Matemática - Pré-Vestibular Impacto - Sequências - P G - Infinita

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JACKY25/03/08
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P.G. INFINITA 
FAÇO IMPACTO - A CERTEZA DE VENCER!!!
 
PROFº: GEORGE CHRIST 
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9 
 
 
CONTEÚDO 
A Certeza de Vencer 
06
3 
1. Introdução 
 Uma Progressão Geométrica infinita de razão q, com 
1 q 1− < < é chamada de série geométrica convergente, 
pois a soma de seus termos converge (tende) para um 
valor constante. 
 
2. Soma dos Termos de uma P.G. Infinita 
 A soma dos termos de uma P.G. infinita de razão q, 
com 1 q 1− < < é dada por: 
 
 
 
 Onde: 
• 1a é o primeiro termo; 
• q é a razão ( )1 q 1− < < . 
 
 Exemplos: 
01. Qual a soma dos infinitos termos da progressão 
geométrica 1 1 1, , ,...
2 4 8
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ? 
 Resolução: 
 Nesta P.G. sabemos que: 
 1
1a
2
= , 2 1a 4= , 3
1a
8
= e assim por diante. 
 Cálculo da razão: 
 2
1
1
2a 1 2 2 14q .
1 2a 4 1 4 2
2
÷= = = = =÷ 
 Como a razão 1q
2
= caracteriza uma série 
geométrica convergente, aplicamos a fórmula da soma: 
 
1aS
1 q
1
2S
11
2
∞
∞
= −
=
−
 ⇒ 
1
2S
1
2
S 1
∞
∞
=
=
 
 Portanto a soma dos infinitos termos é igual a 1. 
 A figura a seguir ilustra a soma dos infinitos termos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. Determine a fração geratriz da dízima periódica 
0,131313... 
 Resolução: 
 Podemos escrever a dízima periódica 0,131313... , 
como uma soma de infinitas parcelas. 
 0,131313... 0,13 0,0013 0,000013 ...= + + + 
 As parcelas desta soma são termos de uma P.G. de 
razão 1q
100
= , veja: 
 
1
2
3
a 0,13
a 0,0013
a 0,000013
=
=
=
 
 Cálculo da razão: 
 2
1
13a 0,0013 13 1q
13a 0,13 1300 100
÷= = = =÷ ou 
 3
2
13a 0,000013 13 1q
13a 0,0013 1300 100
÷= = = =÷ . 
 Para calcular a soma 0,13 0,0013 0,000013 ...+ + + 
aplicamos a fórmula da soma dos termos de uma P.G. 
infinita, pois a razão é igual a 1
100
. 
 
1aS
1 q
0,13S
11
100
∞
∞
= −
=
−
 ⇒ 
0,13S
99
100
100S 0,13.
99
∞
∞
=
=
 ⇒ 13S
99∞ = 
 Portanto a dízima periódica 0,131313... é gerada pela 
fração 13
99
. 
 
3. Exercícios (DESTRUIÇÃO TOTAL) 
 
01. (UEL – PR) Na figura a seguir, a aresta do cubo maior 
mede a, e os outros cubos foram construídos de modo 
que a medida da respectiva aresta seja a metade da 
aresta do cubo anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Imaginando que a construção continue 
indefinidamente, a soma dos volumes de todos os cubos 
será: 
a) 0 c) 
37.a
8
 e) 32.a 
b) 
3a
2
 d) 
38.a
7
 
 
 
 
1
2
 
1
4
 
1
8
 
1
16
 
1
16
 
1
32
 
1aS
1 q∞ = − 
... 
 
 
 FAÇO IMPACTO – A CERTEZA DE VENCER!!!
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02. (UFRN) A seqüência de figuras a seguir representa os 
cinco primeiros passos da construção do conjunto de 
Sierpinski. Os vértices dos triângulos brancos construídos 
são os pontos médios dos lados dos triângulos escuros da 
figura anterior. Denominamos 1a , 2a , 3a , 4a e 5a , 
respectivamente, as áreas das regiões escuras da 
primeira, segunda, terceira, quarta e quinta figuras da 
seqüência. 
 
 
 Podemos afirmar que 1a , 2a , 3a , 4a e 5a estão, 
nessa ordem, em progressão geométrica de razão: 
a) 3
4
 
b) 1
2
 
c) 1
3
 
d) 1
4
 
 
03. (UFBA – Adaptado) A partir de um quadrado 1Q , com 
lado 1l , constrói-se um quadrado 2Q de forma que seus 
vértices são os pontos médios dos lados de 1Q . 
Procedendo-se de modo análogo, para cada n∈ � , 
sendo n 1> , constrói-se um quadrado nQ cujos vértices 
são os pontos médios dos lados de n 1Q − , conforme 
ilustrado a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Chamando-se de nl a medida do lado de nQ , em 
u.c., e de nA á área de nQ em u.a. classifique em V ou F 
as sentenças a seguir: 
a) ( ) ( )1 2 n, , ..., , ...l l l é uma progressão geométrica 
infinita de razão 2
2
. 
b) ( ) ( )1 2 nA , A , ..., A , ... é uma progressão 
geométrica infinita de razão 1
2
. 
c) ( ) A soma dos infinitos termos de 
( )1 2 n, , ..., , ...l l l é ( ) 12 2 .+ l 
d) ( ) A soma dos infinitos termos de 
( )1 2 nA , A , ..., A , ... é 212.l 
04. (UFLA) A soma dos elementos da seqüência numérica 
infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é: 
a) 3,1 
b) 3,9 
c) 3,99 
d) 3,999 
e) 4 
 
05. (UERJ) A figura a seguir mostra um molusco Triton 
tritonis sobre uma estrela do mar. 
 
(www.wikimedia.org) 
 
 Um corte transversal nesse molusco permite 
visualizar, geometricamente, uma seqüência de 
semicírculos. O esquema abaixo indica quatro desses 
semicírculos. 
 
 Admita que as medidas dos raios ( )AB, BC, CD, DE, EF, FG, ... formem uma progressão tal 
que AB BC CD DE ...
BC CD DE EF
= = = = 
 Assim, considerando AB 2= , a soma 
AB BC CD DE ...+ + + + será equivalente a: 
a) 2 2+ 
b) 2 5+ 
c) 3 3+ 
d) 3 5+ 
 
06. (PUC – RS) A razão da P.G. cuja soma é 0,343434... 
é: 
a) 1
1000
 b) 1
100
 c) 1
10
 d) 10 e) 100 
 
 
 
 
GABARITO 
01 02 03 04 05 06
D A 
a) V 
b) V 
c) V 
d) V 
E D B