Aula 05

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Aula 05 - Exercício de Revisão
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho
joseoniram@ieee.org
05 de Fevereiro de 2020
mailto:joseoniram@ieee.org
Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Modelagem Matemática
Objetivos
Sumário
1 Apresentação do Problema
Modelagem Matemática
Objetivos
2 Saídas Planas Incrementais
3 Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
4 Expressão Final do Controlador
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 05 - Exercício de Revisão 2
Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Modelagem Matemática
Objetivos
Modelo Não-linear Navio de Superfície
Figura 1: Navio de Superfície
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 05 - Exercício de Revisão 3
Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Modelagem Matemática
Objetivos
Representação em Espaço de Estados
As equações de movimento do sistema são obtidas a
partir de simplificações do modelo generalizado do veículo
marítimo de 6 graus de liberdade.
O sistema pode ser representado na seguinte forma:
ẋ = u1 cos(ψ)− v sin(ψ)
ẏ = u1 sin(ψ) + v cos(ψ)
ψ̇ = u2
v̇ = −γu1u2 − βv
As saídas do sistema são dadas pelas posições x e y .
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 05 - Exercício de Revisão 4
Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Modelagem Matemática
Objetivos
Representação em Espaço de Estados
As equações de movimento do sistema são obtidas a
partir de simplificações do modelo generalizado do veículo
marítimo de 6 graus de liberdade.
O sistema pode ser representado na seguinte forma:
ẋ = u1 cos(ψ)− v sin(ψ)
ẏ = u1 sin(ψ) + v cos(ψ)
ψ̇ = u2
v̇ = −γu1u2 − βv
As saídas do sistema são dadas pelas posições x e y .
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 05 - Exercício de Revisão 4
Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Modelagem Matemática
Objetivos
Representação em Espaço de Estados
As equações de movimento do sistema são obtidas a
partir de simplificações do modelo generalizado do veículo
marítimo de 6 graus de liberdade.
O sistema pode ser representado na seguinte forma:
ẋ = u1 cos(ψ)− v sin(ψ)
ẏ = u1 sin(ψ) + v cos(ψ)
ψ̇ = u2
v̇ = −γu1u2 − βv
As saídas do sistema são dadas pelas posições x e y .
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 05 - Exercício de Revisão 4
Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Modelagem Matemática
Objetivos
Objetivos
Os Objetivos do Exercício são:
(a) Linearizar o sistema em torno das trajetórias nominais.
(b) Obter as saídas planas incrementais do sistema.
(c) Obter a equação matricial que parametriza as variáveis do
sistema linearizado em função das saídas planas
incrementais Fδ e de suas derivadas temporais.
(d) Obter a expressão final dos controladores para o sistema
não-linear.
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 05 - Exercício de Revisão 5
Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Modelagem Matemática
Objetivos
Objetivos
Os Objetivos do Exercício são:
(a) Linearizar o sistema em torno das trajetórias nominais.
(b) Obter as saídas planas incrementais do sistema.
(c) Obter a equação matricial que parametriza as variáveis do
sistema linearizado em função das saídas planas
incrementais Fδ e de suas derivadas temporais.
(d) Obter a expressão final dos controladores para o sistema
não-linear.
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 05 - Exercício de Revisão 5
Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Modelagem Matemática
Objetivos
Objetivos
Os Objetivos do Exercício são:
(a) Linearizar o sistema em torno das trajetórias nominais.
(b) Obter as saídas planas incrementais do sistema.
(c) Obter a equação matricial que parametriza as variáveis do
sistema linearizado em função das saídas planas
incrementais Fδ e de suas derivadas temporais.
(d) Obter a expressão final dos controladores para o sistema
não-linear.
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 05 - Exercício de Revisão 5
Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Modelagem Matemática
Objetivos
Objetivos
Os Objetivos do Exercício são:
(a) Linearizar o sistema em torno das trajetórias nominais.
(b) Obter as saídas planas incrementais do sistema.
(c) Obter a equação matricial que parametriza as variáveis do
sistema linearizado em função das saídas planas
incrementais Fδ e de suas derivadas temporais.
(d) Obter a expressão final dos controladores para o sistema
não-linear.
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Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Sumário
1 Apresentação do Problema
2 Saídas Planas Incrementais
3 Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
4 Expressão Final do Controlador
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 05 - Exercício de Revisão 6
Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Linearização dos Sistema Não-Linear
O sistema linearizado é dado por:

ẋδ = [−ẏ∗(t)]ψδ + [− sin(ψ∗(t))]vδ + [cos(ψ∗(t))]u1δ
ẏδ = [ẋ∗(t)]ψδ + [cos(ψ∗(t))]vδ + [sin(ψ∗(t))]u1δ
ψ̇δ = u2δ
v̇δ = [−β]vδ + [−u∗2(t)γ]u1δ + [−u∗1(t)γ]u2δ
onde xδ = x− x∗(t) e uδ = u− u∗(t) correspondem ao erros
relacionados ao vetor de estados e ao de controle do
sistema não-linear, respectivamente.
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 05 - Exercício de Revisão 7
Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Linearização dos Sistema Não-Linear
O sistema linearizado é dado por:
ẋδ = [−ẏ∗(t)]ψδ + [− sin(ψ∗(t))]vδ + [cos(ψ∗(t))]u1δ
ẏδ = [ẋ∗(t)]ψδ + [cos(ψ∗(t))]vδ + [sin(ψ∗(t))]u1δ
ψ̇δ = u2δ
v̇δ = [−β]vδ + [−u∗2(t)γ]u1δ + [−u∗1(t)γ]u2δ
onde xδ = x− x∗(t) e uδ = u− u∗(t) correspondem ao erros
relacionados ao vetor de estados e ao de controle do
sistema não-linear, respectivamente.
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 05 - Exercício de Revisão 7
Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Matriz de Controlabilidade
A matriz de controlabilidade CK (t) é dada por:
CK (t) =
[
B(t) |A(t)B(t)− Ḃ(t) |A2(t)B(t)− 2A(t)Ḃ(t) + B̈(t) |
A3(t)B(t)− 3A2(t)Ḃ(t) + 3A(t)B̈(t) + B(3)(t)
]
Assumindo os índices de controlabilidade κC1 = 2 e κ
C
2 = 2,
obtemos a seguinte matriz C I(t):
C I(t) =
[
b1(t) (A(t)−
d
dt
)b1(t) b2(t) (A(t)−
d
dt
)b2(t)
]
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Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Matriz de Controlabilidade
A matriz de controlabilidade CK (t) é dada por:
CK (t) =
[
B(t) |A(t)B(t)− Ḃ(t) |A2(t)B(t)− 2A(t)Ḃ(t) + B̈(t) |
A3(t)B(t)− 3A2(t)Ḃ(t) + 3A(t)B̈(t) + B(3)(t)
]
Assumindo os índices de controlabilidade κC1 = 2 e κ
C
2 = 2,
obtemos a seguinte matriz C I(t):
C I(t) =
[
b1(t) (A(t)−
d
dt
)b1(t) b2(t) (A(t)−
d
dt
)b2(t)
]
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 05 - Exercíciode Revisão 8
Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Matriz de Controlabilidade
A matriz de controlabilidade CK (t) é dada por:
CK (t) =
[
B(t) |A(t)B(t)− Ḃ(t) |A2(t)B(t)− 2A(t)Ḃ(t) + B̈(t) |
A3(t)B(t)− 3A2(t)Ḃ(t) + 3A(t)B̈(t) + B(3)(t)
]
Assumindo os índices de controlabilidade κC1 = 2 e κ
C
2 = 2,
obtemos a seguinte matriz C I(t):
C I(t) =
[
b1(t) (A(t)−
d
dt
)b1(t) b2(t) (A(t)−
d
dt
)b2(t)
]
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 05 - Exercício de Revisão 8
Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Matriz de Controlabilidade
A matriz de controlabilidade CK (t) é dada por:
CK (t) =
[
B(t) |A(t)B(t)− Ḃ(t) |A2(t)B(t)− 2A(t)Ḃ(t) + B̈(t) |
A3(t)B(t)− 3A2(t)Ḃ(t) + 3A(t)B̈(t) + B(3)(t)
]
Assumindo os índices de controlabilidade κC1 = 2 e κ
C
2 = 2,
obtemos a seguinte matriz C I(t):
C I(t) =
[
b1(t) (A(t)−
d
dt
)b1(t) b2(t) (A(t)−
d
dt
)b2(t)
]
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 05 - Exercício de Revisão 8
Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Matriz de Controlabilidade
Substituindo as expressões de cada coluna de C I(t),
obtém-se que:
C I(t) =

cos(ψ∗(t)) u∗2(t) sin(ψ
∗(t)) [1 + γ] 0 u∗1(t)γ sin(ψ
∗(t))− ẏ∗(t)
sin(ψ∗(t)) −u∗2(t) cos(ψ∗(t)) [1 + γ] 0 ẋ∗(t)− u∗1(t)γ cos(ψ∗(t))
0 0 1 0
−u∗2(t)γ γ
[
u̇∗2(t) + u
∗
2(t)β
]
−u∗1(t)γ γ
[
u̇∗1(t) + u
∗
1(t)β
]

Qual situação em que C I(t) deixa de ser inversível ?
Se u∗2 (t) = 0, logo det(C I(t)) = 0.
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 05 - Exercício de Revisão 9
Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Matriz de Controlabilidade
Substituindo as expressões de cada coluna de C I(t),
obtém-se que:
C I(t) =

cos(ψ∗(t)) u∗2(t) sin(ψ
∗(t)) [1 + γ] 0 u∗1(t)γ sin(ψ
∗(t))− ẏ∗(t)
sin(ψ∗(t)) −u∗2(t) cos(ψ∗(t)) [1 + γ] 0 ẋ∗(t)− u∗1(t)γ cos(ψ∗(t))
0 0 1 0
−u∗2(t)γ γ
[
u̇∗2(t) + u
∗
2(t)β
]
−u∗1(t)γ γ
[
u̇∗1(t) + u
∗
1(t)β
]

Qual situação em que C I(t) deixa de ser inversível ?
Se u∗2 (t) = 0, logo det(C I(t)) = 0.
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Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Matriz de Controlabilidade
Substituindo as expressões de cada coluna de C I(t),
obtém-se que:
C I(t) =

cos(ψ∗(t)) u∗2(t) sin(ψ
∗(t)) [1 + γ] 0 u∗1(t)γ sin(ψ
∗(t))− ẏ∗(t)
sin(ψ∗(t)) −u∗2(t) cos(ψ∗(t)) [1 + γ] 0 ẋ∗(t)− u∗1(t)γ cos(ψ∗(t))
0 0 1 0
−u∗2(t)γ γ
[
u̇∗2(t) + u
∗
2(t)β
]
−u∗1(t)γ γ
[
u̇∗1(t) + u
∗
1(t)β
]

Qual situação em que C I(t) deixa de ser inversível ?
Se u∗2 (t) = 0, logo det(C I(t)) = 0.
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 05 - Exercício de Revisão 9
Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Saídas Planas Incrementais
Assumindo u∗2(t) 6= 0, temos que as saídas planas
incrementais são dadas por:[
F1δ
F2δ
]
=
[
α1 α2
] [0 1 0 0
0 0 0 1
]
C−1I (t)xδ
Observe que F1δ e F2δ têm os seguintes formatos:
F1δ = χ1(t)xδ + χ2(t)yδ + χ3(t)ψδ + χ4(t)vδ
F2δ = η1(t)xδ + η2(t)yδ + η3(t)ψδ + η4(t)vδ
Quão complicado serão as expressões analíticas desses
parâmetros variáveis no tempo?
Isso pode tornar o procedimento de obter as derivadas de
F1δ e de F2δ bem árduas.
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 05 - Exercício de Revisão 10
Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Saídas Planas Incrementais
Assumindo u∗2(t) 6= 0, temos que as saídas planas
incrementais são dadas por:[
F1δ
F2δ
]
=
[
α1 α2
] [0 1 0 0
0 0 0 1
]
C−1I (t)xδ
Observe que F1δ e F2δ têm os seguintes formatos:
F1δ = χ1(t)xδ + χ2(t)yδ + χ3(t)ψδ + χ4(t)vδ
F2δ = η1(t)xδ + η2(t)yδ + η3(t)ψδ + η4(t)vδ
Quão complicado serão as expressões analíticas desses
parâmetros variáveis no tempo?
Isso pode tornar o procedimento de obter as derivadas de
F1δ e de F2δ bem árduas.
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 05 - Exercício de Revisão 10
Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Saídas Planas Incrementais
Assumindo u∗2(t) 6= 0, temos que as saídas planas
incrementais são dadas por:[
F1δ
F2δ
]
=
[
α1 α2
] [0 1 0 0
0 0 0 1
]
C−1I (t)xδ
Observe que F1δ e F2δ têm os seguintes formatos:
F1δ = χ1(t)xδ + χ2(t)yδ + χ3(t)ψδ + χ4(t)vδ
F2δ = η1(t)xδ + η2(t)yδ + η3(t)ψδ + η4(t)vδ
Quão complicado serão as expressões analíticas desses
parâmetros variáveis no tempo?
Isso pode tornar o procedimento de obter as derivadas de
F1δ e de F2δ bem árduas.
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 05 - Exercício de Revisão 10
Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Saídas Planas Incrementais
Assumindo u∗2(t) 6= 0, temos que as saídas planas
incrementais são dadas por:[
F1δ
F2δ
]
=
[
α1 α2
] [0 1 0 0
0 0 0 1
]
C−1I (t)xδ
Observe que F1δ e F2δ têm os seguintes formatos:
F1δ = χ1(t)xδ + χ2(t)yδ + χ3(t)ψδ + χ4(t)vδ
F2δ = η1(t)xδ + η2(t)yδ + η3(t)ψδ + η4(t)vδ
Quão complicado serão as expressões analíticas desses
parâmetros variáveis no tempo?
Isso pode tornar o procedimento de obter as derivadas de
F1δ e de F2δ bem árduas.
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 05 - Exercício de Revisão 10
Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Saída Plana F1δ
Saída Plana F2δ
Sumário
1 Apresentação do Problema
2 Saídas Planas Incrementais
3 Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Saída Plana F1δ
Saída Plana F2δ
4 Expressão Final do Controlador
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 05 - Exercício de Revisão 11
Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Saída Plana F1δ
Saída Plana F2δ
Derivadas temporais da Saída Plana F1δ
Como κC1 = 2, então temos que obter até a derivada de
segunda ordem de F1δ.
Assim, para Ḟ1δ, podemos escrever que:
Ḟ1δ =
[
χ1(t)ẋδ + χ̇1(t)xδ
]
+
[
χ2(t)ẏδ + χ̇2(t)yδ
]
+
[
χ3(t)ψ̇δ + χ̇3(t)ψδ
]
+
[
χ4(t)v̇δ + χ̇4(t)vδ
]
⇒ Ḟ1δ =
[
χ̇1(t)
]
xδ +
[
χ̇2(t)
]
yδ +
[
χ̇3(t) + χ2(t)ẋ∗(t)− χ1(t)ẏ∗(t)
]
ψδ
+
[
χ̇4(t)− χ4(t)β + χ2(t) cos(ψ∗(t))− χ1(t) sin(ψ∗(t))
]
vδ
⇒ Ḟ1δ = χ5(t)xδ + χ6(t)yδ + χ7(t)ψδ + χ8(t)vδ
Observe que os coeficientes de u1δ e de u2δ são nulos,
pois ainda não estamos na derivada de ordem igual a κC1 .
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 05 - Exercício de Revisão 12
Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Saída Plana F1δ
Saída Plana F2δ
Derivadas temporais da Saída Plana F1δ
Como κC1 = 2, então temos que obter até a derivada de
segunda ordem de F1δ.
Assim, para Ḟ1δ, podemos escrever que:
Ḟ1δ =
[
χ1(t)ẋδ + χ̇1(t)xδ
]
+
[
χ2(t)ẏδ + χ̇2(t)yδ
]
+
[
χ3(t)ψ̇δ + χ̇3(t)ψδ
]
+
[
χ4(t)v̇δ + χ̇4(t)vδ
]
⇒ Ḟ1δ =
[
χ̇1(t)
]
xδ +
[
χ̇2(t)
]
yδ +
[
χ̇3(t) + χ2(t)ẋ∗(t)− χ1(t)ẏ∗(t)
]
ψδ
+
[
χ̇4(t)− χ4(t)β + χ2(t) cos(ψ∗(t))− χ1(t) sin(ψ∗(t))
]
vδ
⇒ Ḟ1δ = χ5(t)xδ + χ6(t)yδ + χ7(t)ψδ + χ8(t)vδ
Observe que os coeficientes de u1δ e de u2δ são nulos,
pois ainda não estamos na derivada de ordem igual a κC1 .
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 05 - Exercício de Revisão 12
Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrizaçãodas Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Saída Plana F1δ
Saída Plana F2δ
Derivadas temporais da Saída Plana F1δ
Como κC1 = 2, então temos que obter até a derivada de
segunda ordem de F1δ.
Assim, para Ḟ1δ, podemos escrever que:
Ḟ1δ =
[
χ1(t)ẋδ + χ̇1(t)xδ
]
+
[
χ2(t)ẏδ + χ̇2(t)yδ
]
+
[
χ3(t)ψ̇δ + χ̇3(t)ψδ
]
+
[
χ4(t)v̇δ + χ̇4(t)vδ
]
⇒ Ḟ1δ =
[
χ̇1(t)
]
xδ +
[
χ̇2(t)
]
yδ +
[
χ̇3(t) + χ2(t)ẋ∗(t)− χ1(t)ẏ∗(t)
]
ψδ
+
[
χ̇4(t)− χ4(t)β + χ2(t) cos(ψ∗(t))− χ1(t) sin(ψ∗(t))
]
vδ
⇒ Ḟ1δ = χ5(t)xδ + χ6(t)yδ + χ7(t)ψδ + χ8(t)vδ
Observe que os coeficientes de u1δ e de u2δ são nulos,
pois ainda não estamos na derivada de ordem igual a κC1 .
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 05 - Exercício de Revisão 12
Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Saída Plana F1δ
Saída Plana F2δ
Derivadas temporais da Saída Plana F1δ
Como κC1 = 2, então temos que obter até a derivada de
segunda ordem de F1δ.
Assim, para Ḟ1δ, podemos escrever que:
Ḟ1δ =
[
χ1(t)ẋδ + χ̇1(t)xδ
]
+
[
χ2(t)ẏδ + χ̇2(t)yδ
]
+
[
χ3(t)ψ̇δ + χ̇3(t)ψδ
]
+
[
χ4(t)v̇δ + χ̇4(t)vδ
]
⇒ Ḟ1δ =
[
χ̇1(t)
]
xδ +
[
χ̇2(t)
]
yδ +
[
χ̇3(t) + χ2(t)ẋ∗(t)− χ1(t)ẏ∗(t)
]
ψδ
+
[
χ̇4(t)− χ4(t)β + χ2(t) cos(ψ∗(t))− χ1(t) sin(ψ∗(t))
]
vδ
⇒ Ḟ1δ = χ5(t)xδ + χ6(t)yδ + χ7(t)ψδ + χ8(t)vδ
Observe que os coeficientes de u1δ e de u2δ são nulos,
pois ainda não estamos na derivada de ordem igual a κC1 .
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Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Saída Plana F1δ
Saída Plana F2δ
Derivadas temporais da Saída Plana F1δ
Como κC1 = 2, então temos que obter até a derivada de
segunda ordem de F1δ.
Assim, para Ḟ1δ, podemos escrever que:
Ḟ1δ =
[
χ1(t)ẋδ + χ̇1(t)xδ
]
+
[
χ2(t)ẏδ + χ̇2(t)yδ
]
+
[
χ3(t)ψ̇δ + χ̇3(t)ψδ
]
+
[
χ4(t)v̇δ + χ̇4(t)vδ
]
⇒ Ḟ1δ =
[
χ̇1(t)
]
xδ +
[
χ̇2(t)
]
yδ +
[
χ̇3(t) + χ2(t)ẋ∗(t)− χ1(t)ẏ∗(t)
]
ψδ
+
[
χ̇4(t)− χ4(t)β + χ2(t) cos(ψ∗(t))− χ1(t) sin(ψ∗(t))
]
vδ
⇒ Ḟ1δ = χ5(t)xδ + χ6(t)yδ + χ7(t)ψδ + χ8(t)vδ
Observe que os coeficientes de u1δ e de u2δ são nulos,
pois ainda não estamos na derivada de ordem igual a κC1 .
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 05 - Exercício de Revisão 12
Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Saída Plana F1δ
Saída Plana F2δ
Derivadas temporais da Saída Plana F1δ
Dessa forma, para F̈1δ, podemos escrever que:
F̈1δ =
[
χ5(t)ẋδ + χ̇5(t)xδ
]
+
[
χ6(t)ẏδ + χ̇6(t)yδ
]
+
[
χ7(t)ψ̇δ + χ̇7(t)ψδ
]
+
[
χ8(t)v̇δ + χ̇8(t)vδ
]
⇒ F̈1δ =
[
χ̇5(t)
]
xδ +
[
χ̇6(t)
]
yδ +
[
χ̇7(t) + χ6(t)ẋ∗(t)− χ1(t)ẏ∗(t)
]
ψδ
+
[
χ̇8(t)− χ8(t)β + χ6(t) cos(ψ∗(t))− χ5(t) sin(ψ∗(t))
]
vδ
+
[
χ5(t) cos(ψ∗(t)) + χ6(t) sin(ψ∗(t))− u∗2(t)χ8(t)γ
]
u1δ
+
[
χ7(t)− u∗1(t)χ8(t)γ
]
u2δ
⇒ F̈1δ = χ9(t)xδ + χ10(t)yδ + χ11(t)ψδ
+ χ12(t)vδ + χ13(t)u1δ + χ14(t)u2δ
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho Aula 05 - Exercício de Revisão 13
Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Saída Plana F1δ
Saída Plana F2δ
Derivadas temporais da Saída Plana F1δ
Dessa forma, para F̈1δ, podemos escrever que:
F̈1δ =
[
χ5(t)ẋδ + χ̇5(t)xδ
]
+
[
χ6(t)ẏδ + χ̇6(t)yδ
]
+
[
χ7(t)ψ̇δ + χ̇7(t)ψδ
]
+
[
χ8(t)v̇δ + χ̇8(t)vδ
]
⇒ F̈1δ =
[
χ̇5(t)
]
xδ +
[
χ̇6(t)
]
yδ +
[
χ̇7(t) + χ6(t)ẋ∗(t)− χ1(t)ẏ∗(t)
]
ψδ
+
[
χ̇8(t)− χ8(t)β + χ6(t) cos(ψ∗(t))− χ5(t) sin(ψ∗(t))
]
vδ
+
[
χ5(t) cos(ψ∗(t)) + χ6(t) sin(ψ∗(t))− u∗2(t)χ8(t)γ
]
u1δ
+
[
χ7(t)− u∗1(t)χ8(t)γ
]
u2δ
⇒ F̈1δ = χ9(t)xδ + χ10(t)yδ + χ11(t)ψδ
+ χ12(t)vδ + χ13(t)u1δ + χ14(t)u2δ
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Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Saída Plana F1δ
Saída Plana F2δ
Derivadas temporais da Saída Plana F1δ
Dessa forma, para F̈1δ, podemos escrever que:
F̈1δ =
[
χ5(t)ẋδ + χ̇5(t)xδ
]
+
[
χ6(t)ẏδ + χ̇6(t)yδ
]
+
[
χ7(t)ψ̇δ + χ̇7(t)ψδ
]
+
[
χ8(t)v̇δ + χ̇8(t)vδ
]
⇒ F̈1δ =
[
χ̇5(t)
]
xδ +
[
χ̇6(t)
]
yδ +
[
χ̇7(t) + χ6(t)ẋ∗(t)− χ1(t)ẏ∗(t)
]
ψδ
+
[
χ̇8(t)− χ8(t)β + χ6(t) cos(ψ∗(t))− χ5(t) sin(ψ∗(t))
]
vδ
+
[
χ5(t) cos(ψ∗(t)) + χ6(t) sin(ψ∗(t))− u∗2(t)χ8(t)γ
]
u1δ
+
[
χ7(t)− u∗1(t)χ8(t)γ
]
u2δ
⇒ F̈1δ = χ9(t)xδ + χ10(t)yδ + χ11(t)ψδ
+ χ12(t)vδ + χ13(t)u1δ + χ14(t)u2δ
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Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Saída Plana F1δ
Saída Plana F2δ
Derivadas temporais da Saída Plana F2δ
De forma semelhante, podemos obter as derivadas
temporais de F2δ:
Ḟ2δ = η5(t)xδ + η6(t)yδ + η7(t)ψδ + η8(t)vδ
F̈2δ = η9(t)xδ + η10(t)yδ + η11(t)ψδ + η12(t)vδ + η13(t)u1δ + η14(t)u2δ
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Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Saída Plana F1δ
Saída Plana F2δ
Equação Matricial
A partir disso, podemos escrever a seguinte equação
matricial:
F1δ
Ḟ1δ
F̈1δ
F2δ
Ḟ2δ
F̈2δ

=

χ1(t) χ2(t) χ3(t) χ4(t) 0 0
χ5(t) χ6(t) χ7(t) χ8(t) 0 0
χ9(t) χ10(t) χ11(t) χ12(t) χ13(t) χ14(t)
η1(t) η2(t) η3(t) η4(t) 0 0
η5(t) η6(t) η7(t) η8(t) 0 0
η9(t) η10(t) η11(t) η12(t) η13(t) η14(t)


xδ
yδ
ψδ
vδ
u1δ
u2δ

Como temos F = MX , logo a parametrização das variáveis
do sistema linearizado em função das saídas planas e de
suas derivadas temporais é dada por X = M−1F .
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Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Sumário
1 Apresentação do Problema
2 Saídas Planas Incrementais
3 Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
4 Expressão Final do Controlador
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Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Parametrização Diferencial dos Sinais de Controle
Incrementais
Assim, devido a parametrização diferencial, temos que u1δ
e u2δ são dados por:
u1δ = C1(t)F1δ + C2(t)Ḟ1δ + C3(t)F̈1δ
+ C4(t)F2δ + C5(t)Ḟ2δ + C6(t)F̈2δ
u2δ = C7(t)F1δ + C8(t)Ḟ1δ + C9(t)F̈1δ
+ C10(t)F2δ + C11(t)Ḟ2δ + C12(t)F̈2δ
onde os coeficientes C1(t)− C6(t) e C7(t)− C12(t)
correspondem aos elementos da penúltima e da última
linha da matriz M−1, respectivamente.
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Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Forma Canônica de Brunovsky
Manipulando a parametrização diferencial dos sinais de
controle incrementais, tem-se que a forma canônica de
Brunovsky do sistema linearizado é dada por:{
F̈1δ = υ1
F̈2δ = υ2
Na representação por espaço de estados, tem-se que:{
ż = Abz + Bbυ
y = Cbz
, z =
[
F1δ Ḟ1δ F2δ Ḟ2δ
]T
Ab =

0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
 , Bb =

0 0
1 0
0 0
0 1
 , Cb =

1 0
0 0
0 1
0 0

T
, υ =
[
υ1
υ2
]
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Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Forma Canônica de Brunovsky
Manipulando a parametrização diferencial dos sinais de
controle incrementais, tem-se que a forma canônica de
Brunovsky do sistema linearizado é dada por:{
F̈1δ= υ1
F̈2δ = υ2
Na representação por espaço de estados, tem-se que:{
ż = Abz + Bbυ
y = Cbz
, z =
[
F1δ Ḟ1δ F2δ Ḟ2δ
]T
Ab =

0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
 , Bb =

0 0
1 0
0 0
0 1
 , Cb =

1 0
0 0
0 1
0 0

T
, υ =
[
υ1
υ2
]
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Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Termo de Correção
Ressalta-se também que as trajetórias nominais para as
saídas planas incrementais são nulas para garantir a
convergência do erro em relação a referência para zero.
Como κC1 = κ
C
2 = 2, é suficiente então propor, para o
sistema na forma canônica de Brunovsky, as seguintes leis
de controle:
υ1 = −k11Ḟ1δ − k10F1δ
υ2 = −k21Ḟ2δ − k20F2δ
sendo k11, k10, k21 e k20 os coeficientes dos polinômios
p(s) = s2 + k11s + k10 e q(s) = s2 + k21s + k20, cujas raízes
possuem parte real negativa.
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Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Termo de Correção
Ressalta-se também que as trajetórias nominais para as
saídas planas incrementais são nulas para garantir a
convergência do erro em relação a referência para zero.
Como κC1 = κ
C
2 = 2, é suficiente então propor, para o
sistema na forma canônica de Brunovsky, as seguintes leis
de controle:
υ1 = −k11Ḟ1δ − k10F1δ
υ2 = −k21Ḟ2δ − k20F2δ
sendo k11, k10, k21 e k20 os coeficientes dos polinômios
p(s) = s2 + k11s + k10 e q(s) = s2 + k21s + k20, cujas raízes
possuem parte real negativa.
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Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Expressão final de controlador
Assim, devido a parametrização diferencial, podemos
expressar u1δ e u2δ da seguinte forma:
u1δ = C1(t)F1δ + C2(t)Ḟ1δ + C3(t)υ1 + C4(t)F2δ + C5(t)Ḟ2δ + C6(t)υ2
⇒ u1δ = C1(t)F1δ + C2(t)Ḟ1δ + C3(t)
[
−k11Ḟ1δ − k10F1δ
]
+ C4(t)F2δ + C5(t)Ḟ2δ + C6(t)
[
−k21Ḟ2δ − k20F2δ
]
u2δ = C7(t)F1δ + C8(t)Ḟ1δ + C9(t)υ1 + C10(t)F2δ + C11(t)Ḟ2δ + C12(t)υ2
⇒ u2δ = C7(t)F1δ + C8(t)Ḟ1δ + C9(t)
[
−k11Ḟ1δ − k10F1δ
]
+ C10(t)F2δ + C11(t)Ḟ2δ + C12(t)
[
−k21Ḟ2δ − k20F2δ
]
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Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Expressão final de controlador
Assim, devido a parametrização diferencial, podemos
expressar u1δ e u2δ da seguinte forma:
u1δ = C1(t)F1δ + C2(t)Ḟ1δ + C3(t)υ1 + C4(t)F2δ + C5(t)Ḟ2δ + C6(t)υ2
⇒ u1δ = C1(t)F1δ + C2(t)Ḟ1δ + C3(t)
[
−k11Ḟ1δ − k10F1δ
]
+ C4(t)F2δ + C5(t)Ḟ2δ + C6(t)
[
−k21Ḟ2δ − k20F2δ
]
u2δ = C7(t)F1δ + C8(t)Ḟ1δ + C9(t)υ1 + C10(t)F2δ + C11(t)Ḟ2δ + C12(t)υ2
⇒ u2δ = C7(t)F1δ + C8(t)Ḟ1δ + C9(t)
[
−k11Ḟ1δ − k10F1δ
]
+ C10(t)F2δ + C11(t)Ḟ2δ + C12(t)
[
−k21Ḟ2δ − k20F2δ
]
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Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Expressão final de controlador
Assim, devido a parametrização diferencial, podemos
expressar u1δ e u2δ da seguinte forma:
u1δ = C1(t)F1δ + C2(t)Ḟ1δ + C3(t)υ1 + C4(t)F2δ + C5(t)Ḟ2δ + C6(t)υ2
⇒ u1δ = C1(t)F1δ + C2(t)Ḟ1δ + C3(t)
[
−k11Ḟ1δ − k10F1δ
]
+ C4(t)F2δ + C5(t)Ḟ2δ + C6(t)
[
−k21Ḟ2δ − k20F2δ
]
u2δ = C7(t)F1δ + C8(t)Ḟ1δ + C9(t)υ1 + C10(t)F2δ + C11(t)Ḟ2δ + C12(t)υ2
⇒ u2δ = C7(t)F1δ + C8(t)Ḟ1δ + C9(t)
[
−k11Ḟ1δ − k10F1δ
]
+ C10(t)F2δ + C11(t)Ḟ2δ + C12(t)
[
−k21Ḟ2δ − k20F2δ
]
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Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Expressão final de controlador
Assim, devido a parametrização diferencial, podemos
expressar u1δ e u2δ da seguinte forma:
u1δ = C1(t)F1δ + C2(t)Ḟ1δ + C3(t)υ1 + C4(t)F2δ + C5(t)Ḟ2δ + C6(t)υ2
⇒ u1δ = C1(t)F1δ + C2(t)Ḟ1δ + C3(t)
[
−k11Ḟ1δ − k10F1δ
]
+ C4(t)F2δ + C5(t)Ḟ2δ + C6(t)
[
−k21Ḟ2δ − k20F2δ
]
u2δ = C7(t)F1δ + C8(t)Ḟ1δ + C9(t)υ1 + C10(t)F2δ + C11(t)Ḟ2δ + C12(t)υ2
⇒ u2δ = C7(t)F1δ + C8(t)Ḟ1δ + C9(t)
[
−k11Ḟ1δ − k10F1δ
]
+ C10(t)F2δ + C11(t)Ḟ2δ + C12(t)
[
−k21Ḟ2δ − k20F2δ
]
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Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Expressão final de controlador
Assim, devido a parametrização diferencial, podemos
expressar u1δ e u2δ da seguinte forma:
u1δ = C1(t)F1δ + C2(t)Ḟ1δ + C3(t)υ1 + C4(t)F2δ + C5(t)Ḟ2δ + C6(t)υ2
⇒ u1δ = C1(t)F1δ + C2(t)Ḟ1δ + C3(t)
[
−k11Ḟ1δ − k10F1δ
]
+ C4(t)F2δ + C5(t)Ḟ2δ + C6(t)
[
−k21Ḟ2δ − k20F2δ
]
u2δ = C7(t)F1δ + C8(t)Ḟ1δ + C9(t)υ1 + C10(t)F2δ + C11(t)Ḟ2δ + C12(t)υ2
⇒ u2δ = C7(t)F1δ + C8(t)Ḟ1δ + C9(t)
[
−k11Ḟ1δ − k10F1δ
]
+ C10(t)F2δ + C11(t)Ḟ2δ + C12(t)
[
−k21Ḟ2δ − k20F2δ
]
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Apresentação do Problema
Saídas Planas Incrementais
Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
Expressão Final do Controlador
Expressão final de controlador
Por fim, como u1(t) = u∗1(t) + u1δ e u2(t) = u
∗
2(t) + u2δ, temos
que:
u1(t) = u∗1(t) + C1(t)F1δ + C2(t)Ḟ1δ + C3(t)
[
−k11Ḟ1δ − k10F1δ
]
+ C4(t)F2δ + C5(t)Ḟ2δ + C6(t)
[
−k21Ḟ2δ − k20F2δ
]
u2(t) = u∗2(t) + C7(t)F1δ + C8(t)Ḟ1δ + C9(t)
[
−k11Ḟ1δ − k10F1δ
]
+ C10(t)F2δ + C11(t)Ḟ2δ + C12(t)
[
−k21Ḟ2δ − k20F2δ
]
onde u1(t) e u2(t) são as expressões dos controladores
para o sistema não-linear.
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Obrigado!
Perguntas?
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	Apresentação do Problema
	Modelagem Matemática
	Objetivos
	Saídas Planas Incrementais
	Parametrização das Variáveis do Sistema Linearizado
	Saída Plana F1
	Saída Plana F2
	Expressão Final do Controlador