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15/05/2020 Ultra
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Avaliação On-Line 5 (AOL 5) - Questionário
Andre Leonidas Pedrosa Pinheiro
Pergunta 1 -- /1
O método da integração por partes possui fundamental importância no que diz respeito à integração de 
funções mais complexas em relação às habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método 
consiste em separar a função em duas partes, de preferência de forma que uma das expressões seja mais 
fácil de se derivar, e a outra, mais fácil de se integrar. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por partes, analise 
as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral indefinida da função f(x) = (e^x)cos(x) é igual a (e^x)[sen(x)+cos(x)]/2 + C.
Porque:
II. Consideramos a regra da integração por partes e tomando inicialmente u = e^x e dv = cos(x)dx, de forma 
que du = (e^x)dx e v = sen(x), ao integrar a função dada por partes, obtém-se outra expressão com uma 
integral parecida, e novamente é realizada a técnica de integração por partes. Após isso, se isola a integral 
cujo cálculo é desejado para encontrar a primitiva F(x) da função f(x). 
Agora, assinale a alternativa correta:
8/10
Nota final
Enviado: 15/05/20 22:09 (BRT)
15/05/2020 Ultra
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As asserções I e II são proposições falsas.
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
Pergunta 2 -- /1
Os métodos de integração auxiliam na resolução de integrais não triviais, ou seja, auxiliam na resolução 
daqueles que não podem ser facilmente determinada pelo conhecimento de algumas derivadas e 
antiderivadas. Um dos métodos importantes de integração é o método conhecido como integral por partes.
Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e ordene as etapas de acordo 
com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a utilização desse método de integração:
( ) Orientar-se pelo LIATE.
( ) Determinação de du e v.
( ) Identificar os tipos de funções.
( ) Substituição do u e dv.
( ) Substituição na fórmula de integração por partes e resolução da integral.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
2, 4, 1, 3, 5.
5, 2, 3, 4, 1.
2, 4, 1, 5, 3.
2, 1, 3, 4, 5.
3, 4, 2, 1, 5.
Pergunta 3 -- /1
15/05/2020 Ultra
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O estudo acerca das integrais é essencial para aqueles que estudam cálculo. Por meio delas, obtém-se 
uma medida analítica de algumas áreas, volumes e comprimentos. Portanto, reconhecê-las e utilizá-las é 
essencial. Existem inúmeros métodos de integração, cada um para um fim definido. O método de 
integração por partes é um deles, e é extremamente útil para a integração de uma categoria de funções.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integração por partes, analise as 
afirmativas a seguir:
I. A integração por partes é útil para se integrar certos tipos de produtos de funções.
II. A integração por partes pode ser concebida por meio da regra do produto das derivadas, realizando 
manipulações algébricas e integrando ambos lados da igualdade.
III. Esse método de integração consiste em transformar uma integral em termos de dv em outra em termos 
de du e um termo independente de integral.
IV. A função cos(x) é integrável por esse método.
Está correto apenas o que se afirma em:
I, II e III.
I, III e IV.
II e IV.
II e III.
I, II e IV.
Pergunta 4 -- /1
As integrais são um dos principais objetos matemáticos utilizados pelo cálculo. É por meio delas que se 
tem uma mensuração mais precisa de áreas, volumes e comprimento de arcos de funções.
De acordo com seu conhecimento acerca das integrais definidas, analise as afirmativas a seguir e assinale 
V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) As integrais definidas de interesse para o cálculo de áreas entre curvas podem ser definidas em 
termos de subtrações ou soma de outras integrais.
II. ( ) A fórmula representa o cálculo do volume de um sólido de revolução 
construído com eixo de rotação em x.
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III. ( ) representa a fórmula para o cálculo do comprimento do arco de uma 
função.
IV. ( ) pode ser utilizada para o cálculo do volume de um sólido de revolução 
construído com eixo de rotação y.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
V, V, F, V.
F, F, V, F.
V, F, V, V.
V, V, F, F
V, V, V, F.
Pergunta 5 -- /1
As técnicas de integração servem para possibilitar a resolução do cálculo de uma integral indefinida, onde 
muitas vezes não há um passo direto para encontrarmos a primitiva F(x) de uma certa função f(x). Dessa 
forma, dependendo do arranjo algébrico dos termos de f(x), decidimos por diferentes técnicas de 
integração, como o método da substituição, o da integração por partes, o das frações parciais, e etc.
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida pelo método de 
integração por partes e com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a 
seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A integral da função f(x) = (x+1)³(x-1) só pode ser calculada pela regra da integração por partes, por se 
tratar do produto de duas funções.
II. ( ) A técnica de integração por partes é dada pela seguinte fórmula: 
III. ( ) A primitiva de g(x) = ln(x) é G(x) = xln(x) - x + C.
IV. ( ) A integral definida no intervalo [-pi,pi] de h(x) = xsen(x) é aproximadamente igual a 6,28.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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V, F, F, V.
F, F, V, F.
F, V, V, V.
F, V, V, V.
V, V, F, F.
Pergunta 6 -- /1
Os métodos de integração buscam auxiliar na resolução das integrais, em geral reescrevendo as integrais 
complexas em integrais mais simples e facilmente solucionáveis.
Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca dos métodos de integração, associe os 
itens a seguir com os significados descritos:
1) Integração por partes.
2) Integração por substituição trigonométrica.
3) Integração por frações parciais.
4) Integração por substituição u du.
( ) Método de substituição mais simples, que pode ser utilizado em inúmeros casos de integrais.
( ) Útil para integração de certos tipos de produtos de funções.
( ) Útil para a eliminação de tipos específicos de radicais nos integrandos.
( ) Utilizado para integração de funções racionais.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
1, 2, 4, 3.
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3, 4, 2, 1.
1, 2, 3, 4.
4, 1, 2, 3.
2, 1, 3, 4.
Pergunta 7 -- /1
O método da integração de funções racionais por frações parciais possui fundamental importância no que 
diz respeito à integraçãode funções mais complexas em relação às habituais, que aparecem em tabelas 
de integração. Esse método consiste em reescrever a função como a soma de frações cujos 
denominadores são fatores do denominador original e, apenas após isso, realizar a integração de fato.
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por frações parciais, 
analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral de f(x) = (x²+x)/(x-1) é igual a x²/2 + 2x + 2ln|x-1| + C, e pode ser calculada pelo método da 
integração de frações parciais.
Porque:
II. Separamos f(x) = (x²+x)/(x-1) como f(x) = x²/(x-1) + x/(x+1), e depois fazemos essas divisões polinomiais, 
obtendo f(x) = x + 1 + 1/(x-1) + 1 + 1/(x-1) = x + 2 + 2/(x-1), para então integrar utilizando a regra da integral 
da soma de vários termos.
Agora, assinale a alternativa correta:
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
As asserções I e II são proposições falsas.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
Pergunta 8 -- /1
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O método de integração por substituições trigonométricas é um dos mais trabalhosos e complexos 
métodos. Busca-se, com ele, a realização de uma substituição a partir de funções trigonométricas 
específicas para a eliminação de uma estrutura determinada do integrando.
Com base no seu conhecimento acerca desse método de integração, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) O método trabalha com a eliminação de radicais específicos do integrando.
II. ( ) x= asen( ) é uma das substituições possíveis.
III. ( ) O conhecimento acerca das relações trigonométricas é dispensável para resolução desse método.
IV. ( ) Há ligação entre o círculo trigonométrico e esse método de integração.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
V, F, F, F.
V, V, F, V.
V, V, V, F.
F, F, V, V.
V, V, F, F.
Pergunta 9 -- /1
Algumas funções algébricas requerem substituições especiais para a resolução analítica de sua integral. 
Utiliza-se o recurso de substituição para conseguir evidenciar algum termo que possua integração mais 
simples, e isso ocorre, por exemplo, em integrais de funções com raízes, nas quais nos valemos, muitas 
das vezes, de identidades trigonométricas.
Dessa forma, considerando as funções f(x) = √(x²-4) e g(x) = 1/√(x²+4) e também seus conhecimentos 
sobre o método da integração por substituições trigonométricas desses tipos de funções, é correto afirmar 
que:
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f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = asen(w).
ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos números reais
f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = atg(w).
ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica correspondente restrito no 
intervalo [-pi/2, pi/2].
ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica correspondente restrito no 
intervalo [0, pi/2[ ou [pi, 3pi/2].
Pergunta 10 -- /1
As funções racionais possuem diversas aplicações em diversos estudos de fenômenos modelados 
matematicamente, de forma que o conhecimento da regra de integração de funções racionais por frações 
parciais é essencial para o bom aproveitamento dos conceitos estudados. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre regras de integração de funções racionais 
por frações parciais, é correto afirmar que:
I. f(x) = cos(x)/sen(x) é uma função integrável pelo fato de ser possível aplicar o método das frações 
parciais ou fazer alguma outra substituição para sua resolução.
II. Funções racionais podem ser expressas como a soma de frações mais simples, chamadas frações 
parciais, as quais são mais fáceis de se integrar.
III. Sendo f a função racional tal que f(x) = P(x)/Q(x), então f pode ser expressa como uma soma de frações 
parciais desde que o grau de Q seja menor que o grau de P.
IV. g(x) = (x+5)/(x² + x - 2) pode ser reescrita como g(x) = 2/(x-1) – 1/(x+2).
Está correto apenas o que se afirma em:
III e IV.
II e III.
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I, II e IV.
II e IV.
I e III.