Matrizes: Conceito, Tipos e Aplicações

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Matrizes
José Tadeu de Almeida
Introdução
Você já organizou uma tabela com informações? Nesta aula, vamos estudar as matrizes, 
arranjos que permitem o entendimento de dados organizados. Aprenderemos também sobreo con-
ceito deste tópico de estudo da Álgebra Linear, assim como suas características, tipos e aplicações.
Objetivos de aprendizagem
Ao fi nal desta aula, você será capaz de: 
 • conceituar matrizes;
 • reconhecer os tipos especiais de matrizes.
1 Conceito de matriz real
Em nosso dia a dia, frequentemente, utilizamos alguma técnica de organização de dados em 
tabelas para catalogar e ordenar observações relacionadas a uma ou mais variáveis. Observe, a seguir, 
uma tabela de organização de dados relacionada ao peso, altura e idade de um grupo de indivíduos.
Tabela 1 – Rol de indivíduos
Indivíduo Altura (cm) Peso (kg) Idade (anos)
Alfa 168 87 47
Echo 143 49 84
Sierra 178 130 31
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Se retirarmos os elementos descritivos e mantermos os dados observados, de forma organi-
zada, agrupando-os dentro de colchetes, teremos o seguinte arranjo:
 168 87 47 168 87 47
 143 49 84 143 49 84
 
 
 
=  143 49 84 143 49 84
 
 
 143 49 84 143 49 84 143 49 84
 143 49 84
 178 130 31 178 130 31
 
 
 
    178 130 31 178 130 31 178 130 31 178 130 31
M
Esta organização corresponde a uma matriz real, que denominamos M (STEINBRUCH; 
WINTERLE, 1997).
Podemos entender uma matriz real M como um arranjo retangular de números reais dis-
postos em linhas e colunas. Logo, apenas números reais são aceitos para a composição de uma 
matriz real. Os chamados números complexos, como 2 1− , por exemplo, não são considerados.
FIQUE ATENTO!
Raízes quadradas de números negativos não são números reais e, portanto, não 
compõem uma matriz real.
Cada número real disposto na matriz, portanto, é um certo elemento a, pertencente a uma 
linha i qualquer, e uma coluna j qualquer. Portanto, cada elemento da matriz tem notação ija (BOL-
DRINI et al, 1980).
Observe agora a segunda linha da matriz M. Ela é formada pelos dados do conjunto {143, 49, 
84}. A segunda coluna, por sua vez, é composta pelos elementos {87, 49, 130}.O dado do meio, 
{49}, portanto, pertence à segunda linha e à segunda coluna. Trata-se, assim, do elemento 22a . O 
elemento 13a , desta forma, é o número 47.
1.1 Igualdade entre matrizes
Duas ou mais matrizes são iguais quando satisfazem as seguintes condições (BOLDRINI 
et al, 1980):
 • os números de linhas e colunas são iguais;
 • os elementos de cada matriz são perfeitamente correspondentes, ou seja, são iguais e 
localizados na mesma posição em relação às matrizes em análise. Assim, para o caso 
de duas matrizes, A e B, temos:
11 11 12 12; ;11 11 12 12; ;11 11 12 12= = …11 11 12 12= = …11 11 12 12; ;= = …; ;11 11 12 12; ;11 11 12 12= = …11 11 12 12; ;11 11 12 12a b  a b11 11 12 12a b  a b11 11 12 12; ;a b  a b; ;= = …a b  a b= = …11 11 12 12= = …11 11 12 12a b  a b11 11 12 12= = …11 11 12 12; ;= = …; ;a b  a b; ;= = …; ;11 11 12 12; ;11 11 12 12= = …11 11 12 12; ;11 11 12 12a b  a b11 11 12 12; ;11 11 12 12= = …11 11 12 12; ;11 11 12 12
EXEMPLO
Considere as matrizes 
   2 4 8 4   2 4 8 4
   3 6 0,5 6   3 6 0,5 6
   
   
   
= =   = =
   3 6 0,5 6   3 6 0,5 6
   
   
   3 6 0,5 6   3 6 0,5 6   3 6 0,5 6
   3 6 0,5 6
2 4 8 4   2 4 8 4x2 4 8 4   2 4 8 4
A  e B
   
A  e B
   
= =A  e B= =   A  e B   
   
   
   
A  e B
   
   
   
= =   = =A  e B= =   = =
   y   3 6 0,5 6   3 6 0,5 6y3 6 0,5 6   3 6 0,5 63 6 0,5 6
   3 6 0,5 6   3 6 0,5 6
   3 6 0,5 6y3 6 0,5 6   3 6 0,5 6   3 6 0,5 6
   3 6 0,5 6
Sabendo que as matrizes A e B satisfazem a condição de igualdade de matrizes, 
temos que 11 11a b11 11a b11 11=a b=11 11=11 11a b11 11=11 11 . Logo, 2 8 4= → =2 8 4= → =2 8 42 8 4x x2 8 42 8 4= → =2 8 4x x2 8 4= → =2 8 4
Da mesma forma, 21 21a b21 21a b21 21=a b=21 21=21 21a b21 21=21 21 , então 0,5 3 60,5 3 6= → =0,5 3 6y y0,5 3 6y y0,5 3 60,5 3 6= → =0,5 3 6y y0,5 3 6= → =0,5 3 6 .
Cada matriz possui infi nitas combinações em termos de número de linhas e colunas. Se 
temos uma matriz com quatro linhas e seis colunas, por exemplo, dizemos que esta matriz é uma 
matriz 4x5. A matriz M, citada anteriormente, seria uma matriz 3x3, logo é um caso especial, deno-
minado matriz quadrada, como estudaremos no próximo tópico.
2 Tipos especiais de matrizes
Nem todas as matrizes são perfeitamente simétricas/quadradas, como as que verifi camos 
anteriormente. Para entendermos isto, basta pensarmos que determinados conjuntos de dados 
podem estar ligados a apenas uma variável de estudo, de maneira que teremos diversas linhas e 
apenas uma coluna. Este, por exemplo, é um tipo especial de matriz, denominado matriz coluna 
(STEINBRUCH; WINTERLE, 1997; BOLDRINI et al, 1980), como demonstrado a seguir.
C m=C m=
A matriz linha, por sua vez, é a matriz que possui apenas uma linha. Observe:
  2 22 214 144 18 4 13 14 144 18 4 1314 144 18 4 13 14 144 18 4 13214 144 18 4 132 214 144 18 4 132214 144 18 4 132 214 144 18 4 132=     14 144 18 4 13 14 144 18 4 1314 144 18 4 13 14 144 18 4 13   14 144 18 4 13 14 144 18 4 13 14 144 18 4 13 14 144 18 4 1314 144 18 4 13 14 144 18 4 13 14 144 18 4 13 14 144 18 4 13
214 144 18 4 132 214 144 18 4 132 
214 144 18 4 132 214 144 18 4 132G
Já a matriz nula é aquela cujos elementos são todos iguais a zero. Confi ra a Tabela “Aciden-
tes de trabalho nas fi liais de uma empresa” e a matriz O, gerada a partir dos dados da Tabela 02:
Tabela 2 – Acidentes de trabalho nas fi liais de uma empresa 
Últimos 7 dias Últimos 30 dias Últimos 360 dias
Matriz 0 0 0
Filial 01 0 0 0
Filial 02 0 0 0
Fonte: elabora pelo autor, 2017.
 0 0 0 0 0 0
 0 0 0 0 0 0
 
 
 
=  0 0 0 0 0 0
 
 
 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 0 0 0
 0 0 0 0 0 0
 
 
 
    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
O
Por último temos a matriz quadrada, que é formada por um número igual de linhas e colunas:
 2 6 10 2 6 10
 3 5 0 3 5 0
 
 
 
=  3 5 0 3 5 0
 
 
 3 5 0 3 5 0 3 5 0
 3 5 0
 1 2 5425 1 2 5425
 
 
 
    1 2 5425 1 2 5425 1 2 5425 1 2 5425
Q
FIQUE ATENTO!
 Embora uma matriz quadrada seja formada pelo mesmo número de linhas e 
colunas isto não significa que os elementos que compõem a matriz tenham 
de ser iguais.
Sempre que analisamos uma matriz quadrada devemos verifi car qual é a sua ordem (ou 
dimensão), ou seja, o número de linhas e colunas. No caso que vimos anteriormente, como a 
matriz Q tem três linhas e três colunas dizemos que ela é de ordem 3. Mas, caso tivesse duas 
linhas e duas colunas, seria de ordem 2, etc (BOLDRINI et al, 1980)
FIQUE ATENTO!
Uma matriz real de dimensão n tem ordem n, ou seja, é uma matriz real quadrada 
com n linhas e n colunas.
Neste momento, cabe enfatizarmos algumas propriedades:
 • se uma matriz não é quadrada, ela será retangular;
 • uma matriz quadrada pode ser ‘cruzada’ diagonalmente. Neste caso, chamamos de 
diagonal principal o conjunto em série dos elementos que possuem índices iguais:
 11 12 13 14 11 12 13 14
 
11 12 13 14
 
11 12 13 14 
 
 11 12 13 14 11 12 13 14
 
11 12 13 14 11 12 13 14
 21 22 23 24 21 22 23 24
 
 
 
=
 31 32 33 34 31 32 33 34
 
 
 
 
31 32 33 34
 
31 32 33 34 
 
 31 32 33 34 31 32 33 34
 
31 32 33 34 31 32 33 34
 41 42 43 44 41 42 43 44
 
 
 
 a a a 11 12 13 14 11 12 13 14a a a11 12 13 14 11 12 13 14
 a a a  a a a 21 22 23 24 21 22 23 24a a a21 22 23 24 21 22 23 24
 
 
 a a a  
 
A
 a a a 31 32 33 34 31 32 33 34a a a31 32 33 34 31 32 33 34 
 
 a a a 
 
 31 32 33 34 31 32 33 34
 
31 32 33 34 31 32 33 34a a a31 32 33 34 31 3233 34
 
31 32 33 34 31 32 33 34
 a a a 41 42 43 44 41 42 43 44a a a41 42 43 44 41 42 43 44
 
 
 a a a  
 
 a 11 12 13 14 11 12 13 14a11 12 13 14 11 12 13 14 a 
 a a a a a a a  a a a a a a a 21 22 23 24 21 22 23 24a a a21 22 23 24 21 22 23 24a21 22 23 24 21 22 23 24a a a21 22 23 24 21 22 23 24
 
 
 a a a  
 a  
 a a a  
  a a a a a a a   
 a a a  
 a  
 a a a  
  a a a a a a a  a a a a a a a 21 22 23 24 21 22 23 24a a a21 22 23 24 21 22 23 24a21 22 23 24 21 22 23 24a a a21 22 23 24 21 22 23 24
 
 
 a a a  
 a  
 a a a  
  a a a a a a a  a a a a a a a 
 
 
 a a a  
 a  
 a a a  
 
21 22 23 24 21 22 23 24a a a21 22 23 24 21 22 23 24a21 22 23 24 21 22 23 24a a a21 22 23 24 21 22 23 24
 a a a a a a a 31 32 33 34 31 32 33 34a a a31 32 33 34 31 32 33 34a31 32 33 34 31 32 33 34a a a31 32 33 34 31 32 33 34 a a a a a a a 31 32 33 34 31 32 33 34a a a31 32 33 34 31 32 33 34a31 32 33 34 31 32 33 34a a a31 32 33 34 31 32 33 3431 32 33 34 31 32 33 34
 
31 32 33 34 31 32 33 34a a a31 32 33 34 31 32 33 34
 
31 32 33 34 31 32 33 34a31 32 33 34 31 32 33 34
 
31 32 33 34 31 32 33 34a a a31 32 33 34 31 32 33 34
 
31 32 33 34 31 32 33 34 a a a a a a a 31 32 33 34 31 32 33 34a a a31 32 33 34 31 32 33 34a31 32 33 34 31 32 33 34a a a31 32 33 34 31 32 33 3431 32 33 34 31 32 33 34
 
31 32 33 34 31 32 33 34a a a31 32 33 34 31 32 33 34
 
31 32 33 34 31 32 33 34a31 32 33 34 31 32 33 34
 
31 32 33 34 31 32 33 34a a a31 32 33 34 31 32 33 34
 
31 32 33 34 31 32 33 3431 32 33 34 31 32 33 34a a a31 32 33 34 31 32 33 34a31 32 33 34 31 32 33 34a a a31 32 33 34 31 32 33 3431 32 33 34 31 32 33 34
 
31 32 33 34 31 32 33 34a a a31 32 33 34 31 32 33 34
 
31 32 33 34 31 32 33 34a31 32 33 34 31 32 33 34
 
31 32 33 34 31 32 33 34a a a31 32 33 34 31 32 33 34
 
31 32 33 34 31 32 33 34
 a 41 42 43 44 41 42 43 44a41 42 43 44 41 42 43 44
 
 
 a  
 
 a 
 
 
 a  
 
 a 41 42 43 44 41 42 43 44a41 42 43 44 41 42 43 44
 
 
 a  
 
 a 41 42 43 44 41 42 43 44a41 42 43 44 41 42 43 44
Neste caso, o conjunto de dados { }11 22 33 4411 22 33 44, , ,11 22 33 44a a a a11 22 33 44a a a a11 22 33 4411 22 33 44, , ,11 22 33 44a a a a11 22 33 44, , ,11 22 33 44 corresponde à diagonal principal da matriz A.
A diagonal secundária, por sua vez, é o conjunto em série dos elementos que possuem índi-
ces iguais a n+1, com n sendo igual à ordem da matriz. No caso da Matriz A, com ordem igual a 4, 
o conjunto de dados { }14 23 32 4114 23 32 41, , ,14 23 32 41a a a a14 23 32 41a a a a14 23 32 4114 23 32 41, , ,14 23 32 41a a a a14 23 32 41, , ,14 23 32 41 gera a diagonal secundária (a soma dos índices é igual a 5).
A matriz diagonal é aquela cujos elementos que não pertencem à diagonal principal são 
todos iguais a zero:
 1 0 0 0 1 0 0 0
 0 2 0 0 0 2 0 0
 
 
 
 0 2 0 0 0 2 0 0
 
 
 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0
 0 2 0 0
=
 0 0 9 0 0 0 9 0
 
 
 
 0 0 0 14 0 0 0 14
 
 
 0 0 9 0 0 0 9 0
 
0 0 9 0 0 0 9 0
 0 0 0 14 0 0 0 14
 
 
 0 0 0 14 0 0 0 14 0 0 0 14
 0 0 0 14
D
Há dois casos especiais de matrizes diagonais. O primeiro deles é a matriz escalar, que contém 
todos os elementos da diagonal principal iguais a um valor constante (k). Observe a tabela a seguir.
Tabela 3 – Disponibilidade de peças em diferentes fi liais de uma loja
Vestidos brancos Vestidos azuis Calças amarelas Blusas roxas
Loja 01 7 0 0 0
Loja 02 0 7 0 0
Loja 03 0 0 7 0
Loja 04 0 0 0 7
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Os dados da Tabela “Disponibilidade de peças em diferentes fi liais de uma loja” geram a 
matriz K, uma matriz escalar:
 7 0 0 0 7 0 0 0
 0 7 0 0 0 7 0 0
 
 
 
 0 7 0 0 0 7 0 0
 
 
 0 7 0 0 0 7 0 0 0 7 0 0
 0 7 0 0
=
 0 0 7 0 0 0 7 0
 
 
 
 0 0 0 7 0 0 0 7
 
 
 0 0 7 0 0 0 7 0
 
0 0 7 0 0 0 7 0
 0 0 0 7 0 0 0 7
 
 
 0 0 0 7 0 0 0 7 0 0 0 7
 0 0 0 7
K
A matriz identidade contém todos os elementos da diagonal principal iguais a 1. Neste caso, 
a matriz identidade de ordem n é denominada . Para o caso de uma matriz de ordem 4 temos:
4
 1 0 0 0 1 0 0 0
 0 1 0 0 0 1 0 0
 
 
 
 0 1 0 0 0 1 0 0
 
 
 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
 0 1 0 0
=
 0 0 1 0 0 0 1 0
 
 
 
 0 0 0 1 0 0 0 1
 
 
 0 0 1 0 0 0 1 0
 
0 0 1 0 0 0 1 0
 0 0 0 1 0 0 0 1
 
 
 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
 0 0 0 1
I
Note que é importante estar atento à seguinte propriedade para uma matriz identidade 
nI temos que:
1,
0,

= 






ij
 se i j= se i j=
a
 se i j≠ se i j≠
A matriz triangular superior é observada quando temos uma matriz quadrada sendo os ele-
mentos abaixo da diagonal principal todos nulos:
 1 10 9 4 1 10 9 4
 0 2 0 2 0 2 0 2
 
 
 
 0 2 0 2 0 2 0 2
 
 
 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2
 0 2 0 2
=
 0 0 9 12 0 0 9 12
 
 
 
 0 0 0 14 0 0 0 14
 
 
 0 0 9 12 0 0 9 12
 
0 0 9 12 0 0 9 12
 0 0 0 14 0 0 0 14
 
 
 0 0 0 14 0 0 0 14 0 0 0 14
 0 0 0 14
T
de modo que m n=m n= e 0=ija , para i j>i j> .
Já a matriz triangular inferior possui nulos os elementos acima da diagonal principal. 
Observe a Tabela a seguir e a matriz M gerada a partir dos dados fornecidos.
Tabela 4 – Procedimentos veterinários em uma rede de clínicas
Filial do sítio Filial da cidade Filial da vila
Equinos 18 0 0
Bovinos 10 1 0
Cães e gatos 5 193 109
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
 18 0 0 18 0 0
 10 1 0 10 1 0
 
 
 
=  10 1 0 10 1 0
 
 
 10 1 0 10 1 0 10 1 0
 10 1 0
 5 193 109 5 193 109
 
 
 
    5 193 109 5 193 109 5 193 109 5 193 109
M
Assim, m n=m n= e 0=ija , para i j>i j> ..
Dada uma matriz M, com n linhas e m colunas, dizemos que uma matriz A é uma matriz 
transposta de M (com notação tA ) quando as m linhas de M são transpostas em m colunas de A, 
e as n colunas de M são transpostas em n linhas de A:
2 24 ,
 1 8 1 8
 1 2 3 1 2 3 
 
 
 
= =  8 24 48 8 24 48
 
 
 
 2 24 , 2 24 ,  8 24 48 8 24 48
 
 
 8 24 48 8 24 48 8 24 48
 8 24 48
 3 48 3 48
 
 
 
    3 48 3 48 3 48 3 48
tDado A  então A2 24 ,Dado A  então A2 24 , Dado A  então A 2 24 , 2 24 ,Dado A  então A2 24 , 2 24 ,= =Dado A  então A= =2 24 ,= =2 24 ,Dado A  então A2 24 ,= =2 24 ,= =Dado A  então A= = Dado A  então A 2 24 , 2 24 ,Dado A  então A2 24 , 2 24 , Dado A  então A 2 24 , 2 24 ,Dado A  então A2 24 , 2 24 ,
 
 
 Dado A  então A  
 2 24 , 2 24 , 2 24 ,
 2 24 ,Dado A  então A2 24 , 2 24 , 2 24 ,
 2 24 ,= = = =Dado A  então A= = = =2 24 ,= =2 24 , 2 24 ,= =2 24 ,Dado A  então A2 24 ,= =2 24 , 2 24 ,= =2 24 ,
SAIBA MAIS!
Se a matriz A original tem m linhas e n colunas, ou seja, sendo uma matriz m*nA , sua 
matriz transposta terá n linhas e m colunas, logo, será tn*mA
Uma matriz simétrica é uma matriz quadrada de ordem n onde os elementos que compõem 
as linhas são iguais aos elementos que compõem as colunas, ou seja,
[ ] [ ]M i j M j i  para quaisquer  i j n[M i j M j i  para quaisquer  i j n[ ]M i j M j i  para quaisquer  i j n] [M i j M j i  para quaisquer  i j n[ ]M i j M j i  para quaisquer  i j n], , , 1M i j M j i  para quaisquer  i j n, , , 1], , , 1]M i j M j i  para quaisquer  i j n], , , 1] [, , , 1[M i j M j i  para quaisquer  i j n[, , , 1[ ], , , 1]M i j M j i  para quaisquer  i j n], , , 1]= ≤ ≠ ≤M i j M j i  para quaisquer  i j n= ≤ ≠ ≤, , , 1= ≤ ≠ ≤, , , 1M i j M j i  para quaisquer  i j n, , , 1= ≤ ≠ ≤, , , 1[, , , 1[= ≤ ≠ ≤[, , , 1[M i j M j i  paraquaisquer  i j n[, , , 1[= ≤ ≠ ≤[, , , 1[ ], , , 1]= ≤ ≠ ≤], , , 1]M i j M j i  para quaisquer  i j n], , , 1]= ≤ ≠ ≤], , , 1]
  3 31 14 3 2 1 14 3 21 14 3 2 1 14 3 2
    
1 14 3 2
 
1 14 3 21 14 3 2
 
1 14 3 2
14 18 23 10
 
14 18 23 10
 
 
 1 14 3 2 1 14 3 2
 
1 14 3 2 1 14 3 21 14 3 2 1 14 3 2
 
1 14 3 2 1 14 3 2
 14 18 23 10 14 18 23 10
 
 
 
14 18 23 10
 
14 18 23 10 14 18 23 10
 
14 18 23 10
=   3 23 15 7 3 23 15 7
 
 
 
    3 23 15 7 3 23 15 7
 
 
  
 
 3 23 15 7 3 23 15 7 3 23 15 7
 3 23 15 7
 3 32 10 7 0 2 10 7 032 10 7 03 32 10 7 03
 
 
 
    2 10 7 0 2 10 7 0 2 10 7 0 2 10 7 0
32 10 7 03 32 10 7 03 
32 10 7 03 32 10 7 03
S
A matriz S, portanto, é simétrica de ordem 4.
O exemplo oposto é a matriz antissimétrica, uma matriz quadrada de ordem n onde:
[ ] [ ]M i j M j i  para quaisquer  i j n[M i j M j i  para quaisquer  i j n[ ]M i j M j i  para quaisquer  i j n] [M i j M j i  para quaisquer  i j n[ ]M i j M j i  para quaisquer  i j n], , , 1M i j M j i  para quaisquer  i j n, , , 1], , , 1]M i j M j i  para quaisquer  i j n], , , 1] [, , , 1[M i j M j i  para quaisquer  i j n[, , , 1[, , , 1M i j M j i  para quaisquer  i j n, , , 1], , , 1]M i j M j i  para quaisquer  i j n], , , 1]= − ≤ ≠ ≤M i j M j i  para quaisquer  i j n= − ≤ ≠ ≤, , , 1= − ≤ ≠ ≤, , , 1M i j M j i  para quaisquer  i j n, , , 1= − ≤ ≠ ≤, , , 1[, , , 1[= − ≤ ≠ ≤[, , , 1[M i j M j i  para quaisquer  i j n[, , , 1[= − ≤ ≠ ≤[, , , 1[, , , 1= − ≤ ≠ ≤, , , 1M i j M j i  para quaisquer  i j n, , , 1= − ≤ ≠ ≤, , , 1], , , 1]= − ≤ ≠ ≤], , , 1]M i j M j i  para quaisquer  i j n], , , 1]= − ≤ ≠ ≤], , , 1]
Ou seja, os elementos que compõem as linhas têm igual valor absoluto, mas têm sinal inver-
tido em relação aos elementos que compõem as colunas:
  3 31 14 3 2 1 14 3 21 14 3 2 1 14 3 2
    
1 14 3 2
 
1 14 3 21 14 3 2
 
1 14 3 2
14 18 23 10
 
14 18 23 10
 
 
 1 14 3 2 1 14 3 2
 
1 14 3 2 1 14 3 21 14 3 2 1 14 3 2
 
1 14 3 2 1 14 3 2
 14 18 23 10 14 18 23 10
 
 
 
14 18 23 10
 
14 18 23 10 14 18 23 10
 
14 18 23 10− −=   3 23 15 7 3 23 15 7
 
 
 
    3 23 15 7 3 23 15 7
 
 
  
 
 3 23 15 7 3 23 15 7 3 23 15 7
 3 23 15 7− − − −− − − −3 23 15 7− −3 23 15 7 3 23 15 7− −3 23 15 7
 3 32 10 7 0 2 10 7 032 10 7 03 32 10 7 03
 
 
 
    2 10 7 0 2 10 7 0 2 10 7 0 2 10 7 0
32 10 7 03 32 10 7 03 
32 10 7 03 32 10 7 03 − − −   − − − 2 10 7 0 2 10 7 0− − −2 10 7 0 2 10 7 0 2 10 7 0 2 10 7 0− − −2 10 7 0 2 10 7 0
S
3 Aplicação de matrizes na resolução de problemas
As matrizes são arranjos de dados dispostos organizadamente segundo alguma variável de 
escolha. Deste modo, perceba que elas não representam condições abstratas. Ao contrário, um 
arranjo matricial permite a execução de operações e estimativas a partir dos elementos de cada 
variável de estudo.
SAIBA MAIS!
Você pode encontrar interessantes estudos de caso no artigo “Aplicação de 
Álgebra Linear na Engenharia”, de Andresa Pescador, Janaína Poffo Possamai e 
Cristiano Roberto Possamai 2011). Consulte, em especial, a seção 3.2, denominada 
“Balanceamento de Equações Químicas”, que traz um exemplo de aplicação de 
matrizes em um problema de Química. Acesse: <http://198.136.59.239/~abengeorg/
CobengeAnteriores/2011/sessoestec/art2127.pdf>.
As matrizes são utilizadas em diferentes áreas do conhecimento humano. Podemos citar 
algumas, como a engenharia, administração, as ciências econômicas e, em especial, a demografi a, 
que estuda a dinâmica populacional de um determinado local e suas variações.
EXEMPLO
Se ao longo do tempo a população de n cidades é formada por homens (na linha 1) 
e mulheres, é possível elencar diferentes dados da seguinte forma:
 3200 114856 14785 3200 114856 14785
=  2300 113575 15104 2300 113575 15104
 
 
 
 2300 113575 15104 2300 113575 15104
 
 
 2300 113575 15104 2300 113575 15104 2300 113575 15104
 2300 113575 15104
P
Sabendo-se que a população aumenta 1,1 vezes ao longo de cinco anos, podemos 
apenas efetuar operações sobre a matriz P para obter os resultados, ao invés de cole-
tá-los individualmente. Para calcular a variação em cinco anos, tem-se a matriz P(5):
( )5 1,1)5 1,1)P * P(P * P(5 1,1P * P5 1,1)5 1,1)P * P)5 1,1)5 1,1=5 1,1P * P5 1,1=5 1,1
Em dez anos, a variação será igual a 21,1 :
( ) 210 1,1)10 1,1)10 1,1)10 1,1)P * P2P * P2P * P(P * P(10 1,1P * P10 1,1)10 1,1)P * P)10 1,1)10 1,1=10 1,1P * P10 1,1=10 1,1
E assim por diante. 
Utilizamos matrizes, ainda, para apurarmos resultados de cálculos associados a diferentes 
variáveis, como na apuração dos custos de produção de um bem ou serviço, por exemplo (BOL-
DRINI et al, 1980).
Consideremos que um certo bem é composto por diferentes matérias-primas em quantida-
des diferentes:
[ ]0,74 1,27 15 6 1=M
Cada item possui um certo preço, em reais:
[ ]14,64 12,71 1,52 0,97 0,0095=P
Para apurar o preço fi nal de venda é realizada a multiplicação de matrizes:
V M * P=V M * P=
Fechamento
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • entender o conceito de matriz, suas características básicas e suas aplicações;
 • distinguir e conceituar os diferentes modelos de matrizes especiais.
Referências
BOLDRINI, José Luiz; COSTA, Sueli Rodrigues; FIGUEIREDO, Vera Lúcia; WETZLER, Henry. Álgebra 
Linear. 3 ed. São Paulo: Harper &Row do Brasil, 1980.
PESCADOR, Andresa; POSSAMAI, Janaína Poffo; POSSAMAI, Cristiano Roberto. Aplicação de Álge-
bra Linear na Engenharia. In:CONGRESSO BRASILEIRO DE EDUCAÇÃO EM ENGENHARIA, 39, 2011, 
Blumenau. Anais...Blumenau: Furb, 2011. Disponível em: <http://198.136.59.239/~abengeorg/
CobengeAnteriores/2011/sessoestec/art2127.pdf>. Acesso em: 5 ago. 2017.
STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Introdução à Álgebra Linear. São Paulo: Pearson, 1997.