Álgebra Linear e Vetorial - Avaliação Final (Objetiva)

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Disciplina: Álgebra Linear e Vetorial (MAD13) 
Avaliação: 
Avaliação Final (Objetiva) - Individual FLEX ( Cod.:514278) ( 
peso.:3,00) 
Prova: 17944073 
Nota da 
Prova: 
10,00 
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada 
1. O estudo das matrizes e determinantes possibilita uma série de regras que permitem 
o cálculo simplificado de várias situações. As propriedades operatórias destes 
conceitos podem, além de serem provadas por artifícios matemáticos formais, serem 
mostradas mediante exemplos numéricos. Sendo A, B e C matrizes reais de ordem n, 
utilize exemplos numéricos para analisar as opções e classifique V para as sentenças 
verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) AB = BA. 
( ) A+B = B+A. 
( ) det (AB) = det (A) . det (B). 
( ) det (A+B) = det (A) + det (B). 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) F - F - V - V. 
 b) F - V - V - F. 
 c) F - V - F - F. 
 d) V - F - F - V. 
 
2. Ao longo do estudo das transformações lineares, é importante determinar 
corretamente conceitos de núcleo, imagem e suas respectivas dimensões para um 
entendimento teórico do problema encontrado. Baseado nisto, considere T, um 
operador linear de R³ em R³: 
 
T(x,y,z) = (z, x - y, -z) 
 
Acerca da dimensão do núcleo deste operador, assinale a alternativa CORRETA: 
 a) 0. 
 b) 3. 
 c) 1. 
 d) 2. 
 
3. No estudo dos Espaços Vetoriais, podemos realizar a análise de sua dimensão. 
Podemos relacioná-la com a quantidade de vetores LI que geram este espaço. As 
aplicações deste conceito são puramente utilizadas na matemática, nas provas de 
teoremas e propriedades. Baseado nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras 
e F para as falsas: 
 
( ) A dimensão do conjunto de matrizes de ordem n x n é igual a n². 
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( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômio de grau 3 é igual a 3. 
( ) A dimensão do R² é igual a 2. 
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 4. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) V - F - V - V. 
 b) V - F - F - F. 
 c) F - V - F - V. 
 d) F - F - V - V. 
Anexos: 
Formulário - Álgebra Linear e Vetorial 
 
4. No estudo da Álgebra Linear e Vetorial, surge o conceito de autovalores e 
autovetores. Teoricamente, um autovetor de uma transformação é um vetor que 
quando aplicado na transformação, resulta um múltiplo de si próprio, sendo que a 
este fator multiplicativo, damos o nome de autovalor. Estes conceitos possuem 
diversas aplicações práticas, principalmente na Engenharia. Baseado nisto, dada a 
transformação T(x,y) = (2x, y) analise as sentenças a seguir: 
 
I- v = (1,0) é um autovalor de T, com autovalor igual a 2. 
II- v = (0,1) é um autovalores de T, com autovalor igual a 2. 
III- T possui um autovalor de multiplicidade algébrica 1. 
IV- T possui dois autovalores de multiplicidade algébrica 1. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) As sentenças II e IV estão corretas. 
 b) As sentenças II e III estão corretas. 
 c) As sentenças I e III estão corretas. 
 d) As sentenças I e IV estão corretas. 
Anexos: 
Formulário - Álgebra Linear e Vetorial 
Formulário - Álgebra Linear e Vetorial 
 
5. No estudo das matrizes, verificamos que podemos realizar uma série de operações 
entre elas. Contudo, os procedimentos a serem realizados não são tão simples assim 
e alguns critérios devem ser verificados antes de realizar os procedimentos de 
cálculo. Por exemplo, é muito importante na multiplicação entre matrizes saber 
realizar a análise da ordem das matrizes a serem operadas para verificar a viabilidade 
da realização do cálculo e prever a ordem da matriz resposta. Sendo assim, analise as 
seguintes sentenças: 
 
I- O produto das matrizes A(3 x 2) . B(2 x 1) é uma matriz 3 x 1. 
II- O produto das matrizes A(5 x 4) . B(5 x 2) é uma matriz 4 x 2. 
III- O produto das matrizes A(2 x 3) . B(3 x 2) é uma matriz quadrada 2 x 2 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Somente a sentença II está correta. 
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 b) As sentenças II e III estão corretas. 
 c) As sentenças I e II estão corretas. 
 d) As sentenças I e III estão corretas. 
Anexos: 
Formulário - Álgebra Linear e Vetorial 
Formulário - Álgebra Linear e Vetorial 
Formulário - Álgebra Linear e Vetorial 
 
6. A normalização de um vetor é a simples transformação dele em um vetor unitário 
caso não seja. Este é um dos processos utilizados para delimitar vetores que são 
ortonormais (como nos estudos no Processo de GRAM-SCHMIDT), ou seja, além de 
serem ortogonais entre si, possuem comprimento igual a 1. Determine qual dos itens 
a seguir apresenta a normalização do vetor v = (4, 1, -8) e assinale a alternativa 
CORRETA: 
 
 a) Somente a opção IV está correta. 
 b) Somente a opção III está correta. 
 c) Somente a opção I está correta. 
 d) Somente a opção II está correta. 
 
7. Os determinantes, além das variadas aplicações que possuem nos campos da 
tecnologia, são uma ferramenta importante em diversos cálculos que pertencem a 
outros tópicos de matemática. Desta forma, a partir da equação que envolve o cálculo 
de um determinante a seguir, resolva-a e indique o valor da incógnita x. 
 
 a) 1. 
 b) -2. 
 c) 2. 
 d) -1. 
 
8. Os autovalores e autovetores associados a uma matriz de transformação linear 
possuem uma vasta aplicação na Álgebra Linear. Eles, por exemplo, permitem a 
realização da rotação de eixos que, desta forma, podem alternar o posicionamento 
base de estruturas de posição fixa. Dos conceitos puramente matemáticos 
relacionados com autovalores e autovetores, analise a sentenças a seguir: 
 
I- Os autovetores representam a direção que é conservada em uma Transformação. 
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matriz da transformação. 
III- Os autovalores são a média das coordenadas dos autovetores. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Somente a sentença I está correta. 
 b) Somente a sentença II está correta. 
 c) As sentenças I e III estão corretas. 
 d) As sentenças I e II estão corretas. 
 
9. Os problemas ligados ao conceito de autovalores permeiam muito mais do que 
estamos acostumados a verificar. Não são apenas as raízes do polinômio 
característico de uma transformação linear, mas sim o problema clássico de 
autovalores é absolutamente essencial para a compreensão e análise de estruturas 
simples, tais como treliças, vigas, pórticos, placas etc., como também de sistemas 
estruturais mais complexos, dentre os quais podem ser citados os seguintes: pontes 
rodoviárias e ferroviárias, torres de aço de telecomunicações e de transmissão de 
energia, estádios de futebol, passarelas de pedestres, edificações residenciais, 
edifícios altos, plataformas off-shore etc. Acerca da soma dos autovalores da 
transformação exposta, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas 
e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 
 a) F - F - F - V. 
 b) F - V - F - F. 
 c) F - F - V - F. 
 d) V - F - F - F. 
 
10. Nos espaços vetoriais, existem uma gama de vetores que podemos classificar em LI 
(Linearmente Independentes) ou LD (Linearmente Dependentes). Estes dois 
conceitos estão ligados ao fato de vetores poderem ser combinações lineares de 
outros vetores do mesmo espaço. Sendo assim, dados os subconjuntos de um espaço 
vetorial, decida se eles são LI ou LD. Associe os itens, utilizando o código a seguir: 
 
I- LI. 
II- LD. 
 
( ) [(1,2);(-2,-6)] 
( ) [(2,-4);(1,-2)] 
( ) [(1,0);(0,1)] 
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Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) I - I - II. 
 b) II - I - II. 
 c) I - II - I. 
 d) II - II - I. 
 
11. (ENADE, 2014) Para realizar seu trabalho cotidiano, um engenheiro civil precisa 
modelar matematicamente algumas tarefas. Em determinado projeto, uma situação 
problema, depois de modelada, recaiu em um sistema de equações lineares com m 
equações e n incógnitas, para o qual a matriz dos coeficientes foi denominada M. 
 
Após a modelagem, o engenheiro descobriu que o posto da matriz ampliada do 
sistema (Pa) era igual ao posto da matriz dos coeficientes (Pc) e que ambos, (pa) e 
(Pc), têm valor equivalente ao número de incógnitas do sistema, ou seja, Pa = Pc = n. 
 
Admitindo que o modelo construído pelo engenheiro está matematicamente correto, 
avalie as afirmações que se seguem. 
 
I- A matriz M é singular. 
II- O sistema de equações lineares modelado admite uma única solução. 
III- É impossível encontrar a solução do problema utilizando o sistema conforme 
modelado. 
IV- O valor de Pc é calculado obtendo-se a maior ordem possível das submatrizes 
quadradas de M que tenham determinantes não nulos. 
 
É correto apenas o que se afirma em: 
 a) I. 
 b) II. 
 c) I e III. 
 d) II e IV. 
 
12. (ENADE, 2005) A transposição do rio São Francisco é um assunto que desperta 
grande interesse. Questionam-se, entre outros aspectos, os efeitos no meio ambiente, 
o elevado custo do empreendimento relativamente à população beneficiada e a 
quantidade de água a 
ser retirada, o que poderia prejudicar a vazão do rio, que hoje é de 1.850 m3/s. 
 
Visando promover em sala de aula um debate acerca desse assunto, um professor de 
matemática propôs a seus alunos o problema seguinte, baseando-se em dados obtidos 
do Ministério da Integração Nacional. 
 
Considere que o projeto prevê a retirada de x m3/s de água. 
Denote por y o custo total estimado da obra, em bilhões de reais, e por z o número, 
em milhões, de habitantes que serão beneficiados pelo projeto. Relacionando-se 
essas quantidades, obtém-se o sistema de equações lineares AX = B, em que: 
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https://portaldoalunoead.uniasselvi.com.br/ava/notas/request_gabarito_n2.php?action1=RkxYMTE5OA==&action2=TUFEMTM=&action3=NTE0Mjc4&action4=MjAyMC8x&prova=MTc5NDQwNzM=#questao_12%20aria-label=
 
 a) Mais de 2% da vazão do rio São Francisco serão retirados com a transposição, o 
que pode provocar sérios danos ambientais. 
 b) A transposição proposta vai beneficiar menos de 11 milhões de habitantes. 
 c) O sistema linear proposto pelo professor é indeterminado, uma vez que det(A) = 
0. 
 d) O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais.