exercícios Matrizes e Determinantes MILITAR

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1. (ITA 2019) Considere as seguintes afirmações a 
respeito de matrizes A de ordem n n invertíveis, tais que 
os seus elementos e os de sua inversa sejam todos 
números inteiros: 
 
I. | det(A) | 1.= 
II. T 1A A .−= 
III. 1A A−+ é uma matriz diagonal. 
 
É(são) sempre VERDADEIRA(S) 
A) apenas I. 
B) apenas III. 
C) apenas I e II. 
D) apenas I e III. 
E) todas. 
 
2. (EFOMM 2017) Determine uma matriz invertível P 
que satisfaça a equação 1
5 0
P A ,
0 2
−   =  
− 
 sendo 
1 2
A .
3 3
− 
=  
 
 
A) 
5 10
3 9
P
2 2
3 9
 
 
=  
 −
  
 
B) 
2 10
P
6 15
 
=  
− 
 
C) 
2 101
P
3 310
 
=  
− 
 
D) 
2 2
9 3
P
10 5
9 3
 
− − 
=  
 −
  
 
E) 
1
1
5
P
3 3
5 2
 
 
=  
 −
  
 
 
3. (EPCAR/AFA-2017) Considere A, B, C e X matrizes 
quadradas de ordem n e inversíveis. Assinale a alternativa 
FALSA. 
A) 1 1(A ) A− − = 
B) 1 1 1 1(A B C) C B A− − − −= 
C) 1 1A X C B X A C B− −=  = 
D) 1 n
det A
det (2 A B ) 2
det B
− = 
 
4. (ESPCEX/AMAN-2018) Uma matriz quadrada A, de 
ordem 3, é definida por ij i j
i j, se i j
a .
( 1) , se i j+
− 
= 
− 
 
Então 1det(A )− é igual a 
A) 4. 
B) 1. 
C) 0. 
D) 
1
.
4
 
E) 
1
.
2
 
 
5. (EFOMM 2018) Para descrever um código que 
permite transformar uma palavra P de três letras em um 
vetor 3w , inicialmente, escolhe-se uma matriz 3 3. 
Por exemplo, a nossa “matriz código” será: 
 
2 2 0
A 3 3 1
1 0 1
 
 
=
 
  
 
 
A partir da correspondência: 
 
A 1 / B 2 / C 3 / D 4 / E 5 /
F 6 / G 7 / H 8 / I 9 / J 10 /
L 11 / M 12 / N 13 / O 14 / P 15 /
Q 16 / R 17 / S 18 / T 19 / U 20 /
V 21 / X 22 / Z 23
→ → → → →
→ → → → →
→ → → → →
→ → → → →
→ → →
 
 
a palavra P é transformada em vetor v do 3. Em 
seguida, o código da palavra P é obtido pela operação 
w Av.= Por exemplo, a palavra MAR corresponde ao 
vetor (12,1,17) v,= a qual é codificada com 
w Av (26, 56, 29).= = 
Usando o processo acima para decodificar 
w (64,107, 29),= teremos 
A) x 18, y 14, z 11 / SOL= = = 
B) x 12, y 5, z 11 / MEL= = = 
C) x 12, y 1, z 20 / MAU= = = 
D) x 11, y 20, z 1 / LUA= = = 
E) x 20, y 21, z 1 / UVA= = = 
 
 
 
 
 
 
 
MATRIZES E DETERMINANTES 
 
 
 
6. (UDESC 2018) Analise as proposições abaixo. 
 
I.O produto de uma matriz linha por uma matriz linha é 
uma matriz linha. 
II. Uma matriz identidade elevada ao quadrado é uma 
matriz identidade. 
III. O produto de uma matriz por sua transposta é a matriz 
identidade. 
 
Assinale a alternativa correta. 
A) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
B) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
C) Somente a afirmativa II é verdadeira. 
D) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
E) Todas as afirmativas são verdadeiras. 
 
7. (FGV 2018) Seja ij 22A (a )= uma matriz tal que 
i
ij j
j , se i j
a .
( i) , se i j
− =
= 
− 
 
 
A inversa da matriz A, denotada por 1A ,− é a matriz 
A) 
1
2
2
1
1
2
 
− 
 
 −
  
 
B) 
1
2
2
1
1
2
 
− 
 
 −
  
 
C) 
1 2
6 3
1 2
6 3
 
− − 
 
 −
  
 
D) 
1 2
6 3
1 2
6 3
 
− − 
 
 
  
 
E) 
2 1
3 6
1 1
3 6
 
− − 
 
 −
  
 
 
8. (ITA 2017) Sejam 
 
 
=
 
  
1 0 0
D 0 2 0
0 0 3
 e 
 
 
=
 
  
7 0 2
P 0 1 0 .
2 0 5
 
 
Considere 1A P DP.−= O valor de 2det(A A)+ é 
A) 144. 
B) 180. 
C) 240. 
D) 324. 
E) 360. 
 
 
 
9. (UNICAMP 2017) Sendo a um número real, 
considere a matriz 
1 a
.
0 1
 
 
− 
 Então, 2017A é igual a 
A) 
1 0
.
0 1
 
 
 
 
B) 
1 a
.
0 1
 
 
− 
 
C) 
1 1
.
1 1
 
 
 
 
D) 
20171 a
.
0 1
 
  − 
 
 
10. (ESPCEX/AMAN-017) Considere a matriz 
3 3
3
a a b b
M a a 0 .
2 5 3
 −
 
 =
 
 
 
 Se a e b são números reais não 
nulos e det(M) 0,= então o valor de 2 214a 21b− é igual 
a 
A) 15 
B) 28 
C) 35 
D) 49 
E) 70 
 
11. (ITA 2016) Se 
1 1
M
2 0
− 
=  
 
 e 
2 1
N ,
1 3
 
=  
− 
 então 
T 1M N M N−− é igual a 
A) 
3 5
2 2
5 3
2 2
 
− 
 
 −
  
 
B) 
3 1
2 2
7 5
2 2
 
− 
 
 −
  
 
C) 
3 11
2 2
13 5
2 2
 
− 
 
 −
  
 
D) 
3 5
2 2
13 3
2 2
 
− 
 
 −
  
 
E) 
3 11
2 2
13 3
2 2
 
− 
 
 −
  
 
 
 
 
 
 
 
 
12. (INSPER 2016) Uma matriz X de tamanho 7 5 é 
tal que tdet(X X) 0, sendo que tX representa a matriz 
transposta de X. Nessas condições, chama-se matriz de 
projeção de X a matriz P definida como: 
t 1 tP X(X X) X−= 
 
O tamanho da matriz P e o resultado da multiplicação 
PX são, respectivamente, 
A) 5 5 e tX . 
B) 5 5 e X. 
C) 5 7 e tXX . 
D) 7 7 e tX . 
E) 7 7 e X. 
 
13. (EPCAR/AFA-2016) Seja A a matriz 
1
0
2
2 0
 
 
 
  
 
Sabe-se que 
n
n vezes
A A A A A=     
Então, o determinante da matriz 
2 3 11S A A A A= + + + + é igual a 
A) 1 
B) 31− 
C) 875− 
D) 11− 
 
14. (FGV-2016) Dada a matriz 
3
B
4
 
=  
− 
 e sabendo que 
a matriz 1
2 1
A
5 3
− − =  
 
 é a matriz inversa da matriz A, 
podemos concluir que a matriz X, que satisfaz a equação 
matricial AX B,= tem como soma de seus elementos o 
número 
A) 14 
B) 13 
C) 15 
D) 12 
E) 16 
 
15. (ESC. NAVAL 2014) Considere as seguintes 
matrizes 
y
x
4 (16) 1
R ;
9 a 0
 −
=  
  
 
(2y 1) 1
x
1 (4) 2
S
3 b 1
− − 
=  
  
 
e 
(2y 1)b (2) 10 c
T .
27 13 6
− −
=  
−  
 
 
A soma dos quadrados das constantes reais x, y, a, b, c 
que satisfazem à equação matricial R 6S T− = é 
A) 23 
B) 26 
C) 29 
D) 32 
E) 40 
 
16. (UECE 2015) Considerando as matrizes 
1
0 1
M ,
1 1
 
=  
 
 2 1 1M M M ,=  3 2 1M M M , ,=  
n n 1 1M M M ,−=  o número situado na segunda linha e 
segunda coluna da matriz 10M é 
A) 56. 
B) 67. 
C) 78. 
D) 89. 
 
17. (UNICAMP 2015) Considere a matriz 
a 0
A ,
b 1
 
=  
 
 
onde a e b são números reais. Se 2A A= e A é 
invertível, então 
A) a 1= e b 1.= 
B) a 1= e b 0.= 
C) a 0= e b 0.= 
D) a 0= e b 1.= 
 
18. (UECE 2015) Para cada inteiro positivo n, defina a 
matriz n
1 n
M .
0 1
 
=  
 
 A soma dos elementos da matriz 
produto 1 2 3 21P M M M M=   é 
A) 229. 
B) 231. 
C) 233. 
D) 235. 
 
19. (MACKENZIE 2014) Se a matriz 
 
 
 
é simétrica, o valor de x é 
A) 0 
B) 1 
C) 6 
D) 3 
E) –5 
 
20. (ESPCEX/AMAN-2014) O elemento da segunda 
linha e terceira coluna da matriz inversa da matriz 
1 0 1
2 1 0
0 1 1
 
 
 
 
 
 é: 
A) 
2
3
 
B) 
3
2
 
C) 0 
D) 2− 
E) 
1
3
− 
1 x y z 3y z 2
4 5 5
y 2z 3 z 0
+ + − + 
 
−
 
 − + 
 
 
 
21. (UDESC 2014) Se TA e 1A− representam, 
respectivamente, a transposta e a inversa da matriz 
2 3
A ,
4 8
 
=  
 
 então o determinante da matriz 
T 1B A 2A−= − é igual a: 
A) 
111
2
−
 
B) 
83
2
−
 
C) 166− 
D) 
97
2
 
E) 62 
 
22. (UPF 2014) Dadas as matrizes quadradas A, B e 
C, de ordem n, e a matriz identidade nI , de mesma 
ordem, considere as proposições a seguir, verificando se 
são verdadeiras (V) ou falsas (F). 
 
( ) ( )
2 2 2A B A 2AB B+ = + + 
( ) ( )
2 2 2A B A B− = − 
( ) CI C= 
 
A sequência correta de preenchimento dos parênteses, 
de cima para baixo, é: 
A) V – V – V. 
B) V – F – V. 
C) F – V – V. 
D) F – F – V. 
E) F – F – F. 
 
 
23. (ESC. NAVAL 2013) Sejam 
1 1 2
A
4 3 0
 
=  
− 
 e 
5 0 3
B
1 26
− 
=  
− 
 e B' a transposta de B. O produto da 
matriz A pela matriz B' é 
A) 
9 2 10
8 6 0
21 21 6
 
 
− 
 − − 
 
B) 
5 0 6
4 6 0
− 
 
 
 
C) 
5 4
0 6
6 0
 
 
 
 − 
 
D) 
1 11
20 10
− 
 
 
 
E) 
1 10
2 1
− 
 
− 
 
 
 
 
 
24. (UFSJ 2013) A matriz inversa de 
2 0 1
A 2 1 10
0 0 1
− 
 
=  
 − 
 é 
A) 
2 0 1
A 2 1 10
0 0 1
− 
 
= − − − 
  
 
B) 
1 2 0 1 2
A 1 1 11
0 0 1
− 
 
= − 
 − 
 
C) 
2 2 0
A 0 1 0
1 10 1
 
 
=  
 − − 
 
D) 
2 2 0
A 0 1 0
1 10 1
− − 
 
= − 
 − 
 
 
25. (UFRN 2013) Considere, a seguir, uma tabela com 
as notas de quatro alunos em três avaliações e a matriz M 
formada pelos dados dessa tabela. 
 
 Avaliação 1 Avaliação 2 Avaliação 3 
Thiago 8 9 6 
Maria 6 8 7 
Sônia 9 6 6 
André 7 8 9 
 
8 9 6
6 8 7
M
9 6 6
7 8 9
 
 
 =
 
 
 
 
 
O produto 
1
1
M 1
3
1
 
 
 
 
 
 corresponde à média 
A) de todos os alunos na Avaliação 3. 
B) de cada avaliação. 
C) de cada aluno nas três avaliações. 
D) de todos os alunos na Avaliação 2. 
 
26. (ESPCEX/AMAN-2013) Considere as matrizes 
3 5
A
1 x
 
=  
 
 e 
x y 4
B .
y 3
+ 
=  
 
 
Se x e y são valores para os quais B é a transposta da 
Inversa da matriz A, então o valor de x y+ é 
A) –1 
B) –2 
C) –3 
D) –4 
E) –5 
 
 
 
 
 
 
 
27. (UNIOESTE 2013) Sendo A uma matriz quadrada e 
n um inteiro maior ou igual a 1, define-se An como a 
multiplicação de A por A , n vezes. No caso de A ser a 
matriz 
0 1
1 0
− 
 
− 
 é correto afirmar que a soma 
2 3 39 40A A A A A+ + + + + é igual à matriz 
A) 
20 20
.
20 20
− 
 
− 
 
B) 
40 20
.
20 40
− 
 
− 
 
C) 
0 40
.
40 0
− 
 
− 
 
D) 
40 40
.
40 40
− 
 
− 
 
E) 
20 0
.
0 20
 
 
 
 
 
28. (EPCAR/AFA-2012) Uma montadora de 
automóveis prepara três modelos de carros, a saber: 
 
MODELO 1 2 3 
CILINDRADA (em litro) 1.0 1.4 1.8 
 
Essa montadora divulgou a matriz abaixo em que cada 
termo ija representa a distância percorrida, em km, pelo 
modelo i, com um litro de combustível, à velocidade 
10j km h. 
 
6 7,6 7,2 8,9 8,2 11 10 12 11,8
5 7,5 7 8,5 8 10,5 9,5 11,5 11
3 2,7 5,9 5,5 8,1 7,4 9,8 9,4 13,1
 
 
 
  
 
 
Com base nisso, é correto dizer que 
A) para motoristas que somente trafegam a 30 km h, o 
carro 1.4 é o mais econômico. 
B) se durante um mesmo período de tempo um carro 1.4 
e um 1.8 trafegam a 50 km h, o 1.4 será o mais 
econômico. 
C) para motoristas que somente trafegam a velocidade de 
70 km h, o carro 1.8 é o de maior consumo. 
D) para motoristas que somente trafegam a 80 km h, o 
carro 1.0 é o mais econômico. 
 
29. (FUVEST 2012) Considere a matriz 
a 2a 1
A
a 1 a 1
+ 
=  
− + 
 em que a é um número real. Sabendo 
que A admite 
inversa 1A − cuja primeira coluna é 
2a 1
1
− 
 
− 
, a soma dos 
elementos da diagonal principal de 1A − é igual a 
A) 5 C) 7 E) 9 
B) 6 D) 8 
 
 
30. (ENEM 2012) Um aluno registrou as notas 
bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele 
observou que as entradas numéricas da tabela formavam 
uma matriz 4x4, e que poderia calcular as medias anuais 
dessas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as 
provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele 
conseguiu é mostrada a seguir. 
 
 
1º 
bimestre 
2º 
bimestre 
3º 
bimestre 
4º 
bimestre 
Matemática 5,9 6,2 4,5 5,5 
Português 6,6 7,1 6,5 8,4 
Geografia 8,6 6,8 7,8 9,0 
História 6,2 5,6 5,9 7,7 
 
Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a 
partir da tabela por 
A) 
1 1 1 1
2 2 2 2
 
 
 
 
B) 
1 1 1 1
4 4 4 4
 
 
 
 
C) 
1
1
1
1
 
 
 
 
 
 
 
D) 
1
2
1
2
1
2
1
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E) 
1
4
1
4
1
4
1
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31. (IFSC 2011) Sobre as propriedades da matriz 
transposta, considere as sentenças abaixo: 
 
I. ( )
t t tA B A B+ = + 
II. ( )
t tkA kA= 
III. ( )
t t tAB A B= 
 
Assinale a alternativa correta. 
A) Apenas a sentença II é verdadeira. 
B) Apenas a sentença III é verdadeira. 
C) Apenas as sentenças I e II são verdadeiras. 
D) Apenas as sentenças II e III são verdadeiras. 
E) Apenas as sentenças I e III são verdadeiras. 
 
 
 
32. (UFF 2012) Se 1 2 kC ,C ,...,C representam k cidades 
que compõem uma malha aérea, a matriz de adjacência 
associada à malha é a matriz A definida da seguinte 
maneira: o elemento na linha i e na coluna j de A é igual 
ao número 1 se existe exatamente um voo direto da 
cidade C, para a cidade 1C , caso contrário, esse elemento 
é igual ao número 0. Uma propriedade importante do 
produto com n
n fatores
A AA...A, n IN,=  é a seguinte: o elemento 
na linha i e na coluna j da matriz A dá o número de 
voos com exatamente n 1− escalas da cidade iC para a 
cidade jC . 
Considere a malha aérea composta por quatro cidades, 
1 2 3 4C ,C ,C e C , cuja matriz de adjacência é 
 
0 1 1 1
1 0 1 1
A .
1 1 0 0
1 1 0 0
 
 
 =
 
 
 
 
 
Os números de voos com uma única escala de 3C para 
1C , de 3C para 2C e de 3C para 4C são, 
respectivamente, iguais a 
A) 0, 0 e 1. 
B) 1, 1 e 0. 
C) 1, 1 e 2. 
D) 1, 2 e 2. 
E) 2, 1 e 1. 
 
33. (IBMECRJ 2010) Sejam M e N matrizes quadradas 
de ordem 2, cujos determinantes são denotados 
respectivamente por, Det (M) e Det (N). Seja O é a matriz 
nula de ordem 2. Assinale a afirmativa correta. 
A) Se Det (M) = 0 então M = O. 
B) Det (M + N) = Det (M) + Det (N). 
C) Det (3M) = 3 Det (M). 
D) Det (-M) = - Det (M). 
E) Se Det (MN) = 0 então Det (M) = 0 ou Det (N) = 0. 
 
34. (UEL) 
Sobre as sentenças: 
 
I. O produto de matrizes 
3x2 2x1
A .A é uma matriz 3x1. 
II. O produto de matrizes 
5x4 5x2
A .A ‚ é uma matriz 4x2. 
III. O produto de matrizes 
2x3 3x2
A .A ‚ é uma matriz 
quadrada 2x2. 
 
é verdade que 
A) somente I é falsa. 
B) somente II é falsa. 
C) somente III é falsa. 
D) somente I e III são falsas. 
 
 
 
 
35. (UFF 2011) A transmissão de mensagens codificadas 
em tempos de conflitos militares é crucial. Um dos 
métodos de criptografia mais antigos consiste em 
permutar os símbolos das mensagens. Se os símbolos são 
números, uma permutação pode ser efetuada usando-se 
multiplicações por matrizes de permutação, que são 
matrizes quadradas que satisfazem as seguintes 
condições: 
· cada coluna possui um único elemento igual a 1 (um) e 
todos os demais elementos são iguais a zero; 
· cada linha possui um único elemento igual a 1 (um) e 
todos os demais elementos são iguais a zero. 
 
Por exemplo, a matriz 
0 1 0
M 0 0 1
1 0 0
 
 
=
 
  
 permuta os 
elementos da matriz coluna
a
Q b ,
c
 
 
=
 
  
 
transformando-a na matriz
b
p c ,
a
 
 
=
 
  
 pois P = M . Q. 
Pode-se afirmar que a matriz que permuta
a
b ,
c
 
 
 
  
transformando-a em
c
a ,
b
 
 
 
  
é 
A) 
0 0 1
1 0 0 .
0 1 0
 
 
 
  
 
B) 
1 0 0
0 0 1 .
0 1 0
 
 
 
  
 
C) 
0 1 0
1 0 0 .
0 0 1
 
 
 
  
 
D) 
0 0 1
0 1 0 .
1 0 0
 
 
 
  
 
E) 
1 0 0
0 1 0 .
0 0 1
 
 
 
  
 
 
 
 
01.A; 02.E; 03.C; 04.D; 05.A; 06.C; 07.E; 08.A; 09.B; 10.C; 11.C; 
12.E; 13.D; 14.B; 15.B; 16.D; 17.B; 18.C; 19.C; 20.A; 21.B; 22.D; 
23.D; 24.B; 25.C; 26.C; 27.A; 28.B; 29.A; 30.E; 31.C; 32.C; 33.E; 
34.B; 35.A.