Exercício 2 - Pilar de borda

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Exercício 2 
1) Dimensionar a armadura longitudinal do pilar de extremidade abaixo, pilar 
biapoiado e sem forças transversais atuantes. Dados: Nk = 500 kN, concreto C20; 
aço CA-50 ; d’ = 4,0 cm e coeficientes de ponderação: γc = γ f =1,4 e γ s = 1,15; 
lex=ley =280 cm e e1y,A = e1y,B = 10,0 cm. 
 
 
a) Esforços Solicitantes 
 
𝑁𝑑 = Ɣ𝑛 ∗ Ɣ𝑓 ∗ 𝑁𝑘 
 
𝑁𝑑 = 1,0 ∗ 1,4 ∗ 500 
 
𝑁𝑑 = 700 𝑘𝑁 
 
 
b) Índice de esbeltez 
 
𝜆 = 
3,46 ∗ 𝑙𝑒
ℎ
 
 
 
𝜆𝑥 = 
3,46 ∗ 𝑙𝑒
ℎ
= 𝜆𝑥 = 
3,46 ∗ 280
20
= 𝜆𝑥 = 48,44 
 
 
 
𝜆𝑦 = 
3,46 ∗ 𝑙𝑒
ℎ
= 𝜆𝑦 = 
3,46 ∗ 280
40
= 𝜆𝑦 = 24,22 
 
 
c) Momento fletor mínimo 
 
𝑀1𝑑, 𝑚í𝑛 = 𝑁𝑑 ∗ (1,5 + 0,03ℎ) 
 
𝑀1𝑑, 𝑚í𝑛𝑥 = 700 ∗ (1,5 + 0,03 ∗ 20) = 1470 kNcm emín = 
1470
700
= 2,1cm 
 
𝑀1𝑑, 𝑚í𝑛𝑦 = 700 ∗ (1,5 + 0,03 ∗ 40) = 1890 kNcm emín = 
1890
700
= 2,7 cm 
 
d) Esbeltez limite 
 
 
 
-direção x 
 
e1,x= 0 emín = 2,1 cm > e1,x =0 
 
Então αb = 1,0 
 
𝜆1 = 
25 + 12,5 
𝑒1
ℎ
𝛼𝑏
 
 
𝜆1 = 
25 + 12,5 
0
20
1
 
 
𝜆1 = 25 ∶ ≥ 35 𝜆1 = 35 
 
 
 
 
 
 
- direção y 
 
e1,y= 10 cm emín = 2,7 cm < e1,y= 10 cm 
 
Então αb = CALCULAR 
 
 
 
𝛼𝑏 = 0,6 + 0,4 
7000
7000
 
 
 𝛼𝑏 = 0,6 + 0,4 ∗ 1 
 
𝛼𝑏 = 1 
 
 
𝜆1 = 
25 + 12,5 
𝑒1
ℎ
𝛼𝑏
 
 
𝜆1 = 
25 + 12,5 
10
40
1
 
 
𝜆1 = 28,13: ≥ 35 𝜆1 = 35 
 
 
Assim: 
 𝜆𝑥 = 48,44 > 𝜆1, 𝑥 = 35 ∶ 𝑆Ã𝑂 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 2º 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 
 𝜆𝑦 = 24,22 < 𝜆1, 𝑦 = 35 ∶ 𝑁Ã𝑂 𝑠ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 2º 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 
 
e) Momento de 2º ordem 
 
- Força normal adimensional 
 
𝜈 = 
𝑁𝑑
𝐴𝑐 ∗ 𝑓𝑐𝑑
 
 
𝜈 = 
700
20 ∗ 40 ∗
2
1,4
 
𝜈 = 0,61 
 
 
 
 
- Curvatura na direção x: 
 
1
𝑟
= 
0,005
ℎ ∗ (𝜈 + 0,5)
 
 
1
𝑟
= 
0,005
20 ∗ (0,61 + 0,5)
 
 
1
𝑟
= 2,25 10−4 cm 
 
 
- Momento de 2º ordem em x: 
 
𝑀2𝑑 = 𝑁𝑑 
𝑙𝑒²
10
 
1
𝑟
 
 
𝑀2𝑑 = 700 
280²
10
* 2,25 10−4= 1234,8 kNcm 
 
f) Momentos Totais: 
x: Md, tot = Mmín + M2d = 1470 +1234,8 = 2704,8 kNcm 
y: Md, tot = M1d + M2d = 7000 + 0 = 7000 kNcm 
 
g) Ábacos de Venturini 
- direção y 
 
𝜇 = 
𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡, 𝑦
ℎ𝑦 ∗ 𝐴𝑐 ∗ 𝑓𝑐𝑑
 
 
𝜇 = 
7000
40 ∗ 20 ∗ 40 ∗
2
1,4
 
 
𝜇 = 0,153 
 
 
 
𝑑′
ℎ𝑦
= 
4
40
 = 0,1 
 
- Ábaco A-27 : ω = 0,28 
 
h) Armadura final 
 
𝐴𝑠 = 
𝜔 ∗ 𝐴𝑐 ∗ 𝑓𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
 
 
𝐴𝑠 = 
0,28 ∗ 20 ∗ 40 ∗
2
1,4
50
1,15
 
𝐴𝑠 = 7,36 𝑐𝑚²