Introdução às Matrizes

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MATRIZES
1.0- INTRODUÇÃO
Imagine um empresário que tem uma rede de cinco lojas de materiais de construção que ele denominou de A, B, C, D, e E, distribuídas nos bairros da grande Belém.
Em função da quantidade de loja, para facilitar o controle, ele anota o faturamento mensal, em reais, de cada loja, arrumando-os em tabelas. 
Com a obtenção dos dados de julho a dezembro de 2010, o empresário, utilizando o Excel, construiu uma planilha com a seguinte disposição:
	
	Julho
	agosto
	Setembro
	outubro
	novembro
	dezembro
	A
	380.550
	338.000
	349.036
	326.000
	349.800
	390.500
	B
	386.000
	239.000
	259.400
	247.000
	267.500
	156.550
	C
	578.000
	548.400
	530.000
	526.600
	564.900
	584.700
	D
	128.000
	124.080
	123.098
	124.000
	124.000
	128.680
	E
	281.300
	274.076
	275.800
	274.900
	278.550
	282.908
Observe que esta disposição dos dados facilita o controle quanto ao faturamento de cada loja, pois, com uma simples observação, o empresário sabe quanto uma loja arrecadou. 
 Por exemplo: A loja B, em dezembro, arrecadou 156.550 (encontro da 2ª linha com a 6ª coluna). Tal valor chama a atenção do empresário, pois, ele observa que houve uma queda acentuada no faturamento em relação à média (258.430). Então, vai a procura dos motivos que levaram a essa diminuição.
2.0- Definição de Matriz: denomina-se matriz do tipo “m x n” (lê-se “m por n”) a toda tabela de números, dispostos em “m” linhas e “n” colunas. Essa tabela pode ficar entre parênteses ( ), entre colchetes [ ] ou entre barras duplas. As duas primeiras representações são as mais utilizadas. As matrizes são indicadas por letras maiúscula e seus elementos por letras minúsculas do alfabeto latino. Por exemplo:
3.0- Representação Genérica de uma Matriz.
É relevante observar que os índices da letra “A” representam a quantidade de linhas (m) e a quantidade de colunas (n) existentes na matriz, por exemplo: A3x2 é a matriz constituída por 3 linhas e 2 colunas. Os índices da letra “a” representam a linha (i) e a coluna (j) em que se encontra o elemento, por exemplo: a32 é o elemento (aij ) que se encontra na 3ª linha (i = 3) e na 2ª coluna (j = 2). Podemos abreviar a representação genérica por A = (aij)mxn.
Exemplos:
1) Em relação a matriz abaixo, determine:
a) a13 b) a32 c) 2.a22 + 4.a31 d) 5.a11 – 3.a12
Solução: 
a) a13 = 4 (elemento que se encontra no cruzamento da 1a linha com a 3a coluna)
b) a32 = 1
c) 2.a22 + 4.a31 = 2.(-2) + 4.0 = -4
d) 5.a11 – 3.a12 = 5.(-1) – 3.5 = -5 – 15 = -20
2) Representar explicitamente a matriz A = (aij)3x2 tal que aij = 3i – 2j.
3) Escreva a matriz A = (aij)3x3 sendo 
Solução
 
4.0- Tipos de Matrizes
1o) Matriz Linha: apresenta apenas uma linha. 
Exemplo:
A1x3 = (2 -3 5)
2o) Matriz Coluna: apresenta apenas uma coluna. 
Exemplo:
3o) Matriz Quadrada: apresenta o número de linhas igual ao número de colunas.
Exemplo:
40) Matriz Identidade: Apresenta todos os elementos da diagonal principal iguais a 1 e os demais elementos nulos.
5o) Matriz Nula: apresenta todos os elementos nulos.
6o) Matriz Transposta: as linhas da matriz A é, ordenadamente, igual as colunas da matriz transposta At, isto é, as linhas da matriz A passam a ser colunas da matriz At.
Exemplo:
 At2x3=
Propriedades da Matriz Transposta
1a) (A + B)T = AT + BT 
 2a) (kA)T = k.AT
3a) (AT)T = A
4a) (A.B)T = AT.BT
7o) Matriz Diagonal: é a matriz que apresenta todos elementos não pertencente a diagonal principal nulos. Por exemplo:
 
8o) Matriz Triangular
8.1) Matriz Triangular Superior: apresenta os elementos abaixo da diagonal principal nulos. Por exemplo:
 ou 
8.2) Matriz Triangular Inferior: apresenta os elementos acima da diagonal principal nulos. Por exemplo:
 ou 
90) Matriz Ortogonal: Uma matriz real A é ortogonal se, e somente se, o produto dela pela sua transposta (vice-versa) resultar na matriz identidade: AxAt = At x A = I
80) Matriz Normal: Uma matriz real A é normal se, e somente se, o produto dela pela sua transposta apresenta comutatividade, ou seja, AxAt = At x A.
90) Matriz Simétrica: uma matriz A é simétrica se, e somente se, for igual a sua transposta (A = At).
100) Matriz Anti-simétrica: Uma matriz é anti-simétrica, se somente se, sua transposta for igual a sua oposta (At = -A).
5.0- Igualdade de Matrizes: duas matrizes A e B são iguais se, e somente se, todo elemento de A é igual ao seu correspondente em B. Observe as matrizes abaixo.
Dizemos que A = B = , = , = e = .
Exemplo:
- Determine P = 3x – 2y, sendo 
Solução:
 → 
6.0- Adição de Matrizes
Ao somar as matrizes A(aij)mxn e B(bij)mxn , encontramos uma matriz C(cij)mxn tal que:
cij = aij + bij. Observe a operação abaixo.
Exemplo: 
- Dadas as matrizes abaixo, determine:
a) A + B b) A – B.
Solução:
a) A + B = 
a) A - B = A + (-B) = 
Aplicação:
01- Uma empresa, revendedora de computadores, é composta por duas lojas A e B. realizado um estudo sobre a aceitação de dois novos modelos de computadores nos quatro primeiros dias de janeiro, encontrou-se os resultados representados pelas matrizes A e B acima.
A matriz A representa o desempenho da loja A, sendo aij o número de unidades vendidas do modelo i no dia j e a matriz B descreve o desempenho da loja B, sendo bij o número de unidades vendidas do modelo i no dia j. De posse dessas informações, pergunta-se: Qual a representação matricial da quantidade vendida desses dois modelos, nas duas lojas, nos 4 dias de janeiro?
Solução:
A + B = 
02- Determine o desempenho da loja A em relação à loja B do exemplo anterior.
Solução:
Neste fato, devemos subtrair de cada elemento da matriz A o seu correspondente da matriz B, obtendo o seguinte resultado:
 A - B = A + (-B) = 
O elemento a11 = 1 indica que a loja A vendeu uma unidade a mais do modelo 1 no dia primeiro, do que a loja B; o elemento a21 = -4 nos indica que a loja A vendeu menos 4 unidades do modelo 2, no dia primeiro, do que a loja B.
07- Propriedades da Soma de Matrizes
1a) Associativa: (A+B)+C = A+(B+C)
2a) Comutativa: A + B = B + A
3a) Elemento Neutro: A + O = O + A = A (O matriz nula mesma ordem de A)
4a) Elemento Oposto: A+A`=A`+A=O (O matriz nula mesma ordem de A e A`=-A)
8.0- Multiplicação de um Número por uma Matriz
Ao multiplicar um número por uma matriz, deve-se multiplicar esse número por todos os elementos da matriz.
Exemplo:
Dadas a matriz , determine:
a) 3. A b) -5.A 
Solução:
a) 3. A = 
b) -5.A = 
9.0- Multiplicação de Matrizes 
 O produto de duas matrizes só pode ser realizado se, e somente se, o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda matriz. Para realizar essa operação, devemos multiplicar cada linha da primeira matriz por todas as colunas da segunda matriz.
O produto de linha por coluna é realizado da seguinte maneira:
Exemplo:
- Dada as matrizes e , determine A.B.
A partir desse momento, podemos resolver produto entre duas matrizes, onde, o número de colunas da primeira tem que ser igual ao número de linhas da segunda matriz. 
- Dadas as matrizes 
 Solução: A X B 
 = 
10.0- Propriedades da Multiplicação de Matrizes
1a) Associativa: (A x B) x C = A x (B x C)
2a) Distributiva à direita: (A + B) x C = AxC + BxC.
3a) Distributiva à esquerda: Ax(B + C) = A x B + A x C.
4a) Sendo Amxn , tem-se que: AmxnxIn e Imx Amxn
5a) Sendo A e B duas matrizes e k uma constante, tem-se: (kA)B=A(kB)=k(AB).
6a) Sendo A e B duas matrizes, tem-se: (AxB)t = AtxBt.
EXERCÍCIOS
01) Calcule x e y tais que: 
 
02) Um técnico de basquetebol descreveu o desempenho dos titulares de sua equipe, em seis jogos, através da matriz:Cada elemento aij dessa matriz é o número de pontos marcados pelo jogador de número i no jogo j.
a) Quantos pontos marcou o jogador de número 3 no jogo 3?
b) Quantos pontos marcou a equipe no jogo 2?
c) Quantos pontos marcou o jogador de número 3 em todos os jogos?
d) Quantos pontos aconteceram no jogo 4?
03) Represente explicitamente cada uma das matrizes:
a) A2x3 tal que aij = 2i – 4j
b) B3x3 tal que bij = 
c) C3x2 tal que cij = 
d) D= (dij) 3x3 tal que dij = 3i – 2j
e) E= (eij)2x3 tal que eij = (-2)i + 2j
f) F = (fij)3x3 tal quefcij =
g) G = (gij)3x3 tal que gij =
04) Em relação as matrizes acima, determine:
a) B x G b) D + 3F – 2G
05) Sabe-se que uma matriz A é simétrica se, e somente se, for igual a sua transposta At e é anti-simétrica, se somente se, sua transposta for igual a sua oposta (At = -A) .
De posse dessas informações, determine 3x + 2y, sendo a matriz abaixo simétrica.
06) Calcule 3x -4y, de modo que:
07) Dadas as matrizes abaixo, determine:
 A x Bt.
08) Aplique o teorema de Laplace para resolver o determinante dos coeficientes do sistema
 
09- Calcule o determinante pelo Teorema de Lapace.
10- Determine 4x – 2y sendo 
11- Calcule x e y tais que: 
 
12- Dadas as matrizes A3x3 = e B3x3 = , determine;
a) A + B b) A – B c) AT + B d) -2A+ 3BT 
e) A.B f) A.I(identidade) g) A.BT h) (A – 2B).BT 
13- Resolva x .
14) Determine P = 3x +2y sendo a matriz abaixo (A) simétrica.
.
15) Calcule x e y , de modo que:
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24
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