Planicidade Diferencial em Sistemas Não-Lineares

Prévia do material em texto

Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada
aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO)
Prof. José Oniram de A. Limaverde Filho
joseoniram@ieee.org
31 de Janeiro de 2020
mailto:joseoniram@ieee.org
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Sumário
1 Revisão Aula Passada
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
2 Objetivos da Aula
3 Sistemas Não-Lineares
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 2
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Sistemas Diferencialmente Planos
Seja um sistema genérico definido pela equação:
ẋ = f (x ,u), x ∈ Rn, u ∈ Rm
Sendo F as saídas planas do sistema, então o sistema é
dito diferencialmente plano se
F = h(x ,u, u̇, · · · ,u(r−1))
x = λ0(F , Ḟ , · · · ,F (r−1))
u = λ1(F , Ḟ , · · · ,F (r−1),F (r ))
onde h: Rn × (Rm)r → Rm, λ0: (Rm)r−1 → Rn e λ1:
(Rm)r → Rm são funções suaves, e r é um inteiro finito.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 3
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Sistemas Diferencialmente Planos
Seja um sistema genérico definido pela equação:
ẋ = f (x ,u), x ∈ Rn, u ∈ Rm
Sendo F as saídas planas do sistema, então o sistema é
dito diferencialmente plano se
F = h(x ,u, u̇, · · · ,u(r−1))
x = λ0(F , Ḟ , · · · ,F (r−1))
u = λ1(F , Ḟ , · · · ,F (r−1),F (r ))
onde h: Rn × (Rm)r → Rm, λ0: (Rm)r−1 → Rn e λ1:
(Rm)r → Rm são funções suaves, e r é um inteiro finito.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 3
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Aplicações da Propriedade Plana do Sistema
A planicidade diferencial de sistemas dinâmicos permite
trivializar as seguintes tarefas:
1 Planejamento de trajetória: Etapa responsável pela
geração antecipada das trajetórias nominais do sistema.
2 Acompanhamento de Trajetória: Etapa responsável pelo
desenvolvimento de uma lei de controle capaz de garantir
que o sistema seguirá a trajetória nominal.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 4
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Aplicações da Propriedade Plana do Sistema
A planicidade diferencial de sistemas dinâmicos permite
trivializar as seguintes tarefas:
1 Planejamento de trajetória: Etapa responsável pela
geração antecipada das trajetórias nominais do sistema.
2 Acompanhamento de Trajetória: Etapa responsável pelo
desenvolvimento de uma lei de controle capaz de garantir
que o sistema seguirá a trajetória nominal.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 4
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Aplicações da Propriedade Plana do Sistema
A planicidade diferencial de sistemas dinâmicos permite
trivializar as seguintes tarefas:
1 Planejamento de trajetória: Etapa responsável pela
geração antecipada das trajetórias nominais do sistema.
2 Acompanhamento de Trajetória: Etapa responsável pelo
desenvolvimento de uma lei de controle capaz de garantir
que o sistema seguirá a trajetória nominal.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 4
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Saídas Planas - Caso SISO
Seja o seguinte sistema linear SISO:
ẋ = Ax + bu, x ∈ Rn, u ∈ R
Assumindo ser controlável, a matriz de controlabilidade de
Kalman CK tem posto igual a n e é dada por:
CK = [b Ab · · · An−1b]
A saída plana do sistema acima é dada por uma
combinação linear dos estados obtidos a partir da última
linha de CK −1:
F = α [0 0 · · · 1]CK −1x
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 5
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Saídas Planas - Caso SISO
Seja o seguinte sistema linear SISO:
ẋ = Ax + bu, x ∈ Rn, u ∈ R
Assumindo ser controlável, a matriz de controlabilidade de
Kalman CK tem posto igual a n e é dada por:
CK = [b Ab · · · An−1b]
A saída plana do sistema acima é dada por uma
combinação linear dos estados obtidos a partir da última
linha de CK −1:
F = α [0 0 · · · 1]CK −1x
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 5
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Saídas Planas - Caso SISO
Seja o seguinte sistema linear SISO:
ẋ = Ax + bu, x ∈ Rn, u ∈ R
Assumindo ser controlável, a matriz de controlabilidade de
Kalman CK tem posto igual a n e é dada por:
CK = [b Ab · · · An−1b]
A saída plana do sistema acima é dada por uma
combinação linear dos estados obtidos a partir da última
linha de CK −1:
F = α [0 0 · · · 1]CK −1x
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 5
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Saídas Planas - Caso MIMO
Seja o seguinte sistema:
ẋ = Ax + Bu, x ∈ Rn, u ∈ Rm
Sendo controlável, a matriz de controlabilidade de Kalman
CK do sistema tem posto igual a n e é dada por:
CK = [B AB · · · An−1B]
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 6
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Saídas Planas - Caso MIMO
Seja o seguinte sistema:
ẋ = Ax + Bu, x ∈ Rn, u ∈ Rm
Sendo controlável, a matriz de controlabilidade de Kalman
CK do sistema tem posto igual a n e é dada por:
CK = [B AB · · · An−1B]
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 6
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Saídas Planas - Caso MIMO
A controlabilidade do sistema também garante que é
possível extrair a seguinte matriz C I :
C I = [b1 Ab1 · · · A(κ
C
1 −1)b1 b2 Ab2 · · · A(κ
C
2 −1)b2 · · ·
bm Abm · · · A(κ
C
m−1)bm]
com posto(C I) = n e κCi , i = 1, · · · ,m, sendo os índices de
controlabilidade do sistema, os quais devem sempre
satisfazer
∑
i κ
C
i = n.
Observe que a matriz C I é quadrada, cuja dimensão é
n × n.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 7
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Saídas Planas - Caso MIMO
A controlabilidade do sistema também garante que é
possível extrair a seguinte matriz C I :
C I = [b1 Ab1 · · · A(κ
C
1 −1)b1 b2 Ab2 · · · A(κ
C
2 −1)b2 · · ·
bm Abm · · · A(κ
C
m−1)bm]
com posto(C I) = n e κCi , i = 1, · · · ,m, sendo os índices de
controlabilidade do sistema, os quais devem sempre
satisfazer
∑
i κ
C
i = n.
Observe que a matriz C I é quadrada, cuja dimensão é
n × n.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos SistemasNão-Lineares (SISO/MIMO) 7
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Teoria de Planicidade Diferencial
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Saídas Planas - Caso MIMO
Após determinar a matriz C I , as saídas planas do sistema
são então dadas por:
F =
F1...
Fm
 =
φ1...
φm
C−1I x
onde φj , j = 1, · · · ,m sendo vetores linhas n-dimensionais
da seguinte forma:
φj = [0, · · · ,0,1,0, · · · ,0]
onde a posição do 1 será dada por
∑j
i=1 κ
C
i .
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 8
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Sumário
1 Revisão Aula Passada
2 Objetivos da Aula
3 Sistemas Não-Lineares
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 9
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Objetivos da Aula
Apresentar uma abordagem simplificada da Teoria de
Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas
Não-Lineares.
Apresentar o processo de linearização de um sistema
não-linear em torno de trajetórias arbitrárias.
Apresentar métodos para determinar as Saídas Planas no
escopo de Sistemas Lineares Variantes no Tempo (SLVT).
Projeto de Sistemas de Controle em Malha Fechada para
Sistemas Não-Lineares a partir da planicidade diferencial
do sistema linearizado.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 10
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Objetivos da Aula
Apresentar uma abordagem simplificada da Teoria de
Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas
Não-Lineares.
Apresentar o processo de linearização de um sistema
não-linear em torno de trajetórias arbitrárias.
Apresentar métodos para determinar as Saídas Planas no
escopo de Sistemas Lineares Variantes no Tempo (SLVT).
Projeto de Sistemas de Controle em Malha Fechada para
Sistemas Não-Lineares a partir da planicidade diferencial
do sistema linearizado.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 10
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Objetivos da Aula
Apresentar uma abordagem simplificada da Teoria de
Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas
Não-Lineares.
Apresentar o processo de linearização de um sistema
não-linear em torno de trajetórias arbitrárias.
Apresentar métodos para determinar as Saídas Planas no
escopo de Sistemas Lineares Variantes no Tempo (SLVT).
Projeto de Sistemas de Controle em Malha Fechada para
Sistemas Não-Lineares a partir da planicidade diferencial
do sistema linearizado.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 10
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Objetivos da Aula
Apresentar uma abordagem simplificada da Teoria de
Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas
Não-Lineares.
Apresentar o processo de linearização de um sistema
não-linear em torno de trajetórias arbitrárias.
Apresentar métodos para determinar as Saídas Planas no
escopo de Sistemas Lineares Variantes no Tempo (SLVT).
Projeto de Sistemas de Controle em Malha Fechada para
Sistemas Não-Lineares a partir da planicidade diferencial
do sistema linearizado.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 10
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Sumário
1 Revisão Aula Passada
2 Objetivos da Aula
3 Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 11
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Contextualização
Estratégia de Controle para Sistemas Não-Lineares
Acompanhamento de Trajetória para
Sistemas Não-Lineares
~w�
Estabilização de Sistemas Lineares
Variantes no Tempo em torno da Origem
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 12
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Contextualização
Estratégia de Controle para Sistemas Não-Lineares
Acompanhamento de Trajetória para
Sistemas Não-Lineares~w�
Estabilização de Sistemas Lineares
Variantes no Tempo em torno da Origem
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 12
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Contextualização
Motivo: Linearização Jacobiana de um sistema não-linear
em torno das trajetórias desejadas acarreta em um SLVT.
Vantagem: Pode-se aproveitar a planicidade diferencial
dos SLVT para se projetar um sistema de controle em
malha fechada que convirja para origem.
A lei de controle do sistema não-linear é obtida somando a
lei de controle para o SLVT com o controle nominal obtido
na etapa de planejamento de trajetória pro sistema
não-linear.
Dado isso, como linearizar um sistema não-linear em torno
das trajetórias nominais ?
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 13
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Contextualização
Motivo: Linearização Jacobiana de um sistema não-linear
em torno das trajetórias desejadas acarreta em um SLVT.
Vantagem: Pode-se aproveitar a planicidade diferencial
dos SLVT para se projetar um sistema de controle em
malha fechada que convirja para origem.
A lei de controle do sistema não-linear é obtida somando a
lei de controle para o SLVT com o controle nominal obtido
na etapa de planejamento de trajetória pro sistema
não-linear.
Dado isso, como linearizar um sistema não-linear em torno
das trajetórias nominais ?
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 13
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Contextualização
Motivo: Linearização Jacobiana de um sistema não-linear
em torno das trajetórias desejadas acarreta em um SLVT.
Vantagem: Pode-se aproveitar a planicidade diferencial
dos SLVT para se projetar um sistema de controle em
malha fechada que convirja para origem.
A lei de controle do sistema não-linear é obtida somando a
lei de controle para o SLVT com o controle nominal obtido
na etapa de planejamento de trajetória pro sistema
não-linear.
Dado isso, como linearizar um sistema não-linear em torno
das trajetórias nominais ?
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 13
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Contextualização
Motivo: Linearização Jacobiana de um sistema não-linear
em torno das trajetórias desejadas acarreta em um SLVT.
Vantagem: Pode-se aproveitar a planicidade diferencial
dos SLVT para se projetar um sistema de controle em
malha fechada que convirja para origem.
A lei de controle do sistema não-linear é obtida somando a
lei de controle para o SLVT com o controle nominal obtido
na etapa de planejamento de trajetória pro sistema
não-linear.
Dado isso, como linearizar um sistema não-linear em torno
das trajetórias nominais ?
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 13Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Linearização de Sistemas Não-Lineares
Seja o sistema não-linear com a seguinte representação:
ẋ = g(x ,u), x ∈ Rn, u ∈ Rm
Suponha que as trajetórias desejadas referentes ao vetor
de estados ao vetor de entradas são dados por:
x = x∗(t), u = u∗(t)
A linearização Jacobiana do sistema não-linear em torno
das trajetórias nominais fornece o seguinte sistema linear
variante no tempo:
ẋδ = A(t)xδ + B(t)uδ
com xδ = x − x∗(t) sendo o vetor de estado incrementais e
uδ = u − u∗(t) sendo o vetor de entradas incrementais.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 14
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Linearização de Sistemas Não-Lineares
Seja o sistema não-linear com a seguinte representação:
ẋ = g(x ,u), x ∈ Rn, u ∈ Rm
Suponha que as trajetórias desejadas referentes ao vetor
de estados ao vetor de entradas são dados por:
x = x∗(t), u = u∗(t)
A linearização Jacobiana do sistema não-linear em torno
das trajetórias nominais fornece o seguinte sistema linear
variante no tempo:
ẋδ = A(t)xδ + B(t)uδ
com xδ = x − x∗(t) sendo o vetor de estado incrementais e
uδ = u − u∗(t) sendo o vetor de entradas incrementais.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 14
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Linearização de Sistemas Não-Lineares
Seja o sistema não-linear com a seguinte representação:
ẋ = g(x ,u), x ∈ Rn, u ∈ Rm
Suponha que as trajetórias desejadas referentes ao vetor
de estados ao vetor de entradas são dados por:
x = x∗(t), u = u∗(t)
A linearização Jacobiana do sistema não-linear em torno
das trajetórias nominais fornece o seguinte sistema linear
variante no tempo:
ẋδ = A(t)xδ + B(t)uδ
com xδ = x − x∗(t) sendo o vetor de estado incrementais e
uδ = u − u∗(t) sendo o vetor de entradas incrementais.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 14
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Linearização de Sistemas Não-Lineares
Denominadas matrizes jacobianas, as matrizes A(t) e B(t)
são dadas por:
A(t) =
(
∂g
∂x
) ∣∣∣∣∣
(x∗(t),u∗(t))
=

(
∂g1
∂x1
) (
∂g1
∂x2
)
· · ·
(
∂g1
∂xn
)
(
∂g2
∂x1
)
· · · · · ·
(
∂g2
∂xn
)
...
...
...
...(
∂gn
∂x1
) (
∂gn
∂x2
)
· · ·
(
∂gn
∂xn
)

B(t) =
(
∂g
∂u
) ∣∣∣∣∣
(x∗(t),u∗(t))
=

(
∂g1
∂u1
) (
∂g1
∂u2
)
· · ·
(
∂g1
∂um
)
(
∂g2
∂u1
)
· · · · · ·
(
∂g2
∂um
)
...
...
...
...(
∂gn
∂u1
) (
∂gn
∂u2
)
· · ·
(
∂gn
∂um
)

Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 15
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo
Seja o sistema não-linear representado por:
ẋ1 = x1 sin(x2) + x2u
ẋ2 = x1e−x2 + u2
Assume-se que as trajetórias nominais são conhecidas e
dadas por x∗1 (t), x
∗
2 (t) e u
∗(t).
A representação em espaço de estados do sistema
linearizado é então dada por:
[
ẋ1δ
ẋ2δ
]
=
sin(x∗2 (t)) x∗1 (t) cos(x∗2 (t)) + u∗(t)
e−x
∗
2 (t) −x∗1 (t)e
−x∗2 (t)
[x1δ
x2δ
]
+
[
x∗2 (t)
2u∗(t)
]
uδ
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 16
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo
Seja o sistema não-linear representado por:
ẋ1 = x1 sin(x2) + x2u
ẋ2 = x1e−x2 + u2
Assume-se que as trajetórias nominais são conhecidas e
dadas por x∗1 (t), x
∗
2 (t) e u
∗(t).
A representação em espaço de estados do sistema
linearizado é então dada por:
[
ẋ1δ
ẋ2δ
]
=
sin(x∗2 (t)) x∗1 (t) cos(x∗2 (t)) + u∗(t)
e−x
∗
2 (t) −x∗1 (t)e
−x∗2 (t)
[x1δ
x2δ
]
+
[
x∗2 (t)
2u∗(t)
]
uδ
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 16
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo
Seja o sistema não-linear representado por:
ẋ1 = x1 sin(x2) + x2u
ẋ2 = x1e−x2 + u2
Assume-se que as trajetórias nominais são conhecidas e
dadas por x∗1 (t), x
∗
2 (t) e u
∗(t).
A representação em espaço de estados do sistema
linearizado é então dada por:
[
ẋ1δ
ẋ2δ
]
=
sin(x∗2 (t)) x∗1 (t) cos(x∗2 (t)) + u∗(t)
e−x
∗
2 (t) −x∗1 (t)e
−x∗2 (t)
[x1δ
x2δ
]
+
[
x∗2 (t)
2u∗(t)
]
uδ
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 16
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exercício
Considere o seguinte modelo matemático não-linear de
um robô manipulador com junta flexível:
ẋ1 = x2(t)
ẋ2 = −
mgL k
ẋ3 = x4(t)
ẋ4 =
k 1
J
Qual a sua representação em espaço de estados
linearizada em tornos das trajetórias nominais ?
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 17
I 
sin(x1) − I 
(x1 − x3)
J 
(x1 − x3) + u
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Solução do Exercício
Inicialmente, assume-se que as trajetórias nominais são
conhecidas e dadas por x∗1 (t), x
∗
2 (t), x
∗
3 (t), x
∗
4 (t) e u
∗(t).
As matrizes A(t) e B(t) da representação em espaço de
estados do sistema linearizado são dadas por:
A(t) =

0 1 0 0
−(k + mgL cos(x∗1 (t)))/I 0 k/I 0
0 0 0 1
k/J 0 −k/J 0
 , B(t) =

0
0
0
1/J

Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 18
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Solução do Exercício
Inicialmente, assume-se que as trajetórias nominais são
conhecidas e dadas por x∗1 (t), x
∗
2 (t), x
∗
3 (t), x
∗
4 (t) e u
∗(t).
As matrizes A(t) e B(t) da representação em espaço de
estados do sistema linearizado são dadas por:
A(t) =

0 1 0 0
−(k + mgL cos(x∗1 (t)))/I 0 k/I 0
0 0 0 1
k/J 0 −k/J 0
 , B(t) =

0
0
0
1/J

Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 18
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Resumo da Abordagem para Sistemas Não-Lineares
Planejamento de Trajetória X
Linearização Jacobiana do Sistema em torno das
Trajetórias Nominais X
Estabilizar o SLVT na Origem 6
.
Proposta para Lei de Controle
Planicidade Diferencial do SLVT.
Então vamos analisar como determinar as Saídas Planas
dos SLVT.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 19
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Resumo da Abordagem para Sistemas Não-Lineares
Planejamento de Trajetória X
Linearização Jacobiana do Sistema em torno das
Trajetórias Nominais X
Estabilizar o SLVT na Origem 6
.
Proposta para Lei de Controle
Planicidade Diferencial do SLVT.
Então vamos analisar como determinaras Saídas Planas
dos SLVT.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 19
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Resumo da Abordagem para Sistemas Não-Lineares
Planejamento de Trajetória X
Linearização Jacobiana do Sistema em torno das
Trajetórias Nominais X
Estabilizar o SLVT na Origem 6.
Proposta para Lei de Controle
Planicidade Diferencial do SLVT.
Então vamos analisar como determinar as Saídas Planas
dos SLVT.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 19
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Resumo da Abordagem para Sistemas Não-Lineares
Planejamento de Trajetória X
Linearização Jacobiana do Sistema em torno das
Trajetórias Nominais X
Estabilizar o SLVT na Origem 6.
Proposta para Lei de Controle
Planicidade Diferencial do SLVT.
Então vamos analisar como determinar as Saídas Planas
dos SLVT.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 19
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Resumo da Abordagem para Sistemas Não-Lineares
Planejamento de Trajetória X
Linearização Jacobiana do Sistema em torno das
Trajetórias Nominais X
Estabilizar o SLVT na Origem 6.
Proposta para Lei de Controle
Planicidade Diferencial do SLVT.
Então vamos analisar como determinar as Saídas Planas
dos SLVT.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 19
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Saídas Planas - Caso SISO
Seja o Sistema Linear Variante no Tempo SISO em sua
representação de espaço de estados:
ẋ = A(t)x + b(t)u, x ∈ Rn, u ∈ R
Como para o caso invariante no tempo, a saída plana é
dada por uma combinação linear dos estados obtidos a
partir da última linha de CK −1(t):
F = [0 0 · · · 1]CK −1(t)x
Dúvida: Como calcular CK (t) para Sistemas Lineares
Variantes no Tempo ?
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 20
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Saídas Planas - Caso SISO
Seja o Sistema Linear Variante no Tempo SISO em sua
representação de espaço de estados:
ẋ = A(t)x + b(t)u, x ∈ Rn, u ∈ R
Como para o caso invariante no tempo, a saída plana é
dada por uma combinação linear dos estados obtidos a
partir da última linha de CK −1(t):
F = [0 0 · · · 1]CK −1(t)x
Dúvida: Como calcular CK (t) para Sistemas Lineares
Variantes no Tempo ?
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 20
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Saídas Planas - Caso SISO
Seja o Sistema Linear Variante no Tempo SISO em sua
representação de espaço de estados:
ẋ = A(t)x + b(t)u, x ∈ Rn, u ∈ R
Como para o caso invariante no tempo, a saída plana é
dada por uma combinação linear dos estados obtidos a
partir da última linha de CK −1(t):
F = [0 0 · · · 1]CK −1(t)x
Dúvida: Como calcular CK (t) para Sistemas Lineares
Variantes no Tempo ?
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 20
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Saídas Planas - Caso SISO
Silvermam e Meadows propõem uma extensão da matriz
de controlabilidade CK para SLVT SISO:
CK (t) = [b(t) (A(t)−
d
dt
)b(t) · · · (A(t)− d
dt
)(n−1)b(t)]
Exemplos da matriz CK (t) para diferentes valores de n:
n = 1
CK (t) = [b(t)]
n = 2
CK (t) = [b(t) (A(t)b(t)− ḃ(t))]
n = 3
CK (t) = [b(t) (A(t)b(t)− ḃ(t)) (A2(t)b(t)− 2A(t)ḃ(t) + b̈(t))]
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 21
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Saídas Planas - Caso SISO
Silvermam e Meadows propõem uma extensão da matriz
de controlabilidade CK para SLVT SISO:
CK (t) = [b(t) (A(t)−
d
dt
)b(t) · · · (A(t)− d
dt
)(n−1)b(t)]
Exemplos da matriz CK (t) para diferentes valores de n:
n = 1
CK (t) = [b(t)]
n = 2
CK (t) = [b(t) (A(t)b(t)− ḃ(t))]
n = 3
CK (t) = [b(t) (A(t)b(t)− ḃ(t)) (A2(t)b(t)− 2A(t)ḃ(t) + b̈(t))]
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 21
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Saídas Planas - Caso SISO
Silvermam e Meadows propõem uma extensão da matriz
de controlabilidade CK para SLVT SISO:
CK (t) = [b(t) (A(t)−
d
dt
)b(t) · · · (A(t)− d
dt
)(n−1)b(t)]
Exemplos da matriz CK (t) para diferentes valores de n:
n = 1
CK (t) = [b(t)]
n = 2
CK (t) = [b(t) (A(t)b(t)− ḃ(t))]
n = 3
CK (t) = [b(t) (A(t)b(t)− ḃ(t)) (A2(t)b(t)− 2A(t)ḃ(t) + b̈(t))]
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 21
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Saídas Planas - Caso SISO
Silvermam e Meadows propõem uma extensão da matriz
de controlabilidade CK para SLVT SISO:
CK (t) = [b(t) (A(t)−
d
dt
)b(t) · · · (A(t)− d
dt
)(n−1)b(t)]
Exemplos da matriz CK (t) para diferentes valores de n:
n = 1
CK (t) = [b(t)]
n = 2
CK (t) = [b(t) (A(t)b(t)− ḃ(t))]
n = 3
CK (t) = [b(t) (A(t)b(t)− ḃ(t)) (A2(t)b(t)− 2A(t)ḃ(t) + b̈(t))]
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 21
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Saídas Planas - Caso SISO
O sistema é dito uniformemente controlável se a matriz
CK (t) apresenta posto igual a n ao longo de um intervalo
finito de tempo [t0, t1].
A controlabilidade do sistema durante esse intervalo é
uma condição suficiente para existência da saída plana.
Em outras palavras, é necessário verificar se há condições
para as trajetórias nominais do vetor de estados e do
controle de tal forma o sistema deixe de ser controlável no
intervalo de tempo especificado.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 22
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Saídas Planas - Caso SISO
O sistema é dito uniformemente controlável se a matriz
CK (t) apresenta posto igual a n ao longo de um intervalo
finito de tempo [t0, t1].
A controlabilidade do sistema durante esse intervalo é
uma condição suficiente para existência da saída plana.
Em outras palavras, é necessário verificar se há condições
para as trajetórias nominais do vetor de estados e do
controle de tal forma o sistema deixe de ser controlável no
intervalo de tempo especificado.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 22
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
SistemasLineares Variantes no Tempo
Saídas Planas - Caso SISO
O sistema é dito uniformemente controlável se a matriz
CK (t) apresenta posto igual a n ao longo de um intervalo
finito de tempo [t0, t1].
A controlabilidade do sistema durante esse intervalo é
uma condição suficiente para existência da saída plana.
Em outras palavras, é necessário verificar se há condições
para as trajetórias nominais do vetor de estados e do
controle de tal forma o sistema deixe de ser controlável no
intervalo de tempo especificado.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 22
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo SISO
Considere o seguinte Sistema Linear Variante no Tempo
SISO em sua representação de espaço de estados:

ẋ1 = x2
ẋ2 = t2u
ẋ3 = x4
ẋ4 = u
y = x1
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 23
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo SISO
Pode-se mostrar que o sistema é uniformemente
controlável com a seguinte matriz CK :
CK =

0 t2 −4t 6
t2 −2t 2 0
0 1 0 0
1 0 0 0

Como posto(CK ) = 4, observa-se que CK é uniformemente
controlável independente da variável de tempo.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 24
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo SISO
Pode-se mostrar que o sistema é uniformemente
controlável com a seguinte matriz CK :
CK =

0 t2 −4t 6
t2 −2t 2 0
0 1 0 0
1 0 0 0

Como posto(CK ) = 4, observa-se que CK é uniformemente
controlável independente da variável de tempo.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 24
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo SISO
Como det(CK ) = 12, logo C−K 1 existe. Assim, determina-se
a saída plana do sistema:
F (t) = (1/6)x1 + (1/3)tx2 + (1/2)t2x3 − (1/3)t3x4
=⇒ F (t) = x1 + 2tx2 + 3t2x3 − 2t3x4
As derivadas temporais da saída plana do sistema são
expressas por:
Ḟ (t) = 3x2 + 6tx3 − 3t2x4
F̈ (t) = 6x3
F (3)(t) = 6x4
F (4)(t) = 6u
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 25
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo SISO
Como det(CK ) = 12, logo C−K 1 existe. Assim, determina-se
a saída plana do sistema:
F (t) = (1/6)x1 + (1/3)tx2 + (1/2)t2x3 − (1/3)t3x4
=⇒ F (t) = x1 + 2tx2 + 3t2x3 − 2t3x4
As derivadas temporais da saída plana do sistema são
expressas por:
Ḟ (t) = 3x2 + 6tx3 − 3t2x4
F̈ (t) = 6x3
F (3)(t) = 6x4
F (4)(t) = 6u
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 25
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo SISO
Como det(CK ) = 12, logo C−K 1 existe. Assim, determina-se
a saída plana do sistema:
F (t) = (1/6)x1 + (1/3)tx2 + (1/2)t2x3 − (1/3)t3x4
=⇒ F (t) = x1 + 2tx2 + 3t2x3 − 2t3x4
As derivadas temporais da saída plana do sistema são
expressas por:
Ḟ (t) = 3x2 + 6tx3 − 3t2x4
F̈ (t) = 6x3
F (3)(t) = 6x4
F (4)(t) = 6u
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 25
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo SISO
Como det(CK ) = 12, logo C−K 1 existe. Assim, determina-se
a saída plana do sistema:
F (t) = (1/6)x1 + (1/3)tx2 + (1/2)t2x3 − (1/3)t3x4
=⇒ F (t) = x1 + 2tx2 + 3t2x3 − 2t3x4
As derivadas temporais da saída plana do sistema são
expressas por:
Ḟ (t) = 3x2 + 6tx3 − 3t2x4
F̈ (t) = 6x3
F (3)(t) = 6x4
F (4)(t) = 6u
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 25
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo SISO
Como det(CK ) = 12, logo C−K 1 existe. Assim, determina-se
a saída plana do sistema:
F (t) = (1/6)x1 + (1/3)tx2 + (1/2)t2x3 − (1/3)t3x4
=⇒ F (t) = x1 + 2tx2 + 3t2x3 − 2t3x4
As derivadas temporais da saída plana do sistema são
expressas por:
Ḟ (t) = 3x2 + 6tx3 − 3t2x4
F̈ (t) = 6x3
F (3)(t) = 6x4
F (4)(t) = 6u
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 25
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo SISO
Como det(CK ) = 12, logo C−K 1 existe. Assim, determina-se
a saída plana do sistema:
F (t) = (1/6)x1 + (1/3)tx2 + (1/2)t2x3 − (1/3)t3x4
=⇒ F (t) = x1 + 2tx2 + 3t2x3 − 2t3x4
As derivadas temporais da saída plana do sistema são
expressas por:
Ḟ (t) = 3x2 + 6tx3 − 3t2x4
F̈ (t) = 6x3
F (3)(t) = 6x4
F (4)(t) = 6u
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 25
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo SISO
Dessa forma, parametriza-se o sistema em função das
saídas planas e de suas derivadas temporais:
x1 = F (t)− (2/3)t Ḟ (t) + (1/6)t2F̈ (t)
x2 = (1/3)Ḟ (t)− (1/3)t F̈ (t) + (1/3)t2F (3)(t)
x3 = (1/6)F̈ (t)
x4 = (1/6)F (3)(t)
u = (1/6)F (4)(t)
O sistema é então equivalente ao seguinte sistema linear
na forma canônica de Brunovsky:
F (4)(t) = υ onde υ = 6u
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 26
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo SISO
Dessa forma, parametriza-se o sistema em função das
saídas planas e de suas derivadas temporais:
x1 = F (t)− (2/3)t Ḟ (t) + (1/6)t2F̈ (t)
x2 = (1/3)Ḟ (t)− (1/3)t F̈ (t) + (1/3)t2F (3)(t)
x3 = (1/6)F̈ (t)
x4 = (1/6)F (3)(t)
u = (1/6)F (4)(t)
O sistema é então equivalente ao seguinte sistema linear
na forma canônica de Brunovsky:
F (4)(t) = υ onde υ = 6u
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 26
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo SISO
Portanto, para o sistema na forma canônica de Brunovsky,
é suficiente propor a seguinte lei de controle em malha
fechada expressa por:
υ = F ∗(4)(t)− k3(F (3)(t)− F ∗(3)(t))− k2(F̈ (t)− F̈ ∗(t))
− k1(Ḟ (t)− Ḟ ∗(t))− k0(F (t)− F ∗(t))]
Assim, a partir da parametrização diferencial, a expressão
do sinal de controle é então dada por:
u =
1
6
υ =⇒ u = 1
6
[
F ∗(4)(t)− k4(F (3)(t)− F ∗(3)(t))− k3(F̈ (t)− F̈ ∗(t))
−k2(Ḟ (t)− Ḟ ∗(t))− k1(F (t)− F ∗(t))
]
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 27
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo SISO
Portanto, para o sistema na forma canônica de Brunovsky,
é suficiente propor a seguinte lei de controle em malha
fechada expressa por:
υ = F ∗(4)(t)− k3(F (3)(t)− F ∗(3)(t))− k2(F̈ (t)− F̈ ∗(t))
− k1(Ḟ (t)− Ḟ ∗(t))− k0(F (t)− F ∗(t))]
Assim, a partirda parametrização diferencial, a expressão
do sinal de controle é então dada por:
u =
1
6
υ
=⇒ u = 1
6
[
F ∗(4)(t)− k4(F (3)(t)− F ∗(3)(t))− k3(F̈ (t)− F̈ ∗(t))
−k2(Ḟ (t)− Ḟ ∗(t))− k1(F (t)− F ∗(t))
]
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 27
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo SISO
Portanto, para o sistema na forma canônica de Brunovsky,
é suficiente propor a seguinte lei de controle em malha
fechada expressa por:
υ = F ∗(4)(t)− k3(F (3)(t)− F ∗(3)(t))− k2(F̈ (t)− F̈ ∗(t))
− k1(Ḟ (t)− Ḟ ∗(t))− k0(F (t)− F ∗(t))]
Assim, a partir da parametrização diferencial, a expressão
do sinal de controle é então dada por:
u =
1
6
υ =⇒ u = 1
6
[
F ∗(4)(t)− k4(F (3)(t)− F ∗(3)(t))− k3(F̈ (t)− F̈ ∗(t))
−k2(Ḟ (t)− Ḟ ∗(t))− k1(F (t)− F ∗(t))
]
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 27
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Saídas Planas - Caso MIMO
Seja o Sistema Linear Variante no Tempo MIMO em sua
representação de espaço de estados:
ẋ = A(t)x + B(t)u, x ∈ Rn, u ∈ Rm
Silvermam e Meadows também propõem uma extensão da
matriz de controlabilidade CK para Sistemas Lineares
Variante no Tempo MIMO:
CK (t) = [B(t) (A(t)−
d
dt
)B(t) · · · (A(t)− d
dt
)(n−1)B(t)]
Como no caso SISO, a controlabilidade do sistema
durante esse intervalo é uma condição suficiente para
existência da saída plana.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 28
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Saídas Planas - Caso MIMO
Seja o Sistema Linear Variante no Tempo MIMO em sua
representação de espaço de estados:
ẋ = A(t)x + B(t)u, x ∈ Rn, u ∈ Rm
Silvermam e Meadows também propõem uma extensão da
matriz de controlabilidade CK para Sistemas Lineares
Variante no Tempo MIMO:
CK (t) = [B(t) (A(t)−
d
dt
)B(t) · · · (A(t)− d
dt
)(n−1)B(t)]
Como no caso SISO, a controlabilidade do sistema
durante esse intervalo é uma condição suficiente para
existência da saída plana.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 28
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Saídas Planas - Caso MIMO
Seja o Sistema Linear Variante no Tempo MIMO em sua
representação de espaço de estados:
ẋ = A(t)x + B(t)u, x ∈ Rn, u ∈ Rm
Silvermam e Meadows também propõem uma extensão da
matriz de controlabilidade CK para Sistemas Lineares
Variante no Tempo MIMO:
CK (t) = [B(t) (A(t)−
d
dt
)B(t) · · · (A(t)− d
dt
)(n−1)B(t)]
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 28
saídas planas.
esse intervalo é uma condição suficiente paraexistência da 
Como no caso SISO, a controlabilidade do sistemadurante 
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Saídas Planas - Caso MIMO
Como para o SLIT MIMO, a controlabilidade do sistema
também garante que a existência de uma matriz C I(t) de
posto igual a n com o seguinte formato:
C I(t) = [b1(t) · · ·
(
A(t)− d
dt
)(κC1 −1)
b1(t) b2(t) · · ·
bm(t) · · ·
(
A(t)− d
dt
)(κCm−1)
bm(t)]
sendo κCi , i = 1, · · · ,m os índices de controlabilidade do
sistema, os quais devem satisfazer a seguinte condição:∑
i
κCi = n
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 29
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Saídas Planas - Caso MIMO
Como para o SLIT MIMO, a controlabilidade do sistema
também garante que a existência de uma matriz C I(t) de
posto igual a n com o seguinte formato:
C I(t) = [b1(t) · · ·
(
A(t)− d
dt
)(κC1 −1)
b1(t) b2(t) · · ·
bm(t) · · ·
(
A(t)− d
dt
)(κCm−1)
bm(t)]
sendo κCi , i = 1, · · · ,m os índices de controlabilidade do
sistema, os quais devem satisfazer a seguinte condição:∑
i
κCi = n
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 29
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Saídas Planas - Caso MIMO
Como para o SLIT MIMO, a controlabilidade do sistema
também garante que a existência de uma matriz C I(t) de
posto igual a n com o seguinte formato:
C I(t) = [b1(t) · · ·
(
A(t)− d
dt
)(κC1 −1)
b1(t) b2(t) · · ·
bm(t) · · ·
(
A(t)− d
dt
)(κCm−1)
bm(t)]
sendo κCi , i = 1, · · · ,m os índices de controlabilidade do
sistema, os quais devem satisfazer a seguinte condição:∑
i
κCi = n
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 29
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Saídas Planas - Caso MIMO
Ao determinar C I(t), as saídas planas do sistema são
dadas por:
F =

F1
...
Fm
 =

φ1
...
φm
C−1I (t)x
sendo φj , j = 1, · · · ,m vetores linhas n-dimensionais da
seguinte forma:
φj = [0, · · · ,0,1,0, · · · ,0]
onde a posição do 1 será fornecida a partir de
∑j
i=1 κ
C
i .
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 30
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Saídas Planas - Caso MIMO
Ao determinar C I(t), as saídas planas do sistema são
dadas por:
F =

F1
...
Fm
 =

φ1
...
φm
C−1I (t)x
sendo φj , j = 1, · · · ,m vetores linhas n-dimensionais da
seguinte forma:
φj = [0, · · · ,0,1,0, · · · ,0]
onde a posição do 1 será fornecida a partir de
∑j
i=1 κ
C
i .
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 30
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo MIMO
Considere o seguinte sistema não-linear MIMO em sua
representação de espaço de estados:

ẋ1 = u1
ẋ2 = u2
ẋ3 = x1u2 − x2u1
, y =
[
y1
y2
]
=
[
x1
x2
]
Assume-se que o conjunto de trajetórias nominais para as
variáveis do sistema são dadas por x∗1 (t), x
∗
2 (t), x
∗
3 (t), u
∗
1(t)
e u∗2(t).
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 31
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo MIMO
Considere o seguinte sistema não-linear MIMO em sua
representação de espaço de estados:

ẋ1 = u1
ẋ2 = u2
ẋ3 = x1u2 − x2u1
, y =
[
y1
y2
]
=
[
x1
x2
]
Assume-se que o conjunto de trajetórias nominais para as
variáveis do sistema são dadas por x∗1 (t), x
∗
2 (t), x
∗
3 (t), u
∗
1(t)
e u∗2(t).
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 31
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo MIMO
A representação em espaço de estados do sistema
linearizado em torno das trajetórias nominais é dada por:
ẋδ = A(t)xδ + B(t)uδ
com
A(t) =

0 0 0
0 0 0
u∗2(t) −u∗1(t) 0
 , B(t) =

1 0
0 1
−x∗2 (t) x∗1 (t)

Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 32
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo MIMO
A representação em espaço de estados do sistema
linearizado em torno das trajetórias nominais é dada por:
ẋδ = A(t)xδ + B(t)uδ
com
A(t) =

0 0 0
0 0 0
u∗2(t) −u∗1(t) 0
 , B(t) =

1 0
0 1
−x∗2 (t) x∗1 (t)

Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 32
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo MIMO
Como a ordem do sistema é igual a 3, a matriz de
controlabilidade é então dada por:
CK (t) =
[
B(t)
(
A(t)− d
dt
)
B(t)
(
A(t)− d
dt
)2
B(t)
]
=⇒ CK (t) =
[
B(t) (A(t)B(t)− Ḃ(t)) (A2(t)B(t)− 2A(t)Ḃ(t) + B̈(t))
]
=⇒ CK (t) =
 1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0
−x∗2 (t) x∗1 (t) 2u∗2(t) −2u∗1(t) −ẍ∗2 (t) ẍ∗1 (t)

Lembre-se que é preciso analisar para quais condições
das trajetórias desejadas o posto(CK (t)) < n = 3.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 33
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo MIMO
Como a ordem do sistema é igual a 3, a matriz de
controlabilidade é então dada por:
CK (t) =
[
B(t)
(
A(t)− d
dt
)
B(t)
(
A(t)− d
dt
)2
B(t)
]
=⇒ CK (t) =
[
B(t) (A(t)B(t)− Ḃ(t)) (A2(t)B(t)− 2A(t)Ḃ(t) + B̈(t))
]
=⇒ CK (t) =
 1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0
−x∗2 (t) x∗1 (t) 2u∗2(t) −2u∗1(t) −ẍ∗2 (t) ẍ∗1 (t)

Lembre-se que é preciso analisar para quais condições
das trajetórias desejadas o posto(CK (t)) < n = 3.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 33
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo MIMO
Como a ordem do sistema é igual a 3, a matriz de
controlabilidade é então dada por:
CK (t) =
[
B(t)
(
A(t)− d
dt
)
B(t)
(
A(t)− d
dt
)2
B(t)
]
=⇒ CK (t) =
[
B(t) (A(t)B(t)− Ḃ(t)) (A2(t)B(t)− 2A(t)Ḃ(t) + B̈(t))
]
=⇒ CK (t) =
 1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0
−x∗2 (t) x∗1 (t) 2u∗2(t) −2u∗1(t) −ẍ∗2 (t) ẍ∗1 (t)

Lembre-se que é preciso analisar para quais condições
das trajetórias desejadas o posto(CK (t)) < n = 3.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 33
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo MIMO
Como a ordem do sistema é igual a 3, a matriz de
controlabilidade é então dada por:
CK (t) =
[
B(t)
(
A(t)− d
dt
)
B(t)
(
A(t)− d
dt
)2
B(t)
]
=⇒ CK (t) =
[
B(t) (A(t)B(t)− Ḃ(t)) (A2(t)B(t)− 2A(t)Ḃ(t) + B̈(t))
]
=⇒ CK (t) =
 1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0
−x∗2 (t) x∗1 (t) 2u∗2(t) −2u∗1(t) −ẍ∗2 (t) ẍ∗1 (t)

Lembre-se que é preciso analisar para quais condições
das trajetórias desejadas o posto(CK (t)) < n = 3.
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 33
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo MIMO
Em seguida, observa-se que um conjunto possível para os
índices de controlabilidade é dado por κC1 = 2 e κ
C
2 = 1. A
matriz C I(t) é então dada por:
C I(t) = [b1(t)
(
A(t)− d
dt
)
b1(t) b2(t)]
=⇒ C I(t) = [b1(t) (A(t)b1(t)− ḃ1(t)) b2(t)]
=⇒ C I(t) =
 1 0 00 0 1
−x∗2 (t) 2u∗2(t) x∗1 (t)

Ressalta-se que posto(C I(t)) = 3 e det(C I(t)) 6= 0 se
u∗2(t) 6= 0⇒ Saídas Planas existem!
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 34
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo MIMO
Em seguida, observa-se que um conjunto possível para os
índices de controlabilidade é dado por κC1 = 2 e κ
C
2 = 1. A
matriz C I(t) é então dada por:
C I(t) = [b1(t)
(
A(t)− d
dt
)
b1(t) b2(t)]
=⇒ C I(t) = [b1(t) (A(t)b1(t)− ḃ1(t)) b2(t)]
=⇒ C I(t) =
 1 0 00 0 1
−x∗2 (t) 2u∗2(t) x∗1 (t)

Ressalta-se que posto(C I(t)) = 3 e det(C I(t)) 6= 0 se
u∗2(t) 6= 0⇒ Saídas Planas existem!
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 34
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo MIMO
Em seguida, observa-se que um conjunto possível para os
índices de controlabilidade é dado por κC1 = 2 e κ
C
2 = 1. A
matriz C I(t) é então dada por:
C I(t) = [b1(t)
(
A(t)− d
dt
)
b1(t) b2(t)]
=⇒ C I(t) = [b1(t) (A(t)b1(t)− ḃ1(t)) b2(t)]
=⇒ C I(t) =
 1 0 00 0 1
−x∗2 (t) 2u∗2(t) x∗1 (t)

Ressalta-se que posto(C I(t)) = 3 e det(C I(t)) 6= 0 se
u∗2(t) 6= 0⇒ Saídas Planas existem!
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 34
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo MIMO
Em seguida, observa-se que um conjunto possível para os
índices de controlabilidade é dado por κC1 = 2 e κ
C
2 = 1. A
matriz C I(t) é então dada por:
C I(t) = [b1(t)
(
A(t)− d
dt
)
b1(t) b2(t)]
=⇒ C I(t) = [b1(t) (A(t)b1(t)− ḃ1(t)) b2(t)]
=⇒ C I(t) =
 1 0 00 0 1
−x∗2 (t) 2u∗2(t) x∗1 (t)

Ressalta-se que posto(C I(t)) = 3 e det(C I(t)) 6= 0 se
u∗2(t) 6= 0
⇒ Saídas Planas existem!
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 34
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo MIMO
Em seguida, observa-se que um conjunto possível para os
índices de controlabilidade é dado por κC1 = 2 e κ
C
2 = 1. A
matriz C I(t) é então dada por:
C I(t) = [b1(t)
(
A(t)− d
dt
)
b1(t) b2(t)]
=⇒ C I(t) = [b1(t) (A(t)b1(t)− ḃ1(t)) b2(t)]
=⇒ C I(t) =
 1 0 00 0 1
−x∗2 (t) 2u∗2(t) x∗1 (t)

Ressalta-se que posto(C I(t)) = 3 e det(C I(t)) 6= 0 se
u∗2(t) 6= 0⇒
Saídas Planas existem!
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 34
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo MIMO
Em seguida, observa-se que um conjunto possível para os
índices de controlabilidade é dado por κC1 = 2 e κ
C
2 = 1. A
matriz C I(t) é então dada por:
C I(t) = [b1(t)
(
A(t)− d
dt
)
b1(t) b2(t)]
=⇒ C I(t) = [b1(t) (A(t)b1(t)− ḃ1(t)) b2(t)]
=⇒ C I(t) =
 1 0 00 0 1
−x∗2 (t) 2u∗2(t) x∗1 (t)

Ressalta-se que posto(C I(t)) = 3 e det(C I(t)) 6= 0 se
u∗2(t) 6= 0⇒ Saídas Planas existem!
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 34
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo MIMO
Dessa forma, as saídas planas são dadas por:[
F1δ
F2δ
]
=
[
0 1 0
0 0 1
]
C−1I (t)xδ
=⇒
F1δ = x
∗
2 (t)x1δ − x∗1 (t)x2δ + x3δ
F2δ = x2δ
Pode-se mostrar que as derivadas temporais das saídas
planas são expressas por:
Ḟ1δ = 2u∗2(t)x1δ − 2u∗1(t)x2δ
F̈1δ = 2u̇∗2(t)x1δ − 2u̇∗1(t)x2δ + 2u∗2(t)u1δ − 2u∗1(t)u2δ
Ḟ2δ = u2δ
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 35
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-LinearesIntrodução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo MIMO
Dessa forma, as saídas planas são dadas por:[
F1δ
F2δ
]
=
[
0 1 0
0 0 1
]
C−1I (t)xδ
=⇒
F1δ = x
∗
2 (t)x1δ − x∗1 (t)x2δ + x3δ
F2δ = x2δ
Pode-se mostrar que as derivadas temporais das saídas
planas são expressas por:
Ḟ1δ = 2u∗2(t)x1δ − 2u∗1(t)x2δ
F̈1δ = 2u̇∗2(t)x1δ − 2u̇∗1(t)x2δ + 2u∗2(t)u1δ − 2u∗1(t)u2δ
Ḟ2δ = u2δ
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 35
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo MIMO
Dessa forma, as saídas planas são dadas por:[
F1δ
F2δ
]
=
[
0 1 0
0 0 1
]
C−1I (t)xδ
=⇒
F1δ = x
∗
2 (t)x1δ − x∗1 (t)x2δ + x3δ
F2δ = x2δ
Pode-se mostrar que as derivadas temporais das saídas
planas são expressas por:
Ḟ1δ = 2u∗2(t)x1δ − 2u∗1(t)x2δ
F̈1δ = 2u̇∗2(t)x1δ − 2u̇∗1(t)x2δ + 2u∗2(t)u1δ − 2u∗1(t)u2δ
Ḟ2δ = u2δ
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 35
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo MIMO
A parametrização diferencial das variáveis do sistema é
dada por:
x1δ =
Ḟ1δ + 2u∗1(t)F2δ
2u∗2(t)
x2δ = F2δ
x3δ = F1δ + x∗1 (t)F2δ −
(Ḟ1δ + 2u∗1(t)F2δ)x
∗
2 (t)
2u∗2(t)
u1δ =
0.5F̈1δ + u∗1(t)Ḟ2δ + u̇
∗
1(t)F2δ
u∗2(t)
−
u̇∗2(t)
[
Ḟ1δ + 2u∗1(t)F2δ
]
2u∗2(t)2
u2δ = Ḟ2δ
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 36
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo MIMO
Manipulando a parametrização dos sinais de controle,
pode-se obter a seguinte forma canônica de Brunovsky:{
F̈1δ = υ1
Ḟ2δ = υ2
Na representação por espaço de estados, tem-se que:{
ż = Abz + Bbυ
y = Cbz
, z =
[
F1δ Ḟ1δ F2δ
]T
Ab =
0 1 00 0 0
0 0 0
 , Bb =
0 01 0
0 1
 , Cb =
1 00 0
0 1

T
, υ =
[
υ1
υ2
]
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 37
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo MIMO
Manipulando a parametrização dos sinais de controle,
pode-se obter a seguinte forma canônica de Brunovsky:{
F̈1δ = υ1
Ḟ2δ = υ2
Na representação por espaço de estados, tem-se que:{
ż = Abz + Bbυ
y = Cbz
, z =
[
F1δ Ḟ1δ F2δ
]T
Ab =
0 1 00 0 0
0 0 0
 , Bb =
0 01 0
0 1
 , Cb =
1 00 0
0 1

T
, υ =
[
υ1
υ2
]
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 37
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo MIMO
Então, para o sistema na forma canônica de Brunovsky, é
suficiente propor as seguintes leis de controle em malha
fechada dadas por:
υ1 = F̈ ∗1δ − k11(Ḟ1δ − Ḟ ∗1δ)− k10(F1δ − F ∗1δ)
υ2 = Ḟ ∗2δ − k20(F2δ − F ∗2δ)
Como se deseja que as saídas planas convirjam para
origem, logo F̈ ∗1δ = Ḟ
∗
1δ = F
∗
1δ = 0 e Ḟ
∗
2δ = F
∗
2δ = 0. Isso
implica que:
υ1 = −k11Ḟ1δ − k10F1δ
υ2 = −k20F2δ
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 38
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo MIMO
Então, para o sistema na forma canônica de Brunovsky, é
suficiente propor as seguintes leis de controle em malha
fechada dadas por:
υ1 = F̈ ∗1δ − k11(Ḟ1δ − Ḟ ∗1δ)− k10(F1δ − F ∗1δ)
υ2 = Ḟ ∗2δ − k20(F2δ − F ∗2δ)
Como se deseja que as saídas planas convirjam para
origem, logo F̈ ∗1δ = Ḟ
∗
1δ = F
∗
1δ = 0 e Ḟ
∗
2δ = F
∗
2δ = 0. Isso
implica que:
υ1 = −k11Ḟ1δ − k10F1δ
υ2 = −k20F2δ
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 38
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo MIMO
Devido a parametrização diferencial, isso implica que os
sinais de controle incrementais são então dados por:
u1δ =
0.5υ1 + u∗1(t)υ2 + u̇
∗
1(t)F2δ
u∗2(t)
−
u̇∗2(t)
[
Ḟ1δ + 2u∗1(t)F2δ
]
2u∗2(t)2
u2δ = υ2
Assim, as expressões finais dos controladores u1(t) e u2(t)
são dadas por:
u1(t) = u∗1(t) + u1δ
u2(t) = u∗2(t) + u2δ
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 39
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Exemplo MIMO
Devido a parametrização diferencial, isso implica que os
sinais de controle incrementais são então dados por:
u1δ =
0.5υ1 + u∗1(t)υ2 + u̇
∗
1(t)F2δ
u∗2(t)
−
u̇∗2(t)
[
Ḟ1δ + 2u∗1(t)F2δ
]
2u∗2(t)2
u2δ = υ2
Assim, as expressões finais dos controladores u1(t) e u2(t)
são dadas por:
u1(t) = u∗1(t) + u1δ
u2(t) = u∗2(t) + u2δ
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 39
Revisão Aula Passada
Objetivos da Aula
Sistemas Não-Lineares
Introdução
Linearização Jacobiana
Sistemas Lineares Variantes no Tempo
Obrigado!
Perguntas?
Prof. José Oniram de A. L. Filho Aula 03 - Planicidade Diferencial aplicada aos Sistemas Não-Lineares (SISO/MIMO) 40
	Revisão Aula Passada
	Teoria de Planicidade Diferencial
	Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
	Objetivos da Aula
	Sistemas Não-Lineares
	Introdução
	Linearização Jacobiana
	Sistemas Lineares Variantes no Tempo