Planicidade Diferencial em Sistemas Lineares

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Aula 01 - Planicidade Diferencial aplicada
a Sistemas Lineares (SISO/MIMO)
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho
joseoniram@ieee.org
27 de Janeiro de 2020
mailto:joseoniram@ieee.org
Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Contextualização
Objetivos da Aula
Sumário
1 Introdução
Contextualização
Objetivos da Aula
2 Sistemas Lineares
3 Teoria de Planicidade Diferencial
4 Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 01 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Lineares (SISO/MIMO) 2
Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Contextualização
Objetivos da Aula
Contextualização
Controle de Sistemas Dinâmicos
Campo de pesquisa ainda bastante ativo.
Natureza teórica desafiadora
Evolução das Teorias de Controle Linear e Não-Linear.
Abordagens de Controle Ótimo, Robusto e Adaptativo.
Devido às diversas aplicações, motivou-se a análise
rigorosa e projeto de controle desses sistemas.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 01 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Lineares (SISO/MIMO) 3
Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Contextualização
Objetivos da Aula
Contextualização
Controle de Sistemas Dinâmicos
Campo de pesquisa ainda bastante ativo.
Natureza teórica desafiadora
Evolução das Teorias de Controle Linear e Não-Linear.
Abordagens de Controle Ótimo, Robusto e Adaptativo.
Devido às diversas aplicações, motivou-se a análise
rigorosa e projeto de controle desses sistemas.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Contextualização
Objetivos da Aula
Contextualização
Controle de Sistemas Dinâmicos
Campo de pesquisa ainda bastante ativo.
Natureza teórica desafiadora
Evolução das Teorias de Controle Linear e Não-Linear.
Abordagens de Controle Ótimo, Robusto e Adaptativo.
Devido às diversas aplicações, motivou-se a análise
rigorosa e projeto de controle desses sistemas.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Contextualização
Objetivos da Aula
Contextualização
Teoria de Planicidade Diferencial
Teoria proposta e desenvolvida por M. Fliess, J. Lévine, P.
Martin e P. Rouchon em 1992.
Motivação: Solucionar problemas de planejamento e
acompanhamento de trajetória para uma classe especial
de sistemas não-lineares.
Aplicações: Robótica Móvel, Militares, Biomédicas,
Eletrônica de Potência e outras.
Mais recente, novas abordagens para estimação de
estados e rejeição de perturbação.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Contextualização
Objetivos da Aula
Contextualização
Teoria de Planicidade Diferencial
Teoria proposta e desenvolvida por M. Fliess, J. Lévine, P.
Martin e P. Rouchon em 1992.
Motivação: Solucionar problemas de planejamento e
acompanhamento de trajetória para uma classe especial
de sistemas não-lineares.
Aplicações: Robótica Móvel, Militares, Biomédicas,
Eletrônica de Potência e outras.
Mais recente, novas abordagens para estimação de
estados e rejeição de perturbação.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Contextualização
Objetivos da Aula
Contextualização
Teoria de Planicidade Diferencial
Teoria proposta e desenvolvida por M. Fliess, J. Lévine, P.
Martin e P. Rouchon em 1992.
Motivação: Solucionar problemas de planejamento e
acompanhamento de trajetória para uma classe especial
de sistemas não-lineares.
Aplicações: Robótica Móvel, Militares, Biomédicas,
Eletrônica de Potência e outras.
Mais recente, novas abordagens para estimação de
estados e rejeição de perturbação.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Contextualização
Objetivos da Aula
Contextualização
Teoria de Planicidade Diferencial
Teoria proposta e desenvolvida por M. Fliess, J. Lévine, P.
Martin e P. Rouchon em 1992.
Motivação: Solucionar problemas de planejamento e
acompanhamento de trajetória para uma classe especial
de sistemas não-lineares.
Aplicações: Robótica Móvel, Militares, Biomédicas,
Eletrônica de Potência e outras.
Mais recente, novas abordagens para estimação de
estados e rejeição de perturbação.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Contextualização
Objetivos da Aula
Objetivos da Aula
Revisar conceitos de Controlabilidade para Sistemas
Lineares;
Apresentar conceitos relacionados a Teoria de Planicidade
Diferencial.
Apresentar métodos para determinar as Saídas Planas no
escopo de Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
(SLIT).
Projeto de Sistemas de Controle em Malha Fechada para
SLIT a partir da planicidade diferencial do sistema.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Contextualização
Objetivos da Aula
Objetivos da Aula
Revisar conceitos de Controlabilidade para Sistemas
Lineares;
Apresentar conceitos relacionados a Teoria de Planicidade
Diferencial.
Apresentar métodos para determinar as Saídas Planas no
escopo de Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
(SLIT).
Projeto de Sistemas de Controle em Malha Fechada para
SLIT a partir da planicidade diferencial do sistema.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Contextualização
Objetivos da Aula
Objetivos da Aula
Revisar conceitos de Controlabilidade para Sistemas
Lineares;
Apresentar conceitos relacionados a Teoria de Planicidade
Diferencial.
Apresentar métodos para determinar as Saídas Planas no
escopo de Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
(SLIT).
Projeto de Sistemas de Controle em Malha Fechada para
SLIT a partir da planicidade diferencial do sistema.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Contextualização
Objetivos da Aula
Objetivos da Aula
Revisar conceitos de Controlabilidade para Sistemas
Lineares;
Apresentar conceitos relacionados a Teoria de Planicidade
Diferencial.
Apresentar métodos para determinar as Saídas Planas no
escopo de Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
(SLIT).
Projeto de Sistemas de Controle em Malha Fechada para
SLIT a partir da planicidade diferencial do sistema.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Controlabilidade
Índices de Controlabilidade
Sumário
1 Introdução
2 Sistemas Lineares
Controlabilidade
Índices de Controlabilidade
3 Teoria de Planicidade Diferencial
4 Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Controlabilidade
Índices de Controlabilidade
Controlabilidade
Considere o seguinte sistema linear:
ẋ = Ax + Bu
com A ∈ Rn×n e B ∈ Rn×m.
O sistema é dito controlável se para qualquer estado
x(0) = x0 e para qualquer estado final x1 existir uma
entrada u(t) que transfere o estado de x0 para x1 em
tempo finito.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Controlabilidade
Índices de Controlabilidade
Controlabilidade
Considere o seguinte sistema linear:
ẋ = Ax + Bu
com A ∈ Rn×n e B ∈ Rn×m.
O sistema é dito controlável se para qualquer estado
x(0) = x0 e para qualquer estado final x1 existir uma
entrada u(t) que transfere o estado de x0 para x1 em
tempo finito.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Controlabilidade
Índices de Controlabilidade
Controlabilidade
Não há restrições quanto à trajetória a ser seguida nem
quanto à magnitude da entrada.
Sistemas Lineares
A controlabilidade do sistema é verificada se a matriz CK
tem posto igual a ordem do sistema:
CK = [B,AB,A2B, · · · ,An−1B]
Observe que a equação de saída não influencia na
controlabilidade do sistema.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Controlabilidade
Índices de Controlabilidade
Controlabilidade
Não há restrições quanto à trajetória a ser seguida nem
quanto à magnitude da entrada.
Sistemas Lineares
A controlabilidade do sistema é verificada se a matriz CK
tem posto igual a ordem do sistema:
CK = [B,AB,A2B, · · · ,An−1B]
Observe que a equação de saída não influencia na
controlabilidade do sistema.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Controlabilidade
Índices de Controlabilidade
Controlabilidade
Não há restrições quanto à trajetória a ser seguida nem
quanto à magnitude da entrada.
Sistemas Lineares
A controlabilidade do sistema é verificada se a matriz CK
tem posto igual a ordem do sistema:
CK = [B,AB,A2B, · · · ,An−1B]
Observe que a equação de saída não influencia na
controlabilidade do sistema.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Controlabilidade
Índices de Controlabilidade
Exemplo 01 - Controlabilidade
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Controlabilidade
Índices de Controlabilidade
Exemplo 01 - Controlabilidade
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Controlabilidade
Índices de Controlabilidade
Índices de Controlabilidade
Controlabilidade⇐⇒ posto(CK ) = n
Isso implica que CK têm n colunas linearmente
independentes de um total de nm colunas.
Portanto, pode-se reescrever CK da seguinte maneira:
CK = [b1 · · ·bm |Ab1 · · ·Abm | · · · |An−1b1 · · ·An−1bm]
onde bi a i-ésima coluna da matriz B.
Seja então κCi o número de colunas linearmente
independentes associadas a bi em CK :
bi ,Abi , · · ·Aκ
C
i −1bi
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Controlabilidade
Índices de Controlabilidade
Índices de Controlabilidade
Controlabilidade⇐⇒ posto(CK ) = n
Isso implica que CK têm n colunas linearmente
independentes de um total de nm colunas.
Portanto, pode-se reescrever CK da seguinte maneira:
CK = [b1 · · ·bm |Ab1 · · ·Abm | · · · |An−1b1 · · ·An−1bm]
onde bi a i-ésima coluna da matriz B.
Seja então κCi o número de colunas linearmente
independentes associadas a bi em CK :
bi ,Abi , · · ·Aκ
C
i −1bi
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Controlabilidade
Índices de Controlabilidade
Índices de Controlabilidade
Controlabilidade⇐⇒ posto(CK ) = n
Isso implica que CK têm n colunas linearmente
independentes de um total de nm colunas.
Portanto, pode-se reescrever CK da seguinte maneira:
CK = [b1 · · ·bm |Ab1 · · ·Abm | · · · |An−1b1 · · ·An−1bm]
onde bi a i-ésima coluna da matriz B.
Seja então κCi o número de colunas linearmente
independentes associadas a bi em CK :
bi ,Abi , · · ·Aκ
C
i −1bi
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Controlabilidade
Índices de Controlabilidade
Índices de Controlabilidade
Controlabilidade⇐⇒ posto(CK ) = n
Isso implica que CK têm n colunas linearmente
independentes de um total de nm colunas.
Portanto, pode-se reescrever CK da seguinte maneira:
CK = [b1 · · ·bm |Ab1 · · ·Abm | · · · |An−1b1 · · ·An−1bm]
onde bi a i-ésima coluna da matriz B.
Seja então κCi o número de colunas linearmente
independentes associadas a bi em CK :
bi ,Abi , · · ·Aκ
C
i −1bi
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Controlabilidade
Índices de Controlabilidade
Índices de Controlabilidade
Controlabilidade⇐⇒ posto(CK ) = n
Isso implica que CK têm n colunas linearmente
independentes de um total de nm colunas.
Portanto, pode-se reescrever CK da seguinte maneira:
CK = [b1 · · ·bm |Ab1 · · ·Abm | · · · |An−1b1 · · ·An−1bm]
onde bi a i-ésima coluna da matriz B.
Seja então κCi o número de colunas linearmente
independentes associadas a bi em CK :
bi ,Abi , · · ·Aκ
C
i −1bi
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Controlabilidade
Índices de Controlabilidade
Índices de Controlabilidade
Como posto(CK ) = n, a seguinte relação precisa ser
satisfeita:
κC1 + κ
C
2 + · · · + κCm = n
onde κC1 , κ
C
2 , · · · , κCm correspondem aos índices de
controlabilidade do sistema.
Observação: Pode-se encontrar mais de um conjunto de
índices de controlabilidade para um dado sistema.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Controlabilidade
Índices de Controlabilidade
Índices de Controlabilidade
Como posto(CK ) = n, a seguinte relação precisa ser
satisfeita:
κC1 + κ
C
2 + · · · + κCm = n
onde κC1 , κ
C
2 , · · · , κCm correspondem aos índices de
controlabilidade do sistema.
Observação: Pode-se encontrar mais de um conjunto de
índices de controlabilidade para um dado sistema.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Controlabilidade
Índices de Controlabilidade
Exemplo 02 - Índices de Controlabilidade
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Controlabilidade
Índices de Controlabilidade
Exemplo 02 - Índices de Controlabilidade
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Controlabilidade
Índices de Controlabilidade
Exemplo 02 - Índices de Controlabilidade
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Sumário
1 Introdução
2 Sistemas Lineares
3 Teoria de Planicidade Diferencial
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
4 Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Diferencialmente Planos:
Propriedade Plana: Parametrização de suas variáveis em
termos de um conjunto finito de variáveis endógenas,
denominadas Saídas Planas, e de um número finito de
suas derivadas temporais.
Inicialmente proposta para Sistemas Não-Lineares, tal
propriedade se relaciona com dois conceitos bem
conhecidos na teoria de controle moderno:
Linearização Exata via mudança de coordenadas e
realimentação de estado.
Desacoplamento: A realimentação de estado implicará
numa nova estrutura em que o controle de cada nova saída
é feito de forma independente por um elemento do novo
vetor de entrada.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Diferencialmente Planos:
Propriedade Plana:
Parametrização de suas variáveis em
termos de um conjunto finito de variáveis endógenas,
denominadas Saídas Planas, e de um número finito de
suas derivadas temporais.
Inicialmente proposta para Sistemas Não-Lineares, tal
propriedade se relaciona com dois conceitos bem
conhecidos na teoria de controle moderno:
Linearização Exata via mudança de coordenadas e
realimentação de estado.
Desacoplamento: A realimentação de estado implicará
numa nova estrutura em que o controle de cada nova saída
é feito de forma independente por um elemento do novo
vetor de entrada.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Diferencialmente Planos:
Propriedade Plana: Parametrização de suas variáveis em
termos de um conjunto finito de variáveis endógenas,
denominadas Saídas Planas, e de um número finito de
suas derivadas temporais.
Inicialmente proposta para Sistemas Não-Lineares, tal
propriedade se relaciona com dois conceitos bem
conhecidos na teoria de controle moderno:
Linearização Exata via mudança de coordenadas e
realimentação de estado.
Desacoplamento: A realimentação de estado implicará
numa nova estrutura em que o controle de cada nova saída
é feito de forma independente por um elemento do novo
vetor de entrada.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Diferencialmente Planos:
Propriedade Plana: Parametrização de suas variáveis em
termos de um conjunto finito de variáveis endógenas,
denominadas Saídas Planas, e de um número finito de
suas derivadas temporais.
Inicialmente proposta para Sistemas Não-Lineares, tal
propriedade se relaciona com dois conceitos bem
conhecidos na teoria de controle moderno:
Linearização Exata via mudança de coordenadas e
realimentação de estado.
Desacoplamento: A realimentação de estado implicará
numa nova estrutura em que o controle de cada nova saída
é feito de forma independente por um elemento do novo
vetor de entrada.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Diferencialmente Planos:
Propriedade Plana: Parametrização de suas variáveis em
termos de um conjunto finito de variáveis endógenas,
denominadas Saídas Planas, e de um número finito de
suas derivadas temporais.
Inicialmente proposta para Sistemas Não-Lineares, tal
propriedade se relaciona com dois conceitos bem
conhecidos na teoria de controle moderno:
Linearização Exata via mudança de coordenadas e
realimentação de estado.
Desacoplamento: A realimentação de estado implicará
numa nova estrutura em que o controle de cada nova saída
é feito de forma independente por um elemento do novo
vetor de entrada.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Diferencialmente Planos:
Propriedade Plana: Parametrização de suas variáveis em
termos de um conjunto finito de variáveis endógenas,
denominadas Saídas Planas, e de um número finito de
suas derivadas temporais.
Inicialmente proposta para Sistemas Não-Lineares, tal
propriedade se relaciona com dois conceitos bem
conhecidos na teoria de controle moderno:
Linearização Exata via mudança de coordenadas e
realimentação de estado.
Desacoplamento: A realimentação de estado implicará
numa nova estrutura em que o controle de cada nova saída
é feito de forma independente por um elemento do novo
vetor de entrada.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Teoria de Planicidade Diferencial
Seja um sistema genérico definido pela equação:
ẋ = f (x ,u), x ∈ Rn, u ∈ Rm
Sendo F as saídas planas do sistema, então o sistema é
dito diferencialmente plano se
F = h(x ,u, u̇, · · · ,u(r−1))
x = λ0(F , Ḟ , · · · ,F (r−1))
u = λ1(F , Ḟ , · · · ,F (r−1),F (r ))
onde h: Rn × (Rm)r → Rm, λ0: (Rm)r−1 → Rn e λ1:
(Rm)r → Rm são funções suaves, e r é um inteiro finito.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Teoria de Planicidade Diferencial
Seja um sistema genérico definidopela equação:
ẋ = f (x ,u), x ∈ Rn, u ∈ Rm
Sendo F as saídas planas do sistema, então o sistema é
dito diferencialmente plano se
F = h(x ,u, u̇, · · · ,u(r−1))
x = λ0(F , Ḟ , · · · ,F (r−1))
u = λ1(F , Ḟ , · · · ,F (r−1),F (r ))
onde h: Rn × (Rm)r → Rm, λ0: (Rm)r−1 → Rn e λ1:
(Rm)r → Rm são funções suaves, e r é um inteiro finito.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 01 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Lineares (SISO/MIMO) 18
Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Teoria de Planicidade Diferencial
Saídas Planas
Não há necessariamente somente um único conjunto de
saídas planas;
A dimensão das saídas planas é igual ao número de
variáveis de controle do sistema;
Podem apresentar significado físico, o que facilita a sua
interpretação;
As saídas planas podem ser as próprias variáveis de
estado do sistema em questão.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Teoria de Planicidade Diferencial
Saídas Planas
Não há necessariamente somente um único conjunto de
saídas planas;
A dimensão das saídas planas é igual ao número de
variáveis de controle do sistema;
Podem apresentar significado físico, o que facilita a sua
interpretação;
As saídas planas podem ser as próprias variáveis de
estado do sistema em questão.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 01 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Lineares (SISO/MIMO) 19
Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Teoria de Planicidade Diferencial
Saídas Planas
Não há necessariamente somente um único conjunto de
saídas planas;
A dimensão das saídas planas é igual ao número de
variáveis de controle do sistema;
Podem apresentar significado físico, o que facilita a sua
interpretação;
As saídas planas podem ser as próprias variáveis de
estado do sistema em questão.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 01 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Lineares (SISO/MIMO) 19
Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Teoria de Planicidade Diferencial
Saídas Planas
Não há necessariamente somente um único conjunto de
saídas planas;
A dimensão das saídas planas é igual ao número de
variáveis de controle do sistema;
Podem apresentar significado físico, o que facilita a sua
interpretação;
As saídas planas podem ser as próprias variáveis de
estado do sistema em questão.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Teoria de Planicidade Diferencial
Saídas Planas
Não há necessariamente somente um único conjunto de
saídas planas;
A dimensão das saídas planas é igual ao número de
variáveis de controle do sistema;
Podem apresentar significado físico, o que facilita a sua
interpretação;
As saídas planas podem ser as próprias variáveis de
estado do sistema em questão.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Teoria de Planicidade Diferencial
Consequência Direta:
Se o sistema é plano, seja linear
ou não-linear, pode-se representá-lo como um sistema
linear controlável na forma canônica de Brunovsky.
Obs: Vetor de saídas corresponde as saídas planas.
A forma canônica de Brunovsky é representada então pelo
seguinte sistema linear:
F (ri )i = υi , i = 1, · · · ,m
com r1 + r2 + · · · + rm = n.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Teoria de Planicidade Diferencial
Consequência Direta: Se o sistema é plano, seja linear
ou não-linear, pode-se representá-lo como um sistema
linear controlável na forma canônica de Brunovsky.
Obs: Vetor de saídas corresponde as saídas planas.
A forma canônica de Brunovsky é representada então pelo
seguinte sistema linear:
F (ri )i = υi , i = 1, · · · ,m
com r1 + r2 + · · · + rm = n.
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Introdução
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Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
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Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Teoria de Planicidade Diferencial
Consequência Direta: Se o sistema é plano, seja linear
ou não-linear, pode-se representá-lo como um sistema
linear controlável na forma canônica de Brunovsky.
Obs: Vetor de saídas corresponde as saídas planas.
A forma canônica de Brunovsky é representada então pelo
seguinte sistema linear:
F (ri )i = υi , i = 1, · · · ,m
com r1 + r2 + · · · + rm = n.
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Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Teoria de Planicidade Diferencial
Consequência Direta: Se o sistema é plano, seja linear
ou não-linear, pode-se representá-lo como um sistema
linear controlável na forma canônica de Brunovsky.
Obs: Vetor de saídas corresponde as saídas planas.
A forma canônica de Brunovsky é representada então pelo
seguinte sistema linear:
F (ri )i = υi , i = 1, · · · ,m
com r1 + r2 + · · · + rm = n.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Teoria de Planicidade Diferencial
Forma Canônica de Brunovsky
O vetor de estados corresponde as saídas planas do
sistema original juntamente com suas respectivas
derivadas temporais;
ri é um número inteiro.
Para sistemas lineares, ri é idêntico aos índices de
controlabilidade κCj do sistema;
υi corresponde a uma realimentação endógena a partir da
parametrização diferencial em função das saídas planas;
O diagrama de blocos equivale a um conjunto de
integradores em série para cada saída plana.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Teoria de Planicidade Diferencial
Forma Canônica de Brunovsky
O vetor de estados corresponde as saídas planas do
sistema original juntamente com suas respectivas
derivadas temporais;
ri é um número inteiro.
Para sistemas lineares, ri é idêntico aos índices de
controlabilidade κCj do sistema;
υi corresponde a uma realimentação endógena a partir da
parametrização diferencial em função das saídas planas;
O diagrama de blocos equivale a um conjunto de
integradores em série para cada saída plana.
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Introdução
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Teoria de PlanicidadeDiferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Teoria de Planicidade Diferencial
Forma Canônica de Brunovsky
O vetor de estados corresponde as saídas planas do
sistema original juntamente com suas respectivas
derivadas temporais;
ri é um número inteiro.
Para sistemas lineares, ri é idêntico aos índices de
controlabilidade κCj do sistema;
υi corresponde a uma realimentação endógena a partir da
parametrização diferencial em função das saídas planas;
O diagrama de blocos equivale a um conjunto de
integradores em série para cada saída plana.
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Introdução
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Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Teoria de Planicidade Diferencial
Forma Canônica de Brunovsky
O vetor de estados corresponde as saídas planas do
sistema original juntamente com suas respectivas
derivadas temporais;
ri é um número inteiro.
Para sistemas lineares, ri é idêntico aos índices de
controlabilidade κCj do sistema;
υi corresponde a uma realimentação endógena a partir da
parametrização diferencial em função das saídas planas;
O diagrama de blocos equivale a um conjunto de
integradores em série para cada saída plana.
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Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Teoria de Planicidade Diferencial
Forma Canônica de Brunovsky
O vetor de estados corresponde as saídas planas do
sistema original juntamente com suas respectivas
derivadas temporais;
ri é um número inteiro.
Para sistemas lineares, ri é idêntico aos índices de
controlabilidade κCj do sistema;
υi corresponde a uma realimentação endógena a partir da
parametrização diferencial em função das saídas planas;
O diagrama de blocos equivale a um conjunto de
integradores em série para cada saída plana.
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Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Teoria de Planicidade Diferencial
Forma Canônica de Brunovsky
O vetor de estados corresponde as saídas planas do
sistema original juntamente com suas respectivas
derivadas temporais;
ri é um número inteiro.
Para sistemas lineares, ri é idêntico aos índices de
controlabilidade κCj do sistema;
υi corresponde a uma realimentação endógena a partir da
parametrização diferencial em função das saídas planas;
O diagrama de blocos equivale a um conjunto de
integradores em série para cada saída plana.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Teoria de Planicidade Diferencial
Aplicações Gerais
1 Planejamento de trajetória: Etapa responsável pela
geração antecipada das trajetórias nominais do sistema.
2 Acompanhamento de Trajetória: Etapa responsável pelo
desenvolvimento de uma lei de controle capaz de garantir
que o sistema seguirá a trajetória nominal.
Propriedade Plana: Ambas etapas podem ser definidas
em relação ao sistema equivalente na forma canônica de
Brunovsky.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 01 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Lineares (SISO/MIMO) 22
Introdução
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Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Teoria de Planicidade Diferencial
Aplicações Gerais
1 Planejamento de trajetória: Etapa responsável pela
geração antecipada das trajetórias nominais do sistema.
2 Acompanhamento de Trajetória: Etapa responsável pelo
desenvolvimento de uma lei de controle capaz de garantir
que o sistema seguirá a trajetória nominal.
Propriedade Plana: Ambas etapas podem ser definidas
em relação ao sistema equivalente na forma canônica de
Brunovsky.
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Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Teoria de Planicidade Diferencial
Aplicações Gerais
1 Planejamento de trajetória: Etapa responsável pela
geração antecipada das trajetórias nominais do sistema.
2 Acompanhamento de Trajetória: Etapa responsável pelo
desenvolvimento de uma lei de controle capaz de garantir
que o sistema seguirá a trajetória nominal.
Propriedade Plana: Ambas etapas podem ser definidas
em relação ao sistema equivalente na forma canônica de
Brunovsky.
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Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Teoria de Planicidade Diferencial
Aplicações Gerais
1 Planejamento de trajetória: Etapa responsável pela
geração antecipada das trajetórias nominais do sistema.
2 Acompanhamento de Trajetória: Etapa responsável pelo
desenvolvimento de uma lei de controle capaz de garantir
que o sistema seguirá a trajetória nominal.
Propriedade Plana: Ambas etapas podem ser definidas
em relação ao sistema equivalente na forma canônica de
Brunovsky.
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Sistemas Lineares
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Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Planejamento de Trajetória via Saídas Planas
Desde que as condições iniciais e finais de x e u sejam
dadas, é possível determinar as respectivas condições
para as saídas planas F e suas derivadas temporais;
Vantagem: A trajetória F (t) não precisa satisfazer
quaisquer equações diferenciais;
Interpolações polinomiais podem ser utilizadas para
facilitar a sua construção a partir das condições iniciais e
finais de F .
As trajetórias x(t) e u(t) são obtidas de forma indireta a
partir da parametrização diferencial devido a propriedade
plana do sistema.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 01 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Lineares (SISO/MIMO) 23
Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Planejamento de Trajetória via Saídas Planas
Desde que as condições iniciais e finais de x e u sejam
dadas, é possível determinar as respectivas condições
para as saídas planas F e suas derivadas temporais;
Vantagem: A trajetória F (t) não precisa satisfazer
quaisquer equações diferenciais;
Interpolações polinomiais podem ser utilizadas para
facilitar a sua construção a partir das condições iniciais e
finais de F .
As trajetórias x(t) e u(t) são obtidas de forma indireta a
partir da parametrização diferencial devido a propriedade
plana do sistema.
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Sistemas Lineares
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Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Planejamento de Trajetória via Saídas Planas
Desde que as condições iniciais e finais de x e u sejam
dadas, é possível determinar as respectivas condiçõespara as saídas planas F e suas derivadas temporais;
Vantagem: A trajetória F (t) não precisa satisfazer
quaisquer equações diferenciais;
Interpolações polinomiais podem ser utilizadas para
facilitar a sua construção a partir das condições iniciais e
finais de F .
As trajetórias x(t) e u(t) são obtidas de forma indireta a
partir da parametrização diferencial devido a propriedade
plana do sistema.
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Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória via Saídas Planas
Abordagem Típica do Controle Moderno: Lei de
Controle via Realimentação de Estados
Requisito: É necessário ter acesso as variáveis de estado
a cada intervalo de tempo.
Solução: Alocação de sensores suficientes na planta ou
Técnicas de Estimação de Estados.
Planicidade Diferencial: Facilita o projeto de um
controlador em malha fechada a partir do sistema linear
equivalente na forma canônica de Brunovsky.
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Introdução
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Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória via Saídas Planas
Abordagem Típica do Controle Moderno: Lei de
Controle via Realimentação de Estados
Requisito: É necessário ter acesso as variáveis de estado
a cada intervalo de tempo.
Solução: Alocação de sensores suficientes na planta ou
Técnicas de Estimação de Estados.
Planicidade Diferencial: Facilita o projeto de um
controlador em malha fechada a partir do sistema linear
equivalente na forma canônica de Brunovsky.
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Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória via Saídas Planas
Abordagem Típica do Controle Moderno: Lei de
Controle via Realimentação de Estados
Requisito: É necessário ter acesso as variáveis de estado
a cada intervalo de tempo.
Solução: Alocação de sensores suficientes na planta ou
Técnicas de Estimação de Estados.
Planicidade Diferencial: Facilita o projeto de um
controlador em malha fechada a partir do sistema linear
equivalente na forma canônica de Brunovsky.
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Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória via Saídas Planas
Abordagem Típica do Controle Moderno: Lei de
Controle via Realimentação de Estados
Requisito: É necessário ter acesso as variáveis de estado
a cada intervalo de tempo.
Solução: Alocação de sensores suficientes na planta ou
Técnicas de Estimação de Estados.
Planicidade Diferencial: Facilita o projeto de um
controlador em malha fechada a partir do sistema linear
equivalente na forma canônica de Brunovsky.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 01 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Lineares (SISO/MIMO) 24
Introdução
Sistemas Lineares
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Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória via Saídas Planas
Projeto do Controlador em Malha Fechada (Algoritmo)
1 Sendo ei = Fi − F ∗i , i = 1, · · · ,m, as componentes do erro
de acompanhamento de trajetória associado à saída plana
Fi , pode-se escrever que:
e(ri )i = F
(ri )
i − F
∗(ri )
i
ao derivar ei por ri vezes.
2 Lembre-se que a forma canônica de Brunovsky é dada por:
F (ri )i = υi , i = 1, · · · ,m
com r1 + r2 + · · · + rm = n.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória via Saídas Planas
Projeto do Controlador em Malha Fechada (Algoritmo)
1 Sendo ei = Fi − F ∗i , i = 1, · · · ,m, as componentes do erro
de acompanhamento de trajetória associado à saída plana
Fi , pode-se escrever que:
e(ri )i = F
(ri )
i − F
∗(ri )
i
ao derivar ei por ri vezes.
2 Lembre-se que a forma canônica de Brunovsky é dada por:
F (ri )i = υi , i = 1, · · · ,m
com r1 + r2 + · · · + rm = n.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 01 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Lineares (SISO/MIMO) 25
Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
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Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória via Saídas Planas
Projeto do Controlador em Malha Fechada (Algoritmo)
3 É suficiente então definir a dinâmica do erro de tal forma
que:
e(ri )i + ki,(ri −1)e
(ri −1)
i + · · · + ki,1e
(1)
i + ki,0e
(0)
i = 0
onde os ganhos kj,l , l = 0, · · · , (ri − 1), são escolhidos de
modo que sri +1 +
∑ri
l=0 ki,ls
l = 0 seja um polinômio de
Hurwitz.
4 Assim, pode-se escrever que:
υi = F
∗(ri )
i −
ri −1∑
l=0
ki,le
(l)
i , i = 1, · · · ,m
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 01 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Lineares (SISO/MIMO) 26
Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória via Saídas Planas
Projeto do Controlador em Malha Fechada (Algoritmo)
3 É suficiente então definir a dinâmica do erro de tal forma
que:
e(ri )i + ki,(ri −1)e
(ri −1)
i + · · · + ki,1e
(1)
i + ki,0e
(0)
i = 0
onde os ganhos kj,l , l = 0, · · · , (ri − 1), são escolhidos de
modo que sri +1 +
∑ri
l=0 ki,ls
l = 0 seja um polinômio de
Hurwitz.
4 Assim, pode-se escrever que:
υi = F
∗(ri )
i −
ri −1∑
l=0
ki,le
(l)
i , i = 1, · · · ,m
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 01 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Lineares (SISO/MIMO) 26
Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória via Saídas Planas
Projeto do Controlador em Malha Fechada (Algoritmo)
5 Assim, ao substituir os termos F (ri )i por υi na
parametrização diferencial de u, obtêm-se as expressões
finais das leis de controle para o sistema em estudo.
Como as componentes do erro ei convergem para 0,
então as saídas planas também convergem para as suas
respectivas trajetórias nominais.
Consequentemente, isso implica que, devido a
parametrização diferencial, x e u também convergem para
x∗(t) e u∗(t), respectivamente.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 01 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Lineares (SISO/MIMO) 27
Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória via Saídas Planas
Projeto do Controlador em Malha Fechada (Algoritmo)
5 Assim, ao substituir os termos F (ri )i por υi na
parametrização diferencial de u, obtêm-se as expressões
finais das leis de controle para o sistema em estudo.
Como as componentes do erro ei convergem para 0,
então as saídas planas também convergem para as suas
respectivas trajetórias nominais.
Consequentemente, isso implica que, devido a
parametrização diferencial, x e u também convergem para
x∗(t) e u∗(t), respectivamente.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória via Saídas Planas
Projeto do Controlador em Malha Fechada (Algoritmo)
5 Assim, ao substituir os termos F (ri )i por υi na
parametrização diferencial de u, obtêm-se as expressões
finais das leis de controle para o sistema em estudo.
Como as componentes do erro ei convergem para 0,
então as saídas planas também convergem para as suas
respectivas trajetórias nominais.
Consequentemente, isso implica que, devido a
parametrização diferencial, x e u também convergem para
x∗(t) e u∗(t), respectivamente.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Introdução
Planejamento de Trajetória
Acompanhamento de Trajetória
Estratégia de Controle via Saídas Planas
Figura 1: Estratégia de controle para sistemas diferencialmente
planos.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Saídas Planas - Sistemas SISO
Saídas Planas - Sistemas MIMO
Sumário
1 Introdução
2 Sistemas Lineares
3 Teoria de Planicidade Diferencial
4 Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Saídas Planas - Sistemas SISO
Saídas Planas - Sistemas MIMO
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 01 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Lineares (SISO/MIMO) 29
Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Saídas Planas - Sistemas SISO
Saídas Planas - Sistemas MIMO
Introdução
Sistemas Lineares: Se o sistema é controlável, então é
diferencialmente plano. E vice-versa.
Importância: Problemas de estabilização ou
acompanhamento de trajetória passam a ser definidos em
relação as saídas planas.
Serão abordados métodos que visam determinar as
saídas planas para os seguintes sistemas:
1 Sistemas Lineares Invariantes no Tempo SISO
2 Sistemas Lineares Invariantes no Tempo MIMO
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Saídas Planas - Sistemas SISO
Saídas Planas - Sistemas MIMO
Introdução
Sistemas Lineares: Se o sistema é controlável, então é
diferencialmente plano. E vice-versa.
Importância: Problemas de estabilização ou
acompanhamento de trajetória passam a ser definidos em
relação as saídas planas.
Serão abordados métodos que visam determinar as
saídas planas para os seguintes sistemas:
1 Sistemas Lineares Invariantes no Tempo SISO
2 Sistemas Lineares Invariantes no Tempo MIMO
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 01 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Lineares (SISO/MIMO) 30
Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Saídas Planas - Sistemas SISO
Saídas Planas - Sistemas MIMO
Introdução
Sistemas Lineares: Se o sistema é controlável, então é
diferencialmente plano. E vice-versa.
Importância: Problemas de estabilização ou
acompanhamento de trajetória passam a ser definidos em
relação as saídas planas.
Serão abordados métodos que visam determinar as
saídas planas para os seguintes sistemas:
1 Sistemas Lineares Invariantes no Tempo SISO
2 Sistemas Lineares Invariantes no Tempo MIMO
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 01 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Lineares (SISO/MIMO) 30
Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Saídas Planas - Sistemas SISO
Saídas Planas - Sistemas MIMO
Caso SISO
Seja o seguinte sistema linear SISO:
ẋ = Ax + bu, x ∈ Rn, u ∈ R
Assumindo ser controlável, a matriz de controlabilidade de
Kalman CK tem posto igual a n e é dada por:
CK = [b,Ab, · · · ,An−1b]
A saída plana do sistema acima é dada por uma
combinação linear dos estados obtidos a partir da última
linha de CK −1:
F = α [0 0 · · · 1]CK −1x
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Saídas Planas - Sistemas SISO
Saídas Planas - Sistemas MIMO
Caso SISO
Seja o seguinte sistema linear SISO:
ẋ = Ax + bu, x ∈ Rn, u ∈ R
Assumindo ser controlável, a matriz de controlabilidade de
Kalman CK tem posto igual a n e é dada por:
CK = [b,Ab, · · · ,An−1b]
A saída plana do sistema acima é dada por uma
combinação linear dos estados obtidos a partir da última
linha de CK −1:
F = α [0 0 · · · 1]CK −1x
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Saídas Planas - Sistemas SISO
Saídas Planas - Sistemas MIMO
Caso SISO
Seja o seguinte sistema linear SISO:
ẋ = Ax + bu, x ∈ Rn, u ∈ R
Assumindo ser controlável, a matriz de controlabilidade de
Kalman CK tem posto igual a n e é dada por:
CK = [b,Ab, · · · ,An−1b]
A saída plana do sistema acima é dada por uma
combinação linear dos estados obtidos a partir da última
linha de CK −1:
F = α [0 0 · · · 1]CK −1x
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Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Saídas Planas - Sistemas SISO
Saídas Planas - Sistemas MIMO
Exemplo SISO: Sistema Massa-Mola
Considere o sistema mecânico mostrado na Figura 2.
Figura 2: Sistema Massa-mola.
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Saídas Planas - Sistemas SISO
Saídas Planas - Sistemas MIMO
Exemplo SISO: Sistema Massa-Mola
Negligenciando as forças de atrito, tem-se a seguinte
representação em espaço de estados do sistema:
ẋ1 = x2
ẋ2 = −
k1 + k2
M1
x1 −
c
M1
x2 +
k1
M1
x3 +
c
M1
x4
ẋ3 = x4
ẋ4 =
k1
M2
x1 +
c
M2
x2 −
k1
M2
x3 −
c
M2
x4 +
1
M2
u
y = x1
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Saídas Planas - Sistemas MIMO
Exemplo SISO: Sistema Massa-Mola
Pode-se mostrar que a saída plana do sistema e suas
derivadas temporais são dadas por:
F = (c2 − k1M1)x1 + cM1x2 − c2x3
Ḟ = −c(k1 + k2)x1 − k1M1x2 + ck1x3
F̈ = k1(k1 + k2)x1 − ck2x2 − k21 x3
F (3) =
ck2(k1 + k2)
M1
x1 +
[
k1(k1 + k2) +
c2k2
M1
]
x2
− ck1k2
M1
x3 −
[
c2k2
M1
+ k21
]
x4
F (4) = α1x1 + α2x2 + α3x3 + α4x4 + α5u
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Saídas Planas - Sistemas MIMO
Exemplo SISO: Sistema Massa-Mola
Pode-se mostrar que a saída plana do sistema e suas
derivadas temporais são dadas por:
F = (c2 − k1M1)x1 + cM1x2 − c2x3
Ḟ = −c(k1 + k2)x1 − k1M1x2 + ck1x3
F̈ = k1(k1 + k2)x1 − ck2x2 − k21 x3
F (3) =
ck2(k1 + k2)
M1
x1 +
[
k1(k1 + k2) +
c2k2
M1
]
x2
− ck1k2
M1
x3 −
[
c2k2
M1
+ k21
]
x4
F (4) = α1x1 + α2x2 + α3x3 + α4x4 + α5u
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Saídas Planas - Sistemas MIMO
Exemplo SISO: Sistema Massa-Mola
Pode-se mostrar que a saída plana do sistema e suas
derivadas temporais são dadas por:
F = (c2 − k1M1)x1 + cM1x2 − c2x3
Ḟ = −c(k1 + k2)x1 − k1M1x2 + ck1x3
F̈ = k1(k1 + k2)x1 − ck2x2 − k21 x3
F (3) =
ck2(k1 + k2)
M1
x1 +
[
k1(k1 + k2) +
c2k2
M1
]
x2
− ck1k2
M1
x3 −
[
c2k2
M1
+ k21
]
x4
F (4) = α1x1 + α2x2 + α3x3 + α4x4 + α5u
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Exemplo SISO: Sistema Massa-Mola
Pode-se mostrar que a saída plana do sistema e suas
derivadas temporais são dadas por:
F = (c2 − k1M1)x1 + cM1x2 − c2x3
Ḟ = −c(k1 + k2)x1 − k1M1x2 + ck1x3
F̈ = k1(k1 + k2)x1 − ck2x2 − k21 x3
F (3) =
ck2(k1 + k2)
M1
x1 +
[
k1(k1 + k2) +
c2k2
M1
]
x2
− ck1k2
M1
x3 −
[
c2k2
M1
+ k21
]
x4
F (4) = α1x1 + α2x2 + α3x3 + α4x4 + α5u
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Exemplo SISO: Sistema Massa-Mola
Pode-se mostrar que a saída plana do sistema e suas
derivadas temporais são dadas por:
F = (c2 − k1M1)x1 + cM1x2 − c2x3
Ḟ = −c(k1 + k2)x1 − k1M1x2 + ck1x3
F̈ = k1(k1 + k2)x1 − ck2x2 − k21 x3
F (3) =
ck2(k1 + k2)
M1
x1 +
[
k1(k1 + k2) +
c2k2
M1
]
x2
− ck1k2
M1
x3 −
[
c2k2
M1
+ k21
]
x4
F (4) = α1x1 + α2x2 + α3x3 + α4x4 + α5u
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Exemplo SISO: Sistema Massa-Mola
É possível então montar a seguinte equação matricial:
[F Ḟ F̈ F (3) F (4)]T = M5×5[x1 x2 x3 x4 u]T
Dessa forma, calculando M−1, obtém-se a expressão
parametrizada do controle nominal u:
u = β1F + β2Ḟ + β3F̈ + β4F (3) + β5F (4)
Assim, manipulando a parametrização do sinal de
controle, tem-se que a forma canônica de Brunovsky é
então dada por:
F (4) =
u − β1F + β2Ḟ + β3F̈ + β4F (3)
β5
=⇒ F (4) = υ
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Exemplo SISO: Sistema Massa-Mola
É possível então montar a seguinte equação matricial:
[F Ḟ F̈ F (3) F (4)]T = M5×5[x1 x2 x3 x4 u]T
Dessa forma, calculando M−1, obtém-se a expressão
parametrizada do controle nominal u:
u = β1F + β2Ḟ + β3F̈ + β4F (3) + β5F (4)
Assim, manipulando a parametrização do sinal de
controle, tem-se que a forma canônica de Brunovsky é
então dada por:
F (4) =
u − β1F + β2Ḟ + β3F̈ + β4F (3)
β5
=⇒ F (4) = υ
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Exemplo SISO: Sistema Massa-Mola
É possível então montar a seguinte equação matricial:
[F Ḟ F̈ F (3) F (4)]T = M5×5[x1 x2 x3 x4 u]T
Dessa forma, calculando M−1, obtém-se a expressão
parametrizada do controle nominal u:
u = β1F + β2Ḟ + β3F̈ + β4F (3) + β5F (4)
Assim, manipulando a parametrização do sinal de
controle, tem-se que a forma canônica de Brunovsky é
então dada por:
F (4) =
u − β1F + β2Ḟ + β3F̈ + β4F (3)
β5
=⇒ F (4) = υ
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Exemplo SISO: Sistema Massa-Mola
Na representação por espaço de estados, tem-se que:{
ż = Az + Bυ
y = Cz
z =

F
Ḟ
F̈
F (3)

T
, A =

0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
 , B =

0
0
0
1
 , CT =

1
0
0
0

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Exemplo SISO: Sistema Massa-Mola
Então, para o sistema na forma canônica de Brunovsky, é
suficiente propor a seguinte lei de controle em malha
fechada expressa por:
υ = F ∗(4) − k3(F (3) − F ∗(3))− k2(F̈ − F̈ ∗)
− k1(Ḟ − Ḟ ∗)− k0(F − F ∗)
onde “*” indica a trajetória nominal da respectiva variável.
Assim, como F (4) = υ, a lei de controle do sistema
massa-mola é então dada por:
u = β1F + β2Ḟ + β3F̈ + β4F (3) + β5υ
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Saídas Planas - Sistemas MIMO
Exemplo SISO: Sistema Massa-Mola
Então, para o sistema na forma canônica de Brunovsky, é
suficiente propor a seguinte lei de controle em malha
fechada expressa por:
υ = F ∗(4) − k3(F (3) − F ∗(3))− k2(F̈ − F̈ ∗)
− k1(Ḟ − Ḟ ∗)− k0(F − F ∗)
onde “*” indica a trajetória nominal da respectiva variável.
Assim, como F (4) = υ, a lei de controle do sistema
massa-mola é então dada por:
u = β1F + β2Ḟ + β3F̈ + β4F (3) + β5υ
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Exercício 01
Agora, considere o sistema mecânico mostrado na
Figura 3.
Figura 3: Sistema Massa-mola simples.
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Exercício 01
A sua representação em espaço de estados é dada por:
ẋ1 = x2
ẋ2 = −
k1 + k2
M1
x1 −
c
M1
x2 +
k2
M1
x3 +
1
M1
u
ẋ3 = x4
ẋ4 =
k2
M2
x1 −
k2
M2
x3 −
c
M2
x4
y = x3
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Exercício 01
Os Objetivos do Exercício são:
1 Obter a saída plana do sistema.
2 Obter a parametrização de todas as variáveis em função
da saída plana e de suas derivadas temporais.
3 Obter a expressão final do controlador em malha fechada
(Presença do termo de correção).
4 Implementação em ambiente Matlab/Simulink. Sugestão:
Assuma k1 = 0,1, k2 = 0,05, c = 1, M1 = 2,5 e M2 = 5.
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Saídas Planas - Sistemas MIMO
Exercício 01
Os Objetivos do Exercício são:
1 Obter a saída plana do sistema.
2 Obter a parametrização de todas as variáveis em função
da saída plana e de suas derivadas temporais.
3 Obter a expressão finaldo controlador em malha fechada
(Presença do termo de correção).
4 Implementação em ambiente Matlab/Simulink. Sugestão:
Assuma k1 = 0,1, k2 = 0,05, c = 1, M1 = 2,5 e M2 = 5.
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Exercício 01
Os Objetivos do Exercício são:
1 Obter a saída plana do sistema.
2 Obter a parametrização de todas as variáveis em função
da saída plana e de suas derivadas temporais.
3 Obter a expressão final do controlador em malha fechada
(Presença do termo de correção).
4 Implementação em ambiente Matlab/Simulink. Sugestão:
Assuma k1 = 0,1, k2 = 0,05, c = 1, M1 = 2,5 e M2 = 5.
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Exercício 01
Os Objetivos do Exercício são:
1 Obter a saída plana do sistema.
2 Obter a parametrização de todas as variáveis em função
da saída plana e de suas derivadas temporais.
3 Obter a expressão final do controlador em malha fechada
(Presença do termo de correção).
4 Implementação em ambiente Matlab/Simulink. Sugestão:
Assuma k1 = 0,1, k2 = 0,05, c = 1, M1 = 2,5 e M2 = 5.
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Exercício 01
Os Objetivos do Exercício são:
1 Obter a saída plana do sistema.
2 Obter a parametrização de todas as variáveis em função
da saída plana e de suas derivadas temporais.
3 Obter a expressão final do controlador em malha fechada
(Presença do termo de correção).
4 Implementação em ambiente Matlab/Simulink. Sugestão:
Assuma k1 = 0,1, k2 = 0,05, c = 1, M1 = 2,5 e M2 = 5.
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Caso MIMO
Seja o seguinte sistema:
ẋ = Ax + Bu, x ∈ Rn, u ∈ Rm
Sendo controlável, a matriz de controlabilidade de Kalman
CK do sistema tem posto igual a n e é dada por:
CK = [B, AB, · · · , An−1B]
onde o número de colunas é dado por nm.
Como CK não é quadrada, a sua inversa não pode ser
obtida, logo a expressão obtida para SISO não é aplicável
usando CK .
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Caso MIMO
Seja o seguinte sistema:
ẋ = Ax + Bu, x ∈ Rn, u ∈ Rm
Sendo controlável, a matriz de controlabilidade de Kalman
CK do sistema tem posto igual a n e é dada por:
CK = [B, AB, · · · , An−1B]
onde o número de colunas é dado por nm.
Como CK não é quadrada, a sua inversa não pode ser
obtida, logo a expressão obtida para SISO não é aplicável
usando CK .
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Saídas Planas - Sistemas MIMO
Caso MIMO
Seja o seguinte sistema:
ẋ = Ax + Bu, x ∈ Rn, u ∈ Rm
Sendo controlável, a matriz de controlabilidade de Kalman
CK do sistema tem posto igual a n e é dada por:
CK = [B, AB, · · · , An−1B]
onde o número de colunas é dado por nm.
Como CK não é quadrada, a sua inversa não pode ser
obtida, logo a expressão obtida para SISO não é aplicável
usando CK .
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Caso MIMO
Nesse caso, observe que a controlabilidade do sistema
permite extrair a seguinte matriz C I :
C I = [b1, Ab1, · · · , A(κ
C
1 −1)b1,b2, Ab2, · · · , A(κ
C
2 −1)b2, · · · ,
bm, Abm, · · · , A(κ
C
m−1)bm]
com posto(C I) = n
,
C I é n × n.
e κCi , i = 1, · · · ,m, sendo os índices de controlabilidade do
sistema, os quais devem sempre satisfazer
∑
i κ
C
i = n.
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Caso MIMO
Nesse caso, observe que a controlabilidade do sistema
permite extrair a seguinte matriz C I :
C I = [b1, Ab1, · · · , A(κ
C
1 −1)b1,b2, Ab2, · · · , A(κ
C
2 −1)b2, · · · ,
bm, Abm, · · · , A(κ
C
m−1)bm]
com posto(C I) = n,
C I é n × n.
e κCi , i = 1, · · · ,m, sendo os índices de controlabilidade do
sistema, os quais devem sempre satisfazer
∑
i κ
C
i = n.
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Caso MIMO
Nesse caso, observe que a controlabilidade do sistema
permite extrair a seguinte matriz C I :
C I = [b1, Ab1, · · · , A(κ
C
1 −1)b1,b2, Ab2, · · · , A(κ
C
2 −1)b2, · · · ,
bm, Abm, · · · , A(κ
C
m−1)bm]
com posto(C I) = n,
C I é n × n.
e κCi , i = 1, · · · ,m, sendo os índices de controlabilidade do
sistema, os quais devem sempre satisfazer
∑
i κ
C
i = n.
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Caso MIMO
Nesse caso, observe que a controlabilidade do sistema
permite extrair a seguinte matriz C I :
C I = [b1, Ab1, · · · , A(κ
C
1 −1)b1,b2, Ab2, · · · , A(κ
C
2 −1)b2, · · · ,
bm, Abm, · · · , A(κ
C
m−1)bm]
com posto(C I) = n,
C I é n × n.
e κCi , i = 1, · · · ,m, sendo os índices de controlabilidade do
sistema, os quais devem sempre satisfazer
∑
i κ
C
i = n.
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Caso MIMO
Após determinar a matriz C I , as saídas planas do sistema
são então dadas por:
F =
F1...
Fm
 =
φ1...
φm
 C−1I x
onde φj , j = 1, · · · ,m sendo vetores linhas n-dimensionais
da seguinte forma:
φj = [0, · · · ,0,1,0, · · · ,0]
onde a posição do “1” será dada por
∑j
i=1 κ
C
i .
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Exemplo MIMO: Satélite em Órbita
Considere o sistema mostrado na Figura 4.
Figura 4: Um satélite orbitando em torno da Terra.
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Exemplo MIMO:Satélite em Órbita
O modelo não-linear do sistema é dada por:
ẋ1 = x2
ẋ2 = x1x24 −
k
x21
+
u1
M
ẋ3 = x4
ẋ4 = −
2x2x4
x1
+
u2
Mx21
onde
M = Massa do Satélite
k = Constante gravitacional da força de atração entre a
Terra e o Satélite.
[x1 x2 x3 x4] = [r vr α ω]
u1 e u2 são forças tangenciais e radiais, respectivamente.
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Exemplo MIMO: Satélite em Órbita
Linearizando em torno uma trajetória nominal circular de
raio d , i.e. x∗1 (t) = d e x
∗
2 (t) = 0, com velocidade angular ω,
i.e. x∗3 (t) = ωt e x
∗
4 (t) = ω, obtém-se que:
ẋ1δ
ẋ2δ
ẋ3δ
ẋ4δ
 =

0 1 0 0
3ω2 0 0 2ω
0 0 0 1
0 −2ω 0 0


x1δ
x2δ
x3δ
x4δ
 +

0 0
1 0
0 0
0 1

[
u1δ
u2δ
]
onde
ω2 = k/d3 xiδ = xi − x∗i (t) uiδ = ui − u∗i (t)
Objetivo: Estabilizar o sistema linearizado em torno da
origem, ou seja, [x1δ x2δ x3δ x4δ] = [0 0 0 0].
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 01 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Lineares (SISO/MIMO) 46
Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Saídas Planas - Sistemas SISO
Saídas Planas - Sistemas MIMO
Exemplo MIMO: Satélite em Órbita
Linearizando em torno uma trajetória nominal circular de
raio d , i.e. x∗1 (t) = d e x
∗
2 (t) = 0, com velocidade angular ω,
i.e. x∗3 (t) = ωt e x
∗
4 (t) = ω, obtém-se que:
ẋ1δ
ẋ2δ
ẋ3δ
ẋ4δ
 =

0 1 0 0
3ω2 0 0 2ω
0 0 0 1
0 −2ω 0 0


x1δ
x2δ
x3δ
x4δ
 +

0 0
1 0
0 0
0 1

[
u1δ
u2δ
]
onde
ω2 = k/d3 xiδ = xi − x∗i (t) uiδ = ui − u∗i (t)
Objetivo: Estabilizar o sistema linearizado em torno da
origem, ou seja, [x1δ x2δ x3δ x4δ] = [0 0 0 0].
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 01 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Lineares (SISO/MIMO) 46
Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Saídas Planas - Sistemas SISO
Saídas Planas - Sistemas MIMO
Exemplo MIMO: Satélite em Órbita
A matriz de controlabilidade do sistema é dada por:
CK = [B,AB,A2B,A3B]
=⇒ CK =

0 0 1 0 0 2ω −ω2 0
1 0 0 2ω −ω2 0 0 −2ω3
0 0 0 1 −2ω 0 0 −4ω2
0 1 −2ω 0 0 −4ω2 2ω3 0

Desde que o posto(CK ) = 4, temos que o sistema é
controlável e, portanto, diferencialmente plano.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Saídas Planas - Sistemas SISO
Saídas Planas - Sistemas MIMO
Exemplo MIMO: Satélite em Órbita
A matriz de controlabilidade do sistema é dada por:
CK = [B,AB,A2B,A3B]
=⇒ CK =

0 0 1 0 0 2ω −ω2 0
1 0 0 2ω −ω2 0 0 −2ω3
0 0 0 1 −2ω 0 0 −4ω2
0 1 −2ω 0 0 −4ω2 2ω3 0

Desde que o posto(CK ) = 4, temos que o sistema é
controlável e, portanto, diferencialmente plano.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Saídas Planas - Sistemas SISO
Saídas Planas - Sistemas MIMO
Exemplo MIMO: Satélite em Órbita
Pode-se mostrar que o sistema aceita índices de
controlabilidades κC1 = 2 e κ
C
2 = 2.
Dessa forma, pode-se montar a seguinte matriz C I :
C I =

0 1 0 0
1 0 0 2ω
0 0 0 1
0 −2ω 1 0

Onde posto(C I) = 4.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Saídas Planas - Sistemas SISO
Saídas Planas - Sistemas MIMO
Exemplo MIMO: Satélite em Órbita
Pode-se mostrar que o sistema aceita índices de
controlabilidades κC1 = 2 e κ
C
2 = 2.
Dessa forma, pode-se montar a seguinte matriz C I :
C I =

0 1 0 0
1 0 0 2ω
0 0 0 1
0 −2ω 1 0

Onde posto(C I) = 4.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Saídas Planas - Sistemas SISO
Saídas Planas - Sistemas MIMO
Exemplo MIMO: Satélite em Órbita
Pode-se mostrar que o sistema aceita índices de
controlabilidades κC1 = 2 e κ
C
2 = 2.
Dessa forma, pode-se montar a seguinte matriz C I :
C I =

0 1 0 0
1 0 0 2ω
0 0 0 1
0 −2ω 1 0

Onde posto(C I) = 4.
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Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Saídas Planas - Sistemas SISO
Saídas Planas - Sistemas MIMO
Exemplo MIMO: Satélite em Órbita
As saídas planas são dadas por:
F δ =
[
0 1 0 0
0 0 0 1
]
C−1I xδ
=⇒ F δ =
[
F1δ
F2δ
]
=
[
x1δ
x3δ
]
Pode-se mostrar que a parametrização diferencial do
sistema linearizado é dada por:
x1δ = F1δ
x2δ = Ḟ1δ
u1δ = F̈1δ − 3ω2F1δ − 2ωḞ2δ
x3δ = F2δ
x4δ = Ḟ2δ
u2δ = F̈2δ + 2ωḞ1δ
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Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Saídas Planas - Sistemas SISO
Saídas Planas - Sistemas MIMO
Exemplo MIMO: Satélite em Órbita
As saídas planas são dadas por:
F δ =
[
0 1 0 0
0 0 0 1
]
C−1I xδ =⇒ F δ =
[
F1δ
F2δ
]
=
[
x1δ
x3δ
]
Pode-se mostrar que a parametrização diferencial do
sistema linearizado é dada por:
x1δ = F1δ
x2δ = Ḟ1δ
u1δ = F̈1δ − 3ω2F1δ − 2ωḞ2δ
x3δ = F2δ
x4δ = Ḟ2δ
u2δ = F̈2δ + 2ωḞ1δ
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 01 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Lineares (SISO/MIMO) 49
Introdução
Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Saídas Planas - Sistemas SISO
Saídas Planas - Sistemas MIMO
Exemplo MIMO: Satélite em Órbita
As saídas planas são dadas por:
F δ =
[
0 1 0 0
0 0 0 1
]
C−1I xδ =⇒ F δ =
[
F1δ
F2δ
]
=
[
x1δ
x3δ
]
Pode-se mostrar que a parametrização diferencial do
sistema linearizado é dada por:
x1δ = F1δ
x2δ = Ḟ1δ
u1δ = F̈1δ − 3ω2F1δ − 2ωḞ2δ
x3δ = F2δ
x4δ = Ḟ2δ
u2δ = F̈2δ + 2ωḞ1δ
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Sistemas Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Saídas Planas - Sistemas SISO
Saídas Planas - Sistemas MIMO
Exemplo MIMO: Satélite em Órbita
Manipulando a parametrização dos sinais de controle,
tem-se que a forma canônica de Brunovsky é dada por:{
F̈1δ = u1δ + 3ω2F1δ + 2ωḞ2δ
F̈2δ = u2δ − 2ωḞ1δ
=⇒
{
F̈1δ = υ1
F̈2δ = υ2
Na representação por espaço de estados, tem-se que:{
ż = Abz + Bbυ
y = Cbz
, z =
[
F1δ Ḟ1δ F2δ Ḟ2δ
]T
Ab =

0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
 , Bb =

0 0
1 0
0 0
0 1
 , Cb =

1 0
0 0
0 1
0 0

T
, υ =
[
υ1
υ2
]
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Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Saídas Planas - Sistemas SISO
Saídas Planas - Sistemas MIMO
Exemplo MIMO: Satélite em Órbita
Manipulando a parametrização dos sinais de controle,
tem-se que a forma canônica de Brunovsky é dada por:{
F̈1δ = u1δ + 3ω2F1δ + 2ωḞ2δ
F̈2δ = u2δ − 2ωḞ1δ
=⇒
{
F̈1δ = υ1
F̈2δ = υ2
Na representação por espaço de estados, tem-se que:{
ż = Abz + Bbυ
y = Cbz
, z =
[
F1δ Ḟ1δ F2δ Ḟ2δ
]T
Ab =

0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
 , Bb =

0 0
1 0
0 0
0 1