4º Aula CFVV

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Profa Kelly Drudi
DERIVADAS PARCIAIS
CFVV – Cálculo de Funções de Várias Variáveis
Orientações
▪ Mantenham os microfones e câmeras desligados;
▪ Dúvidas podem ser postadas via chat e serão respondidas durante ou ao final da 
aula;
▪ O material estará disponível em: https://online.unip.br/;
▪ A cada semana serão propostos 3 exercícios (por disciplina);
▪ O aluno deve: escolher 1 dos 3 exercícios propostos;
▪ Utilizar folha tamanho A5 (metade da folha de sulfite A4);
▪ Entregar o exercício com enunciado e resolução (manuscrito) no retorno das aulas.
Tópicos
▪ Tabela de Derivada;
▪ Derivadas parciais de funções de três variáveis;
▪ Derivadas parciais de segunda ordem;
▪ Exemplos; 
▪ Exercícios.
Tabela de Derivadas
▪ Derivadas diretas:
▪ Propriedades:
onde ‘f’ e ‘g’ são funções de x, e ‘c’ 
é um número real
𝑑
𝑑𝑥
𝑐 = (𝑐)′= 0
𝑑
𝑑𝑥
𝑥𝑛 = (𝑥𝑛)′ = 𝑛𝑥𝑛−1
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 = (𝑥)′ = 1
𝑑
𝑑𝑥
𝑒𝑥 = (𝑒𝑥)′ = 𝑒𝑥
𝑑
𝑑𝑥
ln(𝑥) = ln(𝑥) ′ =
1
𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
′
= cos 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥
′
= −𝑠𝑒𝑛(x)
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 ± 𝑔 ′ = 𝑓 ± 𝑔 ′ = 𝑓′ ± 𝑔′
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑓 ′ = 𝑐 𝑓 ′ = 𝑐𝑓′
Derivadas Parciais de Funções de Três Variáveis
Determine as derivadas parciais da função : 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑒𝑥𝑦𝑙𝑛𝑧 (Stewart, 2010)
▪ A variação de 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 em relação ao eixo 𝑥 é: 
▪ A variação de 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 em relação ao eixo 𝑦 é: 
▪ A variação de 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 em relação ao eixo 𝑧 é: 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑦𝑒𝑥𝑦𝑙𝑛𝑧
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑥𝑒𝑥𝑦𝑙𝑛𝑧
𝜕𝑓
𝜕𝑧
=
𝑒𝑥𝑦
𝑧
Derivadas Parciais de Funções de Três Variáveis
Suponha que a temperatura 𝑇 em um ponto (𝑥, 𝑦, 𝑧) do espaço seja dada por 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 4𝑥³ + 2𝑦² + 6𝑧, sendo 𝑇 medida em graus Celsius e as variáveis 𝑥, 𝑦, e 𝑧
medidas em metros. 
▪ A variação da temperatura em relação ao eixo 𝑥 é: 
▪ A variação da temperatura em relação ao eixo 𝑦 é: 
▪ A variação da temperatura em relação ao eixo 𝑧 é: 
)/(²12 mCx
x
T
=


)/(4 mCy
y
T
=


)/(6 mC
z
T
=


Derivadas Parciais de Segunda Ordem
Se 𝑓(𝑥, 𝑦) é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais são:
𝑓𝑥 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
Derivando novamente as funções 𝑓𝑥 e 𝑓𝑦 , encontramos as derivadas parciais de
segunda ordem, indicadas por
𝑓𝑥𝑥 =
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
,
𝑓𝑥𝑦 =
𝜕2𝑓
𝜕𝑦 𝜕𝑥
,
𝑓𝑦𝑦 =
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
e
𝑓𝑦 =
𝜕𝑓
𝜕𝑦
.
𝑓𝑦𝑥 =
𝜕2𝑓
𝜕𝑥 𝜕𝑦
.
e
Observação quanto às notações:
Derivadas Parciais de Segunda Ordem
𝑓𝑥𝑦 = 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥
= 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝑓𝑦𝑥 =
𝜕2𝑓
𝜕𝑥 𝜕𝑦
e depois em relação a 𝑦
Deriva-se primeiro em relação a 𝑥
Deriva-se primeiro em relação a 𝑦
e depois em relação a 𝑥.
Derivadas Parciais de Segunda Ordem
O esquema a seguir ilustra a obtenção das derivadas de ordens superiores.
𝑓𝑥𝑥
𝑓𝑥𝑦
𝑓𝑦
𝑓𝑦𝑥
𝑓𝑥
𝑓𝑦𝑦
𝑓(𝑥, 𝑦)
Derivadas Parciais de Segunda Ordem – Exemplo 
1) Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 𝑠𝑒𝑛 𝑦
𝑓𝑥𝑥 = 𝟐 𝑠𝑒𝑛 𝑦
𝑓𝑥𝑦 = 2𝑥 𝐜𝐨𝐬 𝒚
𝑓𝑦 = 𝑥
2 𝒄𝒐𝒔𝒚
𝑓𝑦𝑥 = 𝟐𝒙 cos 𝑦
𝑓𝑥 = 𝟐𝒙 𝑠𝑒𝑛 𝑦
𝑓𝑦𝑦 = −𝑥
2 𝐬𝐞𝐧𝒚
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝒙𝟐 𝑠𝑒𝑛 𝑦
𝑓𝑥 = 2𝑥 𝒔𝒆𝒏 𝒚
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 𝒔𝒆𝒏 𝒚
𝑓𝑦 = 𝒙
𝟐 𝑐𝑜𝑠 𝑦
Derivadas Parciais de Segunda Ordem – Exemplo 
2) Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3 + 𝑥2𝑦3 − 2𝑦2
𝑓𝑥𝑥 = 6x + 2𝑦
3
𝑓𝑥𝑦 = 6𝑥𝑦
2
𝑓𝑦𝑦 = 6x
2𝑦 − 4
𝑓𝑦𝑥 = 6𝑥𝑦
2
𝑓𝑥 = 3𝑥
2 + 2𝑥𝑦3
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3 + 𝑥2𝑦3 − 2𝑦2
𝑓𝑦 = 3𝑥
2y2 − 4y
Derivadas Parciais de Segunda Ordem – Exemplo 
3) Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3𝑦5 + 2𝑥4𝑦
𝑓𝑥𝑥 = 6x𝑦
5 + 24𝑥2𝑦
𝑓𝑥𝑦 = 15𝑥
2𝑦4 + 8𝑥3
𝑓𝑦𝑦 = 20x
3𝑦3
𝑓𝑦𝑥 = 15𝑥
2𝑦4 + 8𝑥3
𝑓𝑥 = 3𝑥
2𝑦5 + 8𝑥3𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3𝑦5 + 2𝑥4𝑦
𝑓𝑦 = 5𝑥
3y4 + 2x4
Derivadas Parciais de Segunda Ordem – Exemplo 
4) Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função:
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3. 𝑒2𝑦
𝑓𝑥𝑥 = 6𝑥. 𝑒
2𝑦
𝑓𝑥𝑦 = 6𝑥². 𝑒
2𝑦
𝑓𝑦𝑦 = 4𝑥
3. 𝑒2𝑦
𝑓𝑦𝑥 = 6𝑥
2. 𝑒2𝑦
𝑓𝑥 = 3𝑥
2. 𝑒2𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3. 𝑒2𝑦
𝑓𝑦 = 2𝑥
3. 𝑒2𝑦
Derivadas Parciais de Segunda Ordem – Exercícios (pg. 53 – ex 4)
Considere a função as derivadas parciais de segunda ordem da função:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 4𝑥3𝑦4 + 4𝑥 − 6𝑦5
𝑓𝑥𝑥 = 24𝑥. 𝑦
4
𝑓𝑥𝑦 = 48𝑥²𝑦
3
𝑓𝑦𝑦 = 48𝑥
3. 𝑦2 − 120𝑦3
𝑓𝑦𝑥 = 48𝑥
2. 𝑦3
𝑓𝑥 = 12𝑥
2. 𝑦4 + 4
𝑓 𝑥, 𝑦 = 4𝑥3𝑦4 + 4𝑥 − 6𝑦5
𝑓𝑦 = 16𝑥
3. 𝑦3 − 30𝑦4
Derivadas Parciais de Segunda Ordem – Exercícios (pg. 53 – ex 5)
Considere a função as derivadas parciais de segunda ordem da função:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2cos(𝑥𝑦)
𝑓𝑥𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 − 4𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 − 𝑥
2𝑦2cos(𝑥𝑦)
𝑓𝑥𝑦 = −3𝑥
2𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 − 𝑥3𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦)
𝑓𝑦𝑦 = −𝑥
4cos(𝑥𝑦)
𝑓𝑦𝑥 = −3𝑥
2𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 − 𝑥3𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦)
𝑓𝑥 = 2𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 − 𝑥
2𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2cos(𝑥𝑦)
𝑓𝑦 = −𝑥
3𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)
Derivadas Parciais de Segunda Ordem – Exercícios (pg. 53 – ex 6)
Considere a função as derivadas parciais de segunda ordem da função:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦𝑒𝑥
2+𝑦2
𝑓𝑥𝑥 = 2𝑦𝑒
(𝑥2+𝑦2) + 4𝑥2𝑦𝑒(𝑥
2+𝑦2)
𝑓𝑥𝑦 = 2𝑥𝑒
(𝑥2+𝑦2) + 4𝑥𝑦2𝑒(𝑥
2+𝑦2)
𝑓𝑦𝑦 = 6𝑦𝑒
(𝑥2+𝑦2) + 4𝑦3𝑒(𝑥
2+𝑦2)
𝑓𝑦𝑥 = 2𝑥𝑒
(𝑥2+𝑦2) + 4𝑥𝑦2𝑒(𝑥
2+𝑦2)
𝑓𝑥 = 2𝑥𝑦𝑒
(𝑥2+𝑦2)
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦𝑒 𝑥
2+𝑦2
𝑓𝑦 = 𝑒
(𝑥2+𝑦2) + 2𝑦2𝑒(𝑥
2+𝑦2)
Exercícios Propostos – para entregar
1) O raio de um cone circular reto está aumentando em uma taxa de 5,4 cm/s enquanto
sua altura está decrescendo em uma taxa de 2,5 cm/s. Em qual taxa o volume do cone
está variando quando o raio é 200 cm e a altura é 450 cm?
2) Encontre
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝑒
𝜕𝑧
𝜕𝑣
para a função 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 onde 𝑥 = 𝑣 ∙ cos 𝑢 e 𝑦 = 4 ∙ 𝑢 ∙ 𝑒𝑣.
3) Encontre as derivadas parciais de segunda ordem da função 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ sen(𝑥𝑦)
.
ATÉ A PRÓXIMA!