dicada. Assim, 50% = 50
100
 = 0,50. 
3. Porcentagem de um valor 
3D
ST
YL
E/
SH
UT
TE
RS
TO
CK
Na Roma Antiga, com o passar dos anos, os valores tri-
butados foram mudando. Deixou de ser do contentamento de 
Roma cobrar tributo de apenas 1% sobre o valor de venda das 
mercadorias. 
Em algum momento, pensou-se em cobrar quatro vezes 
o valor equivalente à centesima rerum venalium, isto é, na 
linguagem atual, cobrar 4% de impostos. Pensando na tabela 
apresentada anteriormente, no caso especial do vinho, seria 
cobrar quatro vezes o valor 
13 500
100
. 
Uma maneira de indicar essa conta era fazer ⋅4 13 500
100
, 
porém, com o passar dos anos, aqueles que trabalhavam com 
a Matemática perceberam que a mesma conta poderia ser 
feita da seguinte maneira: ⋅4
100
13 500 , que é equivalente a 
4% · 13 500. Essa maneira de escrever ficou conhecida pela 
expressão: 4% de 13 500. 
Dessa forma, ao calcularmos x% de um valor P, enten-
demos que uma quantidade P será dividida em 100 partes 
iguais e, em seguida, será considerado x dessas partes.
Calcular 40% de 300 significa dividir 300 em cem partes 
iguais e, em seguida, considerar 40 dessas partes.
Transformando o texto em linguagem matemática, 
teremos: 
3
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ic
a
38
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át
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a 
e 
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= ⋅ = ⋅ = ⋅40% de 300 40 300
100
40
100
300 40% 300
Resumindo: = ⋅ = ⋅x% de P x% P x
100
P
Exemplo
25% de 150 = ⋅ =25100 150 37,5
Esse processo de cálculo de porcentagem é uma forma 
alternativa ao cálculo por meio de uma regra de três simples e 
direta que, para o exemplo anterior, é:
x — 25%
150 — 100%
= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =x
150
25
100
100 x 25 150 x 37,5
A. Porcentagem de uma porcentagem
O valor sobre o qual calculamos uma porcentagem pode 
ser também uma porcentagem.Temos então:
 
= ⋅ = ⋅x% de y% x% y% x
100
y
100 
Exemplo
= ⋅ = =20% de 30% 20
100
30
100
0,06 6%
 
Exemplo
( ) = ⋅ = ⋅ = =50% 50% 50% 50
100
50
100
25
100
25%2
 
 01. ENEM
Para se obter 1,5 kg do dióxido de urânio puro, matéria-
-prima para a produção de combustível nuclear, é necessário 
extrair-se e tratar-se 1,0 tonelada de minério. Assim, o rendi-
mento (dado em % em massa) do tratamento do minério até 
chegar ao dióxido de urânio puro é de:
a. 0,10%
b. 0,15%
c. 0,20%
d. 1,5%
e. 2,0%
Resolução
Massa do minério = 1,0 t = 1 000 kg
Massa do dióxido de urânio puro = 1,5 kg
1 000 kg –––––– 100%
 1,5 kg –––––– x
x = 0,15%
Alternativa correta: B
 02. PUC-RJ
Zoroastro sai de casa com algum dinheiro, passa no su-
permercado e gasta 60% do que tinha. Depois, passa na far-
mácia e gasta 80% do dinheiro que restava, voltando para casa 
com R$ 10,00. Quanto Zoroastro gastou no supermercado?
Resolução
Quantia com que Zoroastro sai de casa: x
Valor gasto no supermercado: 60% de x = 0,6x
Quantia restante: x – 0,6x = 0,4x
Valor gasto na farmácia: 
80% de 0,4x = 0,8 · 0,4 x = 0,32x 
Dinheiro restante que levou para casa: 
0,4x – 0,32x = 0,08 x = 10
= ⇒ ⇒ = =0,08x 1= ⇒x 1= ⇒0 1= ⇒0 1= ⇒ 000⇒ =x⇒ = 1 000
8
125
x = R$ 125,00
Valor gasto no supermercado: 0,6x = 0,6 · 125 = 75
Dessa forma, Zoroastro gastou R$ 75,00 no supermercado.
APRENDER SEMPRE 5
4. Custo, lucro e venda
REDUZA O CUSTO E
AUMENTE O
LUCRO
CJ
AN
SU
EB
SR
I/S
HU
TT
ER
ST
OC
K
Em uma empresa a unidade de um produto é vendida por 
R$ 1.247,00 e o total gasto para colocar o produto à venda é 
de R$ 885,00. A diferença R$ 1.247,00 – R$ 885,00, que é 
igual a R$ 362,00, é o lucro que a empresa tem com a venda 
de uma unidade desse produto. O valor de R$ 885,00 , que é 
o total gasto para colocar o produto à venda, é chamado de 
preço de custo, e o valor R$ 1.247,00, pelo qual o produto é 
vendido, é chamado de preço de venda.
A. Definições
A.1. Preço de custo
Total gasto para se colocar à venda determinado produto.
A.2. Preço de venda
Valor pelo qual um produto será vendido.
A.3. Lucro
É a diferença entre o preço de venda e o preço de custo 
de um produto. 
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Indicando V, C e L, respectivamente, como o preço de ven-
da do produto, o preço de custo e o lucro, tem-se a relação:
L = V – C 
Caso a diferença entre o preço de venda e o preço de cus-
to de um produto seja negativa, dizemos que houve prejuízo 
nessa operação comercial.
©
SEBRAE-SP
Exemplo 
Qual é o lucro em uma operação comercial em que uma mer-
cadoria foi comprada por R$ 320,00 e vendida por R$ 400,00?
Resolução
Utilizando L = V – C, temos: 
L = R$ 400,00 – R$ 320,00 = R$ 80,00
Assim, o lucro é de R$ 80,00.
A.4. Porcentagem do lucro sobre o preço de custo
É possível expressar percentualmente o lucro sobre o 
preço de custo, como segue:
L = x% C
x% = L
C
Exemplo 
Sabendo que o lucro obtido na venda de uma mercadoria 
foi de R$ 80,00 e o preço de custo R$ 320,00, expresse o per-
centual do lucro sobre o preço de custo.
Resolução
= ⋅ ⇒ = ⇒ = =80 x% 320 x% 80
320
x% 0,25 25%
 
Assim, o lucro foi de 25% sobre o preço de custo.
A.5. Porcentagem do lucro sobre o preço de venda
De maneira análoga, pode-se expressar percentualmente 
o lucro sobre o preço de venda. Observe:
L = x% · V
x% = 
L
V
Exemplo
Um produto foi vendido por R$ 400,00 e, nessa operação, 
obteve-se um lucro de R$ 80,00. Expresse o percentual do lu-
cro sobre o preço de venda.
Resolução
= ⋅ ⇒ = ⇒ = =80 x% 400 x% 80
400
x% 0,2 20%
 
Dessa forma, o lucro foi de 20% sobre o preço de venda.
Quando se pede para calcular o percentual de lucro em 
uma operação comercial e não se especifica se esse per-
centual deve ser calculado em relação ao preço de custo ou 
em relação ao preço de venda, o cálculo deverá ser feito em 
relação ao preço de custo. 
 01. Fuvest-SP
Um vendedor ambulante vende os seus produtos com 
lucro de 50% sobre o preço de venda. Então, o seu lucro so-
bre o preço de custo é de:
a. 10%
b. 25%
c. 33,333...%
d. 100%
e. 120%
Resolução
Sejam:
L: lucro, PC: preço de custo e PV: preço de venda
L = 0,50 · PV (I)
PC + L = PV ⇒ PC + 0,50 · PV = PV
PC = 0,50 · PV ⇒ PV = 2 · PC (II)
Substituindo (I) em (II), temos:
L = 0,5 · 2 · PC ⇒ L = PC
Portanto, o lucro representa 100% do preço de custo.
Alternativa correta: D
APRENDER SEMPRE 6
5. Aumento percentual 
Efeito médio por 
classes de tensão
Variação (%)
Alta tensão (> 2,3 kV) 26,28%
Baixa tensão (< 2,3 kV) 23,89%
Média (baixa tensão e alta tensão) 24,86%
Consumidor residencial (B1) 23,88%
ANEEL aprova diferimento parcial do reajuste tarifário 
da Copel Distribuição – 22/07/2014
De acordo com a divulgação apresentada, a partir do mo-
mento em que vigorarem os reajustes nas tarifas de energia 
elétrica aprovados pela ANEEL, haverá mudanças nas contas 
de consumo de energia elétrica. 
Se em uma residência o gasto mensal com energia elé-
trica, no mês anterior ao do reajuste, for de R$ 100,00, após 
esse reajuste o gasto com o consumo da mesma quantidade 
de energia elétrica aumentará em 23,88% de R$ 100,00, e o 
valor da conta será: 
R$ 100,00 + 23,88% · R$ 100,00 =
= (1 + 23,88%) · R$ 100,00 = (1,2388) · R$ 100,00 =
= (1,2388) · R$ 100,00 = R$ 123,88
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De acordo com a observação do fator 1,2388, podemos 
encontrar o percentual de aumento. Para isso, subtrai-se 1 do 
fator 1,2388, obtendo-se 0,2388, que significa 23,88%. Esse 
fator, 1,2388, é chamado fator de aumento. 
Consideremos Vf o valor final de um produto após um au-
mento de x% sobre o valor inicial V desse produto.
O cálculo de Vf será:. 
Valor inicial: Vi
Aumento: x% de Vi = x% · Vi
Valor final Vf
Vf = Vi + x% · Vi
Vf = (1 + x%) · Vi
O número resultante da expressão (1 + x%) é o fator de 
aumento.
Exemplo
O valor de uma mercadoria é R$ 80,00. Determine o valor 
dessa mercadoria após um aumento de:
a. 10%
b. 100%
Resolução
a. Valor inicial: Vi = 80
 Fator de aumento: (1 + x%)= (1 + 10%)=1+0,1=1,1
 Vf = (1 + x%) · Vi
 Vf = (1 + 10%) · 80
 Vf = 1,1 · 80
 Vf = R$ 88,00
b. Valor inicial: Vi = 80
 Fator de aumento: (1 + x%) = (1 + 100%) =1+1=2
 Vf = (1 + x%) · Vi
 Vf = (1 + 100%) · 80
 Vf = 2 · 80
 Vf = R$ 160,00
6. Desconto percentual 
DESCONTOS ESPECIAIS DE 40%, 30%, 20%
Pedro entrou em uma loja para comprar uma calça com 
preço anunciado de R$ 150,00. As opções para pagamento 
eram cartão de crédito ou débito, ou dinheiro em espécie. Di-
zendo que pagaria em dinheiro, Pedro recebeu um desconto 
de R$ 30,00, pagando pela calça R$ 120,00. 
Comparando o desconto com o preço anunciado, encon-
tramos a forma percentual do desconto, efetuando o cálculo: 
= =30
150
0,20 20%
Para obter o valor pago por Pedro, fazemos:
R$ 150,00 – 20% · R$ 150,00 =
= (1 – 20%) · R$ 150,00 = 
= (0,80) · R$ 150,00 =
= R$ 120,00
Da observação do fator 0,80, podemos encontrar o per-
centual de desconto. Para isso, subtrai-se de 1 o fator 0,80, 
obtendo-se 0,20, que significa 20%. Esse fator, 0,80, é cha-
mado fator de desconto. 
Consideremos Vf o valor final de um produto após um des-
conto de x% sobre o valor inicial V desse produto.
O cálculo de Vf será:. 
Valor inicial: Vi
Desconto: x% de Vi = x% · Vi
Valor final Vf
Vf = Vi – x% · Vi
Vf = (1 – x%) · Vi
O número resultante da expressão (1 – x%) é o fator de 
desconto.
Exemplo
O valor de uma mercadoria é R$ 80,00. Determine o valor 
dela após um desconto de:
a. 10%
b. 25%
Resolução
a. Valor inicial: Vi = 80
 Fator de desconto: 
 (1 – x%) = (1 – 10%) = 1 – 0,1 = 0,9
 Vf = (1 – x%) · Vi
 Vf = (1 – 10%) · 80
 Vf = 0,9 · 80
 Vf = R$ 72,00
b. Valor inicial: Vi = 80
 Fator de aumento: 
 (1 – x%) = (1 – 25%) =1 – 0,25 = 0,75
 Vf = (1 – x%) · Vi
 Vf = (1 – 25%) · 80
 Vf = 0,75 · 80
 Vf = R$ 60,00
 01. 
Qual é o fator de aumento para um aumento percentual 
de 30%?
Qual é o fator de aumento para um aumentopercentual 
de 68%?
Qual é o fator de desconto para um desconto percentual 
de 30%?
Qual é o fator de desconto para um desconto percentual 
de 68%?
Resolução
Fator de aumento: 1 + x% = 1 + 30% = 1 + 0,3 = 1,3
Fator de aumento: 1 + x% = 1 + 68% = 1 + 0,68 = 1,68
Fator de desconto: 1 – x% = 1 – 30% = 1 – 0,3 = 0,7
Fator de desconto: 1 – x% = 1 – 68% = 1 – 0,68 = 0,32
 02. Fuvest-SP
Uma certa mercadoria, que custava R$ 12,50, teve um 
aumento, passando a custar R$ 13,50. A majoração sobre o 
preço antigo é de:
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1,0%
10,0%
12,5%
8,0%
10,8%
Resolução
Seja f o fator de aumento.
Assim,
12,50 f 13,50 f 13,50
12,50
1,08A A⋅ = ⇒ = =
O aumento foi de 8%.
Alternativa correta: D
 03. 
Em uma loja, o preço que constava na etiqueta de uma 
camisa era de R$ 100,00. Porém um cliente, ao pagá-la, teve 
um desconto, pagando por ela o valor de R$ 80,00. 
Qual é o fator de desconto?
Qual é a taxa percentual de desconto? 
Resolução
Fator de desconto: (1 – x%)
 Vf = (1 – x%) · Vi
 80 = (1 – x%) · 100
 
( %)( %1( % 80
100
− =( %− =( %)− =)( %x( %( %− =( %x( %− =( %
 (1 – x%) = 0,8
 O fator de desconto é 0,8.
(1 – x%) = 0,8
 1 – x% = 0,8
 1 – 0,8 = x%
 0,2 = x%
 x% = 20%
 O percentual de desconto é de 20%.
7. Aumentos sucessivos
Inflação oficial fecha 2013 em 5,91%, diz IBGE
5,84 5,91
2012 2013
Variação anual do IPCA (em %)
O Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA), considerado a “inflação oficial” do país, por ser usado como base para as 
metas do governo, fechou o ano passado em 5,91% – acima da taxa de 5,84% de 2012. 
A tabela a seguir apresenta os valores corrigidos pelas inflações de 2012 e 2013 para uma mercadoria que, no último dia do 
ano de 2011, custava R$ 1.000,00.
Ano
Preço do produto no 
primeiro dia do ano
Percentual de 
inflação anual
Valor a ser reajustado 
ao final do ano
Preço ao final do ano
2012 R$ 1.000,00 5,84% 5,84% · R$ 1.000,00 = R$ 8,40 1,0584 · R$ 1.000,00 = R$ 1.058,40
2013 R$ 1.058,40 5,91% 5,91% · R$ 1.058,40 = R$62,55 1,0591 · R$ 1.058,40 = R$ 1.120,95
O valor R$ 1.120,95, encontrado ao final de 2013, é o re-
sultado de dois aumentos sucessivos, um de 5,84% e outro de 
5,91%. A correção do preço da mercadoria, referente ao biênio 
2012-2013, foi de R$ 120,85, que, percentualmente, é dado 
por: =120,95
1 000
12,095% .
Da tabela, temos:
R$ 1.058,40 = 1,0584 · R$ 1.000,00 = 
= (1 + 5,84%) · R$ 1.000,00 (I)
R$ 1.120,95 = (1,0591) · R$ 1.058,40 =
= (1 + 5,91%) · R$ 1.058,40 (II)
Substituindo (I) em (II), tem-se:
R$ 1.120,95 = (1 + 5,91%) · (1 + 5,84) · R$ 1.000,00
ou
R$ 1.120,95 = (1,0591) · 1,0584 · R$ 1.000,00 = 
= 1,12095 · R$ 1.000,00
Logo, o fator de aumento correspondente ao biênio 2012-
2013 é 1,12095. Isto quer dizer que o percentual de inflação 
acumulada nesse biênio foi de 12,095%.
Consideremos um valor inicial Vi, que irá sofrer dois au-
mentos sucessivos, um de x1% e outro de x2%. Indicando por 
V1 o valor após o primeiro aumento e por V2 o valor após o se-
gundo aumento, segue:
Valor inicial: Vi
Valor após o primeiro aumento: V1 = (1 + x1%) · Vi
Valor após o segundo aumento: V2 = (1 + x2%) · V1
V2 = (1 + x2%) · V1
V2 = (1 + x2%) · (1 + x1%) · Vi
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V2 = (1 + x1%) · (1 + x2%) · Vi
O número resultante da expressão (1 + x1%) · (1 + x2%) 
é o fator de aumento que, aplicado ao valor inicial Vi, fornece, 
diretamente, o valor final V2.
Exemplo
O valor de uma mercadoria é R$ 80,00. Determine o va-
lor dessa mercadoria após dois aumentos sucessivos, um de 
20% e outro de 25%.
Resolução
Valor inicial: Vi = 80
Valor após o primeiro aumento: V1 = (1 + 20%) ·80
Valor após o segundo aumento: V2 = (1 + 25%) · V1
V2 = (1 + 25%) · V1
V2 = (1 + 25%) · (1 + 20%) · 80
V2 = (1,25) · (1,20) · 80
V2 = 1,5 · 80
V2 = 120
Vf = R$ 120,00
Note que dois aumentos sucessivos, um de 20% e outro 
de 25%, equivalem a um único aumento de 50%.
 01. Uneb-BA
O preço do cento de laranja sofreu dois aumentos con-
secutivos de 10% e 20% passando a custar R$ 5,28. O preço 
do cento da laranja antes dos aumentos era de:
a. R$ 4,00
b. R$ 3,80
c. R$ 3,70
d. R$ 4,40
e. R$ 4,20
Resolução
Seja x o preço de cento de laranja antes dos aumentos.
1º aumento
x + 10 % x = 1,1x
2º aumento
1,1x + 20 % 1,1x = 1,1x · (1 + 20 %) =
= 1,1 · x · 1,2 = 1,32x
∴	1,32 x = 5,28
= == =x 5,28
1,32
4
Assim, o preço do cento da laranja antes do aumento 
era R$ 4,00.
Alternativa correta: A
APRENDER SEMPRE 8
A. Aumentos sucessivos com 
mesma taxa percentual
Consideremos um valor inicial Vi , que irá sofrer dois au-
mentos sucessivos de x%. Indicando por V2 o valor após a apli-
cação dos dois aumentos, segue:
Valor inicial: Vi
Valor após o primeiro aumento: V1 = (1 + x%) · Vi
Valor após o segundo aumento: V2 = (1 + x%) · V1
V2 = (1 + x%) · V1
V2 = (1 + x%) · (1 + x%) · Vi
V2 = (1 + x%)2 · Vi
O número (1 + x%)2 é o fator de aumento que, aplicado ao 
valor inicial Vi, fornece, diretamente, o valor final V2.
Estendendo-se esse raciocínio para n aumentos 
sucessivos, vem:
Valor inicial: Vi
Percentual de aumento: x%
Valor final após n aumentos sucessivos: Vn 
V1 = (1 + x%) · Vi
V2 = (1 + x%) · V1 = (1 + x%) · (1 + x%) · Vi = (1 + x%)2 · Vi
V3 = (1 + x%) · V2 = (1 + x%) · (1 + x%)2 · Vi = (1 + x%)3 · Vi
V4 = (1 + x%)4 · Vi
Vn = (1 + x%)n · Vi
O número (1 + x%)n é o fator de aumento que, aplicado ao 
valor inicial Vi , fornece, diretamente, o valor final Vn.
Exemplo
O valor de uma mercadoria é R$ 80,00. Determine o valor 
dessa mercadoria após três aumentos sucessivos de 20%.
Resolução
Vn = (1 + x%)n · Vi
V3 = (1 + x%)3 · Vi
V3 = (1 + 20%)3 · 80
V3 = (1,2)3 · 80
V3 = 1,728 · 80
V3 = 138,24
O valor após os três aumentos sucessivos é de R$ 138,24.
 01. Fuvest-SP
O preço de certa mercadoria sofre anualmente um 
acréscimo de 100%. Supondo que o preço atual seja 
R$ 100,00, daqui a três anos será:
a. R$ 300,00
b. R$ 400,00
c. R$ 600,00
d. R$ 800,00
e. R$ 1.000,00
Resolução
Se a cada ano ocorre um aumento de 100%, então, a 
cada ano, o preço é multiplicado por 2.
Assim, em três anos, o preço será multiplicado por 8.
Alternativa correta: D
APRENDER SEMPRE 9
8. Descontos sucessivos
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De maneira análoga ao trabalho com aumentos sucessi-
vos, faz-se o trabalho com descontos sucessivos: mudando o 
fator de aumento para o fator de desconto.
Consideremos um valor inicial Vi , que irá sofrer dois des-
contos sucessivos, um de x1% e outro de x2%. Indicando por V1 
o valor após o primeiro desconto e por V2 o valor após o segun-
do desconto, segue:
Valor inicial: Vi
Valor após o primeiro desconto: V1 = (1 – x1%) · Vi
Valor após o segundo desconto: V2 = (1 – x2%) ·V1
V2 = (1 – x2%) · V
V2 = (1 – x2%) · (1 – x1%) · Vi
V2 = (1 – x1%) · (1 – x2%) · Vi
O número resultante da expressão (1 – x1%) · (1 – x2%) 
é o fator de desconto que, aplicado ao valor inicial Vi , fornece 
diretamente o valor final V2.
Exemplo
O valor de uma mercadoria é R$ 80,00. Determine o valor 
dela após dois descontos sucessivos, um de 10% e outro de 25%.
Resolução
Valor inicial: Vi = 80
Valor após o 1º desconto: V1 = (1 – 10%) · 80
Valor após o 2º desconto: V2 = (1 – 25%) · V1
V2 = (1 – 25%) · V1
V2 = (1 – 25%) · (1 – 10%) · 80
V2 = (0,75) · (0,90) · 80
V2 = 0,675 ·80
V2 = 54
Vf = R$ 54,00
Observe que dois descontos sucessivos, um de 10% e ou-
tro de 25%, equivalem a um único desconto de 32,5%.
 01. PUC-SP
Descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes 
a um único desconto de:
a. 25%
b. 26%
c. 44%
d. 45%
e. 50%
Resolução
V 1 20
100
1 30
100
vD ( ) ( )= − ⋅ − ⋅
VD = 0,8 · 0, 7 · V = 0,56 · V
VD = 0,56 V = Desconto de 44%
Assim, o valor de desconto é 44%.
Alternativa correta: C
APRENDER SEMPRE 10
A. Descontos sucessivos com 
mesma taxa percentual
Consideremos um valor inicial Vi , que irásofrer dois des-
contos sucessivos de x%. Indicando por V2 o valor após a apli-
cação dos dois descontos, segue:
Valor inicial: Vi
Valor após o 1º desconto: V1 = (1 – x%) · V
Valor após o 2º desconto: V2 = (1 – x%) · V1
V2 = (1 – x%) · V1
V2 = (1 – x%) · (1 – x%) · Vi
V2 = (1 – x%)2 ·Vi
O número (1 – x%)2 é o fator de desconto que, aplicado ao 
valor inicial Vi, fornece, diretamente, o valor final V2.
Estendendo-se esse raciocínio para n descontos 
sucessivos, vem:
Valor inicial: Vi
Percentual de desconto: x%
Valor final após n descontos sucessivos: Vn
V1 = (1 – x%) ·Vi
V2 = (1 – x%) ·V1 = (1 – x%) ·(1 – x%) ·Vi = (1 – x%)2 ·Vi
V3 = (1 – x%) · V2 = (1 –x%) ·(1 –x%)2 ·Vi = (1 – x%)3 ·Vi
V4 = (1 –x%)4 · Vi
Vn = (1 – x%)n ·Vi
O número (1 –x%)n é o fator de desconto que, aplicado ao 
valor inicial Vi , fornece, diretamente, o valor final Vn.
Exemplo
O valor de uma mercadoria é R$ 80,00. Determine o valor 
dela após três descontos sucessivos de 20%.
Resolução
Vn = (1 – x%)n · Vi
V3 = (1 – x%)3 ·Vi
V3 = (1 –20%)3 ·80
V3 = (0,8)3 · 80
V3 = 0,512 ·80
V3 = 40,96
O valor da mercadoria após os três descontos é de 
R$ 40,96.
 01. 
Determine o percentual de desconto equivalente a três 
descontos sucessivos de 10%.
Resolução
Valor inicial: Vi
Percentual de desconto: 10%
Valor final após três descontos sucessivos:
V3 = (1 –x%)3 ·Vi
V3 = (1 –10%)3 · Vi
V3 = (0,9)3 ·Vi
V3 = 0,729 ·Vi
O fator de desconto é 0,729, a taxa percentual de des-
conto equivalente é encontrada por 1 – 0,729 = 0,271, e 
0,271 é o mesmo que 27,1%. 
Os três descontos sucessivos são equivalentes a um 
único desconto de 27,1%.
APRENDER SEMPRE 11
9. Aumento e desconto sucessivos
Consideremos um valor inicial Vi , que irá sofrer um au-
mento de x%, e, em seguida, um desconto de d%. Indicando 
por Va o valor após o aumento e por Vf o valor após o desconto 
em Va, segue:
3
21
1
M
at
em
át
ic
a
44
M
at
em
át
ic
a 
e 
su
as
 Te
cn
ol
og
ia
s
EM
I-1
5-
20
Valor inicial: Vi 
Percentual de aumento: x%
Percentual de desconto: d%
Valor final: Vf.
Valor após o aumento: Va = (1 + x%) ·Vf
Valor final após o desconto em Va: Vf = (1 – d%) ·Va
Vf = (1 –d%) ·Va = (1 –d%) ·(1 + x%) ·Vi
Vf = (1 – d%)· (1 + x%) ·Vi
Como (1 – d%) ·(1 + x%) é igual a (1 +x%) · (1 – d%), não 
importa a ordem entre a aplicação do aumento e do desconto.
Exemplo
O valor de uma mercadoria é R$ 80,00. Determine o valor 
dela após um aumento de 20% seguido de um desconto de 
20%.
Resolução
Valor inicial: Vi = 80
Percentual de aumento: x% = 20%
Percentual de desconto: d% = 20%
Valor final: Vf
Valor após o aumento: Va = (1 + 20%) · 80
Valor final após o desconto: Vf = (1 –20%) · Va
Vf = (1 – 20%) · Va = (1 – 20%) · (1 + 20%) · 80
Vf = (1 – 20%) · (1 + 20%) ·Vi
Vf = (0,8) · (1,2) ·Vi
Vf = 0,96 ·80
Vf = 76, 80
O valor é R$ 76,80.
Observar que o processo todo é equivalente a um des-
conto, pois o fator final foi de 0,96, que é um número menor 
que 1 (um).
Observe que aplicar um aumento de 20% seguido de um 
desconto de 20% equivale a um único desconto de 4%.
10. Juro
A. Introdução
A ideia de juro, bem como 
a de imposto, é tão antiga 
que aparece nos registros 
das primeiras civilizações de 
que se tem conhecimento. O 
juro surgiu quando o homem 
começou a relacionar o di-
nheiro com o tempo. Na Anti-
guidade, existia a prática de 
se emprestarem sementes e 
grãos, e, na colheita do ano 
seguinte, aquele que os to-
mou como empréstimo ficava 
obrigado a pagar a quantia de 
sementes, ou grãos, recebida 
e um adicional, em semen-
tes, ou grãos, pelo emprés-
timo efetuado. Aí se tem as 
primeiras noções de juros, bem como a do tempo usado no 
empréstimo, que no caso é anual. No decorrer do tempo, tan-
to o bem que se utilizava nas trocas, como a forma temporal 
de se cobrarem os juros foram se modificando. Atualmente, 
utiliza-se o dinheiro (moeda) nas trocas e há diversos tipos 
de intervalos temporais de cobranças, sendo comuns: men-
sal, semestral e anual.
B. Definição 
O juro é um valor adicional que se paga pelo empréstimo 
de uma quantia durante determinado período. Pode também 
ser entendido como sendo um aluguel que se paga pelo em-
préstimo contraído durante certo tempo.
Em geral, será representando pelo símbolo J.
É importante observar que tanto a quantia emprestada 
como o tempo de duração desse empréstimo são elementos 
básicos para calcular os juros, objeto de estudos da Matemá-
tica financeira.
C. Conceitos importantes da 
Matemática financeira 
a. Capital: também chamado de principal, é o valor mo-
netário disponível para empréstimo que pode estar 
relacionado a algum bem ou ao dinheiro em espécie. 
Em geral, será denotado pelo símbolo C.
b. Taxa de juros: valor expresso na forma percentual que 
será utilizada sobre o capital para calcular o juro. Em 
geral, será representada por i.
c. Período: espaço de tempo em que o capital ficou apli-
cado ou emprestado. Em geral, será simbolizado por 
t ou n.
C1. Períodos e suas siglas:
ao dia: a.d.
ao mês: a.m.
ao bimestre: a.b.
ao trimestre: a.t.
ao semestre: a.s.
ao ano: a.a.
d. Montante: também chamado de capital final, é o resul-
tado da adição entre o capital e os juros. Em geral, será 
representado por M.
É importante ressaltar que no processo financeiro a taxa 
de juros e o período utilizado devem estar na mesma unidade. 
Por exemplo, se a taxa de juros é anual, então o período com-
putado deve estar em anos.
Na Matemática financeira, destacam-se dois tipos de re-
gimes de capitalização: capitalização simples e capitaliza-
ção composta.
D. Juro simples
Pedro emprestou R$ 7.000,00 a um amigo. Combinaram 
que seria pago juro de 5% ao ano sobre o valor inicialmente 
emprestado. 
Após um ano, o amigo devia a Pedro R$ 7.350,00, va-
lor correspondente ao empréstimo de R$ 7.000,00 acres-
cido do juro devido, 5% de R$ 7.000,00, que equivale a R$ 
350,00. Como não ocorreu nenhum pagamento, passado 
mais um ano, o valor a ser pago tornou-se R$ 7.700,00. 
Esse novo valor representa os R$ 7.350,00 devidos do ano 
anterior mais o juro de R$ 350,00. Porém, novamente, não 
houve pagamento.
 Ao final do terceiro ano, o amigo de Pedro quitou a dívi-
da, que era de R$ 8.050,00, valor esse correspondente aos 
3
21
1
M
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em
át
ic
a
45
M
at
em
át
ic
a 
e 
su
as
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cn
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og
ia
s
EM
I-1
5-
20
R$ 7.700,00 devidos do ano anterior mais o juro de 
R$ 350,00.
O total de juros acumulado nos três anos pode ser calcu-
lado da seguinte forma: 
3 · 5% · R$ 7.000,00 = R$ 1.050,00. 
A situação descrita ilustra a prática de juro em que os cál-
culos ocorrem somente sobre o valor inicialmente empresta-
do, conhecida por regime de juros simples.
Definição
Juro simples: é o regime de capitalização onde o cálcu-
lo do juro, em cada período, é feito somente sobre o capital 
inicial.
Exemplo
Calcular os juros cobrados sobre um capital de R$ 
2.000,00 durante três meses, a uma taxa de juros de 10% a.m. 
no regime de capitalização simples.
Resolução
Como o regime de capitalização é simples, a taxa de juros 
vai incidir somente sobre o capital inicial.
Se o período de aplicação fosse de apenas um mês, o juro 
seria calculado da seguinte forma: 
J = 10% · 2.000
J = 0,1 · 2.000
J = R$ 200,00
Se o período de aplicação fosse de dois meses, os juros 
seriam calculados da seguinte forma: 
J = 10% · 2.000 + 10% · 2.000
J = 2 · (10% · 2.000)
J = 2 · 0,1 ·2.000
J = 2 · 200
J = R$ 400,00
Como o período de aplicação é de três meses, os juros 
são calculados da seguinte forma: 
J = 10% · 2.000 + 10% ·2.000 + 10% · 2.000
J = 3 ·(10% ·2.000)
J = 3 · 0,1 ·2.000
J = 3 ·200
J = R$ 600,00
Em J = 3 · 0,1 · 2.000, temos:
Capital (C): 2 000
Taxa de juro ( i ): 0,1 ou 10%
Período ( t ): 3
Assim, chamando o capital inicial de C, o período de t, a 
taxa de juros de i e os juros de J, têm-se:
J = C · i · t
A taxa de juros (i) e o período (t) devem estar na mesma 
unidade.
O montante (M) é dado por:
M = C + J = C + C · i · t = C ·(1 + it)
M = C · (1 + it)
No exemplo anterior, o montante é: 
M =