Sejam fn, gn : X → R, n ∈ N, sequências de funções que convergem 1 uniformemente. Mostre que (fn + gn)n∈N converge uniformemente. Mostre, ainda...

Para mostrar que a sequência de funções (fn + gn)n∈N converge uniformemente, podemos usar o critério de Cauchy. Dado ε > 0, como fn e gn convergem uniformemente, existem N1 e N2 tais que para todo n ≥ N1, temos |fn(x) - fn(y)| < ε/2 para todo x, y ∈ X, e para todo n ≥ N2, temos |gn(x) - gn(y)| < ε/2 para todo x, y ∈ X. Agora, seja N = max{N1, N2}. Para todo n ≥ N, temos: |(fn(x) + gn(x)) - (fn(y) + gn(y))| = |(fn(x) - fn(y)) + (gn(x) - gn(y))| ≤ |fn(x) - fn(y)| + |gn(x) - gn(y)| < ε/2 + ε/2 = ε Portanto, a sequência (fn + gn)n∈N converge uniformemente. Para mostrar que se fn e gn são limitadas para todo n ∈ N, então (fn * gn)n∈N converge uniformemente, podemos usar o mesmo critério de Cauchy. Dado ε > 0, como fn e gn são limitadas, existem M1 e M2 tais que |fn(x)| ≤ M1 e |gn(x)| ≤ M2 para todo x ∈ X e todo n ∈ N. Agora, seja M = M1 * M2. Para todo n ∈ N, temos: |fngn(x) - fngn(y)| = |fn(x) * gn(x) - fn(y) * gn(y)| = |fn(x) * gn(x) - fn(y) * gn(x) + fn(y) * gn(x) - fn(y) * gn(y)| ≤ |fn(x) - fn(y)| * |gn(x)| + |fn(y)| * |gn(x) - gn(y)| ≤ M1 * |gn(x) - gn(y)| + M2 * |fn(x) - fn(y)| < M1 * (ε/(2M1)) + M2 * (ε/(2M2)) = ε/2 + ε/2 = ε Portanto, a sequência (fngn)n∈N converge uniformemente. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.