Ondas Meca_nicas - AULA 4

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Tópicos Abordados: Aula-4
Reflexão e Transmissão de Ondas.
Taxa de Transferência de Energia .
Onda Sonoras.
Efeito Doppler.
13.5 Reflexão e Transmissão de 
Ondas: 
 Reflexão de Ondas na 
Extremidade de uma Corda
Uma corda pode ter a sua 
extremidade presa a um ponto fixo 
ou a uma presilha móvel.
Uma onda quando incide na 
extremidade de uma corda será 
refletida de um modo quando tem-
se a extremidade fixa e de modo 
diverso quando a extremidade é 
móvel.
As duas situações podem ser vistas 
nas figuras vizinhas.
Extremidade 
fixa
Extremidade 
móvel
 Ondas, propagam-se, e se há vinculo imposto na sua parte terminal o 
seu comportamento é assim
Extremo Livre.
Sem inversão da 
fase 
da onda refletida.
Extremo Fixo.
Observa-se a 
inversão da fase 
da onda refletida
Se não há vinculo imposto na sua parte terminal o seu comportamento 
é assim: 
 Quando há mudança na propriedade do meio de propagação de uma 
onda também temos fenômenos de reflexão mas com 
inversão de fase
Meio de Densidade de A < Meio de Densidade de B
Meio de Densidade de A > Meio de Densidade de B
INVERSÃO da 
fase da onda 
refletida.
Não INVERSÃO 
da fase da 
onda refletida.
13.6 Taxa de Transferência de Energia por Ondas Senoidais em 
Cordas
A medida que as ondas se propagam através de um meio, elas 
transportam energia.
Uma onda que se propaga em uma corda, transfere energia para o 
elemento de corda ao passar por ele. Cada um desses elementos se 
desloca verticalmente com movimento harmônico simples.
Energia cinética recebida pelo elemento de corda, é: 
Quando equação tem a forma diferencial.
Ou, 
 
x∆
( ) ( ) 22
2
1
2
1
yy vxvmK ∆=∆=∆ µ
,0→∆ x
( ) 2
2
1
yvdxdK µ=
( )[ ] dxtxAdK 2cos
2
1 ωκωµ −=
Se tirarmos um instantâneo da onda no tempo t = 0, então a energia 
cinética em um dado elemento é:
Somando a energia de todos os elementos contidos em um 
comprimento de onda, 
 
teremos a energia cinética transportada em um comprimento de onda.
De forma similar, a energia potencial terá o mesmo valor
dxxAdK κµ ω 222 cos
2
1=
λλ
λ κκ
µ ωκµ ω
0
22
0
222 2
4
1
2
1
2
1cos
2
1



 +== ∫ xsenxAdxxAK
λµ ωλ
22
4
1 AK =
λµ ωλ
22
4
1 AU =
A energia total em um comprimento de onda é a soma das energias 
cinética e potencial:
A potência ou a taxa de transferência de energia associada com a onda 
é, 
 
Esta equação dá a taxa de transferência de energia por uma onda 
senoidal em uma corda.
λµ ωλλλ
22
2
1 AKUE =+=
vA
T
A
T
A
t
E 2222
22
2
1
2
12
1
µ ωλµ ω
λµ ω
λ =



==
∆
=Ρ
Exercício Resolvido1: Uma corda com densidade de massa 
 está submetida a uma tensão de 80,0N. Quanta potência deve ser 
fornecida à corda para gerar ondas senoidais em uma frequência de 
60,0Hz e uma amplitude de 6,0cm?
Solução: a velocidade da onda na corda é
Como:
A frequência é f = 60Hz
A frequência angular
A amplitude 
 Logo, 
Esta equação dá a taxa de transferência de energia por uma onda 
senoidal em uma corda.
mkg /100,5 2−×=µ
sm
mkg
N
T
v /0,40
/105
80
2/1
2
=



×
==
−
µ
mcmA 06,06 ==
( ) 13776022 −=== sHzf ππω
( )( ) ( ) ( ) WsmmsmkgvA 512/4006,0377/105
2
1
2
1 221222 =××==Ρ −−µ ω
Exercício Resolvido 2: Um segmento de 6,0m de uma longa corda tem 
massa 180g. Uma fotografia de alta velocidade mostra que o segmento 
contém quatro ciclos completos de uma onda. A corda está vibrando 
senoidalmente com frequência de 50,0 Hz e com um deslocamento do 
pico-ao-vale de 15,0cm.(a) escreva a função que descreve essa onda 
que se propaga no sentido positivo x. (b) Determine a potência que está 
sendo fornecida à corda.
Solução: 
m
ciclos
m
mkgmg
m
gm
50,1
4
6
/1030/30
6
180 3
==
×==== −
λ
µ

( ) 1314502250 −===⇒= sHzfHzf ππω
mAmA 21050,7150,02 −×=⇒=
Solução: (a) 
(b) 
Exercício Resolvido 3: Um colega estudante com queda para 
matemática lhe diz que a função de onda de uma onda progressiva em 
uma corda fina é . Sendo 
mais prático, você mede a corda para que ela tenha um comprimento 
de 1,35m e uma massa de 0,00338kg. Pede-se, então, que você calcule: 
(a) amplitude; (b) frequência; c) comprimento de onda; (d) velocidade da 
onda ; (e) sentido em que a onda se desloca; (f) tensão na corda; (g) 
potência média transmitida pela onda.
[ ]
( ) ( )txseny
txAsentxAseny
31419,41050,7
2
2 −×=




 −=−=
−
ω
λ
πωκ
( )( ) ( ) WvA 625
19,4
3141050,73141030
2
1
2
1 222322 =



××==Ρ −−µ ω
( ) ( )[ ]tsradxmradmmtxy /742/98,6cos30,2),( +=
Solução: (a) Solução: (a) amplitude A = 2,30 mm
(b) frequência: se 
c) comprimento de onda: 
(d) velocidade: 
(e) sentido: negativo( voltando)
(f) tensão: 
(g) potência média transmitida:
Hzffsrad 1,118
2
742
2
2/742 ===→==
ππ
ωπω
mmrad 9,0
98,6
22/2/98,6 ===→== π
κ
πλλπκ
smfv /3,1061,1189,0 =×== λ
( ) Nsm
m
kgv
L
mvTTv 3,28/3,106
35,1
00338,0 222 =



===→= µ
µ
2222222 /2,41)3,106()30,2()742)(0025,0(5,0
2
1),( mMWvAtxP === µ ω
Exercício Proposto 1: O fio de um piano de massa igual a 3,0 g e 
comprimento de 80,0cm é submetido a uma tensão de 25,0N. Uma 
onda com frequência de 120,0Hz e amplitude igual a 1,6 mm desloca-
se no fio. (a) Ache a potência média transportada pela onda. (b) O que 
ocorrerá com a potência média se a amplitude da onda for reduzida à 
metade?
 
 
13.7 Ondas Sonoras
Ondas sonoras são familiares à nossa existência e faz parte de 
nosso cotidiano a convivência com corpos que produzem sons. Esses 
sons podem ser ruídos de choque entre dois corpos ou melodias 
produzidas por instrumentos musicais. As ondas sonoras necessitam 
de um meio elástico para se propagarem, e não existe essa propagação 
no vácuo. Num sólido podemos ter ondas longitudinais ou ondas 
transversais. Como os fluidos (líquidos e gases) não suportam tensão 
de cisalhamento, apenas as ondas longitudinais se propagam neste 
meio.
 
 
 A velocidade do som
As ondas se caracterizam por ser um transporte 
de energia, associado a uma oscilação da matéria. 
Como cada material se caracteriza por um arranjo 
específico da matéria, Por esta razão, a onda sonora 
se propaga com uma velocidade diferente para cada 
meio. Em particular, a sua velocidade no ar a 200 C é 
de 
Uma onda sonora se propaga numa sucessão de 
compressões e rarefações do meio. Existe uma 
grandeza que dá conta dessas variações em um 
meio: é o módulo volumétrico da elasticidade B , que 
leva em conta a variação de pressão e a variação 
fracional de volume. Definido por:
 
smvs /343=




 ∆
∆−=
V
V
PB
 




=
dP
dB ρρ
Ou na forma diferencial, usando a densidade volumétrica da massa e a pressão.
A velocidade do som em um meio elástico é dado por:
 Propagação de ondas sonoras
À medida que uma onda sonora avança num tubo, cada volume 
elementar do fluido oscila em torno de sua posição de equilíbrio. Os 
deslocamentos se realizam para direita e para esquerda sobre a direção 
x , na qual a onda se propaga.
 A onda harmônica progressiva s(x,t) que se propaga no sentido 
positivo do eixo x , pode ser expressa na forma: 
 
ρ
Bvs =
)(),( max txsenstxs ωκ −=
 
A variação na pressão do fluido medida em relação ao seu valor de 
equilíbrio é dada por
Onde , 
Exercício Resolvido 4: Terremotos geram ondas sonoras na Terra. Ao 
contrário do que ocorre em um gás, podem ser geradas ondas 
longitudinais (P) e ondas transversais (S) em um sólido . A velocidade 
das ondas S é aproximadamente vS ≅ 4,5km/s e as ondas P 
aproximadamente vP ≅ 8,0km/s . Um sismógrafo registra as ondas S e 
as ondas P de um terremoto. As primeiras ondas P aparecem Δt = 3min 
antes das primeiras ondas S. Supondo que as ondas viajam em linha 
reta, a que distância ocorreu o terremoto?
 
 
)(max txsenPP ωκ −∆=∆
maxmax
2
max svsvP ωρκρ ==∆
 
Vamos chamar de L a distância entre o pontoonde aconteceu o 
terremoto e a posição do observador; tS o tempo para uma onda S 
percorrer esta distância e tP o tempo para uma onda P percorrer esta 
distância.
Solução:
 
 
km
vv
vvtL
vv
vvL
vv
Lttt
SP
SP
SP
SP
PS
PS
4,1851
11
=



−
∆=



 −=



−=−=∆
vS = 4,5km/s
vP = 8km/s
Δt = 3min = 180s
P
P
S
S v
Lte
v
Lt ==
 
Exercício Resolvido 5: Uma onda sonora que se propaga no ar tem 
uma amplitude de pressão de 4,0 N/m2 e uma frequência de 5,0 kHz. 
Tome no ponto x = 0 quando t = 0. (a) Qual é em x = 0 
quando t = 2,0x 10-4s ? (b) Qual é em x = 0,02m quando t = 0 ?
Solução:
(a)
 
Assim,
Portanto quando x = 0 e t = 2 x 10-4s, tem -se:
 
 
 
P∆
P∆0=∆P
14102 −×== sf ππω
[ ]
( )
0
04)0,0(
max
=∴
==∆
+−∆=∆
φ
φ
φωκ
senP
txsenPP
kHzf
mNP
0,5
/0,4 2max
=
=∆
[ ]txsenP 4104 ×−=∆ πκ
( ) 024 ==∆ πsenP
 
(b)
Em x = 0,02m e t = 0 tem-se 
Exercício Proposto 2: Uma máquina barulhenta em uma fábrica 
produz um som de amplitude de deslocamento igual a , mas a 
frequência desse som pode ser ajustada. A fim de prevenir danos aos 
ouvidos dos trabalhadores, a amplitude de pressão máxima das ondas 
sonoras é limitada a 10,0 Pa. Nas condições dessa fábrica, o módulo de 
compressão do ar é 1,42x105Pa. Qual é o som de frequência mais alta 
para o qual essa máquina pode ser ajustada sem exceder o limite 
recomendado? Essa frequência é audível para os trabalhadores?
 
 
 
( )( )[ ]
PaP
senP
87,3
002,05,914
=∆
−=∆
1
14
5,91
/343
102 −−×=== m
sm
s
v
πω
λ
πκ
mµ0,1
 
13.8 Efeito Doppler 
 Quando estamos analisando a produção e a captação de uma onda 
sonora, estamos diante de três participantes:
 a fonte sonora, 
o meio onde ela se propaga e 
o observador que está captando as ondas. 
Temos então três referenciais bem definidos. O tipo de onda captada 
dependerá de como a fonte e o observador se movem em relação ao 
meio de propagação da onda. 
Vamos considerar o meio parado em relação ao solo. Neste caso temos 
ainda três situações diferentes: 
a fonte se movimenta e o observador está parado; 
a fonte está parada e o observador está em movimento; 
a fonte e o observador estão em movimento. 
Nos três casos podemos ter uma aproximação ou um afastamento entre 
a fonte e o observador
 
 Fonte e observador em repouso
A fonte emite uma onda harmônica 
de frequência f e comprimento de onda λ. 
Vamos desenhar apenas as frentes de 
onda. As frentes de onda esféricas 
concêntricas viajam com velocidade v. 
Como todos os participantes (fonte, 
observador e meio) estão em repouso, o 
observador vai perceber uma onda 
exatamente do mesmo tipo que foi 
emitida pela fonte.
fv λ=
 
 Fonte em movimento - observador 
em repouso
Como a fonte está em movimento, as 
frentes de onda não são mais esferas 
concêntricas. Quando a fonte emitir a 
segunda frente ela já não estará mais na
mesma posição de quando emitiu uma 
primeira onda. Seja T é o período da 
onda que a fonte está emitindo. Como a 
fonte está se aproximando do observador
ele irá perceber uma distância λ' entre as 
frentes de onda menor que um 
comprimento de onda λ original, 
 
 Se em um tempo T uma frente de onda 
viajou uma distância λ = v T , como a fonte 
se aproximou do observador de vF T , o 
observador perceberá um comprimento de 
onda λ' diferente do original:
 λ' = λ - vF T
ou seja:
 λ' = v T - vFT = (v - vF)/f
Mas
 
onde f' é a frequência que o observador vai perceber nas circunstâncias 
atuais. Portanto 
fv ′=′ /λ
f
vv
vf
f
vv
f
v
F
F




−
=′⇒−=
′
 
 Quando a fonte estiver se afastando do observador em repouso, 
teremos uma situação semelhante a essa descrita,, e encontraremos 
que:
Ou seja:
logo,
 
TvF+=′ λλ
( ) fvvTvvT FF /+=+=′λ
f
vv
vf
F




+
=′
 
 Fonte em repouso - observador em 
movimento
Quando a fonte está em repouso em 
relação ao meio a propagação se dará de 
modo a formarem-se frentes de ondas 
esféricas concêntricas. Se o observador se 
aproxima da fonte com velocidade v0 , ele 
irá de encontro às frentes de onda, 
encontrando v0 /λ mais frentes de onda 
por unidade de tempo que se estivesse em 
repouso. Desse modo, o número de 
frentes de onda por unidade de tempo 
v
vfffvvf 00 +=′⇒+=′
λλ
f
v
vvf 



 +=′∴ 0
 
 Quando o observador estiver se afastando da fonte em repouso, 
teremos uma situação semelhante a essa descrita, e encontraremos 
que:
Fonte e observador em movimento
Quando fonte e observador estiverem em movimento teremos uma 
combinação dos resultados anteriores.



−
−



 ±=′∴
sedoafaserioral
seoaproximanderioral
f
vv
vvf
F tan:infsin
:supsin
0 

f
v
vvf 



 −=′∴ 0
 
 Exercício Resolvido 6: Uma ambulância viaja por uma estrada a uma 
velocidade de 33,5m/s. Sua sirene emite um som a uma frequência de 
400 Hz.Qual é a frequência ouvida por um passageiro em um carro que 
viaja a 24,6m/s no sentido oposto (a) à medida que o carro se aproxima 
da ambulância e (b) à medida que o carro se afasta da ambulância?
Solução: velocidade do som é
(a)A ambulância e o carro se aproximam, a frequência ouvida pelo 
passageiro é 
smv /343=
( ) Hz
smsm
smsmHz
vv
vvff
F
475
/5,33/343
/6,24/3434000 =




−
+=



−
+=′
Hzf
smv
smv
o
F
400
/6,24
/5,33
=
=
=
 
 (b) A Ambulância e o carro se afastam, o passageiro ouve uma 
frequência de:
Exercício Resolvido 7: Um bloco com um alto-falante parafusado a ele 
é conectado com uma mola que tem constante de força . a 
massa total do bloco e do alto-falante é de 5,0kg e a amplitude do 
movimento desta unidade é de 0,50m. Se o alto-falante emitir ondas 
sonoras de frequência de 440Hz, determine as frequências mais 
elevadas e as mais baixas ouvidas pela pessoa à direita do alto-falante.
Solução: a velocidade máxima do alto-falante é descrita por 
( ) Hz
smsm
smsmHz
vv
vvff
F
338
/5,33/343
/6,24/3434000 =




+
−=



−
+=′
mNk /20=
( ) smm
kg
mNA
m
kvkAmv /0,150,0
5
/20
2
1
2
1
max
22
max ===⇒=
 
 A frequência ouvida pelo observador em repouso estende por
 
Exercício Proposto 3: Um trem se desloca com velocidade de 25,0 m/s 
com o ar calmo a 400Hz. Qual é o comprimento de onda das ondas 
sonoras:a) na parte frontal da locomotiva? b) atrás da locomotiva? Qual 
é a frequência do som que um ouvinte em repouso escuta quando ele 
está: c) na frente da locomotiva? d) atrás da locomotiva?
( ) Hz
smsm
smHz
vv
vff
F
439
/1/343
/343440
maxmin
=




+
=



+
=′
( ) Hz
smsm
smHz
vv
vff
F
441
/1/343
/343440
maxmax
=




−
=



−
=′
 
 Exercício Proposto 4: Um trem passa por uma plataforma de 
passageiros com velocidade constante de 40m/s. A buzina do trem é 
soada em sua frequência característica de 320Hz. 
a) que mudança total na frequência é detectada por uma pessoa na 
plataforma, enquanto o trem se move da aproximação para o 
afastamento? b) Que comprimento de onda é detectado por uma pessoa 
na plataforma enquanto o trem se aproxima?
 
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